연립방정식 - 연립이차방정식의 풀이 2

이차방정식과 일차방정식의 연립방정식를 풀 때는 일차식을 이차식에 대입했어요. 이차방정식 두 개가 연립된 연립이차방정식의 풀이에서는 이차방정식 중의 하나를 인수분해하고, 인수분해된 일차식을 이차방정식에 대입해서 풀었죠.

이 글에서 공부할 연립이차방정식의 풀이는 이차방정식로 된 연립이차방정식에서 두 이차방정식이 모두 인수분해가 되지 않는 경우예요. 이차식을 그대로 사용할 수가 없으니까 일차식으로 바꿔야 하는데, 이게 이 글에서 가장 중요한 내용입니다.

이차식을 어떻게 일차식으로 바꾸는지 알아보죠.

연립방정식 - 연립이차방정식의 풀이

연립이차방정식의 기본 풀이는 일차방정식을 만들고, 이 일차방정식을 이차방정식과 연립해서 푸는 거예요.

연립이차방정식에서 이차방정식 중 하나가 인수분해되면 인수분해를 해서 일차방정식 두 개를 얻어요. 이 일차방정식들과 이차방정식을 이용해서 새로운 연립이차방정식을 두 개 만들어서 해를 구했어요.

두 이차방정식이 모두 인수분해가 안 될 때도 일차식을 얻어야하는데, xy항이 있을 때와 없을 때가 달라요. xy항이 없을 때는 인수분해를 하지 않아도 일차방정식을 얻을 수 있고, xy항이 있으면 인수분해를 해야 일차방정식을 얻을 수 있어요.

xy항이 없을 때 - 최고차항 제거

두 이차방정식이 모두 인수분해되지 않고, xy항이 없으면 최고차항을 없애요. 최고차항이 2차니까 없애면 일차항으로만 된 일차방정식이 남겠죠. 남은 일차방정식과 문제에서 주어진 이차방정식 중 하나를 연립해서 새로운 연립이차방정식을 만들어서 푸는 겁니다.

다음 연립방정식의 해를 구하여라.

연립이차방정식에서 위의 식을 ①, 아래 식을 ②이라고 해보죠. 두 식 모두 인수분해가 되지 않고, xy항이 없으니까 최고차항인 x²을 제거해보죠. ① × 2 - ② × 3하면 되겠네요.

6x² + 4y - 10x = 8 … ① × 2
6x² - 15y + 9x = 27 … ② × 3

19y - 19x = -19 … ① × 2 - ② × 3
x - y = 1

일차방정식이 생겼는데 이 일차방정식과 이차방정식 중 하나를 골라서 새로운 연립이차방정식을 만들어요. ①을 골라보죠.

일차방정식과 이차방정식의 연립이므로 일차방정식을 한 문자에 대해서 정리한 후에 이차방정식에 대입해요.

x - y = 1
y = x - 1      → ①에 대입

3x² + 2(x - 1) - 5x = 4
3x² + 2x - 2 - 5x - 4 =0
3x² - 3x - 6 = 0
x² - x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0

x = -1 or x = 2
y = -2 or y = 1    (∵ y = x - 1)

xy 항이 있을 때 - 상수항 제거

연립이차방정식에서 두 이차방정식이 모두 인수분해가 되지 않고, xy항이 있으면 상수항을 제거해요. 이렇게 없앤 식을 인수분해할 수 있는데, 인수분해하면 일차식 두 개의 곱으로 되죠? 두 일차방정식과 원래 문제 있던 이차방정식을 이용해서 새로운 연립이차방정식을 만들어 풀면 됩니다. 이때 이차방정식이 두 개인데, 아무거나 선택해도 상관없어요.

다음 연립방정식의 해를 구하여라.

연립이차방정식에서 위의 식을 ①, 아래 식을 ②이라고 해보죠. 두 식 모두 인수분해가 되지 않고, xy항이 있으니까 상수항을 제거해보죠. ① × 2 + ②하면 상수항이 없어지겠네요.

2x² - 2xy + 2y² = 14 … ① × 2
4x² - 9xy + y² = -14 … ②

6x² - 11xy + 3y² = 0 … ① × 2 + ②

(2x - 3y)(3x - y) = 0
2x - 3y = 0 or 3x - y = 0

상수항을 제거하고 인수분해를 했더니 두 일차식의 곱이 됐어요. 이 두 일차방정식과 원래의 이차방정식 중 하나를 연립해서 새로운 연립이차방정식을 만들어요. ①을 골라보죠.

새롭게 만들어진 연립이차방정식을 풀어볼까요? 연립이차방정식의 풀이에서 일차방정식과 이차방정식이 연립된 연립이차방정식에서는 일차방정식을 한 문자에 대해서 정리한 후에 이차방정식에 대입해서 푼다고 했어요.

왼쪽의 연립이차방정식부터 풀어보죠.

2x - 3y = 0
     → ①에 대입

y = ±2   (∵ )

이번에는 오른쪽 연립이차방정식을 풀어보죠.

3x - y = 0
y = 3x     → ①에 대입

x² - x × 3x + (3x)² = 7
x² - 3x² + 9x² = 7
7x² = 7
x² = 1
x = ± 1
y = ± 3   (∵ y = 3x)

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정리해볼까요

연립이차방정식의 풀이 - 인수분해가 되지 않고 xy항이 없을 때

1. 최고차항을 제거하여 일차식을 얻음
2. ①에서 얻은 일차방정식과 문제에서 주어진 이차방정식 중 하나를 연립
3. 일차방정식을 한 문자에 관하여 정리 후 이차방정식에 대입
4. ③의 이차식방정식 풀이
5. ④의 해를 ①에 대입하여 남은 미지수의 값을 구함

연립이차방정식의 풀이 - 인수분해가 되지 않고 xy항이 있을 때

1. 상수항을 제거한 후 인수분해
2. ①에서 얻은 두 일차방정식과 문제에서 주어진 이차방정식 중 하나를 연립하여 두 개의 연립방정식을 세움
3. ②에서 얻은 두 연립방정식을 각각 풀이

연립이차방정식의 풀이 1

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