i² = -1이었죠? 그럼 i³, i⁴는 얼마일까요? i의 거듭제곱은 일정한 패턴이 있어요. 이 패턴을 이용하면 i¹⁰⁰, i¹⁰⁰⁰처럼 지수가 아무리 크더라도 그 값을 구할 수 있어요. 어떤 패턴이 있는지 알아보죠.

중학교에서 제곱근의 곱셈과 나눗셈을 할 때, 근호는 그대로 두고, 근호 안의 숫자끼리만 곱하거나 나누면 된다고 공부했어요. 그런데 근호 안의 숫자가 양수라는 조건이 있었죠.

허수는 근호 안의 숫자가 음수예요. 과연 근호 안의 숫자가 음수일 때도 같은 성질이 성립하는지 아니면 성립하지 않는지 알아볼 거예요.

i의 거듭제곱

i를 거듭제곱하면 특별한 성질을 발견할 수 있어요. 거듭제곱을 해보죠.

i = i
i² = -1
i³ = i × i² = i × (-1) = -i
i⁴ = i² × i² = (-1) × (-1) = 1
i⁵ = i × i⁴ = i × 1 = i
i⁶ = i² × i⁴ = (-1) × 1 = -1
i⁷ = i³ × i⁴ = -i × 1 = -i
i⁸ = i⁴ × i⁴ = 1 × 1 = 1

결과만 보면, i, -1, -i, 1이 계속 반복되고 있어요.
지수가 1, 5, 9, 13, …이면 i
지수가 2, 6, 10, 14, …이면 -1
지수가 3, 7, 11, 15, …이면 -i
지수가 4, 8, 12, 16, …이면 1

지수를 수식으로 표현하면 i의 거듭제곱은 순환하는 걸 알 수 있어요.

i²⁰¹³ + i²⁰¹⁴ + … + i²⁰⁹⁸ + i²⁰⁹⁹를 간단히 하여라.

i의 거듭제곱은 i, -1, -i, 1이 계속 반복돼요. 또 i^4n-3 + i^4n-2 + i^4n-1 + i⁴ⁿ = i + (-1) + (-i) + 1 = 0이에요. i의 거듭제곱 중 연속하는 네 개의 합은 0이 되는 거죠.

i²⁰¹³ + i²⁰¹⁴ + … + i²⁰⁹⁸ + i²⁰⁹⁹
= i²⁰⁹⁷ + i²⁰⁹⁸ + i²⁰⁹⁹               (∵ 앞에서부터 4개씩의 합 = 0)
= i²⁰⁹⁶(i + i² + i³)                      (∵ i²⁰⁹⁶로 묶기)
= i + i² + i³                                (∵ i⁴ⁿ = 1)
= i - 1 - i
= -1

음수의 제곱근의 성질

제곱근의 곱셈과 나눗셈에서 제곱근의 곱셈은 숫자끼리 곱하고 제곱근을 씌워주면 된다고 했어요.

그런데 허수의 제곱근에서도 이렇게 될까요?

이 식은 틀렸어요. 근호 속의 (-1)을 i로 바꿔서 계산해보죠.

근호안의 숫자는 6으로 같은데, 부호가 다르죠? 왜냐하면, 근호 안에 있는 (-1)때문이에요. ()² = i² = -1이잖아요.

여기서는 그냥 근호 안의 숫자를 곱해주기만 했어요.

위 세 가지 예의 차이를 보죠.

첫 번째 은 근호 안의 숫자가 둘 다 양수예요.

두 번째 은 근호 안의 숫자가 둘 다 음수고요.

세 번째 은 근호 안의 숫자가 하나는 양수, 하나는 음수예요.

즉, 근호 안의 숫자가 둘 다 음수일 때에만 근호 앞에 (-)가 붙어요.

그럼 곱셈이 아니라 나눗셈을 해보죠. 제곱근의 나눗셈에서는 근호 안의 숫자만 그냥 바로 나눗셈하고 근호를 씌워주면 됐었죠?

근호 안이 둘 다 음수일 때를 해보죠.

둘 다 근호 안이 음수일 때는 그냥 근호 안의 숫자끼리만 나눠준 것과 같아요.

이번에는 분모의 근호 안은 양수이고, 분자의 근호 안은 음수일 때에요.

분모의 근호 안은 양수, 분자의 근호 안은 음수이면 그냥 근호 안의 숫자끼리 나눠준 것과 같네요.

이번에는 분모의 근호 안은 음수이고, 분자의 근호 안은 양수일 때에요.

근호 안의 숫자끼리 계산했는데, 근호 앞에 (-)가 붙었어요.

네 가지 경우를 봤는데, 정리해보면 분모의 근호 안은 음수이고, 분자의 근호 안은 양수일 때는 근호 앞에 (-)가 붙고, 그 외에는 (-)가 붙지 않아요. 그리고 숫자는 그냥 그대로 나누죠.

음수의 제곱근의 성질

두 가지 경우를 제외하고는 제곱근의 곱셈과 나눗셈에서 했던 대로 근호 안의 숫자의 부호는 상관없이 그냥 숫자끼리 곱하거나 나누면 돼요.

다음을 간단히 하여라.

음수의 제곱근의 성질에서 곱셈은 근호 안의 숫자가 둘 다 음수일 때만 앞에 (-)를 붙이고 숫자끼리 곱해주는 거였고, 나눗셈은 분모의 근호 안의 숫자만 음수일 때 (-)를 붙이고 숫자끼리 나눠주는 거였어요.

(1)

(2) 앞에서부터 차례대로 계산해보죠.

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[중등수학/중3 수학] - 제곱근의 곱셈과 나눗셈