i2 = -1이었죠? 그럼 i3, i4는 얼마일까요? i의 거듭제곱은 일정한 패턴이 있어요. 이 패턴을 이용하면 i100, i1000처럼 지수가 아무리 크더라도 그 값을 구할 수 있어요. 어떤 패턴이 있는지 알아보죠.
중학교에서 제곱근의 곱셈과 나눗셈을 할 때, 근호는 그대로 두고, 근호 안의 숫자끼리만 곱하거나 나누면 된다고 공부했어요. 그런데 근호 안의 숫자가 양수라는 조건이 있었죠.
허수는 근호 안의 숫자가 음수예요. 과연 근호 안의 숫자가 음수일 때도 같은 성질이 성립하는지 아니면 성립하지 않는지 알아볼 거예요.
i의 거듭제곱
i를 거듭제곱하면 특별한 성질을 발견할 수 있어요. 거듭제곱을 해보죠.
i = i
i2 = -1
i3 = i × i2 = i × (-1) = -i
i4 = i2 × i2 = (-1) × (-1) = 1
i5 = i × i4 = i × 1 = i
i6 = i2 × i4 = (-1) × 1 = -1
i7 = i3 × i4 = -i × 1 = -i
i8 = i4 × i4 = 1 × 1 = 1
결과만 보면, i, -1, -i, 1이 계속 반복되고 있어요.
지수가 1, 5, 9, 13, …이면 i
지수가 2, 6, 10, 14, …이면 -1
지수가 3, 7, 11, 15, …이면 -i
지수가 4, 8, 12, 16, …이면 1
지수를 수식으로 표현하면 i의 거듭제곱은 순환하는 걸 알 수 있어요.
i2013 + i2014 + … + i2098 + i2099를 간단히 하여라.
i의 거듭제곱은 i, -1, -i, 1이 계속 반복돼요. 또 i4n-3 + i4n-2 + i4n-1 + i4n = i + (-1) + (-i) + 1 = 0이에요. i의 거듭제곱 중 연속하는 네 개의 합은 0이 되는 거죠.
i2013 + i2014 + … + i2098 + i2099
= i2097 + i2098 + i2099 (∵ 앞에서부터 4개씩의 합 = 0)
= i2096(i + i2 + i3) (∵ i2096로 묶기)
= i + i2 + i3 (∵ i4n = 1)
= i - 1 - i
= -1
음수의 제곱근의 성질
제곱근의 곱셈과 나눗셈에서 제곱근의 곱셈은 숫자끼리 곱하고 제곱근을 씌워주면 된다고 했어요.
그런데 허수의 제곱근에서도 이렇게 될까요?
이 식은 틀렸어요. 근호 속의 (-1)을 i로 바꿔서 계산해보죠.
근호안의 숫자는 6으로 같은데, 부호가 다르죠? 왜냐하면, 근호 안에 있는 (-1)때문이에요. (
여기서는 그냥 근호 안의 숫자를 곱해주기만 했어요.
위 세 가지 예의 차이를 보죠.
첫 번째 
두 번째 
세 번째 
즉, 근호 안의 숫자가 둘 다 음수일 때에만 근호 앞에 (-)가 붙어요.
그럼 곱셈이 아니라 나눗셈을 해보죠. 제곱근의 나눗셈에서는 근호 안의 숫자만 그냥 바로 나눗셈하고 근호를 씌워주면 됐었죠?
근호 안이 둘 다 음수일 때를 해보죠.
둘 다 근호 안이 음수일 때는 그냥 근호 안의 숫자끼리만 나눠준 것과 같아요.
이번에는 분모의 근호 안은 양수이고, 분자의 근호 안은 음수일 때에요.
분모의 근호 안은 양수, 분자의 근호 안은 음수이면 그냥 근호 안의 숫자끼리 나눠준 것과 같네요.
이번에는 분모의 근호 안은 음수이고, 분자의 근호 안은 양수일 때에요.
근호 안의 숫자끼리 계산했는데, 근호 앞에 (-)가 붙었어요.
네 가지 경우를 봤는데, 정리해보면 분모의 근호 안은 음수이고, 분자의 근호 안은 양수일 때는 근호 앞에 (-)가 붙고, 그 외에는 (-)가 붙지 않아요. 그리고 숫자는 그냥 그대로 나누죠.
음수의 제곱근의 성질
두 가지 경우를 제외하고는 제곱근의 곱셈과 나눗셈에서 했던 대로 근호 안의 숫자의 부호는 상관없이 그냥 숫자끼리 곱하거나 나누면 돼요.
다음을 간단히 하여라.
음수의 제곱근의 성질에서 곱셈은 근호 안의 숫자가 둘 다 음수일 때만 앞에 (-)를 붙이고 숫자끼리 곱해주는 거였고, 나눗셈은 분모의 근호 안의 숫자만 음수일 때 (-)를 붙이고 숫자끼리 나눠주는 거였어요.
(1)
(2) 앞에서부터 차례대로 계산해보죠.
함께 보면 좋은 글
복소수, 허수와 허수단위
켤레복소수, 켤레복소수의 성질
복소수의 사칙연산, 분모의 실수화
복소수의 연산법칙, 복소수의 항등원과 역원
[중등수학/중3 수학] - 제곱근의 곱셈과 나눗셈
마지막 파란 네모박스 (2)번 문제 풀이에서
= 첫번째 등호의 식에서
÷ 루트(2) 가 아니라
÷ 루트(-2) 아닌가여
-2네요. 윗줄은 틀려도 아랫줄은 다시 맞게 썼군요.
음수의제곱근성질 곱셈에서 a<=0.b<=0 이되는 것는 어떤경우 인가요... ?
그냥 둘 다 음수일 때를 말하는 거지 특별한 경우가 있지는 않아요.
정말 궁굼한게 근호 안이 음수면 안된다고 여기저기서 듣게 되는데 아니 허수는 되잖아여? 도대체 그게ㅜ뭔소린지 개념이 흔들려요... 부탁드려요
중등수학에서는 허수를 배우지 않기 따무늬 근호 안에 음수가 들어가면 안돼지만(물론 수학적으로는 아무 문제가 없습니다) 고등수학을 배우게 돼면 허수르로배우기 때문에 그때부터 교육과정에서 근호 안에 음수를 허용하는 겁니다.
제가 나름 생각해봤는데 우리가 제곱근 같은 식을 공부하다보면 조건으로 근호 안쪽이 0보다 크거나 같아야 한다고 매번 나오더라구요~ 난 분명히 허수를 알고있는데? 그거 허수는 근호안이 음수도 되잖아? 근데 왜자꾸 근호 안이 양수라고 따라다니니? 염병할... 그래서 단순하게 생각해보았어요~ 혹시 제가 생각하는게 맞나봐주세요~ 우리가 지수함수를 배울때도 밑이 음수이면 안된다고 배우 잖아요? 그게 제곱근이랑 지수랑 서로변환하다보면 허수가 나오기도 하니깐 함수를 좌표평면위에 나타내는게 불가능하잖아요~ 그래서 지수가 실수로 확장되면 밑은 음수가 되면 안된다고 배우잖아요~ 이런 원리로 생각해보면 우리가 고1 때 그냥 아주 잠시 수에대한 체계 정립을 위해서 허수를 잠시 경험하고 그 뒤로도 우리는 고교3년 내내 실수로만 모든걸 공부하잖아요~ 그렇기 때문에 근호 안쪽이 항상 0보다 크거나 같은 양수라는 조건을 전제하는거도 어떻게 보면 당연한거가 맞지 않나?? 이런 생각을 해봤어요... 허수도 물론 존재하지만 그건 존재만 인식하고 우리는 실수를 다룰거니깐 근호 안쪽은 양수!!! 중3때도ㅜ근호 안쪽 문자로ㅜ된 식을 풀때 항상 양수를 감안하고 절대값을 붙이기도 했었잖아요... 그때는 생각없이 당연히 근호 안은 양수만 된다고 비판없이 받아들여서요~ 갑자기 허수를 배워놓고 생각하니 아니 음수도 되잖아? 근데ㅜ뭔 공부하다보면 조건식에서 자꾸 양수만 된다고 말 머리아프게 하는겨? 미치겠네!!! 이런 생각이 들었습니다 결론으로 정리하면 근호 안쪽은 음수도 가능하나 그건 허수다! 우리는 고3내내 실수를ㅜ가지고 노는게ㅜ목적이니 근호ㅜ안은 항상 양수라는ㅜ전제조건을 인식하고 공부하자! 이게ㅜ내가 내린 결론입니다 혹시ㅜ제가 이해하고 있는 논지가 맞는건지 알주세용.... 부탁드려용
경우에 따라 달라요.
예를 들어 어떤 경우는 근호 안이 양수 또는 0일 때만 성립해서 양수 또는 0으로 범위를 제한하기도 하고요.
어떤 경우는 실수, 허수에 상관없이 다 성립하더라도 증명이 어렵거나 기타 여러가지 이유로 범위를 제한하기도 하죠.
어쨌든 결과적으로는 실수만 다루기 위해서 일부러 범위를 제한하는 겁니다.
중딩때도 근호 안쪽이 음수라면 - 부호 달고 나와서 양수로 만들어 주는걸우베우잖아요~ 어차피 허수도 안배웠고 ... 고3 내내 실수만 가지고 노니깐 그런가 같아요
예? 중학교 때 근호안에 음수가 들어간 건 한 번도 본 적이 없는데...?
제곱근에 대해 살짝 햇갈리는게 있어서 물어봅니다. 양수인 제곱근 이랑 음수의 제곱근에서 말인데요. 2의 양수인 제곱근은 -2와 +2가 있는데 여기서 + - root4 라고 해야 맞는거죠?
2의 양수인 제곱근은 +root 2입니다.
더 자세한 건 https://mathbang.net/254 를 참고하세요.
실제 수로 보니깐 이해가 더 확실히 됩니다.
수학방 너무 좋아요~~
저도 수학방 정말 좋아해요.
ebsi 인강 들었던 거 깔끔하게 정리되네요!
앞으로도 EBS 인강과 함께 활용하시면 좋겠네요.
위 노란박스 (2)식을 조건을 가지고 계속 풀어봤는데도 결과가 근호안에만 마이너스가 나와요,, 왜그런거죠?
근호 안에만 (-)면 맞는 거예요.
분모만 루트안에서 음수일때 -i가 되는 과정을 외우기만 했었는데 실수화 과정을 거치면 되네요 앞으로 몰라서 찾아보는 일 없겠어요 감사합니다!!
중간 과정을 직접 해보면 금방 이해가 되는데, 그냥 처음과 결과만 외우려고 하니 그렇죠.
다음부터는 중간 과정을 직접 유도해보세요.
질문이 하나 있습니다. 위 음수의 제곱근끼리의 나눗셈에서 들어주신 예시에서요,
분자가 음수, 분모가 양수인 경우에서 분자 분모에 각각 i를 곱해주면 분모, 분자 각각에 같은 수를 곱해줬으므로 이 행위를 하기 이전이랑 이후랑 결과가 같아야 하는데 그 결과가 다릅니다. 이유가 뭔가요?
전후의 결과는 다르지 않아요. 같아요.
혹시 계산 중간에 틀린 곳이 있다면 좀 더 자세하게 말씀해주세요.
마지막 줄을 얘기하는 거라면 근호 앞의 i가 근호 안으로 들어오면서 (-1)이 되어서 부호가 음수로 바뀌었어요.
그렇다면 -루트-3분의2와 루트-3분의2 의 값이 서로 같다는 말씀이신가요?
제가 말로 설명해서 좀 이해가 안가실 수 있는데 쉽게 말해 음수제곱근의 나눗셈에서 들어주신 예시에서 분자,분모가 각각 음수,양수인 경우의 결과와 분자,분모가 각각 양수,음수인 경우의 결과가 서로 같다는 것인지 여쭤보고 싶습니다. 왜냐하면 분자,분모가 각각 음수,양수인경우에서 분자를 유리화 해주면 -루트-3분의2라는 값이 나와서요..
마지막 줄에서 분자를 유리화 한다고 하셨는데, 그게 혹시 분자, 분모에 i를 곱한다는 얘기인가요?
루트(-2) / 루트(3)
= 루트(2) i / 루트(3)
= 루트(2) i x i / 루트(3) i
= - 루트(2) / 루트(-3)
= 루트(2 / -3)
마지막 줄은 본문 노란색 바로 위의 굵은 글씨처럼 분모의 근호 안은 음수, 분자의 근호 안은 양수라서 앞에 (-)가 붙었는데, 원래 분수 앞의 (-)가 있어서 (+)가 되었고 근호 안은 두 숫자를 그대로 썼어요.
말씀하신 결과는 나오지 않는데, 다른 계산을 하신 건지 아니면 계산 중간에 실수가 있었던 건지 모르겠네요.
아뇨 잘 말씀해주셨습니다. 작성해주신 계산과정의 마지막 2번째줄의 값이 제가 말한 -루트-3분의2 라는 값입니다. 그렇다면 결국 -루트(2)/루트(-3)과 루트(2)/루트(-3)이 두 값은 같다는 말이네요? 그리고 계산 과정에서 마지막 2번째 줄에서 마지막 줄로 되는 이유는 분모 실수화 때문이죠?
이 글은 근호 안의 음수일 때, 분자, 분모의 부호에 따라 어떻게 계산하는지를 설명하는 거지 분모든 분자든 실수화, 유리화는 아무런 상관이 없어요.
마지막 줄로 되는 이유는 댓글에 설명한 그대로예요.
이전 댓글에 "왜냐하면 분자,분모가 각각 음수,양수인경우에서 분자를 유리화 해주면 -루트-3분의2라는 값이 나와서요.." 라고 하셨잖아요.
그래서 분자가 음수인 루트(-2), 분모는 양수인 루트(3)을 예시로 풀어드린 거예요.
그런데 갑자기 루트(2)/루트(-3)이 왜 나오나요? 분자가 양수, 분모가 음수로 질문과 전혀 상관이 없고 풀이 과정에 나오지도 않는데요.
루트(2/(-3))과 루트(2)/루트(-3)이 서로 다르단걸 인식하지 못하고 계신거같은데
a>0, b<0 음수의 제곱근의성질에서
분수의 루트a/루트b에서 분모의 실수화는 분모의 켤레복소수의 -i를 분모,분자에 곱하는거 아닐까요?
분자, 분모에 똑같이 (-)가 곱해지면 (+) 잖아요. 그러니까 생략해도 되죠.