다항식의 약수와 배수, 최대공약수와 최소공배수에서 다항식에서도 약수와 배수가 있다고 했어요. 그리고 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법을 공부했고요.

이 글에서는 최대공약수와 최소공배수 사이에 어떤 관계가 있는지 알아보고, 이를 이용해서 문제를 풀어볼 거예요.

최대공약수와 최소공배수의 관계는 [중등수학/중1 수학] - 최대공약수와 최소공배수의 관계에서 공부한 적이 있어요. 원리는 같은데, 중학교 때는 숫자를 이용했다면 이제는 다항식을 이용하는 거죠.

추가로 다항식의 합과 차, 곱, 최대공약수, 최소공배수 사이의 관계도 공부할 거예요.

다항식의 최대공약수와 최소공배수의 활용

두 다항식 A, B의 최대공약수를 G, 최고공배수를 L이라고 하면

최대공약수와 최소공배수의 관계
a, b는 서로소
최대공약수 = G
최소공배수 L = abG

A를 G로 나눈 몫이 a니까 A = aG, B를 G로 나눈 몫이 b니까 B = bG 가 되겠죠?

A, B의 사칙연산을 해보죠.

  • A + B = aG + bG = (a + b)G
  • A - B = aG - bG = (a - b)G
  • AB = aG × bG = abG2 = LG
  • A ÷ B = aG ÷ bG = a/b

두 다항식의 사칙연산을 해보면, 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 최대공약수인 G가 들어있다는 걸 알 수 있어요. 나눗셈에는 들어있지 않네요. 특히 두 다항식을 곱한 것과 최대공약수와 최소공배수를 곱한 게 같다는 것도 알 수 있어요.

A ± B = (a ± b)G
AB = LG → 두 다항식의 곱 = (최대공약수) × (최소공배수)

이차항의 계수가 1인 두 이차식 A, B의 최대공약수가 x - 1, 최소공배수는 x3 + 4x2 + x - 6일 때, 두 다항식 A, B를 구하여라.

A = aG, B = bG, G = x - 1, L = abG = x3 + 4x2 + x - 6이에요. (a, b는 서로소)

L을 인수정리를 이용한 인수분해를 해보죠. L은 G를 인수로 가지니까 x - 1로 나누어떨어져요.

다항식의 최대공약수와 최소공배수의 활용 예제 1 풀이

L = (x - 1)(x2 + 5x + 6)
   = (x - 1)(x + 2)(x + 3)

L = abG로 G = x - 1이니까 x - 1을 제외한 나머지 두 인수가 ab에 해당하겠죠? 둘 중 하나를 a라고 하면 나머지 하나는 b가 될 거예요. a = (x + 2), b = (x + 3)이라고 해보죠. a, b를 바꿔도 상관은 없어요.

A = aG = (x - 1)(x + 2), B = bG = (x - 1)(x + 3)이네요.

이차항의 계수가 1인 두 이차식의 곱이 x4 - 9x2 + 4x + 12이고, 최대공약수가 일차식일 때, 두 다항식의 합을 구하여라.

두 다항식을 A, B, 두 다항식의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라고 해보죠. A = aG, B = bG, A + B = (a + b)G, AB = abG2 = LG예요.

AB를 인수정리를 이용한 인수분해로 인수분해 해볼까요?

다항식의 최대공약수와 최소공배수의 활용 예제 풀이

AB = x4 - 9x2 + 4x + 12
     = (x + 1)(x - 2)(x2 + x - 6)
     = (x + 1)(x - 2)(x - 2)(x + 3)
     = (x - 2)2(x + 1)(x + 3)

AB = abG2이므로 일차식의 제곱인 (x - 2)가 G에 해당하고, 남은 인수가 a, b겠죠. a = x + 1, b = x + 3이라고 해보죠. 물론 a, b가 바꿔도 상관없어요.

A + B = (a + b)G = (x + 1 + x + 3)(x - 2) = (2x + 4)(x - 2) = 2(x + 2)(x - 2)

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정리해볼까요

최대공약수와 최소공배수의 활용

  • 두 다항식을 A, B, 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라고 할 때
  • A ± B = (a ± b)G
  • AB = abG2 = LG
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