절대부등식 증명 - 산술, 기하, 조화평균

절대부등식은 항상 성립하는 부등식이라고 했어요. 절대부등식의 종류는 매우 많으니까 굳이 다 알고 있을 필요는 없어요.

하지만 꼭 알고 있어야 하는 절대부등식이 몇 가지 있죠. 바로 산술, 기하, 조화평균에 관한 절대부등식이에요. 이 절대부등식을 증명할 수 있어야 할 뿐 아니라 공식으로 외워야 합니다.

산술, 기하, 조화평균에 관한 절대부등식이 어떤 것인지, 어떻게 증명하는지, 이 공식을 이용해서 어떤 문제를 푸는지에 대해서 공부해보죠.

산술, 기하, 조화평균

산술 평균은 시험 점수나 키 평균처럼 우리가 익히 알고 있는 평균을 말해요. 기하평균과 조화평균은 2학년이 되면 공부할 테니까 여기서는 그냥 넘어가고 어떻게 구하는지만 알아봐요.

두 수 a, b의 산술평균 =
두 수 a, b의 기하평균 =
두 수 a, b의 조화평균 =

결론부터 얘기하자면, 이 산술, 기하, 조화평균 사이에는 재미있는 규칙이 있는데, 이 규칙을 부등식으로 나타냈더니 a, b에 상관없이 항상 성립하는 절대부등식이 된 거예요.

a > 0, b > 0일 때

(등호는 a = b일 때 성립)

그리고 중요한 것 한 가지. 이 평균들의 절대부등식을 이용할 때는 숫자들이 모두 양수여야 한다는 거예요.

산술, 기하평균

우선, 산술평균과 기하평균 사이의 관계부터 증명해보죠.

이니까 부등식은 참이 되죠? 그리고 a = b이면 0이 되어 등호가 성립해요.

이 산술, 기하평균을 보면 두 수의 합과 곱으로 되어 있죠? 합이 있는 왼쪽이 더 크거나 같아요. 그래서 이 공식의 특징을 이용해서 합과 곱의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제가 많이 나와요.

• 두 수의 합이 주어졌을 때 곱의 최댓값
• 두 수의 곱이 주어졌을 때 합의 최솟값
• 두 분수의 합의 최솟값(두 분수를 곱해서 숫자만 남을 때)

a > 0, b > 0일 때 다음을 구하여라.
(1) a + b = 4일 때 ab의 최댓값
(2) ab = 9일 때 a + b의 최솟값
(3) 의 최솟값

산술, 기하평균 사이의 관계식 의 각 자리에 숫자를 대입하면 돼요. a > 0, b > 0,  > 0이에요.

ab는 4보다 작거나 같으므로 두 수의 곱의 최댓값은 4

a + b는 6보다 크거나 같으므로 두 수의 합의 최솟값은 6

(3)번은 두 수의 합의 최솟값을 구하라고 했어요. (2)에서는 합의 최솟값을 구할 때 두 수의 곱을 알려줬는데, 여기서는 알려주지 않았죠? 두 수를 곱하면 문자가 없어지고 숫자만 남아서 곱을 구할 수 있으니까요.

분수면 식이 복잡해지니까 산술, 기하평균의 절대부등식의 모양을 조금 바꿔서 대입해보죠.

위 식에 두 분수를 대입해보죠.

두 분수의 합의 최솟값은

기하, 조화평균

이번에는 기하평균과 조화평균의 관계를 증명해보죠.

a > 0, b> 0일 때  > 0이고 이니까 부등식은 참이죠? 그리고 a = b이면 0이 되어 등호가 성립해요.

기하, 조화평균을 이용한 문제는 별로 나오지 않지만 위 과정을 통해서 증명할 수 있어야 해요.

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정리해볼까요

산술, 기하, 조화평균

a > 0, b > 0일 때

(등호는 a = b일 때 성립)

산술, 기하평균을 이용하는 문제

• 두 수의 합이 주어졌을 때 곱의 최댓값
• 두 수의 곱이 주어졌을 때 합의 최솟값
• 두 분수의 합의 최솟값(두 분수를 곱해서 숫자만 남을 때)

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