숫자를 공부할 때 정수 다음에 유리수를 공부했어요. 식을 공부할 때는 다항식 다음에 유리식을 공부했고요. 함수를 공부할 때는 어떨까요? 다항함수를 공부한 다음에 유리함수를 공부해요. 다항함수라는 용어는 들어본 적이 없지만 다항함수를 모르는 건 아니에요. 이제까지 우리가 다뤄왔던 함수가 바로 다항함수니까요.

이 글에서는 유리함수의 뜻과 종류에 대해서 공부할 거예요. 분수함수, 점근선, 직각쌍곡선 등 새로운 용어들이 몇 개 나옵니다.

또 라는 함수의 그래프의 특징에 대해서도 공부할 거고요.

유리함수

유리식은 의 꼴로 생긴 식을 말해요. 그럼 유리함수는 뭘까요? 간단히 말하면꼴로 생긴 함수를 말해요. y = f(x)에서 f(x)가 x에 대한 유리식인 함수를 유리함수라고 합니다.

유리식에서 분모가 상수인 식을 다항식이라고 하고, 분모가 상수가 아니면 분수식이라고 했어요. 마찬가지로 함수 y =  f(x)에서 f(x)의 분모가 상수이면 즉, f(x)가 x에 대한 다항식이면 함수 y = f(x)를 다항함수라고 해요. 함수 y = f(x)에서 f(x)의 분모가 다항식이면 즉, f(x)가 x에 대한 분수식이면 함수 y = f(x)를 분수함수라고 하지요.

이제까지 공부했던 함수가 바로 다항함수예요.

유리함수의 분류 1

일반적으로 특별한 언급이 없으면 다항함수에서는 정의역과 공역이 실수 전체의 집합이에요. 하지만 분수에서 분모는 0이 될 수 없으므로 분수함수의 정의역은 분모 ≠ 0인 실수 전체가 됩니다.

분수함수 의 그래프

의 그래프는 중학교 1학년 때 정비례와 반비례에서 그려봤어요. 조금 더 자세히 알아보죠.

의 그래프를 그려볼까요? 일단 순서쌍으로 나타내보죠.

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … - - -1 X 1 …

순서쌍으로 그래프를 그려보면 다음처럼 돼요.

y = k/x (k > 0)의 그래프

분자 k = 1로 양수죠? k가 양수면 x, y의 부호가 같으니까 그래프는 제 1, 3 사분면에 그려집니다.

두 개의 곡선 모양의 그래프라서 이 곡선을 쌍곡선이라고 하는데, 쌍곡선은 원점에 대하여 대칭이에요.

원점에서 멀어질수록 그래프가 x축과 y축에 점점 가까워지죠? 그래프가 점점 가까워지는 직선이라는 뜻으로 점근선이라고 하는데, 여기서는 x축, y축이 점근선이에요. x축과 y축처럼 점근선이 서로 직각인 쌍곡선을 직각쌍곡선이라고 해요.

k < 0이라면 쌍곡선은 제 2, 4 분면에 그려져요. 다른 특징은 같고요.

y = k/x (k < 0)의 그래프

만약에 의 그래프를 그려보면 어떻게 될까요? 분자의 k의 절댓값이 커질수록 그래프는 원점에서 멀어져요.

분수함수  그래프의 특징
정의역과 치역은 0을 제외한 실수 전체 집합
k > 0이면 제 1, 3 사분면, k < 0이면 제 2, 4 사분면
원점에 대하여 대칭
x축, y축을 점근선으로 하는 직각쌍곡선
|k|가 커질수록 원점에서 멀어진다.

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정리해볼까요

유리함수: 함수 y = f(x)에서 f(x)가 x에 대한 유리식

  • 다항함수: 함수 y = f(x)에서 f(x)가 x에 대한 다항식
  • 분수함수: 함수 y = f(x)에서 f(x)가 x에 대한 분수식

분수함수  그래프의 특징

  • 정의역과 치역은 0을 제외한 실수 전체 집합
  • k > 0이면 제 1, 3 사분면, k < 0이면 제 2, 4 사분면
  • 원점에 대하여 대칭
  • x축, y축을 점근선으로 하는 직각쌍곡선
  • |k|가 커질수록 원점에서 멀어진다.
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