원의 방정식 표준형에 이어서 원의 방정식 일반형에 대해서 알아볼 거예요. 식의 일반형은 좌변에 모든 항이 있고, 우변 = 0인 꼴을 말해요.
이차함수 식 구할 때 이차함수의 일반형을 이용했어요. 바로 세 점의 좌표를 알려줬을 때죠. 원의 방정식도 비슷합니다. 세 점을 지나는 원의 방정식을 구할 때 일반형을 이용해요.
표준형을 일반형으로 바꾸는 건 간단히 전개만 하면 되지만, 일반형을 표준형으로 바꾸는 건 조금 달라요. 하지만 이미 많이 해봤던 거라서 금방 할 수 있어요.
세 점을 지나는 원의 방정식
원의 방정식의 표준형은 (x - a)2 + (y - b)2 = r2이에요. 전개해보죠.
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = r2
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
여기서 -2a = A, -2b = B, a2 + b2 - r2 = C라는 문자로 치환하면
x2 + y2 + Ax + By + c = 0
원의 방정식 일반형
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
원의 방정식 표준형은 원의 중심과 반지름을 바로 확인할 수 있는 장점이 있어요. 일반형은 그렇지 못하죠? 그런데도 일반형을 쓰는 이유는 세 점의 좌표를 알고 있을 때 조금 더 쉽게 원의 방정식을 구할 수 있기 때문이에요.
세 점 (-2, 2), (4, -6), (5, -5)을 지나는 원의 방정식을 구하여라.
x2 + y2 + Ax + By + C = 0에 세 점의 좌표를 대입해보죠.
(-2)2 + 22 - 2A + 2B + C = 0
2A - 2B - C = 8 ……… ①
42 + (-6)2 + 4A - 6B + C = 0
4A - 6B + C = -52 ……… ②
52 + (-5)2 + 5A - 5B + C = 0
5A - 5B + C = -50 ……… ③
A, B, C에 관한 연립방정식이 만들어졌어요. 미지수가 3개인 연립일차방정식 풀어봤었죠?
① + ② = 6A - 8B = -44
3A - 4B = -22 ……… ④
① + ③ = 7A - 7B = -42
A - B = -6 ……… ⑤
④, ⑤를 연립해서 풀면 A = -2, B = 4
①에 A = -2, B = 4를 대입하면 C = -20
답은 x2 + y2 - 2x + 4y - 20 = 0
원의 방정식 일반형을 표준형으로
원의 방정식 일반형을 다시 표준형으로 바꿔보죠. 이차함수 일반형을 표준형으로 바꾸는 방법과 똑같아요.
원의 중심의 좌표는 
표준형에서 우변은 반지름의 제곱이므로 0보다 커야 해요. 값을 다 비교할 필요는 없고 반지름의 분자에 있는 제곱근 안의 값만 0보다 크면 되죠.
A2 + B2 - 4C > 0
이차방정식의 판별식처럼 주어진 식이 원의 방정식 원인지 아닌지를 판단할 때 사용해요. 자주 사용하는 건 아니니까 꼭 알아야 하는 건 아니지만 알아두면 편리하긴 하죠.
x2 + y2 - 6x + 8y + k = 0이 원의 방정식일 때, 상수 k의 범위를 구하여라.
A2 + B2 - 4C > 0
(-6)2 + 82 - 4k > 0
36 + 64 - 4k > 0
4k < 100
k < 25
일반형을 표준형으로 바꿔서 계산해볼까요?
x2 + y2 - 6x + 8y + k = 0
x2 - 6x + y2 + 8y + k = 0
x2 - 6x + 9 - 9 + y2 + 8y + 16 - 16 + k = 0
(x - 3)2 + (y + 4)2 + k - 25 = 0
(x - 3)2 + (y + 4)2 = 25 - k
우변 25 - k는 반지름의 제곱이므로 25 - k > 0. 따라서 k < 25
어떤 방법으로 해도 답은 똑같아요. 편한 방법을 선택하세요.
함께 보면 좋은 글
원의 방정식, 원의 방정식 표준형
[중학수학/중3 수학] y = ax2 + bx + c의 그래프, 이차함수 일반형