이차방정식의 해를 구할 때 어떻게 했나요? 인수분해를 하고, 인수를 0으로 만드는 수를 근 α, β라고 했었죠? 이 과정을 거꾸로 해서 두 근 α, β를 알려주고 이차방정식을 구하는 걸 두 수를 근으로 하는 이차방정식에서 해봤어요.
여기서도 마찬가지로 이차부등식, 이차부등식의 해에서는 식을 주고 해를 구하는 거였는데, 이번에는 해를 알려주고 이차부등식을 구하는 거예요.
기존에 공부했던 내용을 거꾸로만 하면 되니까 앞에서 했던 내용을 잘 기억한다면 어렵지 않은 내용이에요.
이차부등식의 작성
이차부등식, 이차부등식의 해에서 부등식에 따라 해를 어떻게 구했는지 정리해볼까요?
a > 0, α < β일 때
a(x - α)(x - β) > 0 → x < α or x > β
a(x - α)(x - β) ≥ 0 → x ≤ α or x ≥ β
a(x - α)(x - β) < 0 → α < x < β
a(x - α)(x - β) ≤ 0 → α ≤ x ≤ β
이 글에서는 위 내용에서 화살표를 거꾸로 갈 거예요.
해가 어떤 모양으로 생겼는지 그리고 부등호에 등호가 포함되었는지를 잘 봐야 해요. 편의상 위에서부터 1번이라고 부를게요.
a > 0이고, α < β일 때
- x < α or x > β → a(x - α)(x - β) > 0
- x ≤ α or x ≥ β → a(x - α)(x - β) ≥ 0
- α < x < β → a(x - α)(x - β) < 0
- α ≤ x ≤ β → a(x - α)(x - β) ≤ 0
해가 -2 < x < 4이고 이차항의 계수가 2인 이차부등식을 구하여라.
해의 모양이 두 수 사이이고, 이차항의 계수가 2네요. 그리고 부등호에 등호가 없으니까 (3) a(x - α)(x - β) < 0의 형태겠네요. 이때 α = -2, β = 4, a = 2에요.
2(x + 2)(x - 4) < 0
2(x2 - 2x - 8) < 0
2x2 - 4x - 16 < 0
해가 x ≤ 3 또는 x ≥ 6이고, 이차항의 계수가 -2인 이차부등식을 구하여라.
이번에는 해의 모양이 작은 수보다 작거나 같고 큰 수보다 크거나 같아요. 등호도 포함되어 있죠. 그러니까 (2) a(x - α)(x - β) ≥ 0의 형태겠네요. α = 3, β = 6, a = -2예요.
-2(x - 3)(x - 6) ≥ 0
-2(x2 - 9x + 18) ≥ 0
-2x2 + 18x - 36 ≥ 0
이게 답일까요? 여기서 주의해야 할게 a의 부호예요. 위의 개념정리에서 사용했던 공식에서는 a > 0인데, 문제에서는 a = -2로 음수에요. 그러니까 모양이 조금 달라져야 합니다.
이때는 어떻게 하냐면 일단 이차항의 계수를 생략하고 식을 세워요.
(x - 3)(x - 6) ≥ 0
그다음에 양변에 이차항의 계수인 -2를 곱해주는 거예요. 부등식의 성질에 의해 음수를 곱하니까 부등호의 방향이 바뀌어야겠죠?
-2(x - 3)(x - 6) ≤ 0
-2(x2 - 9x + 18) ≤ 0
-2x2 + 18x - 36 ≤ 0
이차항의 계수가 음수라서 풀이도 약간 다르고, 모양도 공식과 달라요. 주의하세요.
이차부등식 x2 + (a + 1)x + 3b > 0의 해가 x < -2 또는 x > 3일 때, a + b의 값을 구하여라.
이차방정식의 해가 x < -2 또는 x > 3이고 이차항의 계수가 1, 등호가 없으니까 (1) a(x - α)(x - β) > 0꼴이네요.
(x + 2)(x - 3) > 0
x2 - x - 6 > 0
a + 1 = -1
a = -2
3b = -6
b = -2
a + b = - 2 + (-2) = -4
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두 수를 근으로 하는 이차방정식, 두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식
마지막 문제풀이에서 답은 맞으나 부등호 방향이 틀린거 같아요 작작큰큰이면 커야되는데 인수분해하는 과정에서 부등호가 반대로 되어있어요 사이값이 아니잖아요
그러네요.
마지막 (x+2)(x+3)>0 꼴 같은데요 부등호가 반대로 오타 난거 같네요
네, 오타 맞네요. 수정했습니다.
다른 글에서도 오타 찾으시면 알려주세요.
첫번째 예시 문제의 풀이에서 이차항의 계수가 1이라고 오타나 난것같네요. 답은 맞게 이차항의 계수가 2이거든요?
네, 고쳤어요. ㅠㅠ