이차부등식의 해를 구할 때 판별식을 보면 해를 구할 수 있어요. 물론 해를 바로 구할 수 있는 경우도 있고, 아닌 경우도 있지만 판별식을 보면 대충 감이 오죠.
판별식은 이차방정식의 판별식, 실근, 허근에서 근의 개수와 종류를 알아보기 위해서 사용했던 식으로 여기서도 똑같이 D = b2 - 4ac에요.
이차부등식에서 사용하는 부등호는 >, ≥, <, ≤ 네 가지이므로 이 네 부등호를 가진 이차부등식의 해와 판별식 D 사이의 관계를 알아보죠.
판별식과 이차부등식의 해
판별식 D > 0일 때
이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a > 0) 에서 좌변만 보죠. D > 0이면 두 근을 가져요. 이 근을 α, β (α < β)라고 하면, a(x - α)(x - β)로 인수분해가 돼요.
ax2 + bx + c = 0
a(x - α)(x - β) = 0
이차방정식에서 양변은 그대로 두고, 등호만 부등호로 바꿔보죠.
ax2 + bx + c > 0
a(x - α)(x - β) > 0
이차부등식, 이차부등식의 해에서 봤던 꼴이죠? 이때는 해가 어떻게 된다고 했나요?
a(x - α)(x - β) > 0 → x < α or x > β
a(x - α)(x - β) ≥ 0 → x ≤ α or x ≥ β
a(x - α)(x - β) < 0 → α < x < β
a(x - α)(x - β) ≤ 0 → α ≤ x ≤ β
판별식 D = 0일 때
이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a > 0) 에서 판별식 D = 0이면 완전제곱식이 되고, 중근을 가져요. 이때의 해를 α라고 해보죠.
ax2 + bx + c = 0
a(x - α)2 = 0
이번에도 양변은 그대로 두고, 등호만 부등호로 바꿔보죠.
ax2 + bx + c > 0
a(x - α)2 > 0
어떤 실수의 제곱은 0보다 크거나 같아요. x = α이면 좌변은 0이 돼서 부등식이 성립하지 않아요. x ≠ α일 때는 부등식이 성립하죠. 따라서 이때의 해는 x ≠ α인 모든 실수가 되겠죠?
ax2 + bx + c ≥ 0
a(x - α)2 ≥ 0
위 식에서는 x = α면 좌변이 0이 되고, 부등식이 성립해요. 물론 x ≠ α일 때도 성립하죠. 따라서 해는 모든 실수가 됩니다.
ax2 + bx + c < 0
a(x - α)2 < 0
좌변은 실수의 제곱과 양수 a의 곱이므로 0보다 크거나 같아요. 따라서 해는 없어요.
ax2 + bx + c ≤ 0
a(x - α)2 ≤ 0
위 식에서는 x = α면 좌변이 0이 되고, 부등식이 성립해요. 그 외에는 성립하지 않죠. 따라서 해는 x = α에요.
판별식 D < 0일 때
D < 0이면 일반적인 방법으로는 인수분해가 되지 않아요. 그래서 조금 다른 방법으로 해를 구해야 해요.
중학교 때 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이에서 주어진 식을 완전제곱식으로 변형하는 걸 해봤어요. 이걸 이용해보죠.
정리해보면, 
앞에 있는 항은 제곱이니까 
ax2 + bx + c > 0과 ax2 + bx + c ≥ 0은 항상 성립하므로 해는 모든 실수이고, ax2 + bx + c < 0과 ax2 + bx + c ≤ 0은 해가 없지요.
판별식과 이차부등식의 해
설명이 길었는데, 정리해보면 아래 표로 간단히 나타낼 수 있어요.
| D > 0 | D = 0 | D < 0 | |
|---|---|---|---|
| ax2 + bx + c > 0 | x < α or x > β | x ≠ α인 모든 실수 | 모든 실수 |
| ax2 + bx + c ≥ 0 | x ≤ α or x ≥ β | 모든 실수 | 모든 실수 |
| ax2 + bx + c < 0 | α < x < β | 해는 없다. | 해는 없다. |
| ax2 + bx + c ≤ 0 | α ≤ x ≤ β | x = α | 해는 없다. |
다음 부등식의 해를 구하여라.
(1) x2 - 4x + 4 > 0
(2) x2 - 4x + 4 ≤ 0
(1) 좌변을 인수분해 해보죠.
x2 - 4x + 4 > 0
(x - 2)2 > 0
좌변이 완전제곱식으로 인수분해가 됐으니 D = 0이네요. 판별식을 따로 구해보지 않아도 알 수 있죠? 이때는 x = 2이면 좌변이 0이 되어서 성립하지 않지만 x ≠ 2이면 부등식이 성립하죠? 따라서 해는 x ≠ 2인 모든 실수가 됩니다.
(2) x2 - 4x + 4 ≤ 0
(x - 2)2 ≤ 0
x = 2일 때는 좌변이 0이므로 식이 성립하지만, 그 외에는 좌변 > 0이므로 식이 성립하지 않아요. 따라서 해는 x = 2네요.
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맨 위에 판별식과 이차부등식의 해에서
판별식 D > 0일 때
첫 째 줄에... ~ D > 0이면 두 근을 갖어요. --> 가져요 .오타 났어여
오타..ㅋㅋ
감사합니다 덕북에 끙끙 알앗던이차부등식이 이혜됫어요 ㅎㅎ
이차부등식과 판별식의 관계는 2학기에 또 나오니까 잊어버리지 않도록 하세요. 그 때는 더 쉬울 거예요.
비밀댓글입니다
≥은 "크거나 같다" 잖아요. 크거나 같거나 둘 중에 하나만 만족하면 돼요.
ax^2 + bx + c는 항상 양수로 "크거나 같다." 중 "크다"를 만족하니까 해는 모든 실수인 거죠.
빠른 답변 정말 감사합니다
매번 잘보고 있는데 궁금한 걸 찾아볼 때마다 자세히 설명돼있어 이해하기가 쉬웠어요 앞으로도 종종 많은 도움 부탁드릴게요~^^
판별식을 응용해서 푸는 문제들을 보면 가끔씩 판별식이 d/4로 표시되어 있는 경우가 있습니다. 이때는 어떻게 해야 하나요?
D가 근의 공식의 근호 안의 부분이라면 D/4는 짝수 공식의 근호 안 부분이에요. 근의 공식, 짝수 공식(http://mathbang.net/30)
일차항의 계수가 짝수일 때 D/4로 하면 계산이 간단하지만 결과는 그냥 D로 하는 것과 같아요.
말씀대로 하루한개씩만 합니다
사실은 지금부터 어려워서요ㅠ
하루에 한 개를 두 번씩 읽으시면 되겠네요. ㅎㅎ
겨우 두번만요?? 이제껏 강의 최소3번이상은 읽었어요~ㅋ
그럼 3번씩 두 번??
이차부등식의 해는 곧 그 이차부등식을 만족시키기 위한 필요충분조건이라고도 할 수 있나요? 예를 들어 (x-3)(x-2)>0의 필요충분조건이 x>3 또는 x<2라고 할 수 있나요?
감사합니다우ㅜ
선생님 항상 감사하게 잘 보고 있습니다. 50이 넘어 공부하기가 넘 힘들지만, 그래도 선생님께서 쉽게 풀이해 주셔서 어느정도는 다 이해하는데, 완전제곱식 과정 펼치기에서 마지막부분에 분모가 4a제곱에서 4a로 되었는데 왜? 그렇게 되는지 모르겠습니다. 쉽게 가르쳐 주시면 감사하겠습니다.
분수 부분이 중괄호 밖으로 빠져나오면서 괄호 앞의 a와 약분됐어요.
또 궁금한 거 생기면 질문해주세요.
선생님 그 a(x + b/2a)^2 - D/4a는 각 각 떨어져 있는 2개의 항이 잖아요? 그런데 어째서
-D/4a > 0인데
ax^2 + bx + c >= 0이 왜 항상 성립할 수 있는가에 대해 의문이 생겨서 여쭈어보았습니다.
앞의 항은 a > 0이고 제곱인 항의 곱이니까 0보다 크거나 같죠? 뒤에 있는 항이 0보다 크거나 같은 건 댓글에 쓰셨고요.
2개 항이 모두 0보다 크거나 같으니까 2개 항을 더해서 만들어진 다항식 역시 0보다 크거나 같다는 뜻이에요.