숫자에 근호가 있으면 무리수, 식에 근호가 있으면 무리식이에요. 무리수와 무리식에는 숫자나 식에 하나의 근호만 씌워져 있었죠? 이번에는 근호가 두 개 씌워져 있는 식을 공부할 거예요. 근호가 하나만 씌워져 있어도 복잡한데, 두 개가 있으면 얼마나 더 복잡할까요?
근호가 두 개 씌워져 있는 걸 이중근호라고 하는데, 이중근호는 곧바로 계산할 수 없으니 두 개 중 하나를 풀어서 없애야 해요. 이 글에서는 이중근호 중 하나를 풀어내는 것도 공부할 거예요.
이중근호를 포함하고 있는 식들을 어떻게 계산하는지도 알아보죠.
이중근호
는 무리수예요.
는 무리식이고요.
는 뭘까요?
가 근호 안에 들어있어요. 이처럼 근호 안에 근호가 들어있는 식을 이중근호라고 해요.
이중근호의 형태를 잘 보면, 의 꼴이에요. 이때는 두 가지를 이용해서 이중근호를 풉니다.
첫 번째는 인수분해의 완전제곱식인데, a2 + 2ab + b2 = (a + b)2이에요. 여기서 a, b가 로 바뀌었다고 생각해보세요.
이 되겠죠?
또 a + b ≥ 0일 때, 예요. 여기서도 a, b가
로 바뀌었다고 생각하세요.
이 두 가지를 합치면 아래처럼 됩니다.
곱 앞에 2가 없을 때
이중근호 중에서 의 꼴이 아닌 게 있어요. 곱에 해당하는 근호 앞에 2가 없을 때죠. 이때는 공식을 사용할 수 있도록 2가 오게 해야 해요. 방법은 두 가지예요. 근호 안에 있는 곱에서 2를 꺼내는 게 첫 번째예요.
근호 안의 12 = 22 × 3이니까 2를 꺼낼 수 있어서 꺼냈어요. 의 꼴이 되어서 이중근호를 풀 수 있게 되었어요. 곱해서 3, 더해서 4가 되는 수는 1과 3이에요.
2를 꺼낼 수 없으면 분자, 분모에 2를 곱해줘서 근호 앞에 2가 생기도록 하는 거예요. 이때는 분모가 니까 계산 마지막에 분모의 유리화까지 해야 해요.
근호 안의 숫자가 3이라서 2를 꺼낼 수가 없어서 분자, 분모에 2를 곱했어요. 그랬더니 분자가 의 꼴이 되어서 이중근호를 풀었습니다. 대신 분모에
가 있어서 유리화까지 해줬고요.
이중근호 풀기 2
근호 안에서 2를 빼내어 이중근호 풀기
분자, 분모에 2를 곱해서 이중근호 풀기 → 분모의 유리화
다음을 간단히 하여라.
(1)번은 곱 앞에 2가 있으니까 공식을 바로 적용해서 쓸 수 있어요.
(2)번은 곱 앞에 2가 없는데, 근호 안에서 2를 꺼낼 수 있어요. 꺼내서 계산하죠.
(3)번은 곱 앞에 2가 없는데, 근호 안에서 2를 꺼낼 수도 없으니 분자, 분모에 2를 곱해야겠네요. 마지막에는 분모의 유리화도 해야 하고요.
이중근호가 있는 무리식의 계산
이중근호가 있는 식들의 사칙연산은 일단 이중근호를 풀고 계산해요. 이중근호를 풀어도 근호는 남아있죠? 이후에는 제곱근의 덧셈과 뺄셈, 제곱근의 곱셈과 나눗셈에 따라 근호 안의 숫자가 같은 것끼리 더하고 빼고, 근호 안의 숫자끼리 곱하고 나눠요.
이중근호가 있는 식을 조건식으로 주고 다른 식의 값을 구하는 문제도 자주 나오는데, 풀이법이 약간 달라요.
- 이중근호를 푼다
- 상수항을 이항하여 제곱근만 남긴다
- 양변을 제곱하여 제곱근을 없앤다
x = 일 때, 2x2 + 4x + 5의 값을 구하여라.
일단 이중근호가 있으니까 이중근호를 풀어야겠네요.
x =
x = - 1
이중근호를 풀고 x를 구했는데, 이걸 식에 바로 대입하면 가 되는데, 이걸 직접 계산하기에는 너무 복잡하니까 계산하지 말고 x를 변형시켜보죠. 유리수인 상수항을 이항해서 우변에 무리수만 남긴 후 양변을 제곱해요.
x + 1 =
(x + 1)2 = ()2
x2 + 2x + 1 = 2
x2 + 2x + 1 = 2를 이용해서 좌변을 2x2 + 4x + 5로 변형해보죠.
x2 + 2x + 1 = 2
2x2 + 4x + 2 = 4 (∵ 양변 × 2)
2x2 + 4x + 5 = 7 (∵ 양변 + 3)
x = - 1까지 구하고 식에 대입하기보다 쉽죠? 차수가 높다든가 항의 개수가 많으면 대입하는 것보다 식을 변형시키는 게 더 쉬운 방법이라는 걸 기억하세요.
함께 보면 좋은 글
인수분해, 인수분해 공식
무리식, 무리식의 연산
무리수가 서로 같을 조건
[중등수학/중3 수학] - 분모의 유리화
[중등수학/중3 수학] - 제곱근의 덧셈과 뺄셈
[중등수학/중3 수학] - 제곱근의 곱셈과 나눗셈
고마워요 이해가 잘돼요
잘 이해가 되셨다니 다행이네요.
댓글 고맙습니다.
정말 자세하게 설명되어있어서
이해하는데 많은 도움이 되었습니다!!
궁금한게 하나 있는데요
이중근호를 풀었을때 큰수가 앞에 와야 된다고 알고 있었는데..
큰수가 앞에 오지 않으면 계산이 잘못된다고 알고 있었거든요
이게 잘못된건가요?
답변 부탁드립니다!
덧셈은 상관없고요 뺄셈일 경우에는 큰 게 앞에 와야죠.
이중근호는 기본적으로 제곱근이라서 부호가 양수예요. 이중근호를 풀었을 때 (큰 수) - (작은 수)라면 상관없지만 (작은 수) - (큰 수)라면 음수가 되서 원래 이중근호와 부호가 반대가 되잖아요.
어쩜이리 알기쉽고
자세하게 설명해주셨는지!ㅎㅎ
머리에 쏙쏙들어와요 감사합니다^^
다른 곳에도 자세히 설명해 놓은 게 많이 있으니까 둘러보세요.
저기..만약 합과 곱이 맞지 않으면요. 그니까 루트 -1+루트5는 뭐죠.
그런 문제는 안나오니까 걱정하지 마세요.
이 글 맨 밑에 무리수가 같을 조건 링크가 잘못 되어서 다시 이 글로 돌아오게 되어 있네요. 수정해주시고 좋은 하루보내세요~^^
오류 찾아주셔서 고맙습니다. 꼭 수정할께요. ㅎㅎ
와 이해가 잘 가네요 이중근호 그냥 보기만 했지 이렇게 자세하게 배운 적은 처음인데도 쉽게 이해가 가네요 감사합니다.
이중근호는 조금 어려운 내용인데 쉽게 이해하셨군요.
문제를 보고 어떤 방법을 쓸 것인가를 금방 찾아내는 연습을 하셔야 해요.
이중근호 굿굿
이중근호 이지이지
이중근호 노랑박스 조건에서 a>b>0 이부분 질문입니다 꼭0보다 커야하나요 만약 0보다 작은 조건에서도 a>b는 성립할 수도 있잖아요~ 이중근호 공부 열심히해도 뒷끝이 찜찜한부분입니다. 루트안이 음수가 되는 허수일 조건에서는 이중근호 벗기는게 해당안된다는 말인가요? 정말 너무 궁굼합니다
http://jmnote.com/wiki/%EC%9D%B4%EC%A4%91%EA%B7%BC%ED%98%B8 에 잘 정리되어 있네요.
이중근호, 이제 두렵지않아요!
두렵지 않죠? ㅎㅎ
모의고사 풀다가 이중근호 하도옛날에 배워서 다들 까먹은지라 곤란햇엇는데 큰도움이 됫네요. 감사합니다.
잘 오셨어요. 혹시 다른 것도 까먹어서 생각나지 않으면 또 오세요.
근데 저 보기문제 (2)에서 왜 루트2+루트1이 아니라 그냥 자연수 1인가요?
"루트 1 = 자연수 1" 이니까요.
와 자세히 알려주셔서 감사합니다.
그런데 혹시 미적분 1,2도 포스팅할 계획 있으신가요? 정말 명쾌한 설명이어서 독학하는 저로서는 미적분 시리즈도 정말 좋을것 같아서요.
계획은 있긴한데, 언제 실행할 수 있을지 모르겠어요. ㅠㅠ
독학하고 있어도 이해가 되니 든든합니다. 많이 알려 지면 좋겠어요.
많이 알려주세요. ㅎㅎ
알기 쉽고 자세하게 설명해주셔서 이해가 너무 잘 됐어요. 감사합니다!!
그래요. 저 복 많이 받을게요.
"복 많이 받으세요"님도 복 많이 받으세요. ㅎㅎ
합 곱 에서 t놓고 이차방정식을 풀어도 무리수로 나오면 안되는가요
t놓는다는 게 무슨 뜻이에요?
좋은 내용 유익하게 잘 보고갑니다~~
감사합니다!
감사합니다.