숫자를 공부할 때 정수 다음에 유리수를 공부했어요. 식을 공부할 때는 다항식 다음에 유리식을 공부했고요. 함수를 공부할 때는 어떨까요? 다항함수를 공부한 다음에 유리함수를 공부해요. 다항함수라는 용어는 들어본 적이 없지만 다항함수를 모르는 건 아니에요. 이제까지 우리가 다뤄왔던 함수가 바로 다항함수니까요.
이 글에서는 유리함수의 뜻과 종류에 대해서 공부할 거예요. 분수함수, 점근선, 직각쌍곡선 등 새로운 용어들이 몇 개 나옵니다.
또 라는 함수의 그래프의 특징에 대해서도 공부할 거고요.
유리함수
유리식은 의 꼴로 생긴 식을 말해요. 그럼 유리함수는 뭘까요? 간단히 말하면
꼴로 생긴 함수를 말해요. y = f(x)에서 f(x)가 x에 대한 유리식인 함수를 유리함수라고 합니다.
유리식에서 분모가 상수인 식을 다항식이라고 하고, 분모가 상수가 아니면 분수식이라고 했어요. 마찬가지로 함수 y = f(x)에서 f(x)의 분모가 상수이면 즉, f(x)가 x에 대한 다항식이면 함수 y = f(x)를 다항함수라고 해요. 함수 y = f(x)에서 f(x)의 분모가 다항식이면 즉, f(x)가 x에 대한 분수식이면 함수 y = f(x)를 분수함수라고 하지요.
이제까지 공부했던 함수가 바로 다항함수예요.
일반적으로 특별한 언급이 없으면 다항함수에서는 정의역과 공역이 실수 전체의 집합이에요. 하지만 분수에서 분모는 0이 될 수 없으므로 분수함수의 정의역은 분모 ≠ 0인 실수 전체가 됩니다.
분수함수
의 그래프
의 그래프는 중학교 1학년 때 정비례와 반비례에서 그려봤어요. 조금 더 자세히 알아보죠.
의 그래프를 그려볼까요? 일단 순서쌍으로 나타내보죠.
x | … | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … |
- |
- |
-1 | X | 1 |
|
|
… |
순서쌍으로 그래프를 그려보면 다음처럼 돼요.
분자 k = 1로 양수죠? k가 양수면 x, y의 부호가 같으니까 그래프는 제 1, 3 사분면에 그려집니다.
두 개의 곡선 모양의 그래프라서 이 곡선을 쌍곡선이라고 하는데, 쌍곡선은 원점에 대하여 대칭이에요.
원점에서 멀어질수록 그래프가 x축과 y축에 점점 가까워지죠? 그래프가 점점 가까워지는 직선이라는 뜻으로 점근선이라고 하는데, 여기서는 x축, y축이 점근선이에요. x축과 y축처럼 점근선이 서로 직각인 쌍곡선을 직각쌍곡선이라고 해요.
k < 0이라면 쌍곡선은 제 2, 4 분면에 그려져요. 다른 특징은 같고요.
만약에 의 그래프를 그려보면 어떻게 될까요? 분자의 k의 절댓값이 커질수록 그래프는 원점에서 멀어져요.
분수함수 그래프의 특징
정의역과 치역은 0을 제외한 실수 전체 집합
k > 0이면 제 1, 3 사분면, k < 0이면 제 2, 4 사분면
원점에 대하여 대칭
x축, y축을 점근선으로 하는 직각쌍곡선
|k|가 커질수록 원점에서 멀어진다.
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중학교때 배운기억이 잇네요 깔끔하게 복습하고 갑니다~~
중1에서 함수를 처음 공부할 때 반비례에서 분수함수가 나오죠.
y=k/x (k는 0이 아님)이라고 써있는데 k가 0이 아님이아니라 x가 0이 아님이 맞는 거 아닌가요?
k = 0이면 y = 0이어서 분수함수가 아니니까요.
K가 0이면 왜 안되나요?
k = 0이면 y = 0으로 분모가 다항식인 분수꼴이 아니잖아요.
비밀댓글입니다
인수분해해서 약분한 후에 판단해야해요.
히늉씨가 말씀하신것이 맞는것 같습니다
y=0도 함수 아닌가요?
그리고 x가 0이면 무한대 꼴로 나오기 때문에 x는 0이 아니다가 맞는것 아닌가요?
함수는 맞는데, 분수함수는 아니라는 뜻이죠.
중간에 유리함수는 다항식/다항식 꼴로 나타나는 함수라는 설명이 잘못된 것 거 아닌가요? 예로 x+1/x+2 = y 는 분자, 분모 전부 다항식인데 분수함수이지 다항함수는 아닌거 같은데요.
분수함수와 다항함수를 합쳐서 유리함수라고 해요.
만약에 k가 0이면 상수함수인가요?
k = 0이면 y = 0이므로 상수함수죠.
유리함수의 역함수는 무조건 Y=x 축이 아닌가요???
그러면 그때는 y와x의 자리를 바꿔서 역함수를 구하나요?
원점에 대하여 대칭이라는 게 무슨 말인지 이해가 잘 안가요ㅠㅅㅠ
『분수함수 y=k/x의 그래프』에서 k≠0이니까, 분모가 아닌 분자가 0이 아니라고 말하는 게 맞지 않을까요?
분수가 되려면 분모가 0이 아니여야 하잖아요. 그 말이에요.
k가 0이면 y = 0이 되어서 역시 분수함수 아니죠.
둘 다 0이 아니여야 해요.