숫자에 근호가 있으면 무리수, 식에 근호가 있으면 무리식이에요. 무리수와 무리식에는 숫자나 식에 하나의 근호만 씌워져 있었죠? 이번에는 근호가 두 개 씌워져 있는 식을 공부할 거예요. 근호가 하나만 씌워져 있어도 복잡한데, 두 개가 있으면 얼마나 더 복잡할까요?

근호가 두 개 씌워져 있는 걸 이중근호라고 하는데, 이중근호는 곧바로 계산할 수 없으니 두 개 중 하나를 풀어서 없애야 해요. 이 글에서는 이중근호 중 하나를 풀어내는 것도 공부할 거예요.

이중근호를 포함하고 있는 식들을 어떻게 계산하는지도 알아보죠.

이중근호

무리수 root 2는 무리수예요. root(x + 2) 무리식의 예는 무리식이고요. 는 뭘까요? 가 근호 안에 들어있어요. 이처럼 근호 안에 근호가 들어있는 식을 이중근호라고 해요.

이중근호의 형태를 잘 보면, 의 꼴이에요. 이때는 두 가지를 이용해서 이중근호를 풉니다.

첫 번째는 인수분해의 완전제곱식인데, a2 + 2ab + b2 = (a + b)2이에요. 여기서 a, b가 이중근호 설명, root a, root b로 바뀌었다고 생각해보세요. 이 되겠죠?

또 a + b ≥ 0일 때, 예요. 여기서도 a, b가 이중근호 설명, root a, root b로 바뀌었다고 생각하세요.

이 두 가지를 합치면 아래처럼 됩니다.

이중근호 풀기 증명

곱 앞에 2가 없을 때

이중근호 중에서 이중근호 형태의 꼴이 아닌 게 있어요. 곱에 해당하는 근호 앞에 2가 없을 때죠. 이때는 공식을 사용할 수 있도록 2가 오게 해야 해요. 방법은 두 가지예요. 근호 안에 있는 곱에서 2를 꺼내는 게 첫 번째예요.

근호 안의 12 = 22 × 3이니까 2를 꺼낼 수 있어서 꺼냈어요. 의 꼴이 되어서 이중근호를 풀 수 있게 되었어요. 곱해서 3, 더해서 4가 되는 수는 1과 3이에요.

2를 꺼낼 수 없으면 분자, 분모에 2를 곱해줘서 근호 앞에 2가 생기도록 하는 거예요. 이때는 분모가 무리수 root 2니까 계산 마지막에 분모의 유리화까지 해야 해요.

이중근호 풀기 보기 3

근호 안의 숫자가 3이라서 2를 꺼낼 수가 없어서 분자, 분모에 2를 곱했어요. 그랬더니 분자가  무리수 root 2의 꼴이 되어서 이중근호를 풀었습니다. 대신 분모에 가 있어서 유리화까지 해줬고요.

이중근호 풀기 2
근호 안에서 2를 빼내어 이중근호 풀기
분자, 분모에 2를 곱해서 이중근호 풀기 → 분모의 유리화

다음을 간단히 하여라.
이중근호 풀기 예제

(1)번은 곱 앞에 2가 있으니까 공식을 바로 적용해서 쓸 수 있어요.

이중근호 풀기 예제 풀이 1

(2)번은 곱 앞에 2가 없는데, 근호 안에서 2를 꺼낼 수 있어요. 꺼내서 계산하죠.

이중근호 풀기 예제 풀이 2

(3)번은 곱 앞에 2가 없는데, 근호 안에서 2를 꺼낼 수도 없으니 분자, 분모에 2를 곱해야겠네요. 마지막에는 분모의 유리화도 해야 하고요.

이중근호 풀기 예제 풀이 3

이중근호가 있는 무리식의 계산

이중근호가 있는 식들의 사칙연산은 일단 이중근호를 풀고 계산해요. 이중근호를 풀어도 근호는 남아있죠? 이후에는 제곱근의 덧셈과 뺄셈, 제곱근의 곱셈과 나눗셈에 따라 근호 안의 숫자가 같은 것끼리 더하고 빼고, 근호 안의 숫자끼리 곱하고 나눠요.

이중근호가 있는 식을 조건식으로 주고 다른 식의 값을 구하는 문제도 자주 나오는데, 풀이법이 약간 달라요.

  1. 이중근호를 푼다
  2. 상수항을 이항하여 제곱근만 남긴다
  3. 양변을 제곱하여 제곱근을 없앤다

x = 일 때, 2x2 + 4x + 5의 값을 구하여라.

일단 이중근호가 있으니까 이중근호를 풀어야겠네요.

x = 무리수 root 2
x = 무리수 root 2 - 1

이중근호를 풀고 x를 구했는데, 이걸 식에 바로 대입하면 무리수 root 2가 되는데, 이걸 직접 계산하기에는 너무 복잡하니까 계산하지 말고 x를 변형시켜보죠. 유리수인 상수항을 이항해서 우변에 무리수만 남긴 후 양변을 제곱해요.

x + 1 = 무리수 root 2
(x + 1)2 = (무리수 root 2)2
x2 + 2x + 1 = 2

x2 + 2x + 1 = 2를 이용해서 좌변을 2x2 + 4x + 5로 변형해보죠.

x2 + 2x + 1 = 2
2x2 + 4x + 2 = 4    (∵ 양변 × 2)
2x2 + 4x + 5 = 7    (∵ 양변 + 3)

x = 무리수 root 2 - 1까지 구하고 식에 대입하기보다 쉽죠? 차수가 높다든가 항의 개수가 많으면 대입하는 것보다 식을 변형시키는 게 더 쉬운 방법이라는 걸 기억하세요.

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정리해볼까요

이중근호

  • 근호 안에 근호가 들어있는 식
  • 이중근호 풀기 공식의 꼴
  • 곱 앞에 2가 없을 때 → 이중근호 기본 형태꼴로 바꾸기
    • 근호 안에서 2를 빼내어 이중근호 풀기
    • 분자, 분모에 2를 곱해서 이중근호 풀기 → 분모의 유리화

이중근호가 있는 식의 계산

  • 이중근호를 풀고 제곱근의 사칙연산에 따라 계산
  • 이중근호를 풀고, 상수항 이항 후 제곱하여 식을 변형
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