절대부등식이라는 새로운 용어가 나오는데, 이 절대부등식은 증명을 통해서 이게 절대적인 힘(?)을 가지고 있다는 것을 보여줘야 해요.
절대부등식을 증명할 때 여러 가지 조건들과 성질들을 이용하는데, 이런 성질들을 잘 기억하고 있어야 해요. 새로운 성질을 공부하는 건 아니고 그동안 공부했던 여러 가지를 정리하는 차원이라고 생각하세요.
증명을 해야 하니까 내용이 조금 어려울 수 있으니 집중해서 보세요.
절대부등식
등식에 미지수가 있을 때, 미지수에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식을 항등식이라고 해요. 부등식에도 미지수가 있을 때, 미지수에 어떤 값을 대입해도 성립하는 부등식이 있는데 그걸 바로 절대부등식이라고 하지요.
이차부등식이 항상 성립할 조건을 공부했었죠? 이처럼 항상 성립하는 부등식이 절대부등식이에요.
어떤 부등식을 보고 이게 진짜로 항상 참이 되는지 알아볼 필요가 있겠죠? 절대부등식은 증명을 통해서 그게 항상 참인지 밝혀야 해요.
부등식의 증명에 이용되는 실수의 성질
부등식은 부등호로 되어 있는데, 부등호는 기본적으로 대소관계를 나타내는 거죠? 그래서 부등식의 증명에서는 실수의 대소관계에 대한 기본 성질을 이용합니다.
그 외에도 몇 가지가 더 있는데, 부등식의 증명에 사용하는 실수의 성질을 정리해보면 아래와 같아요.
- a > b ⇔ a - b > 0
- a2 ≥ 0
- a > 0, b > 0일 때
- a > b ⇔ a2 > b2
- a > 0, b > 0일 때,
- |a| ≥ a, |a|2 = a2, |a||b| = |ab|
실수의 대소비교를 할 때는 차를 이용해서 비교해요. 차가 양수면 앞에 있는 수가 더 큰 수잖아요. 그리고 모든 실수의 제곱은 0보다 크거나 같고요.
세 번째에 있는 건, 근호나 절댓값을 포함한 식을 비교할 때인데 이때는 두 식의 제곱의 차를 이용해서 대소를 비교해요.
네 번째는 절댓값의 성질이에요. 절댓값은 0 또는 양수니까 계산한 결과가 0 또는 양수라면 절댓값 기호를 그냥 없애도 상관없잖아요.
a, b, c가 실수일 때 다음 부등식을 증명하고 등호가 성립하는 경우를 구하여라.
(1) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
(2) 
(3) |a| + |b| ≥ |a + b|
(1) 우변에 있는 항을 좌변으로 이항해서 정리해보죠.
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca ≥ 0
(a - b)2 ≥ 0, (b - c)2 ≥ 0, (c - a)2 ≥ 0이므로 위 등식은 참. a = b = c일 때 등호 성립
원래 곱셈공식의 변형에 나오는 건데 등호만 부등호로 바뀐 거예요.
(2) 번은 근호가 있어요. a > 0, b > 0이니까 
양변이 모두 양수이고 제곱했을 때 좌변이 크니까 제곱하지 않았을 때도 좌변이 커요. a > 0, b > 0이니까 등호가 성립할 수는 없겠죠?
(3) |a| + |b| ≥ |a + b|도 절댓값으로 모든 항이 양수니까 제곱해서 비교해보죠. 그리고 절댓값이 있으니까 |a|2 = a2, |a||b| = |ab|도 기억하고요.
|a| + |b| ≥ |a + b|
(|a| + |b|)2 ≥ (|a + b|)2
|a|2 + 2|a||b| + |b|2 ≥ (a + b)2
a2 + 2|ab| + b2 ≥ a2 + 2ab + b2
2|ab| - 2ab ≥ 0
2(|ab| - ab) ≥ 0
|ab| ≥ ab이므로 부등식이 참. |ab| = ab일 때 즉 ab ≥ 0일 때 등호 성립. (a, b의 부호가 같거나 적어도 하나가 0일 때)
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2루트 ab가 > 0 이라면 앞서서 a, b가 양수면서 실수이기 때문에 조건없이 항상 참 아닌가요?
항상 참이죠.
안녕하세요..
저 2번 문제가 잘 이해가 가지 않는데요...;
설명 부탁 드려도 될까요?
정확하게 어느 부분이 이해가 안된다는 건가요?
2번 문제나 3번 문제는 똑같이 제곱해줘야되요 2번문제는 루트에다 제곱하니 루트 사라지죠 왼쪽항은 완전제곱식으로 하면 a+2루트ab, 오른쪽항은 식 자체에다가 제곱하는거니 그냥 a+b가 나와요 그걸 이제 왼쪽항으로 이항시켜주면 2루트ab가 0보다 크다가 나오죠
2번문제에서 등호가 성립할수는 없겠죠? 하셨는데 성립하는게 아닌가요? 제곱후 좌편이 크니 제곱전도 좌편이 크므로 >는 참 아닌가요?
루트(a) + 루트(b) > 루트(a+b)는 참이죠.
등호(=)가 성립하지 않는다는 건 루트(a) + 루트(b) = 루트(a+b)가 될 수 없다는 얘기예요.
1번문제에쓰려면 문제의조건에 c도실수라는조건이붙어야하지않나요 ?
그러네요. ㅎㅎ
선생님이 수학에서 0보다 크거나 같은거에는 대표적으로 3가지가 있다고 말했는데요~ 실수의 제곱, 절대값, 루트a 요렇게 3가지를 말했습니다. 마지막 루트a에서 궁굼한게 있네요. 루트안에 a가 음수라면 대소관계 자체를 할수가 없잖아요~ 그렇기 때문에 그냥 단순하게 루트a 라고 말하는건 보다는 a≠음수 경우에라는 조건을 달아줘야하는게 아닌가요? 아니면 애초부터 대소관계는 루트안이 음수인 허수는 제외하는거니깐 당연한거로 음수가 아는경우에서 루트a는 0보다 크거나 같다고 말씀하신건가요? 학교선생님이 그랬어요
말씀하신 것처럼 허수는 대소관계를 구할 수 없으니 편의상 애초부터 제외하는 거예요.
또 복소수 단원과 이차방정식의 해에서 허근이 나오는 경우를 빼면 복소수와 허수를 다루지 않아요. 수라고 하면 실수를 말하는 거니까 그냥 거기에 맞춰서 생각해도 좋아요.
이 단원이 저는 그렇게 헷갈리더라고요... 아무래도 증명이다 보니 더 그런것 같아요
증명은 어느 단원이나 다 어렵죠. 많이 해보는 수밖에 방법이 없어요. ㅠㅠ
와 머싯어요
멋있죠?gg
저기... 질문이 있는데 x,y,z>0일때 x\yz+y\zx+z\xy는 x+y+z와 크거나 같다를 어떻게 증명할 수 있나요?
비밀댓글입니다
a, b가 둘 다 양수거나 둘 다 음수면 |ab| = ab죠.
둘의 부호가 반대라면 곱은 음수니까 |ab| > 0 > ab고요.
둘 중 하나 또는 둘 다 0이라면 |ab| = ab = 0
따라서 |ab| >= ab 예요.
문제의 식을 정리를 했더니
2(|ab| - ab) >= 0이잖아요.
|ab| >= ab
|ab| - ab >= 0
2(|ab| - ab) >= 0 이니까 참이죠.