이차방정식과 일차방정식의 연립방정식를 풀 때는 일차식을 이차식에 대입했어요. 이차방정식 두 개가 연립된 연립이차방정식의 풀이에서는 이차방정식 중의 하나를 인수분해하고, 인수분해된 일차식을 이차방정식에 대입해서 풀었죠.
이 글에서 공부할 연립이차방정식의 풀이는 이차방정식로 된 연립이차방정식에서 두 이차방정식이 모두 인수분해가 되지 않는 경우예요. 이차식을 그대로 사용할 수가 없으니까 일차식으로 바꿔야 하는데, 이게 이 글에서 가장 중요한 내용입니다.
이차식을 어떻게 일차식으로 바꾸는지 알아보죠.
연립방정식 - 연립이차방정식의 풀이
연립이차방정식의 기본 풀이는 일차방정식을 만들고, 이 일차방정식을 이차방정식과 연립해서 푸는 거예요.
연립이차방정식에서 이차방정식 중 하나가 인수분해되면 인수분해를 해서 일차방정식 두 개를 얻어요. 이 일차방정식들과 이차방정식을 이용해서 새로운 연립이차방정식을 두 개 만들어서 해를 구했어요.
두 이차방정식이 모두 인수분해가 안 될 때도 일차식을 얻어야하는데, xy항이 있을 때와 없을 때가 달라요. xy항이 없을 때는 인수분해를 하지 않아도 일차방정식을 얻을 수 있고, xy항이 있으면 인수분해를 해야 일차방정식을 얻을 수 있어요.
xy항이 없을 때 - 최고차항 제거
두 이차방정식이 모두 인수분해되지 않고, xy항이 없으면 최고차항을 없애요. 최고차항이 2차니까 없애면 일차항으로만 된 일차방정식이 남겠죠. 남은 일차방정식과 문제에서 주어진 이차방정식 중 하나를 연립해서 새로운 연립이차방정식을 만들어서 푸는 겁니다.
다음 연립방정식의 해를 구하여라.
연립이차방정식에서 위의 식을 ①, 아래 식을 ②이라고 해보죠. 두 식 모두 인수분해가 되지 않고, xy항이 없으니까 최고차항인 x2을 제거해보죠. ① × 2 - ② × 3하면 되겠네요.
6x2 + 4y - 10x = 8 … ① × 2
6x2 - 15y + 9x = 27 … ② × 3
19y - 19x = -19 … ① × 2 - ② × 3
x - y = 1
일차방정식이 생겼는데 이 일차방정식과 이차방정식 중 하나를 골라서 새로운 연립이차방정식을 만들어요. ①을 골라보죠.
일차방정식과 이차방정식의 연립이므로 일차방정식을 한 문자에 대해서 정리한 후에 이차방정식에 대입해요.
x - y = 1
y = x - 1 → ①에 대입
3x2 + 2(x - 1) - 5x = 4
3x2 + 2x - 2 - 5x - 4 =0
3x2 - 3x - 6 = 0
x2 - x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0
x = -1 or x = 2
y = -2 or y = 1 (∵ y = x - 1)
xy 항이 있을 때 - 상수항 제거
연립이차방정식에서 두 이차방정식이 모두 인수분해가 되지 않고, xy항이 있으면 상수항을 제거해요. 이렇게 없앤 식을 인수분해할 수 있는데, 인수분해하면 일차식 두 개의 곱으로 되죠? 두 일차방정식과 원래 문제 있던 이차방정식을 이용해서 새로운 연립이차방정식을 만들어 풀면 됩니다. 이때 이차방정식이 두 개인데, 아무거나 선택해도 상관없어요.
다음 연립방정식의 해를 구하여라.
연립이차방정식에서 위의 식을 ①, 아래 식을 ②이라고 해보죠. 두 식 모두 인수분해가 되지 않고, xy항이 있으니까 상수항을 제거해보죠. ① × 2 + ②하면 상수항이 없어지겠네요.
2x2 - 2xy + 2y2 = 14 … ① × 2
4x2 - 9xy + y2 = -14 … ②
6x2 - 11xy + 3y2 = 0 … ① × 2 + ②
(2x - 3y)(3x - y) = 0
2x - 3y = 0 or 3x - y = 0
상수항을 제거하고 인수분해를 했더니 두 일차식의 곱이 됐어요. 이 두 일차방정식과 원래의 이차방정식 중 하나를 연립해서 새로운 연립이차방정식을 만들어요. ①을 골라보죠.
새롭게 만들어진 연립이차방정식을 풀어볼까요? 연립이차방정식의 풀이에서 일차방정식과 이차방정식이 연립된 연립이차방정식에서는 일차방정식을 한 문자에 대해서 정리한 후에 이차방정식에 대입해서 푼다고 했어요.
왼쪽의 연립이차방정식부터 풀어보죠.
2x - 3y = 0
y = ±2 (∵
이번에는 오른쪽 연립이차방정식을 풀어보죠.
3x - y = 0
y = 3x → ①에 대입
x2 - x × 3x + (3x)2 = 7
x2 - 3x2 + 9x2 = 7
7x2 = 7
x2 = 1
x = ± 1
y = ± 3 (∵ y = 3x)
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