절대부등식은 항상 성립하는 부등식이라고 했어요. 절대부등식의 종류는 매우 많으니까 굳이 다 알고 있을 필요는 없어요.
하지만 꼭 알고 있어야 하는 절대부등식이 몇 가지 있죠. 바로 산술, 기하, 조화평균에 관한 절대부등식이에요. 이 절대부등식을 증명할 수 있어야 할 뿐 아니라 공식으로 외워야 합니다.
산술, 기하, 조화평균에 관한 절대부등식이 어떤 것인지, 어떻게 증명하는지, 이 공식을 이용해서 어떤 문제를 푸는지에 대해서 공부해보죠.
산술, 기하, 조화평균
산술 평균은 시험 점수나 키 평균처럼 우리가 익히 알고 있는 평균을 말해요. 기하평균과 조화평균은 2학년이 되면 공부할 테니까 여기서는 그냥 넘어가고 어떻게 구하는지만 알아봐요.
두 수 a, b의 산술평균 =
두 수 a, b의 기하평균 =
두 수 a, b의 조화평균 =
결론부터 얘기하자면, 이 산술, 기하, 조화평균 사이에는 재미있는 규칙이 있는데, 이 규칙을 부등식으로 나타냈더니 a, b에 상관없이 항상 성립하는 절대부등식이 된 거예요.
a > 0, b > 0일 때
(등호는 a = b일 때 성립)
그리고 중요한 것 한 가지. 이 평균들의 절대부등식을 이용할 때는 숫자들이 모두 양수여야 한다는 거예요.
산술, 기하평균
우선, 산술평균과 기하평균 사이의 관계부터 증명해보죠.
이니까 부등식은 참이 되죠? 그리고 a = b이면 0이 되어 등호가 성립해요.
이 산술, 기하평균을 보면 두 수의 합과 곱으로 되어 있죠? 합이 있는 왼쪽이 더 크거나 같아요. 그래서 이 공식의 특징을 이용해서 합과 곱의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제가 많이 나와요.
- 두 수의 합이 주어졌을 때 곱의 최댓값
- 두 수의 곱이 주어졌을 때 합의 최솟값
- 두 분수의 합의 최솟값(두 분수를 곱해서 숫자만 남을 때)
a > 0, b > 0일 때 다음을 구하여라.
(1) a + b = 4일 때 ab의 최댓값
(2) ab = 9일 때 a + b의 최솟값
(3) 의 최솟값
산술, 기하평균 사이의 관계식 의 각 자리에 숫자를 대입하면 돼요. a > 0, b > 0,
> 0이에요.
ab는 4보다 작거나 같으므로 두 수의 곱의 최댓값은 4
a + b는 6보다 크거나 같으므로 두 수의 합의 최솟값은 6
(3)번은 두 수의 합의 최솟값을 구하라고 했어요. (2)에서는 합의 최솟값을 구할 때 두 수의 곱을 알려줬는데, 여기서는 알려주지 않았죠? 두 수를 곱하면 문자가 없어지고 숫자만 남아서 곱을 구할 수 있으니까요.
분수면 식이 복잡해지니까 산술, 기하평균의 절대부등식의 모양을 조금 바꿔서 대입해보죠.
위 식에 두 분수를 대입해보죠.
두 분수의 합의 최솟값은
기하, 조화평균
이번에는 기하평균과 조화평균의 관계를 증명해보죠.
a > 0, b> 0일 때 > 0이고
이니까 부등식은 참이죠? 그리고 a = b이면 0이 되어 등호가 성립해요.
기하, 조화평균을 이용한 문제는 별로 나오지 않지만 위 과정을 통해서 증명할 수 있어야 해요.
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이해가 잘되서 요즘 수학이 재밌네요
감사합니다!
어려운 개념을 알아가고 문제를 푸는 재미가 쏠쏠하죠?
산술평균 기하평균 관계증명과정에서
이항하고 분수로만드는건 이해가되는데 루트ab만있던게 바깥에 2는 어디서 나온거죠?
기하평균 조화평균 관계증명과정에서도
이항시키고 난후 분자의 a+b랑 왜 생긴건지, 그옆에 -2ab가 왜 -루트2ab가 된건지 설명좀해주세요
통분했어요.
산술 기하평균에 대해 궁금했던 찰나에 자료 보고 이해가 됬네요. 수학공부가 덕분에 즐거워 졌어요^^
수학공부가 즐겁지 않을텐데요. ㅎㅎ
설명도 자세히 되있고 이해도 잘됐네요
가르쳐 줘서 ㄱㅅㄱㅅ
댓글 남겨줘서 ㄱㅅㄱㅅ ㅎㅎ
방학때부터 수학방 블로그로 공부중인 고1인데 개념이 잘 정리되어 있어서 머리에 쏙쏙 들어오네요 감사합니다~~
하루에 한 두가지씩 읽으면 양이 많지도 않고, 공부하기에 적당할 거예요. 그리고 교과서나 다른 문제집에 있는 문제도 함께 풀어보세요.
설명이 너무 좋네요^^ 잘보고 갑니다!
네, 또 보러 오세요. ㅎㅎ
예습하는 중3인데 산술, 기하, 조화 증명이 문제집에 안나와서 헤매고 있다가 우연히 들어오게 됬어요.
그냥 무턱대고 외워서 많이 헷갈렸는데 이제 무슨 내용인지 확실히 잡힌것 같아요. 정말 감사합니다! 앞으로도 자주 와야겠어요ㅎㅎ
증명을 해보고 외우는 것과 그렇지 않은 건 차이가 많이 나죠. 앞으로도 자주 방문해주세요.
사랑해요
그건 안돼요. ㅎㅎ
기하 조화 관계 증명에서
세번 째에서 네번 째로 넘어가는 증명이 이해가 안 되네요...
산술 기하 에서는 통분으로 이해가 갔는데
이건 좀 ....
부탁드립니다.
2ab = 2 x 루트(ab) x 루트(ab)
여기서 루트(ab)로 묶어준 거예요.
무턱대고외워야하나걱정했었는데
증명잘보고갑니다^u^
정말정말감사해요!!ㅎㅎ
산술,조화평균의관계는증명할수없나요?
A >= B, B >= C면 당연히 A >= B죠.
굳이 증명을 하려면 위와 비슷하게 이항해서 통분하고 분자를 전개, 인수분해해보세요.
저만 그런가요? 절대부등식파트가 힘드네요 특히나 증명은 ....
원래 증명은 어느 단원이나 힘들죠. 힘내세요.
기하, 조화평균 증명 맞는지 봐주세요 ~~
√ab >= 2ab/a+b
ab >= 4 a^2 b^2/(a+b)^2
(a+b)^2*ab >= 4 a^2 b^2
a^2+b^2+2ab >= 4ab
a^2-2ab+b^2 >= 0
(a-b)^2 >= 0 :실수의 성질로 인한 참
부탁드립니다 !!! 항상 감사합니다!!
학교에서는 안가르쳐주는데 왜 문제집에는 나올까요
그래도 이런 사이트에서 배울 수 있어서 다행이네요
교과서는 기본에 충실할 수 있게 구성되어 있지만, 문제집에서는 응용도 포함되어 있으니까요.
예습하는 중1입니다 자주 들러서 이해가 안가는 부분에 대해 읽어보고 있습니다. 감사해요
이 내용은 중1이 할 내용이 아닌데요. ㅎㅎ
자세하게 알려주셔서 정말 감사합니다!
이왕 알려주기로 한 거 자세히 알려줘야죠.
산술기하 부등식을 다차다항식으로 증명해주실 수 있나요?
3번에서 등호성립은 몇일때되나요? 그리고 산술평균 공식에서 a,b가 같을 때 등호성립이 된다고 했는데 왜 그런건지 모르겠어요ㅠㅠ
1. 3번에서 각 분수를 A, B라고 치환(?)해서 생각하면 A = B일 때, 등호가 성립하니까 구할 수 있을 거예요.
2. 증명 과정을 보면 단순히 이항해서 증명했는데, 분자가 a = b일 때, 0이 되고 이때 등호가 성립하잖아요.
산술기하평균 증명과정 그렇게 하면 틀린답니다. 학교에서 감점하네요. 차가 양수다를 이용하여 증명해야 한다고 해요
저것도 차가 양수임을 이용해서 증명한 건데요. ㅠㅠ
설명 너무 감사해요ㅠㅠㅠ 안그래도 이해를 잘 못하고 있었는데...
-당신의 설명이 학원 시험에 어려움을 겪는 한 초딩을 구했습니다.