아폴로니오스의 원은 고대 수학자 아폴로니오스가 발견해서 그의 이름을 따서 불러요. 발견한 사람의 이름을 붙이는 건 히포크라테스의 초승달도 있었고 에라토스테네스의 체도 있었죠?

아폴로니오스의 원은 그렇게 중요한 내용은 아니니까 그냥 참고용으로 쉬워가는 길에 잠깐 읽는 정도라고 생각하세요. 이런 유형의 문제를 어떻게 푸는지만 알고 있으면 돼요.

증명과정의 계산이 조금 복잡하긴 하지만 어렵지는 않으니까 직접 증명을 해보는 것도 괜찮을 듯싶네요. 꼭 해보라는 건 아니고 그냥 해보는 것도 괜찮다는 거예요.

아폴로니오스의 원

두 점 A, B에 대하여  :  = m : n (m ≠ n)을 만족하는 점 P을 다 모으면 원이 되는데, 이를 아폴로니오스의 원이라고 합니다.

P(x, y), A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)이라고 하고 두 점 사이의 거리를 이용하여 거리를 구해서 비례식을 세우고 정리해보죠.

중간과정은 복잡하니까 그냥 넘어가고 마지막 줄을 보면 x² + y² + Ax + By + C = 0꼴로 이건 원의 방정식 일반형이에요. 두 점에서 m : n의 거리에 있는 점들을 모두 모으면 원이 된다는 것을 알 수 있어요.

조금 더 쉽게 증명해보려면 점 A, B를 그대로 평행이동시켜서 A(0, 0), B(a, 0)으로 놓고 해보세요.

아폴로니오스의 원에서 선분 AB의 중간에 있는 점 P는 내분점이 되고, 선분 AB의 연장선에 있는 점은 외분점이에요.

원의 방정식이니까 원의 중심과 반지름을 구해야겠죠? 원을 잘 보면 내분점 P와 외분점 Q를 지름의 끝점으로 하는 원이에요. 원의 방정식에서 두 점을 지름의 끝점으로 하는 원의 중심은 양 끝점의 중점이라고 했지요? 아폴로니오스 원에서는 내분점 P와 외분점 Q의 중점이 원의 중심이고, 반지름은 선분 PQ 길이의 절반이에요.

두 점 A(-2, 5), B(4, 5)에 대하여  :  = 2 : 1를 만족하는 점 P가 나타내는 도형의 방정식을 구하여라.

P(x, y)라고 해보죠. 두 점 사이의 거리를 이용하여 비례식을 세워보죠.

답은 x² + y² - 12x - 10y + 45 = 0 네요.

표준형으로 고쳐볼까요?

x² + y² - 12x - 10y + 45 = 0
x² - 12x + y² - 10y + 45 = 0
x² - 12x + 36 - 36 + y² - 10y + 25 - 25 + 45 = 0
(x - 6)² + (y - 5)² - 16 = 0
(x - 6)² + (y - 5)² = 16

원의 중심이 (6, 5)고 반지름은 4인 원의 방정식이었군요.

m = n일 때

아폴로니오스의 원이 만들어지려면 나누는 비율인 m, n이 서로 같지 않아야 해요. (m ≠ n)

만약에 m = n이라면 원이 아니라 직선이 생겨요.

이 직선은 선분 AB를 수직이등분하는 선이 됩니다.

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