헤론의 공식, 헤론의 공식 유도

삼각형의 넓이 공식에서는 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 방법과 공식, 증명을 해봤어요. 이번에는 조금 다른 경우에 삼각형의 넓이를 구하는 방법인 헤론의 공식에 대해서 알아볼 거예요.

헤론의 공식은 세 변의 길이를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 방법이에요. 세 변의 길이를 알 때 삼각형의 넓이를 구하려면 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 넓이 공식을 이용합니다. 문제는 각의 크기를 모르니까 이를 알아내는 과정이 필요한데 이게 좀 복잡해요.

그래서 이 과정을 생략할 수 있게 나온 공식이 헤론의 공식입니다. 여기서는 헤론의 공식을 유도해보고 공식이 왜 좋은지 문제를 통해서 알아보죠.

헤론의 공식

세 변의 길이만 알 때 삼각형의 넓이를 구하려면 아래 과정을 거쳐야 해요.

제2 코사인법칙을 이용하여 한 각의 cos을 구함
①과 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 sin을 구함
②를 이용하여 넓이를 구함

①, ② 과정이 매우 복잡해요. 그래서 헤론이라는 사람이 공식으로 유도해 놓은 게 있는데 그걸 헤론의 공식이라고 해요.

이 공식을 유도하기에 앞서 전에 공부했던 두 가지 공식의 모양을 조금 바꿔놓고 시작하죠.

첫 번째는 삼각함수 사이의 관계에서 공부했던 sinθ와 cosθ의 관계에요.

다음은 제2 코사인법칙의 모양을 바꿔보죠.

제2 코사인법칙 변형

이제 헤론의 공식을 유도해보죠. 앞에 1, 2, 3은 줄번호예요.

헤론의 공식 유도 1

삼각함수 사이의 관계 변형
우변 인수분해
대입
괄호 안 통분
분자의 앞 세항을 인수분해
인수분해
우변 곱
양변에 제곱근. 0° < C < 180°이므로 sinC > 0

근호 안이 굉장히 복잡하죠? 여기를 간단히 해보죠. a + b + c = 2s라고 치환해볼까요?

a + b + c = 2s
a + b - c = (a + b + c) - 2c = 2s - 2c = 2(s - c)
a - b + c = (a + b + c) - 2b = 2s - 2b = 2(s - b)
-a + b + c = (a + b + c) - 2a = 2s - 2a = 2(s - a)

이제 이걸 근호 안에 대입해요.