이제는 함수의 정의에 이어 함수의 종류에 대해서 공부할 거예요. 함수의 종류에는 여러 가지가 있는데, 그중에서 일대일함수, 일대일 대응, 항등함수, 상수함수에 대해서만 알아보죠. 특히, 일대일함수와 일대일 대응은 헷갈리기 쉬우니까 그 차이를 분명히 알아두세요.
또, 항등함수와 상수함수는 그 의미만 간단히 이해하고 있으면 되는 비교적 쉬운 함수입니다.
일대일함수와 일대일 대응
함수는 집합 X의 원소 x 한 개에 집합 Y의 원소 y 한 개가 대응하는 관계를 말해요. 거꾸로 y 한 개가 x 여러 개에 대응해도 함수는 함수에요. 아래 그림처럼 연결돼도 함수라고 할 수 있는 거죠.
X의 유재석에 Y의 무한도전이 대응하고 X의 하하에 Y의 무한도전이 대응해요. X의 박명수에 Y의 무한도전이 대응하고요. 거꾸로 보면 Y의 무한도전은 X의 유재석과 하하, 박명수 세 개에 대응하죠.
위 그림과 달리 함수 중에서 y 한 개가 여러 개의 x에 대응하지 않는 경우를 일대일함수라고 해요. x 한 개에 y 한 개가 대응하고, y 한 개가 x 한 개에 대응하는 관계요. 아래 함수에서 Y의 원소들은 X의 원소 한 개와만 대응해요.
이걸 식으로 표현하면 x1 ∈ X, x2 ∈ X이고, x1 ≠ x2일 때, f(x1) ≠ f(x2)라고 표현할 수 있어요. x가 다르면 그에 대응하는 y도 다르다는 얘기예요.
일대일함수 중에서 공역과 치역이 같은 함수를 일대일 대응이라고 해요. 일대일 대응은 일대일함수의 조건을 만족한 상태에서 추가로 공역과 치역이 같아야 하니까 일대일 대응은 일대일함수의 부분집합이라고 생각하면 쉬워요.
일대일함수:집합 X의 임의의 원소 x1, x2에 대하여 x1 ≠ x2일 때, f(x1) ≠ f(x2)인 함수
일대일 대응: 일대일함수 + (공역 = 치역)
다음 그림을 보고, 일대일함수와 일대일 대응을 구분하여라.
집합 X의 원소 x1에 대하여 f(x1) ∈ Y이면 함수에요.
여기에서 x1 ≠ x2일 때, f(x1) ≠ f(x2)이면 일대일함수고요.
또 공역 = 치역이면 일대일 대응이에요.
조건을 만족하는 개수에 따라 함수 → 일대일함수 → 일대일 대응의 순서가 되는 거죠.
왼쪽 그림은 집합 X의 원소 다섯 개에 Y의 원소 한 개가 대응하니까 함수에요. f(1) = f(2)니까 그냥 함수에요.
가운데 그림은 집합 X의 원소에 대응하는 집합 Y의 원소가 다 달라요. 그런데 공역은 {a, b, c, d, e}이고 치역은 {a, b, c, d}로 공역 ≠ 치역이라서 일대일함수네요.
오른쪽 그림은 집합 X의 원소에 대응하는 집합 Y의 원소가 다 다르므로 일대일함수인데, 여기에 치역 = 공역이니까 일대일 대응이네요.
항등함수와 상수함수
항등식 알죠? 항등식은 항상 성립하는 등식이에요. 여기서 항등은 항상 같다는 뜻이죠. 항등함수에서 항등도 같은 뜻이에요. 집합 X의 원소와 이에 대응하는 집합 Y의 원소가 항상 같다는 얘기죠.
집합 X의 임의의 원소 x에 대하여 f(x) = x인 함수를 말해요.
집합 X의 원소 1에는 집합 Y의 원소 1이 대응해요. 2에는 2가 대응하고요. 항상 자기 자신과 같은 값이 대응하죠?
위 그림에서 X의 1, 2, 3, 4, 5가 모두 Y의 c에만 대응해요. 이처럼 X의 모든 원소가 Y의 한 원소와만 대응하는 경우를 상수함수라고 해요.
항등함수: 집합 X의 임의의 원소 x에 대하여 f(x) = x인 함수
상수함수: 집합 X의 임의의 원소 x에 대하여 f(x) = c인 함수
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함수, 함수의 정의, 대응
정의역, 공역, 치역, 함숫값, 서로 같은 함수
함수의 그래프
일대일 대응이 일대일 함수에 공역=치역이라는 조건까지가져야하니깐 더큰집합으로 일대일 함수가 일대일 대응의 부분집합이된다 이렇게 말해야하는거 아닌가요?
그리고 임의의 원소x라는건 변수x랑 같은말로 통해도 되는거죠?
만족해야하는 조건이 더 많으면 범위가 더 좁아지거나 같아야죠. 고등학교 학생이라는 하나의 조건을 만족하는 집합과 고등학교 학생이면서 17살인 학생이라는 두 조건을 만족하는 집합 중 어느 집합이 더 큰지 생각해 보세요.
1대1함수와 1대1대응 문제에서 2번 하고 3번을 보면은, 1대1대응이 1대1함수의 부분 집합이라고 하셨는데, 그러면 3번을 1대1함수라고도 할수있나요? 1대1함수가 공역과 치역이 꼭 같지않아야만하나요?
일대일 함수는 치역 = 공역일 수도 있고 아닐 수도 있어요. 따라서 3번을 일대일 함수라고 할 수도 있지요. 하지만 그건 정확한 표현이라고 할 수는 없어요. 해당 함수를 가장 잘 표현할 수 있는 표현법으로 나타내는 게 좋겠죠.
a,b가 집합X 의 임의의 원소일때, 다음 중 함수 f:X->Y 가 일대일 대응이기 위한 필요 충분조건은? (단, f(X)={f(x)|x€X})
답이 f(a) 와 f(b)가 같지 않을때 a와b는 같지 않고 Y=f(X) 이다. 왜 답이 아니죠?
일단 Y = f(X)니까 공역 = 치역이네요.
f(a) ≠ f(b) 일 때, a ≠ b니까 일대일함수처럼 보이긴 한데 그게 아니에요. f(a) = f(b) 일 때에 대해서는 설명이 없어요. f(a) = f(b)일 때, a ≠ b일 수도 있다는 얘기지요.
본문 제일 위의 첫번째 그림을 보면, a = 유재석, b = 김준현이라고 하면 f(a) = 무한도전, f(b) = 개그콘서트라고 할 수 있죠? f(a) ≠ f(b)일 때, a ≠ b를 만족하죠?
그런데, a = 유재석, b = 정형돈이라고하면, f(a) = f(b) = 무한도전이에요.
f(a) = f(b)일 때, a ≠ b로 일대일함수가 아니죠.
이게 거꾸로 있을 때 그러니까 a ≠ b일 때, f(a) ≠ f(b)이어야 일대일함수예요.
일대일 대응 그래프와 일대일 함수 그래프가 있는데 이 그래프모양을 보고 어떤것이 일대일 대응이고 어떤게 일대일 함수인지 어떻게 알죠? (그래프를 보고 치역과 공역이 같음을 구별하는 방법)
항상 친절하게 답해주셔서 너무 감사해요 ^^
전체 집합 Y가 공역이고 공역 중에서 X와 대응한 원소의 집합이 치역이죠.
제일 위의 그래프에서 공역은 전체집합이니까 {무도, 1박 2일, 스타킹, 개콘, 라스}고, 치역은 대응한 원소들만의 집합으로 {무도, 개콘}이죠.
아니요 공역과 치역을 규분을 못하는게 아니고 예를들어 일대일함수 f와 그냥 함수g가 있으면 x축에 평행한 직선을 그어서 한점에서 만나는지 확인하면 되잖아요? 그런대 일대일함수 와 일대일대응 의 그래프를 좌표평면에 나타내고 이 그래프를 f, g 라고 둘때 어떤그래프의 개형이 일대일 대응이고 일대일 함수인지 구분할수 있냐 ..그러니까 그래프의 모양을 가지고 일대일 대응인 일대일 함수인지 어떻게 구분을 하나요?
그래프에는 치역만 나오니까 단순히 그래프의 모양만 가지고 판단할 수는 없죠.
하지만 대게의 경우 정의역과 공역은 실수 전체의 집합이고, 일부 문제에서 공역의 조건을 알려줄 때도 있으니까 그래프의 치역과 비교할 수는 있어요.
그러면 꼭짓점이 2사분면에 있고 꼭짓점의 y좌표가 1보더 작고 0보다 큰 이차함수를 꼭짓점을 기준으로 왼쪽을 지운 함수가 일대일대응이 아니라는데 이유가 뭔가요??
만약 공역의 범위가 주어지지 않을때 그래프에서 좌표평면의 y축이 공역이고 함수가 그리는 그래프의 y좌표의 모임이 치역인가요? 그렇다면 그래프의 개형을 보고 일대일함수인지 일대일 대응인지 확인할수 있는것 아닌가요?
"공역의 범위가 주어지지 않았을 때, 좌표 평면의 y축이 공역이고"라는 말에서 이미 모순이 생기죠. 좌표 평면의 y축이 공역이라면 실수 전체가 공역이라는 얘기네요.
아! 그러면 공역이 실수 전체의 집합인데 그래프가 제 3사분면, 4사분면을 지나지 않으면 치역과 공역이 다른 함수가 되는 건가요? 치역의 y값이 0>= 인데 공역은 실수 전체의 집합이니까요,,? 맞나요 ^^;;
네. 그렇죠
역쒸~ 쉽게 설명 하시느라 고생 하신한적이 보입니다 고맙습니다
인기 프로그램을 예로 드니까 이해하기 더 쉽죠? ㅋ
항등함수와 상수함수에 대해서 질문드리고 싶은 게 있어요.
항등함수는 무조건 y=x , 상수함수는 무조건 y=c 이렇게 말할 수 있나요?
그 어떤 특수한 경우가 있어도 다 이 안에 포함이 되는 건가요?
(물론 x,y범위는 그 특수한 케이스에 따라 범위 조건을 추가한다고 보구요!)
네. 그래야만 항등함수, 상수함수라고 할 수 있죠.
에니그마의 암호화도 일대일 대응의 예인 건가요??
에니그마가 뭔지 몰라요.ㅠㅠ
감사합니다!
댓글 고맙습니다.
f(x)가 일대일 함수일 때(전제조건)
명제 : x1≠x2 -> f(x1)≠f(x2) 가 참
이때 명제의 역, 대우, 이는 각각 아래와 같습니다.
역 : f(x1)≠f(x2)-> x1≠x2
대우 : f(x1)=f(x2) -> x1=x2
이 : x1=x2 -> f(x1)=f(x2)
명제가 참이므로 대우도 참임은 자명합니다.
'이'는 함수 관점에서는 아무런 수학적 의미 없는 명제인 것 같구요
제가 궁금한 것은 '역'이 거짓임을 보일 방법은 "일대일 함수일 때, 함숫값이 달라도 x값이 같은 경우"
즉
f(x1)≠f(x2) -> x1=x2 임을 보이는 방법 뿐이지 않나요?
그런데 함수가 성립할 조건 자체가 하나의 정의역(x1=x2)에 대해 서로 다른 함숫값을 가질 수 없으므로 반례를 보이는 경우는 존재하지 않기 때문에
'역'도 항상 참이 되지 않나요?
지수함수와 로그함수는 서로 역함수 관계잖아요?( y=a^x, y=loga(x) )
역함수가 존재할 조건은 함수가 일대일 대응이어야 하는데
일대일 대응 = 일대일 함수일 조건 and (공역 = 치역) 에서
지수함수가 공역 = 치역 이어야 하는 건데
대부분의 경우 지수함수의 공역은 언급조차 없습니다. 다른 함수들도 공역보단 치역을 언급하죠
그러면 어떤 함수든 이처럼 공역을 언급하지 않는 경우는 일반적으로 공역 = 치역으로 생각하면 되나요?
f(x)가 일대일 함수 일 때, (전제조건)
명제1 : x1≠x2 이면 f(x1)≠f(x2)이다 (참)
역1 : f(x1)≠f(x2) 이면 x1≠x2 이다
대우1 : f(x1)=f(x2) 이면 x1=x2이다 (참)
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(아무런 전제조건 없음)
명제2 : f(x)가 일대일 함수이면 명제1이 참이다. (참)
역2 : 명제1이 참이면, f(x)는 일대일 함수이다 : 정의!!
대우2 : 명제1이 거짓이면, f(x)는 일대일 함수가 아니다. (참)
(참)
역1의 참/거짓을 바로 명확하게 알 수 없는 것처럼, 제 생각엔 역2도 참/거짓의 여부를 명확히 알 수 없는데요
제 생각이 맞는 건가요?
역2의 참/거짓 여부도 알 수 있을까요?
비밀댓글입니다
안녕하세요. 항등함수(y=x)는 일차함수고 상수함수(y=숫자)는 그냥 함수인가요?
항등함수라고 해서 반드시 y = x인 것만은 아니에요. 다른 형태, 다른 차수의 함수가 나올 수 있어요.
비밀댓글입니다
그러면 이차함수도 일대일대응에 포함되는건가요?
y = x^2을 예를 들면,
f(-1) = f(1) = 1이니까 일대일함수도 아니고 일대일 대응도 아니에요.
츨처 표기하고 사진자료 일부 사용가능할까요?
사진이 이해가 쉬울 것 같아서 수업자료에 사용하고 싶어서요ㅠ