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숫자에 근호가 있으면 무리수, 식에 근호가 있으면 무리식이에요. 무리수와 무리식에는 숫자나 식에 하나의 근호만 씌워져 있었죠? 이번에는 근호가 두 개 씌워져 있는 식을 공부할 거예요. 근호가 하나만 씌워져 있어도 복잡한데, 두 개가 있으면 얼마나 더 복잡할까요?

근호가 두 개 씌워져 있는 걸 이중근호라고 하는데, 이중근호는 곧바로 계산할 수 없으니 두 개 중 하나를 풀어서 없애야 해요. 이 글에서는 이중근호 중 하나를 풀어내는 것도 공부할 거예요.

이중근호를 포함하고 있는 식들을 어떻게 계산하는지도 알아보죠.

이중근호

는 무리수예요. 는 무리식이고요. 는 뭘까요? 가 근호 안에 들어있어요. 이처럼 근호 안에 근호가 들어있는 식을 이중근호라고 해요.

이중근호의 형태를 잘 보면, 의 꼴이에요. 이때는 두 가지를 이용해서 이중근호를 풉니다.

첫 번째는 인수분해의 완전제곱식인데, a² + 2ab + b² = (a + b)²이에요. 여기서 a, b가 로 바뀌었다고 생각해보세요. 이 되겠죠?

또 a + b ≥ 0일 때, 예요. 여기서도 a, b가 로 바뀌었다고 생각하세요.

이 두 가지를 합치면 아래처럼 됩니다.

곱 앞에 2가 없을 때

이중근호 중에서 의 꼴이 아닌 게 있어요. 곱에 해당하는 근호 앞에 2가 없을 때죠. 이때는 공식을 사용할 수 있도록 2가 오게 해야 해요. 방법은 두 가지예요. 근호 안에 있는 곱에서 2를 꺼내는 게 첫 번째예요.

근호 안의 12 = 2² × 3이니까 2를 꺼낼 수 있어서 꺼냈어요. 의 꼴이 되어서 이중근호를 풀 수 있게 되었어요. 곱해서 3, 더해서 4가 되는 수는 1과 3이에요.

2를 꺼낼 수 없으면 분자, 분모에 2를 곱해줘서 근호 앞에 2가 생기도록 하는 거예요. 이때는 분모가 니까 계산 마지막에 분모의 유리화까지 해야 해요.

근호 안의 숫자가 3이라서 2를 꺼낼 수가 없어서 분자, 분모에 2를 곱했어요. 그랬더니 분자가  의 꼴이 되어서 이중근호를 풀었습니다. 대신 분모에 가 있어서 유리화까지 해줬고요.

이중근호 풀기 2
근호 안에서 2를 빼내어 이중근호 풀기
분자, 분모에 2를 곱해서 이중근호 풀기 → 분모의 유리화

다음을 간단히 하여라.

(1)번은 곱 앞에 2가 있으니까 공식을 바로 적용해서 쓸 수 있어요.

(2)번은 곱 앞에 2가 없는데, 근호 안에서 2를 꺼낼 수 있어요. 꺼내서 계산하죠.

(3)번은 곱 앞에 2가 없는데, 근호 안에서 2를 꺼낼 수도 없으니 분자, 분모에 2를 곱해야겠네요. 마지막에는 분모의 유리화도 해야 하고요.

이중근호가 있는 무리식의 계산

이중근호가 있는 식들의 사칙연산은 일단 이중근호를 풀고 계산해요. 이중근호를 풀어도 근호는 남아있죠? 이후에는 제곱근의 덧셈과 뺄셈, 제곱근의 곱셈과 나눗셈에 따라 근호 안의 숫자가 같은 것끼리 더하고 빼고, 근호 안의 숫자끼리 곱하고 나눠요.

이중근호가 있는 식을 조건식으로 주고 다른 식의 값을 구하는 문제도 자주 나오는데, 풀이법이 약간 달라요.

1. 이중근호를 푼다
2. 상수항을 이항하여 제곱근만 남긴다
3. 양변을 제곱하여 제곱근을 없앤다

x = 일 때, 2x² + 4x + 5의 값을 구하여라.

일단 이중근호가 있으니까 이중근호를 풀어야겠네요.

x =
x =  - 1

이중근호를 풀고 x를 구했는데, 이걸 식에 바로 대입하면 가 되는데, 이걸 직접 계산하기에는 너무 복잡하니까 계산하지 말고 x를 변형시켜보죠. 유리수인 상수항을 이항해서 우변에 무리수만 남긴 후 양변을 제곱해요.

x + 1 =
(x + 1)² = ()²
x² + 2x + 1 = 2

x² + 2x + 1 = 2를 이용해서 좌변을 2x² + 4x + 5로 변형해보죠.

x² + 2x + 1 = 2
2x² + 4x + 2 = 4    (∵ 양변 × 2)
2x² + 4x + 5 = 7    (∵ 양변 + 3)

x =  - 1까지 구하고 식에 대입하기보다 쉽죠? 차수가 높다든가 항의 개수가 많으면 대입하는 것보다 식을 변형시키는 게 더 쉬운 방법이라는 걸 기억하세요.

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유리수 다음에 뭐 공부했죠? 무리수 공부했죠? 그럼 유리식 다음에는 뭘까요? 바로 무리식을 공부할 거예요.

무리식은 무리수와 비슷해요. 생긴 것도 비슷하고, 계산 방법도 비슷하죠. 무리수에서 분모에 무리수가 있을 때, 분모의 유리화를 했었죠? 여기에서도 분모에 무리식이 있으면 유리화를 합니다.

무리식의 덧셈과 뺄셈은 유리화를 한 후에 통분해서 계산을 해요. 곱셈과 나눗셈은 곱셈공식을 이용해서 계산하면 됩니다. 약분도 이제까지 해왔던 방법대로 할 수 있어요.

무리식

무리수는 유리수의 반대예요. 그러니까 무리식도 유리식의 반대예요. 무리식은 근호 안에 문자가 있는데, 근호를 없앨 수 없는 식을 말합니다. 근호를 없앨 수 있으면 유리식이 되는 거죠.

예를 들어 같은 식은 근호 안에 문자 x가 있는데, 근호를 없앨 수 없죠?

무리식이 실수 값을 가지려면 근호 안의 숫자는 0보다 크거나 같아야 하죠. 근호 안이 음수이면 허수잖아요. 위 보기에서 x ≥ -1이어야 해요. 문제에서 특별한 언급이 없는 한 무리식의 값은 실수입니다.

또 무리식이 분수꼴로 나오는 경우도 있는데, 이때 분모는 0이 아니어야 해요.

무리식: 근호 안에 문자가 있고 근호를 없앨 수 없는 식
가 실수일 때, A ≥ 0
가 실수일 때, ≥ 0이고, B  ≠ 0

무리식에서 분모의 유리화

무리수의 계산을 할 때, 분모가 무리수이면 분모의 유리화를 했었죠? 복소수 계산할 때는 분모의 실수화를 했었고요. 분모에 무리식이 들어있으면 유리화를 해요. 유리화를 해야만 통분을 할 수 있거든요. 분모의 유리화는 무리수에서 했던 방법과 똑같아요.

분모의 가운데 부호를 바꿔서 분자, 분모에 곱하는 거요. 이때 주의해야 할 게 근호 안의 부호를 반대로 바꿔서 곱하는 실수를 자주 하는데, 근호 안의 부호가 아니라 근호 바깥의 부호를 반대로 하는 거예요.

분모에 무리식이 하나일 수도 있고, 두 개일 수도 있는데 그건 상관없어요. 유리화하는 방법은 똑같아요.

다음을 간단히 하여라.

(1)번에서 유리화는 분모의 가운데 부호를 바꾼 걸, 분자, 분모에 곱하는 거예요.

(2) 번은 분모에 무리식이 두 개가 있고, 가운데 부호는 (-)네요.

(3)번은 단순히 유리화가 아니라 뺄셈을 하는 거네요. 유리화를 한 후에 통분하고 계산을 해야 하는데, 유리화를 하면 동시에 통분이 되네요.

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유리식은 종류가 많아요. 부분분수 공식, 번분수, 가비의 리, 비례식 등이 있지요. 그 외도 여러 가지 분수식이 있는데, 여기서 다뤄볼게요.

여러 가지 유리식의 풀이에서는 그 전에 공부했던 곱셈공식, 인수분해 공식 등을 활용해야 합니다. 다 기억하고 있어야겠죠? 문제에 조건식과 답을 구해야 하는 식 두 가지가 나오는데, 조건식을 여러 공식을 이용해서 모양을 바꾸어 문제의 식에 대입해서 답을 구합니다.

모양을 바꾸는 방법은 몇 가지 유형이 있으니까 유형만 잘 알고 있으면 돼요. 문제의 유형과 풀이법을 알아보죠.

유리식의 계산

조건식이 방정식일 때

조건이 방정식일 때는 방정식의 모양을 바꿔서 분수식으로 만드는데 이때 곱셈공식이나 곱셈공식의 변형을 이용해요. 가장 많이 나오는 게 분수꼴 곱셈 공식의 변형이에요.

아래 공식을 잘 기억해두세요. 유도하는 과정은 곱셈공식의 변형에 나와 있어요.

x² + x + 1 = 0일 때 다음을 구하여라.
(1) x³
(2) x³ +

(1) 인수분해 공식 중에 a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b² ), a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)이 있어요.

x² + x + 1 = 0의 양변에 (x - 1)을 곱해보죠.
x² + x + 1 = 0
(x - 1)(x² + x + 1) = 0·(x - 1)
x³ - 1 = 0
x³ = 1

x² - x + 1 = 0이었다면 양변에 x + 1을 곱해서 같은 방법으로 풀면 돼요.

(2) 이죠? 그러니까 x² + x + 1 = 0으로 x + 의 값을 구해야 해요.

x² + x + 1 = 0
x² + 1 = -x
x +  = -1   (∵ 양변 ÷ x)

좌변에 x = 0을 대입하면 식이 성립하지 않으므로 x = 0이 아니에요. 따라서 양변을 x로 나눌 수 있어요. 양변을 x로 나누면 분수꼴이 돼요.

= (-1)³ - 3(-1)
= -1 + 3
= 2

이차방정식이 조건식으로 주어졌을 때, 일차항을 이항하고 양변을 x로 나누는 방법은 자주 사용하는 방법이니까 잘 기억해두세요.

조건식이 두 문자가 있는 등식일 때

이번에도 조건식을 문제에 맞게 변형해야 해요. 조건식이 등식이면 한 문자에 대하여 정리합니다. 정리한 문자를 식에 대입해서 한 문자에 관한 식으로 바꾸면 문자는 약분돼 없어지고 숫자만 남아요.

조건식이 방정식일 때: 곱셈공식, 곱셈공식의 변형을 이용하여 방정식을 변형
조건식이 등식일 때: 한 문자에 관해 정리한 후 문제에 대입

4x = 2y일 때 을 구하여라.

4x = 2y이므로 y에 대하여 정리하면
y = 2x

y= 2x를 문제에 대입

x = 2y = 3z일 때, 을 구하여라.

x = 2y
y = x

x = 3z
z = x

y와 z에 대하여 정리했으니까 이걸 문제에 대입해보죠.

마지막에는 번분수의 성질을 이용해서 약분도 하고, 분수로 바꾼 겁니다.

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비례식은 초등학교 때 공부했지만 중학교에서는 직접 공부한 적은 없어요. 다만, 공식을 유도하거나 증명할 때 사용하기는 했었죠.

비례식은 유리식 중에서 약간 어려운 편에 속해요. 식을 그 자체로 푸는 게 아니라 변형을 해야 하고, 때로는 서술형 문제로 나오는 경우도 있거든요. 서술형 문제를 풀어보고 식 세우는 연습을 많이 하세요.

비례식 문제에서는 가비의 리라는 아주 유명한 공식이 있어요. 가비의 리라는 용어는 좀 이상하지만 알고 보면 별것 아닌 공식이에요. 더하기만 잘하면 되는 거니까 쉽게 외우고 적용할 수 있을 거예요.

비례식 푸는 법

비례식은 거의 사용하지 않는 식이라서 아마도 용어들을 다 잊어버렸을 거예요. 비례식에서 사용하는 용어를 간단하게 정리해볼게요.

비례에서 : 앞에 있는 항을 전항, : 뒤에 있는 항을 후항이라고 해요. A : B에서는 : 앞에 있는 A가 전항, : 뒤에 있는 B가 후항이에요.

비례를 분수식을 바꿀 수 있죠? a : b → 로 바꿀 수 있어요. 전항에 해당하는 게 분자, 후항에 해당하는 게 분모죠. 물론 거꾸로 할 수도 있지만 대게는 이렇게 바꿔요.

A : B = C : D처럼 두 개 이상의 비가 등호(=)로 연결된 걸 비례식이라고 하는데, 안쪽에 있는 두 항을 내항이라고 하고, 바깥쪽에 있는 두 항을 외항이라고 해요. 비례식에선 (내항의 곱) = (외항의 곱)이에요.

위 내용은 비례식의 기본적인 성질이고, 실제 문제에서는 사용하지 않는 거예요. 그렇다고 그냥 넘겨서는 안돼요.

A : B = C : D를 분수로 고치면 로 고칠 수도 있지만 로도 고칠 수 있어요. 앞에 있는 비례가 분자로, 뒤에 있는 비례가 분모로 들어갈 수 있다는 거예요. 위 그림의 AD = BC의 양변을 CD로 나눠보면 돼요.

실제 비례식 문제는 아래의 순서로 풉니다.

1. 비례를 분수로 고치고 값을 k로
2. 문자를 k에 관한 식으로 변경
3. 문제에 k에 관한 식을 대입

x : y : z = 2 : 3 : 4일 때, 의 값을 구하여라. (단, xyz ≠ 0)

비례식을 분수로 바꾸고 k라고 놓지요.

라고 하면
x = 2k, y = 3k, z = 4k
x, y, z를 문제에 대입하면

가비의 리

가비의 리는 용어가 좀 이상하죠?

가비의 리는 전항 : 후항 = (전항의 합) : (후항의 합) 이 성립하는 걸 말해요. 가비의 리라는 말이 비를 더한 것의 원리라는 뜻이거든요.

첫 번째 공식의 좌변과 우변을 분수로 고치면 두 번째 줄의 가비의 리를 구할 수 있어요.

가비의 리가 진짜로 성립하는지 증명해보죠.

라고 하면,
a = bk, c = dk, e = fk
a + c + e = bk + dk + fk = (b + d + f)k
a + c + e를 식에 대입하면

가리의 리에서 또 하나 성립하는 게 있어요. 각 분수의 분자, 분모에 실수를 곱해서 더한 것의 비도 같아요.

같은 방법으로 증명해보죠.

라고 하면,

a = bk, c = dk, e = fk
pa = pbk , qc = qdk, re = rfk
pa + qc + re = pbk + qdk + rfk = (pb + qd + rf)k

가비의 리를 이용하여 문제를 풀 때는 분모에 해당하는 b + d + f가 0인지 아닌지에 따라 두 가지 경우로 나눠서 풀어야 해요. b + d + f ≠ 0이라면 가비의 리를 그대로 적용하면 되고, b + d + f = 0이면 b + d = -f 처럼 이 식을 변형해서 원래 식에 대입하여 값을 구합니다.

일 때 k의 값을 구하여라.

가비의 리를 적용할 때는 분모의 합이 0인지 아닌 지 두 가지 경우로 나눠야 해요.

ⅰ) a + b + c ≠ 0일 때

ⅱ) a + b + c = 0일 때
a + b = -c

∴ k = 2 or -1

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유리식에서 가장 많이 사용하는 공식이 바로 부분분수 공식이에요. 부분분수 공식 자체는 어렵게 느껴질 수 있겠지만, 이 공식을 이용하면 복잡한 계산식을 아주 아주 간단하게 바꿀 수 있어요. 효율이 좋은 공식이죠. 한 두 문제만 풀어보면 어떻게 간단해지는지 감을 잡을 거예요.

번분수는 가끔 보기는 했을 텐데, 이제 좀 더 정확하게 알아봐요. 번분수는 계산하기가 상당히 복잡하고 까다로워요. 그래서 집중해서 풀어야 하는 문제 유형이죠. 모든 계산을 한꺼번에 할 수 없으니까 필요한 부분만 찾아서 하나씩 하나씩 계산해야 합니다.

부분분수 공식

부분분수는 분수의 분모를 다항식의 곱으로 나타내고, 이를 이용해서 분수를 나누는 걸 말해요. 그냥 둬도 되는데 굳이 나누는 이유는 분자, 분모의 차수를 낮출 수 있어서예요. 차수가 낮거나 숫자가 작으면 계산하기 편리해지잖아요.

앞으로 분모가 인수분해가 되면 좌변을 우변처럼 바꿔서 계산하세요.

분자는 다 1인데, 좌변의 분모는 분모의 곱 AB, 우변 앞은 분모의 차 B - A, 괄호 안은 분수의 빼기에요. 빼는 순서도 잘 보세요.

부분분수 공식을 유도해볼까요? 분자, 분모에 같은 수를 곱해도 값은 바뀌지 않죠? 그걸 이용하는 겁니다.

숫자를 넣어서 좀 쉬운 걸 한 번 해보죠.

부분분수 공식을 이용하면 분모가 연속된 숫자나 식의 곱으로 이루어진 다항식들의 합을 구하기가 쉬워요. 아래 예제를 보죠.

다음을 간단히 하여라.

유리식의 덧셈은 분모를 통분해서 구해야 하는데, 위 식을 통분해서 구하면 분모는 10차식이 되고 분자는 8차식이 될 거예요. 전개하고 더할 수는 없겠죠? 이럴 때 부분분수 공식을 이용하는 겁니다.

각 항을 부분분수로 바꿔보죠.

우변의 괄호 앞에 있는 분수는 1이니까 없어지고 괄호 안 부분만 남겠죠? 이걸 한 번에 쭉 써보죠.

제일 윗줄에서 두 번째, 세 번째 항이 없어지고, 네 번째, 다섯 번째 항이 없어지고, 계속 없어지다가 결국에는 첫 번째 항과 마지막 항만 남아요. 두 항의 덧셈만 하면 끝이죠.

앞으로는 이런 문제가 나오면 위 과정을 다 거칠 필요 없이 첫 번째 항과 마지막 항만 바로 구해서 계산하면 돼요.

분자가 1이 아닐 때도 있는데, 이럴 때는 분자를 인수분해해서 묶으면 돼요.

번분수

번분수는 분자나 분모가 분수식인 분수를 말해요. 둘 다 분수일 수도 있고, 하나만 분수일 수도 있어요. 계산하기 정말 번거로운 분수죠. 번분수를 그냥 분수로 나타낼 때는 번분수의 안쪽에 있는 것의 곱이 분모가 되고, 번분수의 바깥쪽에 있는 게 분자가 돼요.

번분수의 분자, 분모를 나눗셈으로 고쳐서 계산해보면 위의 성질을 증명할 수 있어요.

혹시 분수식에서 분자나 분모 하나만 분수일 때도 있는데, 이때는 분수의 분모가 1이라고 생각하면 돼요.

분자에도 분수가 있고, 분모에도 분수가 있으니까 번분수 문제를 풀 때는 분자, 분모를 잘 구별해야 해요. 이게 분자의 분모인지 분모의 분자인지 헷갈릴 수 있거든요. 문제를 풀 때는 가로로 선을 길게 그어서 차이를 분명하게 알 수 있도록 하세요.

다음을 간단히 하여라. (단, x ≠ 0, x ≠ 1)

분모가 되게 복잡하죠? 제일 밑에 있는 것부터 하나씩 순서대로 풀어보죠. 사각형으로 된 부분만 계산하고 나머지는 그냥 그대로 쓰는 거예요.

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유리식에서 사용하는 "유리"라는 표현은 어디서 본 적이 있을 거예요. 바로 유리수에서 말이에요. 같은 의미입니다. 분수로 나타낼 수 있다는 뜻이에요.

이 글에서는 유리식이 무엇인지 또 유리식의 사칙연산은 어떻게 하는 지 알아볼 거에요. 유리식의 사칙연산은 유리수의 사칙연산과 방법이 같으니까 특별히 어렵지는 않아요. 유리식은 분자, 분모가 숫자가 아니라 식이라서 계산이 조금 복잡할 뿐이에요.

유리수와 유리식의 공통점과 차이점을 잘 비교해보면서 읽어보세요.

유리식과 분수식

에서 a, b가 정수(b ≠ 0)일 때 이렇게 생긴 수를 유리수라고 하지요? 유리수는 정수를 이용해서 분수꼴로 나타낼 수 있는 수를 말해요.

그런데 a, b가 정수가 아니라 다항식이면 어떻게 될까요? a, b 자리에 수가 들어있으면 유리수라고 하니까 a, b에 식이 들어있으면 유리식이라고 해요. 물론 숫자도 상수항으로 다항식의 한 종류라는 건 별도로 하고요.

유리식에서 분모인 b가 0이 아닌 상수일 때는 어떻게 될까요? 는 계수가 분수인 다항식이죠? 이처럼 유리식에서 분모가 0이 아닌 상수일 때를 다항식이라고 해요. 우리가 알고 있는 다항식이요. 만약에 분모가 1이라면 그냥 5x + 3 같은 다항식이 되고요.

그럼 상수가 아니라면 어떨까요? 은 더는 어떻게 할 수 없죠? 이처럼 유리식에서 분모가 상수가 아닌 식을 분수식이라고 합니다. 분모가 상수면 다항식이라고 하니까 분모가 상수가 아닌 분수식을 다르게 표현해서 다항식 아닌 유리식이라고도 해요. 마치 유리수에서 정수와 정수 아닌 유리수라고 하는 것처럼요.

유리식: 꼴로 생긴 식 (A, B는 다항식, B ≠ 0)
다항식: 분모가 상수인 유리식
분수식: 다항식 아닌 유리식(분모가 상수가 아닌 유리식)

유리수의 분자, 분모에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나눠줘도 값은 바뀌지 않아요.

유리식도 같아요. 분자, 분모에 0이 아닌 같은 식을 곱하거나 같은 식으로 나누어도 값은 바뀌지 않아요.

A, B, C, D가 다항식이고, B, C, D ≠ 0일 때,

유리식의 사칙연산

유리식의 사칙연산은 유리수의 사칙연산과 똑같아요. 분수의 덧셈, 뺄셈할 때 통분과 약분을 하죠? 유리식에서도 통분과 약분을 해요. 통분은 분모를 같게 만들어주는 건데, 분모가 다항식이니까 다항식의 최소공배수를 이용해서 분모를 통분합니다. 약분도 분수에서 하는 것과 똑같아요.

분수의 곱셈, 나눗셈은 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 계산해요. 이 과정에서 약분도 하죠. 유리식도 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 연산해요. 약분도 하고요. 특히 나눗셈할 때는 역수의 곱으로 바꿔서 할 수 있으니까 역수의 곱으로 계산하세요.

유리식의 사칙연산을 하기 전에는 미리 분자, 분모를 인수분해하세요. 그래야 통분, 약분을 할 수 있어요.

유리식의 사칙연산
공통: 분자, 분모를 인수분해. 계산 과정에서 약분되면 바로바로 약분
덧셈, 뺄셈: 분모 통분 후 계산
곱셈: 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱
나눗셈: 곱셈으로 바꾸고 역수 → 분모끼리, 분자끼리 곱

다음을 계산하여라.

유리식을 계산할 때 첫 번째 해야 할 일은 인수분해예요. 무조건 해야 합니다. 그다음 덧셈, 뺄셈은 통분하고, 곱셈, 나눗셈은 분자끼리, 분모끼리 계산해요. 특히 나눗셈은 곱셈으로 바꾸고 역수를 취해요. 계산 중간에 약분할 수 있으면 바로바로 약분하고요.

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다항식의 약수와 배수, 최대공약수와 최소공배수에서 다항식에서도 약수와 배수가 있다고 했어요. 그리고 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법을 공부했고요.

이 글에서는 최대공약수와 최소공배수 사이에 어떤 관계가 있는지 알아보고, 이를 이용해서 문제를 풀어볼 거예요.

최대공약수와 최소공배수의 관계는 [중등수학/중1 수학] - 최대공약수와 최소공배수의 관계에서 공부한 적이 있어요. 원리는 같은데, 중학교 때는 숫자를 이용했다면 이제는 다항식을 이용하는 거죠.

추가로 다항식의 합과 차, 곱, 최대공약수, 최소공배수 사이의 관계도 공부할 거예요.

다항식의 최대공약수와 최소공배수의 활용

두 다항식 A, B의 최대공약수를 G, 최고공배수를 L이라고 하면

a, b는 서로소
최대공약수 = G
최소공배수 L = abG

A를 G로 나눈 몫이 a니까 A = aG, B를 G로 나눈 몫이 b니까 B = bG 가 되겠죠?

A, B의 사칙연산을 해보죠.

• A + B = aG + bG = (a + b)G
• A - B = aG - bG = (a - b)G
• AB = aG × bG = abG² = LG
• A ÷ B = aG ÷ bG = a/b

두 다항식의 사칙연산을 해보면, 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 최대공약수인 G가 들어있다는 걸 알 수 있어요. 나눗셈에는 들어있지 않네요. 특히 두 다항식을 곱한 것과 최대공약수와 최소공배수를 곱한 게 같다는 것도 알 수 있어요.

A ± B = (a ± b)G
AB = LG → 두 다항식의 곱 = (최대공약수) × (최소공배수)

이차항의 계수가 1인 두 이차식 A, B의 최대공약수가 x - 1, 최소공배수는 x³ + 4x² + x - 6일 때, 두 다항식 A, B를 구하여라.

A = aG, B = bG, G = x - 1, L = abG = x³ + 4x² + x - 6이에요. (a, b는 서로소)

L을 인수정리를 이용한 인수분해를 해보죠. L은 G를 인수로 가지니까 x - 1로 나누어떨어져요.

L = (x - 1)(x² + 5x + 6)
   = (x - 1)(x + 2)(x + 3)

L = abG로 G = x - 1이니까 x - 1을 제외한 나머지 두 인수가 ab에 해당하겠죠? 둘 중 하나를 a라고 하면 나머지 하나는 b가 될 거예요. a = (x + 2), b = (x + 3)이라고 해보죠. a, b를 바꿔도 상관은 없어요.

A = aG = (x - 1)(x + 2), B = bG = (x - 1)(x + 3)이네요.

이차항의 계수가 1인 두 이차식의 곱이 x⁴ - 9x² + 4x + 12이고, 최대공약수가 일차식일 때, 두 다항식의 합을 구하여라.

두 다항식을 A, B, 두 다항식의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라고 해보죠. A = aG, B = bG, A + B = (a + b)G, AB = abG² = LG예요.

AB를 인수정리를 이용한 인수분해로 인수분해 해볼까요?

AB = x⁴ - 9x² + 4x + 12
     = (x + 1)(x - 2)(x² + x - 6)
     = (x + 1)(x - 2)(x - 2)(x + 3)
     = (x - 2)²(x + 1)(x + 3)

AB = abG²이므로 일차식의 제곱인 (x - 2)가 G에 해당하고, 남은 인수가 a, b겠죠. a = x + 1, b = x + 3이라고 해보죠. 물론 a, b가 바꿔도 상관없어요.

A + B = (a + b)G = (x + 1 + x + 3)(x - 2) = (2x + 4)(x - 2) = 2(x + 2)(x - 2)

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숫자에서 약수와 배수, 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있었죠?

다항식에서도 약수와 배수, 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있어요. 다항식은 인수분해를 해요. 여기서 인수가 바로 약수에 해당하는 거예요. 따라서 다항식의 약수와 배수를 구하려면 인수분해를 먼저 해야 해요.

다항식의 약수와 배수, 최대공약수와 최소공배수는 어떤 걸 말하는지 또 이들 사이에는 어떤 관계가 있는지 알아보죠.

숫자에서 식으로 바꾼 것뿐 내용은 비슷하니까 금방 이해할 수 있을 거예요.

다항식의 약수와 배수

다항식 A가 A = BC로 인수분해 될 때, A를 B, C의 배수라고 하고, B, C는 A의 약수라고 해요.

다른 다항식 D가 B를 약수로 가지면 이 다항식 D와 A 둘 다 B를 약수로 가지므로 B를 공약수라고 합니다.

서로 다른 두 다항식이 같은 배수를 가지면 이 공통된 배수를 공배수라고 부르고요. 모든 게 숫자랑 똑같아요.

숫자에서 숫자가 가장 큰 공약수를 최대공약수, 숫자가 가장 작은 공배수를 최소공배수라고 하죠? 다항식에서는 차수가 가장 큰 공약수를 최대공약수, 차수가 가장 작은 공배수를 최소공배수라고 해요. 최대공약수는 영어로 하면 Greatest Common Divisor(GCM)인데, 첫 글자를 따서 알파벳 G로, 최소공배수는 Least Common Multiple(LCM)의 첫 글자를 따서 L로 표시해요.

또 두 숫자의 공약수가 1뿐일 때를 서로소라고 하죠? 두 다항식의 공약수가 1, 2, 3, … 등 상수일 때를 서로소라고 합니다. 2(x + 1), 2(x + 2)

최대공약수, 최소공배수 구하는 방법

거듭제곱 형태로 되어 있는 수에서 최대공약수 구하는 방법은 밑이 같은 것 중에서 지수가 작은 걸 선택했어요. 다항식에서도 마찬가지예요. 여기서는 소인수가 아니라 다항식이 밑이라는 차이만 있을 뿐이죠.

A = 3(x + 1)(x + 2)(x + 3)과 B = (x + 1)(x + 2)²의 최대공약수를 구해보죠.

공통으로 들어있는 인수는 (x + 1)과 (x + 2)네요. (x + 1)은 둘 다 지수가 1이고요. A의 (x + 2)는 지수가 1, B의 (x + 2)는 지수가 2니까 더 작은 1을 선택해요. 따라서 최대공약수는 (x + 1)(x + 2)이에요.

최소공배수 구하는 방법은 일단 모든 밑을 쓰고, 밑이 겹치면 지수가 큰 걸 선택했어요. 물론 다항식에도 똑같아요.

A = 3(x + 1)(x + 2)(x + 3)과 B = (x + 1)(x + 2)²의 최소공배수를 구해보죠.

일단 인수에 해당하는 다항식을 다 써보죠. 3(x + 1)(x + 2)(x + 3) 인데, A의 (x + 2)의 지수는 1인데, B에서 (x + 2)의 지수가 2니까 지수가 큰 2를 선택해야 해요. 따라서 두 다항식의 최소공배수는 3(x + 1)(x + 2)²(x + 3)이에요.

다음 다항식들의 최대공약수와 최소공배수를 구하여라.
(1) A = ab³c, B = a²bc, C = abcd
(2) A = x³ - 3x - 2, B = 2x² - 4x - 6

최대공약수는 공통인수 중에서 지수가 작은 것들의 곱이고, 최소공배수는 모든 인수를 다 쓰고, 공통인 경우에는 지수가 큰 걸 쓰는 거예요.

(1)번은 항이 세 개예요. 세 항 모두에 a, b, c가 들어있는데, 지수가 가장 작은 건 모두 1이에요. 따라서 최대공약수는 abc예요.

최소공배수는 일단 인수를 다 써요. 그리고 인수의 지수를 비교해야 하는데 a는 지수가 가장 큰 게 2, b는 3, c와 d는 1이네요. 최소공배수는 a²b³cd

(2)번은 인수분해가 안 돼 있죠? 인수분해를 먼저 해야 해요.

인수정리를 이용해서 인수분해를 하면

A = x³ - 3x - 2 = (x + 1)(x² - x - 2) = (x + 1)²(x - 2)
B = 2(x - 3)(x + 1)

(x + 1)이 공통인데, A는 지수가 2, B는 지수가 1이네요. 최대공약수는 (x + 1)이고 최소공배수는 2(x - 3)(x - 2)(x + 1)²

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인수분해 공식을 이용할 수도 없고, 치환이나 내림차순으로 정리해도 안 되는 식이 있다면 인수분해를 할 수 없을까요?

이런 식들도 인수분해를 할 수 있어요. 바로 인수정리와 조립제법을 이용해서요. 인수정리와 조립제법을 반복해서 사용하면 인수분해가 안 될 것 같았던 식도 인수분해를 할 수 있어요.

인수분해 공식이나 치환을 사용하지 않고 이 방법으로만도 인수분해를 할 수도 있어요. 하지만 인수분해 공식이나 치환 등의 방법보다는 조금 어려운 방법이므로 각 상황에 맞게 방법을 잘 골라서 인수분해를 해야 합니다.

인수정리를 이용한 인수분해

인수정리에 따라 f(α) = 0인 α가 있을 때, f(x)를 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타낼 수 있어요. f(x) = (x - α)Q(x)

그러면 f(x)는 (x - α)와 Q(x)로 인수분해가 된 거죠. 이처럼 인수정리를 이용해서 인수분해를 할 수 있어요.

그런데 인수정리에서는 α를 알려줬어요. 인수분해를 할 때는 α를 알려주지 않으니까 직접 찾아야 해요. 그렇다고 f(α) = 0이 되는 α를 찾기 위해서 모든 수를 다 넣어볼 수는 없잖아요. 여기 α의 범위를 좁히는 방법이 있어요.

f(α) = 0을 만족하는 α를 찾는 방법

1. ±1
2. 

위 방법을 이용하면 α를 쉽게 찾을 수 있어요. 저기에 해당하는 수가 모두 α가 되는 것은 아니고, 저 숫자 중에 α가 있는 거예요. (인수정리를 이용한 인수분해에서 약수 찾는 법)

x⁴ - 2x² + 3x - 2를 인수분해해보죠.

f(x) = x⁴ - 2x² + 3x - 2이라고 하고 x = ±1을 넣어보죠.
f(1) = 1 - 2 + 3 - 2 = 0
f(-1) = 1 - 2 - 3 - 2 = -6

다음은 2번 공식으로 α를 찾아볼까요?

f(2) = 16 - 8 + 6 - 2 = 12
f(-2) = 16 - 8 - 6 - 2 = 0

f(1) = f(-2) = 0이네요. 인수정리를 이용해서 f(x) = (x - 1)(x + 2)Q(x)라는 걸 알아냈어요. 이제 Q(x)를 구해야겠죠? Q(x)는 몫에 해당하는 거예요. 다항식의 나눗셈에서 몫을 구하려면 조립제법을 사용하면 돼요. 여기서는 나누는 식이 두 개니까 조립제법을 연속해서 두 번 해야 해요.

f(x)의 삼차항의 계수가 0인 거 빼먹으면 안 돼요.

f(x) = (x - 1)(x + 2)(x² - x + 1)

위 방법에서는 α 두 개를 한꺼번에 찾았는데, 한 개 찾고, 조립제법, 다른 한 개 찾고 조립제법 … 반복해도 돼요. 이렇게 하다가 2차식이나 3차식이 나오면 인수분해 공식을 이용해서 바로 인수분해하면 돼요.

인수정리를 이용한 인수분해

1. f(α) = 0이 되는 α를 찾는다.
• ±1
• 
2. ①에서 찾은 α를 이용하여 조립제법 반복
3. 2차식, 3차식이 나오면 인수분해 공식으로 인수분해

다음을 인수분해하여라.
(1) x⁴ + x³ - 3x² - x + 2
(2) x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x + 2

(1)번에서 f(x) = x⁴ + x³ - 3x² - x + 2이라고 하면
f(1) = 1 + 1 - 3 - 1 + 2 = 0
f(-1) = 1 - 1 - 3 + 1 + 2 = 0

f(α) = 0이 되는 α = 1, -1로 두 개나 찾았네요. 그러면 굳이 α 찾는 공식을 적용할 필요가 없어요. 그냥 넘어가죠.

1과 -1을 이용해서 조립제법을 해보죠.

f(x) = x⁴ + x³ - 3x² - x + 2
      = (x - 1)(x + 1)(x² + x - 2)
      = (x - 1)(x + 1)(x - 1)(x + 2)
      = (x - 1)²(x + 1)(x + 2)

뒤에 이차식이 인수분해가 되죠? 그래서 인수분해했어요. f(x) = (x - 1)²(x + 1)(x + 2)가 답이에요.

(2)번 f(x) = x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x + 2
f(1) = 1 - 4 + 6 - 5 + 2 = 0
f(-1) = 1 + 4 + 6 + 5 + 2 = 18

f(2) = 16 - 32 + 24 - 10 + 2 = 0
f(-2) = 16 + 32 + 24 + 10 + 2 = 84

f(α) = 0 이 되는 α = 1, 2네요. 조립제법을 해보죠.

f(x) =  x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x + 2
      = (x - 1)(x - 2)(x² - x + 1)

뒤에 이차식은 인수분해가 안 되니까 f(x) = (x - 1)(x - 2)(x² - x + 1)가 답이네요.

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복잡한 식의 인수분해 - 치환, 복이차식

인수분해는 중학교에서 했던 것과 지금 하는 것에 차이가 거의 없어요. 문제가 어려워진 것뿐이에요. 복잡한 식의 인수분해도 똑같아요. 진짜 어려웠던 문제들이 이제는 기본문제(?)로 바뀐 거지요.

복잡한 식의 인수분해는 원리도 똑같고, 인수분해를 하는 방법도 똑같아요. 중학교 때 공부했던 내용을 하나씩 잘 떠올려 보세요.

모든 인수분해의 첫 번째는 공통인수로 묶는 거예요. 그다음에 아래의 방법들을 사용하는 거지요.

복잡한 식의 인수분해

치환

치환은 특정한 부분을 다른 문자로 바꿔 계산하는 걸 말하죠. 그리고 계산이 끝나면 바꿨던 문자에 원래 식을 대입해야 하고요.

대부분 여러 항에 공통으로 들어있는 부분을 치환하는데 공통부분은 괄호가 처져 있어서 눈에 잘 띄어요. 괄호가 처져 있는 공통부분이 보이지 않는다면 공통부분이 생기도록 만들어야 하는데 이게 연습이 좀 필요해요. 대체로 한 부분 정도는 괄호로 처져 있는 게 있으니까 다른 부분에서도 괄호로 처진 부분이 나오도록 식의 모양을 바꿔야 해요.

꼭 공통부분이 아니더라도 치환을 할 수 있어요. 식이 너무 길어질 것 같으면 서로 다른 부분이라도 치환할 수 있는데, 이때는 서로 다른 문자로 치환해야 해요.

• 공통부분이 있으면 바로 치환
• 공통부분이 없으면 전개 or 변형해서 치환
• 서로 다른 부분을 서로 다른 문자로 치환

△ABC의 변의 길이를 각각 a, b, c라고 할 때 a²(b - c) + b²(c - a) + c²(a - b) = 0이 성립한다. △ABC는 어떤 삼각형인가?

일단 공통인 부분이 없어요. 괄호로 쳐진 부분이 세 개나 있지만 다 다르고요. 그렇다고 a²X + b²Y + c²Z처럼 각각을 다른 문자로 치환한다고 해도 인수분해를 할 수 있는 것도 아니에요. 이럴 때는 아무거나 괄호를 하나 선택하고, 나머지 부분에서 괄호부분이 나오게 변형을 해서 치환을 해야 해요. 가장 앞에 있는 (b - c)를 선택하고 남은 부분을 전개해서 (b - c)가 나오도록 변형을 해보죠.

a²(b - c) + b²(c - a) + c²(a - b)
= a²(b - c) + b²c - ab² + ac² - bc²
= a²(b - c) + b²c - bc² - ab² + ac²
= a²(b - c) + bc(b - c) - a(b² - c²)
= a²(b - c) + bc(b - c) - a(b + c)(b - c)
= a²t + bct - a(b + c)t                         (∵ b - c = t로 치환)
= t{a² + bc - a(b + c)}
= t{a² - (b + c)a + bc}
= t(a - b)(a - c)
= (b - c)(a - b)(a - c)                        (∵  t = b - c)
= -(a - b)(b - c)(c - a)

-(a - b)(b - c)(c - a) = 0이 성립하므로 a - b = 0이거나 b - c = 0이거나 c - a = 0이어야 하죠. 즉, a = b or b = c or c = a이라는 얘기네요. a = b = c일 수도 있고요.

따라서 △ABC는 이등변삼각형이거나 정삼각형이네요.

복이차식

복이차식은  2차, 4차처럼 짝수차 항으로만 되어 있는 식을 말해요. 상수항은 0차니까 짝수차 항으로 볼 수 있어요. 이때는 x² = t로 치환해서 풀면 쉬워요.

x² = t로 치환을 해도 안되는 경우가 있어요. 이때는 완전제곱식을 만들어서 인수분해해요. 완전제곱식을 만들 때는 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이에서 했던 것처럼 일차항과 상수항의 관계를 이용해요. 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이에서는 일차항을 기준으로 놓고, 상수항을 더해주고 빼서 완전제곱식을 만들었는데, 복이차식에서는 상수항을 기준으로 놓고, t항을 더해주고 빼서 완전제곱식을 만드는 점이 달라요.

이렇게 완전제곱식을 만들면 A² - B²꼴로 모양이 바뀌는데, 인수분해 공식 - 합차공식을 이용해서 인수분해를 합니다.

• 복이차식: x² → t로 치환
  • 인수분해되면 인수분해
  • 인수분해 안 되면 t항을 적당히 더해주고 빼서 A² - B²로 변형 → 합차공식으로 인수분해

다음을 인수분해 하여라.
(1) x⁴ + x² - 20
(2) x⁴ + 6x² + 25

x⁴ + x² - 20
= t² + t - 20                  (∵ x² = t로 치환)
= (t - 4)(t + 5)
= (x² - 4)(x² + 5)          (∵ t = x²)
= (x - 2)(x + 2)(x² + 5)

(2)에서 x² = t로 치환하면 식은 t² + 6t + 25가 돼요. 이건 인수분해가 안되죠? 그래서 t의 일차항과 상수항 사이의 관계를 이용해서 적당한 t항을 더해주고 빼줘야 해요.

x⁴ + 6x² + 25
= t² + 6t + 25                 (∵ x² = t로 치환)
= t² + 6t + 25 + 4t - 4t
= t² + 10t + 25 - 4t
= (t + 5)² - 4t
= (x² + 5)² - 4x²          (∵ t = x²)
= (x² + 5)² - (2x)²
= (x² + 5 + 2x)(x² + 5 - 2x)
= (x² + 2x + 5)(x² - 2x + 5)

한 문자에 관하여 내림차순으로 정리

치환할 부분도 얼른 보이지 않고, 항이 많이 있으면 차수가 낮은 한 문자에 관하여 내림차순으로 정리하세요. 여러 문자 중 차수가 가장 한 문자를 선택하는데, 차수가 같으면 아무거나 골라도 상관없어요.

내림차순으로 정리하면 상수항 부분 (선택한 문자가 아닌 다른 문자 포함)이 인수분해가 되는데, 이를 이용해서 또 한 번 인수분해를 해야 해요. 상수항 부분을 인수분해한 것이 다항식이라서 두 번째 인수분해할 때 조금 어려울 수 있어요.

차수가 낮은 한 문자에 대해서 내림차순으로 정리
상수항 부분을 인수분해 후 전체를 인수분해

x² + xy - 2y² - x + 7y - 6을 인수분해하여라.

식이 기니까 한 문자에 관해서 내림차순으로 정리를 해야 하는데, x도 2차, y도 2차니까 아무거나 선택하면 돼요. x를 골라보죠.

x² + xy - 2y² - x + 7y - 6
= x² + xy - x - 2y² + 7y - 6
= x² + (y - 1)x - (2y² - 7y + 6)
= x² + (y - 1)x - (2y - 3)(y - 2)
= {x + (2y - 3)}{x - (y - 2)}
= (x + 2y - 3)(x - y + 2)

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인수분해는 중학교 때 인수분해, 공통인수로 인수분해에서 다 해봤어요. 고등학교에서 하는 인수분해의 개념이나 기본 공식은 똑같아요. 대신 항의 개수가 많아지고 차수가 높아지는 등 수준이 더 어려워진 것뿐이에요.

인수분해는 전개의 반대과정이에요. 전개할 때는 공셈공식을 사용하니까 인수분해는 공셈공식을 거꾸로 사용하면 되는 거죠. 따라서 인수분해 공식이라고 따로 외우는 게 아니라 곱셈공식의 좌, 우변을 바꾸면 돼요.

곱셈공식, 곱셈공식 유도를 보고 공식을 잘 외웠다면 이번 글은 별로 어렵지 않을 거예요.

인수분해공식

인수분해는 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 걸 말해요. 그 곱을 이루고 있는 다항식을 인수라고 하고요. 숫자의 약수와 비슷한 거예요.

인수분해를 할 때 가장 먼저 해야 할 일은 공통인수로 묶는 거예요. 공통인수로 묶은 다음에 공식을 적용하는 거죠. 공통인수가 없다면 바로 공식을 사용해도 되고요.

인수분해는 전개의 반대과정이니까 곱셈공식의 좌, 우변을 바꾸기만 하면 인수분해 공식이 돼요.

먼저 중학교 때 공부했던 인수분해 공식 다섯 개를 확인해보죠. 인수분해 공식 1 - 완전제곱식, 합차공식, 인수분해 공식 2

a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
a² - b² = (a + b)(a - b)
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
acx² + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)

공식 말고 X자로 했던 것도 기억하나요?

위 모든 게 다 기억나죠?

다음은 곱셈공식, 곱셈공식 유도에서 했던 공식들의 좌, 우변을 바꾼 인수분해 공식이에요.

(1) ma + mb + mc = m(a + b + c)
(2) a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)²
(3) a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³
     a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³
(4) a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
     a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
(5) a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)
                                    = (a + b + c){(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²}

(1)번은 인수분해의 가장 기본인 공통인수로 묶기를 나태나는 거예요. (2), (3), (4)는 곱셈공식을 거꾸로 한 거고요. (5)의 아랫줄에 있는 공식은 곱셈공식의 변형에서 했던 a² + b² + c² - ab - bc - ca = {(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²}을 적용한 거예요.

다음을 인수분해하여라.
(1) x² - 5x + 6
(2) x³y - xy³
(3) 4x² + y² + 9z² + 4xy - 6yz - 12zx
(4) x³ - 3x²y + 3xy² - y³

인수분해는 공통인수로 묶은 다음에 인수분해 공식을 이용해야 해요.

(1)은 공통인수가 없네요. X자를 이용해서 해도 좋고, 공식을 이용해도 좋아요. 하지만 이 정도 문제는 암산으로 바로 풀 수 있을 정도가 되어야 해요.

x² - 5x + 6 = (x -2)(x -3)

(2)은 두 항에 xy라는 공통인수가 있어요. 이걸로 묶고 공식을 적용해야 하죠.

x³y - xy³ = xy(x² - y²) = xy(x + y)(x - y)

(3)번은 항이 무척 많네요. 항을 잘 보면 제곱인 항이 3개가 있으니까 위 인수분해 공식에서 (2)번에 해당하는 문제예요.
a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)²

4x² + y² + 9z² + 4xy - 6yz - 12zx
= (2x)² + y² + (-3z)² + 2(2x)y + 2y(-3z) + 2(-3z)(2x)
= (2x + y - 3z)²

(4)번은 세제곱인 항이 두 개있고, 이들이 섞여 있는 항이 두 개니까 (3)번 공식에 해당하는 문제예요. 그런데 y³이 (-)네요.
a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ = (a ± b)³

x³ - 3x²y + 3xy² - y³
= (x - y)³

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조립제법 두 번째에요.

이번에 할 조립제법은 개념이해를 잘해야 해요. 조립제법의 방법은 같은데, 그 결과를 해석하는 게 달라지거든요.

조립제법은 다항식의 나눗셈을 조금 더 편리하게 하려고 하는 거예요. 즉, 몫과 나머지를 좀 더 쉬운 방법으로 구하려고 하는 거죠. 그런데 나누는 식의 x의 계수가 1이 아니면 조립제법으로 구한 몫이 틀리게 나와요.

왜 틀린 값이 나오는지, 틀린 값을 어떻게 해야 정확한 몫을 구할 수 있는지 알아보죠.

조립제법 - 나누는 식의 x 계수가 1이 아닐 때

조립제법 1 - 조립제법 하는 법

다항식의 나눗셈을 검산식으로 나타내보죠. f(x) = (x - α)Q(x) + R(x)에요. 조립제법을 할 때 나누는 식 = 0이 되는 x를 이용해요. x = α가 되겠죠.

나누는 식의 계수가 1이 아니라 ax + b라면 f(x) = (ax + b)Q(x) + R(x)에요. 조립제법을 하려면 나누는 식 = 0이 되는 x = 를 이용해야 해요.

(2x³ - 5x² + 5x - 4) ÷ (2x - 3)을 해보죠. 나누는 식 = 0이 되게 하는 x = 이고, f(x)의 계수는 2 -5 5 -4에요.

몫은 2x² - 2x + 2, 나머지는 -1이 나왔네요.

이 문제는 다항식의 나눗셈 마지막 예제에서 해봤던 문제인데, 그 결과를 비교해보죠.

몫은 x² - x + 1, 나머지는 -1이네요.

나머지는 같은데, 몫이 다르죠?

왜냐하면, 조립제법에서 x = 을 넣어서 했죠? f(x)를 (2x - 3)으로 나눈 게 아니라 (x - )으로 나눈 결과라서 그래요.

두 경우 모두 나누는 식 = 0이 되게 하는 x는 같지만 식은 다르잖아요. 이런 차이때문에 몫이 달라지는 거예요.

R = -1로 같으니까 (나누는 식 × 몫) 부분만 보죠.

원래 우리가 구하려고 했던 몫이 x² - x + 1이라는 걸 알 수 있어요.

매번 이렇게 할 수는 없잖아요. 간단하게 구하는 방법이 있어요.

우리가 구하려고 했던 Q(x)인데, 조립제법을 통해서 구한 건 aQ(x)인 거죠. 따라서 조립제법으로 구한 몫을 나누는 식의 x의 계수로 나눠주면 원래 구하려고 했던 몫을 구할 수 있어요.

(2x² - 2x + 2) ÷ 2 = x² - x + 1

나누는 식의 x의 계수가 1이 아닐 때 조립제법
조립제법의 방법은 같음.
진짜 몫 = (조립제법으로 얻은 몫) ÷ (나누는 식의 x 계수)

f(x)를 x - 3으로 나눈 몫이 2x² - 4x + 2이고 나머지는 1이라고 한다. f(x)를 (2x - 6)으로 나눈 몫과 나머지를 구하여라.

f(x) = (x - 3)(2x² - 4x + 2) + 1이네요. 전개해서 f(x)를 구한 다음에 (2x - 6)으로 나누는 조립제법을 해야겠지요?

설마 진짜로 이렇게 하는 학생은 없겠죠? x - 3 = 0을 0이 되게 하는 x와 2x - 6 = 0이 되게 하는 x가 같으니까 조립제법과 실제 나눗셈 사이의 관계를 이용하면 되는 문제에요. 굳이 전개할 필요가 없어요.

f(x) = (x - 3)(2x² - 4x + 2) + 1
      = (2x - 6)Q(x) + R

어떤 방법을 이용하든 나머지는 같으니까 R = 1이에요.

(x - 3)(2x² - 4x + 2) = (2x - 6)Q(x)
(x - 3)(2x² - 4x + 2) = 2(x - 3)Q(x)
Q(x) = (2x² - 4x + 2) ÷ 2
Q(x) = x² - 2x + 1

몫은 x² - 2x + 1, 나머지는 1

몫 = (조립제법으로 얻은 몫) ÷ (나누는 식의 x 계수)으로 바로 구해도 돼요.

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다항식의 나눗셈은 계산하기 정말 복잡하죠? 귀찮기도 하고요.

그래서 하기 싫은 다항식의 나눗셈을 좀 더 쉽게 하는 방법을 알려드립니다. 그게 바로 조립제법이에요. 조립제법은 다항식의 나눗셈에서 계수들의 규칙을 찾아서 만든 방법인데, 원리는 교과서에 설명되어 있을 거예요. 이 글에서는 원리보다는 조립제법을 실제로 하는 방법에 대해서 얘기할게요.

조립제법을 이용하면 다항식의 나눗셈을 할 필요 없이 몫과 나머지를 구할 수 있어요. 물론 나머지만 구하려면 나머지정리를 이용하면 더 쉽고요.

조립제법은 나중에 공부할 인수분해에서도 아주 유용하게 쓰이니까 꼭 할 줄 알아야 해요.

조립제법

다항식의 나눗셈은 최고차항과 계수를 비교해서 한 단계씩 풀어나갔었죠? 조립제법에서는 계수만 가지고 해요. 차수는 생각하지 않아도 되죠.

조립제법을 할 때는 가장 먼저 할 일은 f(x)와 나누는 식을 내림차순으로 정리하는 거예요.

x² + 3x - 4를 x - 1로 나누는 걸 조립제법으로 해보죠.

1. ㄴ자 모양으로 선을 그어요. 왼쪽 위에는 나누는 식 = 0이 되게 하는 x를 적어요. 이 경우에는 x = 1이네요. 오른쪽에는 내림차순으로 정리한 f(x)의 계수들을 순서대로 적어요.
2. 가장 왼쪽에 있는 계수 1은 그냥 바로 아래로 내려서 적어요.
3. ②에서 내린 1과 왼쪽에 있는 1을 곱한 1을 오른쪽 위에 적어요.
4. 두 번째 있는 계수 3과 바로 아래에 있는 1을 더한 4를 그 아래에 적어요.
5. ④에서 구한 4와 왼쪽에 있는 1을 곱한 4를 오른쪽 위에 적어요.
6. 세 번째에 있는 -4와 바로 아래 있는 4를 더한 0을 그 아래에 적고 ㄴ을 한 번 더 그려주세요.

ㄴ의 아래에 있는 숫자들이 몫과 나머지인데요. 가장 오른쪽에 있는 숫자가 나머지이고, 그 외의 부분이 몫이에요. 몫은 오른쪽부터 상수항, x의 계수, x²의 계수, x³의 계수예요. 앞 계산에서는 x의 계수까지밖에 없네요.

결론은 x² + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4) + 0 라는 거지요.

보기에서는 항의 개수가 몇 개 없어서 그런데, 항의 개수가 많다고 하더라도 오른쪽 옆으로 한 칸씩 옮겨가면서 ③, ④를 반복하면 돼요.

다항식의 나눗셈에서는 바로 위에 있는 식과 아래에 있는 식을 빼서 계산했어요. 그런데 조립제법에서는 위, 아래에 있는 계수를 더합니다. 이거 조심하세요.

주의해야 할 게 하나 더 있는데, 빈자리는 0으로 채워야 해요. f(x) = x³ - x + 1을 나누는 조립제법을 할 때는 f(x)의 계수가 3개라서 ①단계에 1   -1   1의 세 숫자만 쓰는 경우가 있는데, 그러면 안 돼요. f(x)에 x²이 없죠? 이때는 x²의 계수가 0이기 때문이에요. 따라서 ㄴ에 f(x)의 계수를 쓸 때, 1  0  -1  1의 네 숫자를 써야 해요. x³ + x² - x의 경우에는 1  1  -1이 아니라 상수항이 0이니까 1  1  -1  0을 써줘야 하고요. 계수의 개수는 최고차항의 차수보다 1개 많아요.

다음을 조립제법을 이용하여 몫과 나머지를 구하여라.
(1) (2x³ + 3x² - x - 2) ÷ (x + 1)
(2) (x³ - 2x + 5) ÷ (x + 2)

(1)번은 나누는 식 = 0이 되게 하는 x = -1이고, f(x) = 2x³ + 3x² - x - 2로 계수만 적으면 2   3   -1   -2에요.

가장 앞에 있는 최고차항의 계수는 그냥 바로 아래로 내리고, -1과 곱해서 위로 올리고, 다음 계수와 더하고 …  이 과정을 계속하면 아래 그림처럼 조립제법을 할 수 있어요.

가장 오른쪽에 있는 숫자 0이 나머지이고, 그 외 3숫자는 몫인데, 오른쪽부터 상수항, x 계수, x² 계수이므로 몫은 2x² + x - 2에요.

몫: 2x² + x - 2, 나머지: 0
나머지가 0이니까 2³ + 3x² - x - 2는 x + 1로 나누어떨어지네요.

(2)번은 나누는 식 = 0이 되는 x = -2, f(x) = x³ - 2x + 5인데, 조심해야 하는 게 x²이 없지요? 계수가 0이에요. 따라서 적을 때는 1   0   -2   5를 적어야 해요.

몫: x² - 2x + 2, 나머지: 1

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다항식을 나누는 건 숫자를 나누는 것과 같다고 했어요. 다만 최고차항의 차수와 계수를 이용해서 나누는 것만 다르죠.

다항식을 나누는 이유는 몫과 나머지를 구하기 위해서예요. 그런데, 몫은 필요 없고 나머지만 구하는 경우도 있겠죠? 이럴 때 나머지정리라는 걸 이용하면 편리하게 나머지를 구할 수 있어요.

인수정리라는 것도 있는데, 인수정리의 인수는 인수분해에서 사용했던 인수와 같은 말이에요. 그러니까 인수분해와 인수정리의 연관성을 생각해보는 것도 좋아요.

나머지정리와 인수정리는 한 끗 차이니까 잘 비교해서 이해하세요.

나머지정리

다항식의 나눗셈에서 다항식 A를 0 아닌 다항식 B로 나눌 때, 몫을 Q, 나머지를 R이라고 하면 A = BQ + R이라는 식으로 나타낼 수 있다고 했어요.

다항식의 나눗셈을 할 때, 세로로 바꿔서 숫자의 나눗셈을 할 때처럼 한다고 했죠? 그래서 몫과 나머지를 구했어요. 그런데 몫은 구하지 않고 나머지만 바로 구할 수 있을까요? 나머지정리를 이용해서 나머지만 구할 수 있는데, 어떻게 하는지 알아보죠.

x³ + 2x² - 3x + 7을 x - 4로 나누었을 때 나머지를 구해보죠.

A = BQ + R이므로
x³ + 2x² - 3x + 7 = (x - 4)Q + R로 쓸 수 있겠죠?

R만 구하는 방법은 두 가지에요.

1. 우변의 (x - 4)Q를 이항해서 R = x³ + 2x² - 3x + 7 - (x - 4)Q로 만들거나
   
2. 우변의 (x - 4)Q = 0으로 만들어서 R = x³ + 2x² - 3x + 7을 구하는 거죠.

두 번째 방법에서 (x - 4)Q를 0이 되게 만들 수 있어요. 어떻게요? x = 4를 대입하면 되잖아요.

항등식의 미정계수법 - 수치대입법을 생각해보세요. x에 특정한 값을 대입해서 식을 간단하게 만들었잖아요. x = 4를 대입해보죠.

4³ + 2 × 4² - 3 × 4 + 7 = (4 - 4)Q + R
R = 64 + 32 - 12 + 7 = 91

직접 나눗셈을 해보지 않아도 나머지만 빠르게 구했어요.

위에서는 A라는 식을 사용했는데요, 보통은 x에 관한 식을 사용하니까 나눠지는 식을 f(x)라고 하고, 몫은 Q(x)라고 해요. f(x)를 x - 4로 나눌 때의 나머지는 x = 4를 대입했을 때의 값이죠? 이건 f(4)라고 표현할 수 있잖아요.

f(x)를 (x - 4)로 나눌 때의 나머지 = f(4)

이번에는 같은 식을 2x - 1로 나누었을 때의 나머지를 구해보죠. 식을 써보면 아래처럼 될 거예요.

f(x) = x³ + 2x² - 3x + 7 = (2x - 1)Q(x) + R

마찬가지로 수치대입법을 이용해서 x = 을 대입하면 (2x - 1)Q(x) = 0이 되어서 우변은 R만 남죠.

두 보기에서 확인할 수 있듯이 f(x)를 일차식으로 나눌 때의 나머지 R은 (나누는 일차식) = 0이 되는 x를 f(x)에 대입한 값과 같아요.

나머지정리
x에 대한 다항식 f(x)를 일차식 (x - α)로 나누었을 때 나머지 R = f(α)
x에 대한 다항식 f(x)를 일차식 (ax + b)로 나누었을 때의 나머지 R =

다항식 f(x)를 (x - 1)로 나눈 나머지는 1, (x - 2)로 나눈 나머지는 3일 때, f(x)를 (x - 1)(x - 2)로 나눈 나머지를 구하여라.

문제를 식으로 나타내 보죠.
f(x)를 (x - 1)로 나눈 나머지가 1 → f(1) = 1
f(x)를 (x - 2)로 나눈 나머지가 3 → f(2) = 3
f(x)를 (x - 1)(x - 2)로 나누기 → f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x) + R(x)

여기서 중요한 건 나머지는 나누는 식보다 차수가 작다는 거예요. 나누는 식이 (x - 1)(x - 2)로 이차식이니까 R은 상수항일 수도 있지만, x에 관한 일차식일 수도 있어요. x에 관한 일차식이니까 R(x) = ax + b라고 나타내야 합니다.

f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x) + ax + b

f(1) = (1 - 1)(1 - 2)Q(1) + a + b = 1
a + b = 1

f(2) = (2 - 1)(2 - 2)Q(2) + 2a + b = 3
2a + b = 3

a + b = 1, 2a + b = 3을 연립방정식으로 풀면 a = 2, b = -1이 되므로 R(x) = ax + b = 2x - 1이에요.

나머지정리는 나누는 식이 일차식일 때뿐 아니라 그보다 더 높은 차수의 식일 때도 사용할 수 있다는 걸 알 수 있죠? 또, 나누는 식 = 0이 되는 x의 개수가 더 많아지는 것도 확인할 수 있어요.

나누는 식이 일차식이면 R은 상수
나누는 식이 이차식이면 R(x) = ax + b
나누는 식이 삼차식이면 R(x) = ax² + bx + c

인수정리

다항식의 나눗셈에서 다항식 A를 0이 아닌 다항식 B로 나누었을 때 나머지 R = 0이면 나누어떨어진다고 했어요. R = 0이니까 f(x)로 바꿔서 표현하면 f(x) = (x - α)Q(x)가 되겠죠?

나머지정리에 의해서 f(x)에 x = α를 대입하면 f(α) = 0이 돼요.

f(x) = (x - α)Q(x)에서 f(x)는 (x - α)와 Q(x)라는 두 다항식의 곱으로 되어있어요. 이렇게 어떤 다항식이 두 개 이상의 다항식의 곱으로 표시하는 걸 인수분해라고 했어요. 곱해져 있는 다항식을 인수라고 하죠? 따라서 (x - α)와 Q(x)는 f(x)의 인수에요.

그래서 이걸 인수정리라고 하는 거예요.

인수정리
x에 대한 다항식 f(x)가 (x - α)로 나누어떨어진다.
⇔ f(x) = (x - α)Q(x)
⇔ f(α) = 0
⇔ f(x)가 (x - α)를 인수로 가진다.

f(x)가 (ax + b)로 나누어떨어진다.
⇔ f(x) = (ax + b)Q(x)
⇔  = 0
⇔ f(x)가 (ax + b)를 인수로 가진다.

인수정리는 나머지정리 중에서 나머지 R = 0일 때를 말하는 거예요.

다항식 f(x) = 3x³ - ax² + x - 6가 x - 2로 나누어떨어질 때 a의 값을 구하여라.

다항식 f(x)가 x - 2로 나누어떨어지면 f(2) = 0이에요.
f(2) = 3 × 2³ - a × 2² + 2 - 6 = 0
4a = 24 + 2 - 6
4a = 20
a = 5

f(x) = 3x³ - 2x² + ax - b가 (x - 1)과 (x - 2)로 나누어떨어질 때, a, b를 구하여라.

f(x)가 (x - 1)로 나누어떨어진다. ⇔ f(x) = (x - 1)Q₁(x) ⇔ f(x)는 (x - 1)을 인수로 가진다. ⇔ f(1) = 0
f(x)가 (x - 2)로 나누어떨어진다. ⇔ f(x) = (x - 2)Q₂(x) ⇔ f(x)는 (x - 2)을 인수로 가진다. ⇔ f(2) = 0

f(x)가 (x - 1)과 (x - 2) 두 개 모두를 인수로 가지므로 이걸 식으로 나타내면 f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x)로 쓸 수 있어요.

f(1) = 3 × 1³ - 2 × 1² + a - b = 0
a - b = -1
f(2) = 3 × 2³ - 2 × 2² + 2a - b = 0
2a - b = -16

a - b = -1, 2a - b = -16를 연립방정식으로 풀어보면 a = -15, b = -14

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항등식의 성질에서는 항등식의 기본 꼴인 0x + 0 = 0을 이용해서 모르는 계수를 구했는데요. 이제는 조금 다른 방법을 이용해서 항등식의 계수를 구하는 걸 알아볼 거예요.

항등식의 계수를 구하는 걸 미정계수법이라고 하는데, 계수비교법과 수치대입법의 두 가지가 있어요. 어떤 방법을 이용하더라도 결과는 같아요. 하지만 문제에 따라서 편한 방식이 있으니까 어떤 문제에서 어떤 방법을 사용하는 것이 조금이라도 더 쉽게 푸는 건지 알아두었다가 상황에 맞게 잘 선택하세요.

특히 계수비교법보다는 수치대입법으로 풀어야 하는 문제가 조금 어렵게 나오는 경향이 있으니까 수치대입법에 대해서는 조금 더 신경을 쓰세요.

미정계수법

미정계수법은 이름에서 알 수 있듯이 항등식에서 미정인 계수를 찾아내는 방법이에요. 미정은 아직 정해지지 않았다는 뜻으로 모른다는 거죠. 즉, 구해야 하는 거예요. 계수비교법과 수치대입법의 두 가지가 있어요.

계수비교법

항등식에서 차수별로 각 항의 계수들을 비교해서 모르는 계수를 찾아내는 방법이에요. 항등식의 성질에서 했던 내용을 떠올려 보세요.

ax + b = cx + d가 x에 관한 항등식 ⇔ a = c, b = d
ax² + bx + c = a'x² + b'x + c'x에 관한 항등식 ⇔ a = a', b = b', c = c'

좌변과 우변에 있는 동류항끼리 계수가 같으면 항등식이라는 걸 이용하는 게 바로 계수비교법이에요.

ax + 3 = 2x - b가 x에 관한 항등식일 때, a, b를 구해보죠.

좌변의 x항과 우변의 x항의 계수가 같아야 하고, 좌변의 상수항과 우변의 상수항이 같아야 하므로 a = 2, -b = 3에서 b = -3이에요.

계수비교법은 차수별로 계수를 비교해야 하기 때문에 괄호가 있으면 모든 괄호를 풀고, 좌변, 우변에서 동류항 정리를 한 다음에 비교해야 해요.

수치대입법

수치대입법은 식의 x에 임의의 숫자를 대입하는 거예요. 항등식은 모든 x에 대해서 성립하니까 아무 숫자나 넣어도 식이 성립하잖아요. x에 임의의 값을 넣은 다음에 남는 문자들을 연립방정식으로 풀어내는 방법이에요. 수치대입법은 괄호를 풀 필요가 없이 바로 계산할 수 있는 장점이 있어요.

예를 들어 (x + 1)¹⁰같은 항이 들어있다면 이걸 전개해서 풀 수는 없겠죠?

x에 값을 대입할 때는 아무 값이나 넣는 게 아니라 모르는 계수가 있는 항을 없앨 수 있는 x값을 대입하는 게 좋아요.

a(x + 1)² + bx - 3 = 4x² + 2x + 1를 수치대입법으로 풀어보죠.

모르는 계수는 a, b인데, 첫 번째 a가 있는 항을 0으로 만드는 x는 -1이죠. x = -1이면 a(x + 1)² = 0이 돼요. x = -1을 대입해보죠.
a(-1 + 1)² + b × (-1) - 3 = 4 × (-1)² + 2 × (-1) + 1
-b - 3 = 4 - 2 + 1
b = -6

bx = 0이 되도록 x = 0을 대입해보죠.
a(0 + 1)² + b × 0 - 3 = 4 × 0² + 2 × 0 + 1
a - 3 = 1
a = 4

a = 4, b = -6이 되었네요.

계수비교법으로 풀어볼까요? 식을 전개해보죠.

a(x + 1)² + bx - 3 = 4x² + 2x + 1
a(x² + 2x + 1) + bx - 3 = 4x² + 2x + 1
ax² + 2ax + a + bx - 3 = 4x² + 2x + 1
ax² + (2a + b)x + a - 3 = 4x² + 2x + 1

x²의 계수: a = 4
x의 계수: 2a + b = 2 → b = -6
상수항: a - 3 = 1 → a = 4

계수비교법으로 풀어도 a = 4, b = -6이 나와요.

계수비교법, 수치대입법 중 어느 방법을 선택해서 값을 구해도 결과는 같아요. 문제에 따라서 좀 더 쉬운 방법을 선택해서 값을 찾으면 돼요.

때에 따라서는 계수를 없애지 못할 수도 있는데, 이때는 계수에 곱해지는 수가 1, -1 등 크기가 작은 숫자가 되도록 넣으면 돼요. 예를 들어 위 식에서 x = -2를 넣으면 a(x + 1)² = a가 되고, x = 1을 넣으면 bx = 1b가 되니까 계산하기가 편해지겠죠?

계수비교법: 괄호를 모두 전개 → 차수별로 계수가 같음을 이용해서 모르는 계수를 구함.
수치대입법: 모르는 계수가 있는 항을 0으로 하거나 가능한 한 작은 수로 만드는 x를 식에 대입하여 모르는 계수를 구함.

다음 식이 x에 관한 항등식일 때, a, b를 구하여라.
(1) a(x + 2)² - b(x + 3) - c + 1 = 2x² + 5x + 6
(2) a(x - 1)² + b(x - 1) + 2c = 3x + 5

(1)번은 계수비교법으로 풀어보죠. 일단 전개를 해서 동류항 정리를 해야겠죠?

a(x + 2)² - b(x + 3) - c + 1 = 2x² + 5x + 6
a(x² + 4x + 4) - bx - 3b - c + 1 = 2x² + 5x + 6
ax² + 4ax + 4a - bx - 3b - c + 1 = 2x² + 5x + 6
ax² + (4a - b)x + 4a - 3b - c + 1 = 2x² + 5x + 6

양 변에서 차수가 같은 미지수의 계수가 같아야 하므로 a = 2, 4a - b = 5, 4a - 3b - c + 1 = 6이에요.

a = 2이므로 4a - b = 5에서 b = 3
4a - 3b - c + 1 = 6에 a = 2, b = 3을 대입하면 c = -6

(2)번은 수치대입법으로 풀어보죠. 모르는 계수가 0이 되도록 하는 x = 1이에요. x = 1 대입
a(1 - 1)² + b(1 - 1) + 2c = 3 + 5
2c = 8
c = 4

그 다음에는 모르는 계수를 0으로 만드는 x는 없어요. 이럴 때는 계산을 쉽게 할 수 있게 계수에 곱해지는 숫자가 작아지도록 x를 대입하는 거예요. x = 0을 대입해보죠. c = 4라는 건 위에서 구했어요.
a(0 - 1)² + b(0 - 1) + 2 × 4 = 3 × 0 + 5
a - b = -3

이번에는 x = 2를 대입해보죠.
a(2 - 1)² + b(2 - 1) + 2 × 4 = 3 × 2 + 5
a + b = 3

a - b = -3과 a + b = 3을 연립방정식으로 풀면 a = 0 , b = 3

a = 0, b = 3, c = 4네요.

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