다항식의 최대공약수와 최소공배수의 활용

다항식의 약수와 배수, 최대공약수와 최소공배수에서 다항식에서도 약수와 배수가 있다고 했어요. 그리고 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법을 공부했고요.

이 글에서는 최대공약수와 최소공배수 사이에 어떤 관계가 있는지 알아보고, 이를 이용해서 문제를 풀어볼 거예요.

최대공약수와 최소공배수의 관계는 [중등수학/중1 수학] - 최대공약수와 최소공배수의 관계에서 공부한 적이 있어요. 원리는 같은데, 중학교 때는 숫자를 이용했다면 이제는 다항식을 이용하는 거죠.

추가로 다항식의 합과 차, 곱, 최대공약수, 최소공배수 사이의 관계도 공부할 거예요.

두 다항식 A, B의 최대공약수를 G, 최고공배수를 L이라고 하면

a, b는 서로소
최대공약수 = G
최소공배수 L = abG

A를 G로 나눈 몫이 a니까 A = aG, B를 G로 나눈 몫이 b니까 B = bG 가 되겠죠?

A, B의 사칙연산을 해보죠.

두 다항식의 사칙연산을 해보면, 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 최대공약수인 G가 들어있다는 걸 알 수 있어요. 나눗셈에는 들어있지 않네요. 특히 두 다항식을 곱한 것과 최대공약수와 최소공배수를 곱한 게 같다는 것도 알 수 있어요.

A ± B = (a ± b)G
AB = LG → 두 다항식의 곱 = (최대공약수) × (최소공배수)

이차항의 계수가 1인 두 이차식 A, B의 최대공약수가 x - 1, 최소공배수는 x³ + 4x² + x - 6일 때, 두 다항식 A, B를 구하여라.

A = aG, B = bG, G = x - 1, L = abG = x³ + 4x² + x - 6이에요. (a, b는 서로소)

L을 인수정리를 이용한 인수분해를 해보죠. L은 G를 인수로 가지니까 x - 1로 나누어떨어져요.

다항식의 최대공약수와 최소공배수의 활용 예제 1 풀이

L = (x - 1)(x² + 5x + 6)
= (x - 1)(x + 2)(x + 3)

L = abG로 G = x - 1이니까 x - 1을 제외한 나머지 두 인수가 ab에 해당하겠죠? 둘 중 하나를 a라고 하면 나머지 하나는 b가 될 거예요. a = (x + 2), b = (x + 3)이라고 해보죠. a, b를 바꿔도 상관은 없어요.

A = aG = (x - 1)(x + 2), B = bG = (x - 1)(x + 3)이네요.

이차항의 계수가 1인 두 이차식의 곱이 x⁴ - 9x² + 4x + 12이고, 최대공약수가 일차식일 때, 두 다항식의 합을 구하여라.

두 다항식을 A, B, 두 다항식의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라고 해보죠. A = aG, B = bG, A + B = (a + b)G, AB = abG² = LG예요.

다항식의 최대공약수와 최소공배수의 활용 예제 풀이

AB = x⁴ - 9x² + 4x + 12
     = (x + 1)(x - 2)(x² + x - 6)
     = (x + 1)(x - 2)(x - 2)(x + 3)
     = (x - 2)²(x + 1)(x + 3)

AB = abG²이므로 일차식의 제곱인 (x - 2)가 G에 해당하고, 남은 인수가 a, b겠죠. a = x + 1, b = x + 3이라고 해보죠. 물론 a, b가 바꿔도 상관없어요.

A + B = (a + b)G = (x + 1 + x + 3)(x - 2) = (2x + 4)(x - 2) = 2(x + 2)(x - 2)

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