아폴로니오스의 원은 고대 수학자 아폴로니오스가 발견해서 그의 이름을 따서 불러요. 발견한 사람의 이름을 붙이는 건 히포크라테스의 초승달도 있었고 에라토스테네스의 체도 있었죠?
아폴로니오스의 원은 그렇게 중요한 내용은 아니니까 그냥 참고용으로 쉬워가는 길에 잠깐 읽는 정도라고 생각하세요. 이런 유형의 문제를 어떻게 푸는지만 알고 있으면 돼요.
증명과정의 계산이 조금 복잡하긴 하지만 어렵지는 않으니까 직접 증명을 해보는 것도 괜찮을 듯싶네요. 꼭 해보라는 건 아니고 그냥 해보는 것도 괜찮다는 거예요.
아폴로니오스의 원
두 점 A, B에 대하여 
P(x, y), A(x1, y1), B(x2, y2)이라고 하고 두 점 사이의 거리를 이용하여 거리를 구해서 비례식을 세우고 정리해보죠.
중간과정은 복잡하니까 그냥 넘어가고 마지막 줄을 보면 x2 + y2 + Ax + By + C = 0꼴로 이건 원의 방정식 일반형이에요. 두 점에서 m : n의 거리에 있는 점들을 모두 모으면 원이 된다는 것을 알 수 있어요.
조금 더 쉽게 증명해보려면 점 A, B를 그대로 평행이동시켜서 A(0, 0), B(a, 0)으로 놓고 해보세요.
아폴로니오스의 원에서 선분 AB의 중간에 있는 점 P는 내분점이 되고, 선분 AB의 연장선에 있는 점은 외분점이에요.
원의 방정식이니까 원의 중심과 반지름을 구해야겠죠? 원을 잘 보면 내분점 P와 외분점 Q를 지름의 끝점으로 하는 원이에요. 원의 방정식에서 두 점을 지름의 끝점으로 하는 원의 중심은 양 끝점의 중점이라고 했지요? 아폴로니오스 원에서는 내분점 P와 외분점 Q의 중점이 원의 중심이고, 반지름은 선분 PQ 길이의 절반이에요.
두 점 A(-2, 5), B(4, 5)에 대하여
P(x, y)라고 해보죠. 두 점 사이의 거리를 이용하여 비례식을 세워보죠.
답은 x2 + y2 - 12x - 10y + 45 = 0 네요.
표준형으로 고쳐볼까요?
x2 + y2 - 12x - 10y + 45 = 0
x2 - 12x + y2 - 10y + 45 = 0
x2 - 12x + 36 - 36 + y2 - 10y + 25 - 25 + 45 = 0
(x - 6)2 + (y - 5)2 - 16 = 0
(x - 6)2 + (y - 5)2 = 16
원의 중심이 (6, 5)고 반지름은 4인 원의 방정식이었군요.
m = n일 때
아폴로니오스의 원이 만들어지려면 나누는 비율인 m, n이 서로 같지 않아야 해요. (m ≠ n)
만약에 m = n이라면 원이 아니라 직선이 생겨요.
이 직선은 선분 AB를 수직이등분하는 선이 됩니다.
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좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점 공식
내분점과 외분점 사이의 관계
음 어렵네여
m:n의 내분점과 외분점을 모으면 원이 된다 정도로만 기억하세요. 실제 문제에서는 좌표를 조금 더 쉬운 걸로 주니까 계산이 더 간단할 거예요.
아폴로인지 뭔지 이거 이름은 몰라도 된다고 하던데용ㅋ 그냥 자취방정식의 일종이고 자취에 해당하는 점P를 x,y 로 설정하고 길이의 비율로 비례식 세우면 끝---
내분점 이런거 이용하는거 보다 단순비례식이 이해하기 편해용
이름은 당연히 몰라도 되죠. 솔직히 말해 피타고라스의 정리나 근의 공식도 그 공식 자체만 알고 있으면 되지 이름까지 알 필요는 없는 것과 마찬가지죠.
단순히 비례식을 이용해서 원의 방정식을 구하는 것에 그치지 않고, 그 속에 있는 내분점, 외분점의 의미까지 파악해야 진짜로 아는 거예요.
수학방덕분에 수학공부하기가 조금이나마 수월해진거같아요
근데 왜 고2부턴안나오나요?....ㅠㅠㅠㅠ
고2수학 목차(http://mathbang.net/556) 참고하세요.
미적분 들어가시면 도형에서 나옵니다
쉽게 증명해주신 것에 대해 질문이 있는데요 이미 원이 그려져 있고 내분점과 외분점이 지름의 각 끝에 위치하게 해놓으니까 원이 되는 것 아닌가요? 어떻게 아폴로니오스는 선분 AB를 m:n으로 내분하는 점과 외분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 발견할 수 있던 건가요??
그 질문에 대한 답이 이 글의 핵심 내용이에요.
먼저 원이 있었던 게 아니라 m : n인 점을 모두 모으니까 원이 된 거고, m : n인 점 중에 한 점이 내분점, 한 점이 외분점인 거죠.
m=n 이라면 왜 원이 될 수 없는 것인지 궁금해요. ㅠ~ㅠ!
그림을 보세요.
m = n이면 두 점 A, B에서 같은 거리에 있는 점이에요. 이 점을 모으면 직선이 되죠.
진짜 설명 하나는 기가막히게 하시네요
수학방 교재도 개념서론 진짜 완벽하다고 생각되는데
외우기 식이 아니라 이해가 되니까 진짜 좋습니다
좋게 봐주셔서 고맙습니다.
이해가 안되면 외워도 아무 소용이 없잖아요.
'm:n으로 외분하는점과 내분하는 점이 원의 양 끝 지름의 좌표이다.'에 대한 증명은 없나요?
그걸 증명하는 내용은 없습니다. 그림을 보시면 이해가 될 텐데요.
그렇긴 하지만 그래도 저는 증명이 알고파서 질문드려봤었습니다ㅎ
A(0, 0), B(a, 0)으로 놓고 원의 방정식을 구해서 원의 중심이 직선 AB의 방정식 위를 지나는지 해보세요. 내분점과 외분점은 원래 직선 AB(또는 연장선)에서 생기는 거고, 거기에 원의 중심도 AB 직선의 방정식 위에 있으면 세점(내분점, 외분점, 원의 중심)이 한 적선 위에 있는 거잖아요. 원의 중심을 지나는 직선(지름)이 원과 만나는 점이 내분점과 외분점이니까 이 두 점이 지름의 양끝점이 된다는 걸 확인할 수 있어요.
숫자는 마음 내키는 거 아무거나 대입해도 상관없으니까 직접 증명해보는게 도움이 많이 될 거예요.
바로 전에 원의 방정식의 일반형을 표준형으로 바꾸는 법에 대해서 공부했는데요.
x² + y² + Ax + By + C = 0 에서 이 식이 원의 방정식이 되기 위해서는 A² + B² - 4C > 0 이 되어야 한다고 배웠습니다.
따라서 아폴로니우스의 원을 증명하는 부분에서 A는 실수이므로 A²은 양수 B도 실수이므로 B²도 양수인 것을 알았는데요. 그러면 마지막으로 C 부분인 -(m²x₂² + m²y₂² - n²x₁² - n²y₁²)가 음수여야 A² + B² - 4C > 0 이 되서 원의 방정식이 되는 것인데 -(m²x₂² + m²y₂² - n²x₁² - n²y₁²)가 음수임을 어떻게 알 수 있죠?
생각해보니 -(m²x₂² + m²y₂² - n²x₁² - n²y₁²)가 꼭 음수여야 하는 것은 아니네요.
하지만 아폴로니우스의 원 증명 부분에서 A² + B² - 4C > 0 임을 어떻게 증명할 수 있죠?
A^2 + B^2 - 4C에 직접 넣어서 해보면 증명할 수 있는데, 식이 너무 복잡해요. 대입해서 전개, 동류항 정리, 인수분해까지 해야 해요. ㅠㅠ
인수분해까지 하고 나면 마지막에 나오는 식은 완전제곱식과 제곱인 항들로 이루어져서 항상 0보다 크거나 같은데 조건상 0은 될 수 없으니까 항상 0보다 커요. 이건 나중에 절대부등식(http://mathbang.net/405)이라는 걸 공부할 건데, 여기를 공부하고 나면 조금 더 쉽게 이해할 수 있을 거예요.
이거 돈 주고 봐야하는거 아닌가요?
설명 진짜...친절하시네요ㅠㅠㅠㅠㅜ
개념서에도 별로 중요치 않은 개념은 증명이 안나와서 이해 안될 때 막막한데.. 매번 수학방이 해결해주네요!! 감사합니다♡
당연히 돈 내셔야죠.
제 계좌로 돈 보내주세요. 근데 계좌는 개인정보라 알려드릴 수가 없을 것 같군요. ㅋ
m=n 이면 두 점 사이의 중점을 지나고 두 점을 지나는 직선에 수직인 직선이 나오나요?
네, 맞아요. 제일 마지막에 있는 그림처럼 돼요.
아폴로니오스의 원에서 b가 원의 중심일수 있나요? 만약 안되면 이유를 알려주실수 있을까요?
본문 가운데 있는 그림을 보세요.
점 B가 원의 중심 C와 같아야 하잖아요.
그 말은 BP = BQ = r이고요.
m : n = PA : PB = QA : QB여야 하는데, PB = QB 이므로 PA = QA라는 결론이 나오죠.
PA = QA가 되려면 PQ = 0이어야 하고그럼 원이 만들어지지 않아요.