이차방정식의 해를 구할 때 어떻게 했나요? 인수분해를 하고, 인수를 0으로 만드는 수를 근 α, β라고 했었죠? 이 과정을 거꾸로 해서 두 근 α, β를 알려주고 이차방정식을 구하는 걸 두 수를 근으로 하는 이차방정식에서 해봤어요.

여기서도 마찬가지로 이차부등식, 이차부등식의 해에서는 식을 주고 해를 구하는 거였는데, 이번에는 해를 알려주고 이차부등식을 구하는 거예요.

기존에 공부했던 내용을 거꾸로만 하면 되니까 앞에서 했던 내용을 잘 기억한다면 어렵지 않은 내용이에요.

이차부등식의 작성

이차부등식, 이차부등식의 해에서 부등식에 따라 해를 어떻게 구했는지 정리해볼까요?

a > 0, α < β일 때
a(x - α)(x - β) > 0 → x < α or x > β
a(x - α)(x - β) ≥ 0 → x ≤ α or x ≥ β
a(x - α)(x - β) < 0 → α < x < β
a(x - α)(x - β) ≤ 0 → α ≤ x ≤ β

이 글에서는 위 내용에서 화살표를 거꾸로 갈 거예요.

해가 어떤 모양으로 생겼는지 그리고 부등호에 등호가 포함되었는지를 잘 봐야 해요. 편의상 위에서부터 1번이라고 부를게요.

a > 0이고, α < β일 때

  1. x < α or x > β → a(x - α)(x - β) > 0
  2. x ≤ α or x ≥ β → a(x - α)(x - β) ≥ 0
  3. α < x < β → a(x - α)(x - β) < 0
  4. α ≤ x ≤ β → a(x - α)(x - β) ≤ 0

해가 -2 < x < 4이고 이차항의 계수가 2인 이차부등식을 구하여라.

해의 모양이 두 수 사이이고, 이차항의 계수가 1이네요. 그리고 부등호에 등호가 없으니까 (3) a(x - α)(x - β) < 0의 형태겠네요. 이때 α = -2, β = 4, a = 2에요.

2(x + 2)(x - 4) < 0
2(x2 - 2x - 8) < 0
2x2 - 4x - 16 < 0

해가 x ≤ 3 또는 x ≥ 6이고, 이차항의 계수가 -2인 이차부등식을 구하여라.

이번에는 해의 모양이 작은 수보다 작거나 같고 큰 수보다 크거나 같아요. 등호도 포함되어 있죠. 그러니까 (2) a(x - α)(x - β) ≥ 0의 형태겠네요. α = 3, β = 6, a = -2예요.

-2(x - 3)(x - 6) ≥ 0
-2(x2 - 9x + 18) ≥ 0
-2x2 + 18x - 36 ≥ 0

이게 답일까요? 여기서 주의해야 할게 a의 부호예요. 위의 개념정리에서 사용했던 공식에서는 a > 0인데, 문제에서는 a = -2로 음수에요. 그러니까 모양이 조금 달라져야 합니다.

이때는 어떻게 하냐면 일단 이차항의 계수를 생략하고 식을 세워요.

(x - 3)(x - 6) ≥ 0

그다음에 양변에 이차항의 계수인 -2를 곱해주는 거예요. 부등식의 성질에 의해 음수를 곱하니까 부등호의 방향이 바뀌어야겠죠?

-2(x - 3)(x - 6) ≤ 0
-2(x2 - 9x + 18) ≤ 0
-2x2 + 18x - 36 ≤ 0

이차항의 계수가 음수라서 풀이도 약간 다르고, 모양도 공식과 달라요. 주의하세요.

이차방정식 x2 + (a + 1)x + 3b > 0의 해가 x < -2 또는 x > 3일 때, a + b의 값을 구하여라.

이차방정식의 해가 x < -2 또는 x > 3이고 이차항의 계수가 1, 등호가 없으니까 (1) a(x - α)(x - β) > 0꼴이네요.

(x + 2)(x - 3) > 0
x2 - x - 6 > 0

a + 1 = -1
a = -2

3b = -6
b = -2

a + b = - 2 + (-2) = -4

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정리해볼까요

해가 주어졌을 때 이차부등식 구하기: a > 0, α < β일 때

  • x < α or x > β → a(x - α)(x - β) > 0
  • x ≤ α or x ≥ β → a(x - α)(x - β) ≥ 0
  • α < x < β → a(x - α)(x - β) < 0
  • α ≤ x ≤ β → a(x - α)(x - β) ≤ 0
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