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일반항이 분수꼴인 수열의 합

부분분수

부분분수는 분수의 분모를 다항식의 곱으로 나타내고, 이를 이용해서 분수를 나누는 걸 말해요. 그냥 둬도 되는데 굳이 나누는 이유는 분자, 분모의 차수를 낮출 수 있어서예요. 차수가 낮거나 숫자가 작으면 계산하기 편리해지잖아요.

앞으로 분모가 인수분해가 되면 좌변을 우변처럼 바꿔서 계산하세요.

부분분수 공식

분자는 다 1인데, 좌변의 분모는 분모의 곱 AB, 우변 앞은 분모의 차 B - A, 괄호 안은 분수의 빼기에요. 빼는 순서도 잘 보세요.

부분분수 공식을 유도해볼까요? 분자, 분모에 같은 수를 곱해도 값은 바뀌지 않죠? 그걸 이용하는 겁니다.

부분분수 공식 유도

숫자를 넣어서 좀 쉬운 걸 한 번 해보죠.

부분분수 공식 쉬운 예제

부분분수 공식을 이용하면 분모가 연속된 숫자나 식의 곱으로 이루어진 다항식들의 합을 구하기가 쉬워요. 아래 예제를 보죠.

다음을 간단히 하여라.$$\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{3}{(x+1)(x+4)} +\cdots \frac{1}{(x+9)(x+10)}$$

유리식의 덧셈은 분모를 통분해서 구하는데, 앞 식을 통분하면 분모는 10차식 분자는 8차식이 돼요. 전개하고 더할 수는 없겠죠? 이럴 때 부분분수 공식을 이용해요..

각 항을 부분분수로 바꿔보죠.

부분분수 예제 풀이 1

우변의 괄호 앞에 있는 분수는 1이니까 없어지고 괄호 안 부분만 남겠죠? 이걸 한 번에 쭉 써보죠.

부분분수 예제 풀이 2

윗줄에서 두 번째, 세 번째 항이 없어지고, 네 번째, 다섯 번째 항이 없어지고, 계속 없어지다가 결국에는 첫 번째 항과 마지막 항만 남아요. 두 항의 덧셈만 하면 끝이죠.

앞으로는 이런 문제가 나오면 위 과정을 다 거칠 필요 없이 첫 번째 항과 마지막 항만 바로 구해서 계산하면 돼요.

분자가 1이 아닐 때도 있는데, 이럴 때는 분자를 인수분해해서 묶으면 돼요.

부분분수 - 분자가 1이 아닐 때

분모가 1이 아닐 때도 마찬가지로 묶고요.

다음 합을 구하여라. $$\frac{1}{1\times 2} + \frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots+\frac{1}{9\times 10}$$

분모가 유리식인 수열의 합이네요. 수열의 일반항을 이용해서 수열의 합으로 나타내고, 수열의 일반항인 분수를 쪼개(?) 보죠.

\[ \begin{align} & \frac{1}{1\times 2} + \frac{1}{2\times 3} + \cdots + \frac{1}{9\times 10} \\ &= \sum_{k=1}^{9} \frac{1}{k(k+1)} \\ &= \sum_{k=1}^{9}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) \\ &= \frac{1}{1} - \frac{1}{10} \\ &= \frac{9}{10} \end{align} \]

일반항이 무리식인 수열의 합

유리식은 통분해서 계산하는 게 기본이죠. 하지만 앞서 일반항이 유리식일 때 수열의 합을 구하는 문제는 통분이 아니라 분수를 쪼개서(?) 계산했어요.

무리식은 분모의 유리화를 하는 게 기본이죠. 이건 다르지 않아요. 일반항이 무리식이라면 분모를 유리화하는 게 첫 번째예요.

다음 합을 구하여라. $$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{10}}$$

분모가 무리식인 수열의 합이네요. 수열의 일반항을 이용해서 수열의 합으로 나타내고, 수열의 일반항의 분모를 유리화해요.

\[ \begin{align} & \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{10}}\\ &= \sum_{k=1}^{9}\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} \\ &= \sum_{k=1}^{9}\frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})(\sqrt{k}-\sqrt{k+1})} \\ &= \sum_{k=1}^{9}\frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{k-(k+1)}\\ &= \sum_{k=1}^{9}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) \\ &= (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{10}-\sqrt{9})\\ &= \sqrt{10} - 1 \end{align} \]

자연수 거듭제곱의 합

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수학적 귀납법

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유리함수에 이어 무리함수예요. 무리함수는 유리함수보다 조금 더 쉬워요. 유리함수에서 했던 것 중에서 식만 무리함수에 맞게 바꾸면 되거든요. 기본적인 내용은 모두 같아요.

무리함수에는 x의 범위와 y의 범위를 파악하는 게 중요합니다. 이건 실수영역에서 제곱근의 정의를 잘 생각해보면 금방 알 수 있는 내용이니까 어렵게 생각하지는 마세요.

무리함수는 무리식을 이용한 함수니까 무리식에 관해서 잘 이해하고 있어야 해요. 생각나지 않는다면 한 번 읽어보세요.

무리함수

함수 y = f(x)에서 f(x)가 x에 대한 유리식이면 유리함수라고 해요. 그럼 f(x)가 x에 대한 무리식이면 뭐라고 부를까요? 바로 무리함수예요.

보통은 라고 써요.

함수는 실수 범위에서만 구해요. 근호 안이 0 또는 양수여야 합니다. ax ≥ 0이어야 하는데, a = 0이면 y = 0이 되어 무리함수가 아니죠? 따라서 별다른 언급이 없으면 무리함수 에서는 a ≠ 0이어야 하고, 근호 안이 0 또는 양수인 x의 범위를 정의역으로 해요.

다만, 이 글에서는 설명을 위해서 a > 0인 경우만 다루기로 하죠.

(a > 0)의 역함수를 구해볼까요? ax ≥ 0이어야하는데 a > 0이니까 정의역은 x ≥ 0이네요. 치역도 y ≥ 0이죠?

어떤가요? x ≥ 0일 때, 무리함수 (a > 0)와 이차함수 (a > 0)은 서로 역함수라는 걸 알 수 있어요. 이차함수와 무리함수의 관계에 대해서 얼추 이해가 되죠?

무리함수와 이차함수

이번에는 a > 0이라고 할 때 와 여러 무리함수의 그래프를 그려보죠. 근호 안은 0 또는 양수가 되어야 해요.

의 그래프는 a > 0, x ≥ 0, y ≥ 0이므로 제 1 사분면에 그려져요.

의 그래프 a > 0, x ≤ 0, y ≥ 0이므로 제 2 사분면에 그려지고요. 의 그래프와 모양은 같은데 x의 부호가 반대니까 y축에 대하여 대칭이죠.

의 그래프는 a > 0, x ≥ 0, y ≤ 0이므로 제 4 사분면에 그려지죠. 의 그래프와 모양은 같은데, y의 부호가 반대니까 x축 대칭이죠.

의 그래프는 a > 0, x ≤ 0, y ≤ 0이므로 제 3 사분면에 그려져요. 의 그래프와 모양은 같은데, x, y의 부호가 반대니까 원점에 대하여 대칭이고요.

무리함수의 대칭이동

(a > 0)에서 a가 커지면 커질수록 그래프는 x축에서 멀어져요. a < 0일 때는 a가 작으면 작을수록 x축에서 멀어지기 때문에 이 둘을 합쳐 |a|가 커질수록 x축에서 멀어진다고 해요.

무리함수 그래프의 특징

정리해볼까요

무리함수: y = f(x)에서 f(x)가 x에 대한 무리식인 함수

무리함수에서는 근호 안이 0 또는 양수인 x의 범위를 정의역으로 한다.
x ≥ 0일 때, 무리함수 (a > 0)와 이차함수 (a > 0)는 서로 역함수
|a|가 커질수록 x축에서 멀어진다.

분수함수의 역함수

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무리함수 2

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숫자에 근호가 있으면 무리수, 식에 근호가 있으면 무리식이에요. 무리수와 무리식에는 숫자나 식에 하나의 근호만 씌워져 있었죠? 이번에는 근호가 두 개 씌워져 있는 식을 공부할 거예요. 근호가 하나만 씌워져 있어도 복잡한데, 두 개가 있으면 얼마나 더 복잡할까요?

근호가 두 개 씌워져 있는 걸 이중근호라고 하는데, 이중근호는 곧바로 계산할 수 없으니 두 개 중 하나를 풀어서 없애야 해요. 이 글에서는 이중근호 중 하나를 풀어내는 것도 공부할 거예요.

이중근호를 포함하고 있는 식들을 어떻게 계산하는지도 알아보죠.

이중근호

는 무리수예요. 는 무리식이고요. 는 뭘까요? 가 근호 안에 들어있어요. 이처럼 근호 안에 근호가 들어있는 식을 이중근호라고 해요.

이중근호의 형태를 잘 보면, 의 꼴이에요. 이때는 두 가지를 이용해서 이중근호를 풉니다.

첫 번째는 인수분해의 완전제곱식인데, a² + 2ab + b² = (a + b)²이에요. 여기서 a, b가 로 바뀌었다고 생각해보세요. 이 되겠죠?

또 a + b ≥ 0일 때, 예요. 여기서도 a, b가 로 바뀌었다고 생각하세요.

이 두 가지를 합치면 아래처럼 됩니다.

이중근호 풀기 증명

곱 앞에 2가 없을 때

이중근호 중에서 의 꼴이 아닌 게 있어요. 곱에 해당하는 근호 앞에 2가 없을 때죠. 이때는 공식을 사용할 수 있도록 2가 오게 해야 해요. 방법은 두 가지예요. 근호 안에 있는 곱에서 2를 꺼내는 게 첫 번째예요.

근호 안의 12 = 2² × 3이니까 2를 꺼낼 수 있어서 꺼냈어요. 의 꼴이 되어서 이중근호를 풀 수 있게 되었어요. 곱해서 3, 더해서 4가 되는 수는 1과 3이에요.

2를 꺼낼 수 없으면 분자, 분모에 2를 곱해줘서 근호 앞에 2가 생기도록 하는 거예요. 이때는 분모가 니까 계산 마지막에 분모의 유리화까지 해야 해요.

이중근호 풀기 보기 3

근호 안의 숫자가 3이라서 2를 꺼낼 수가 없어서 분자, 분모에 2를 곱했어요. 그랬더니 분자가 의 꼴이 되어서 이중근호를 풀었습니다. 대신 분모에 가 있어서 유리화까지 해줬고요.

이중근호 풀기 2
근호 안에서 2를 빼내어 이중근호 풀기
분자, 분모에 2를 곱해서 이중근호 풀기 → 분모의 유리화

다음을 간단히 하여라.
이중근호 풀기 예제

(1)번은 곱 앞에 2가 있으니까 공식을 바로 적용해서 쓸 수 있어요.

이중근호 풀기 예제 풀이 1

(2)번은 곱 앞에 2가 없는데, 근호 안에서 2를 꺼낼 수 있어요. 꺼내서 계산하죠.

이중근호 풀기 예제 풀이 2

(3)번은 곱 앞에 2가 없는데, 근호 안에서 2를 꺼낼 수도 없으니 분자, 분모에 2를 곱해야겠네요. 마지막에는 분모의 유리화도 해야 하고요.

이중근호 풀기 예제 풀이 3

이중근호가 있는 무리식의 계산

이중근호가 있는 식들의 사칙연산은 일단 이중근호를 풀고 계산해요. 이중근호를 풀어도 근호는 남아있죠? 이후에는 제곱근의 덧셈과 뺄셈, 제곱근의 곱셈과 나눗셈에 따라 근호 안의 숫자가 같은 것끼리 더하고 빼고, 근호 안의 숫자끼리 곱하고 나눠요.

이중근호가 있는 식을 조건식으로 주고 다른 식의 값을 구하는 문제도 자주 나오는데, 풀이법이 약간 달라요.

이중근호를 푼다
상수항을 이항하여 제곱근만 남긴다
양변을 제곱하여 제곱근을 없앤다

x = 일 때, 2x² + 4x + 5의 값을 구하여라.

일단 이중근호가 있으니까 이중근호를 풀어야겠네요.

x =
x = - 1

이중근호를 풀고 x를 구했는데, 이걸 식에 바로 대입하면 가 되는데, 이걸 직접 계산하기에는 너무 복잡하니까 계산하지 말고 x를 변형시켜보죠. 유리수인 상수항을 이항해서 우변에 무리수만 남긴 후 양변을 제곱해요.

x + 1 =
(x + 1)² = ()²
x² + 2x + 1 = 2

x² + 2x + 1 = 2를 이용해서 좌변을 2x² + 4x + 5로 변형해보죠.

x² + 2x + 1 = 2
2x² + 4x + 2 = 4 (∵ 양변 × 2)
2x² + 4x + 5 = 7 (∵ 양변 + 3)

x = - 1까지 구하고 식에 대입하기보다 쉽죠? 차수가 높다든가 항의 개수가 많으면 대입하는 것보다 식을 변형시키는 게 더 쉬운 방법이라는 걸 기억하세요.

정리해볼까요

이중근호

근호 안에 근호가 들어있는 식
의 꼴
곱 앞에 2가 없을 때 → 꼴로 바꾸기
- 근호 안에서 2를 빼내어 이중근호 풀기
- 분자, 분모에 2를 곱해서 이중근호 풀기 → 분모의 유리화

이중근호가 있는 식의 계산

이중근호를 풀고 제곱근의 사칙연산에 따라 계산
이중근호를 풀고, 상수항 이항 후 제곱하여 식을 변형

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유리수 다음에 뭐 공부했죠? 무리수 공부했죠? 그럼 유리식 다음에는 뭘까요? 바로 무리식을 공부할 거예요.

무리식은 무리수와 비슷해요. 생긴 것도 비슷하고, 계산 방법도 비슷하죠. 무리수에서 분모에 무리수가 있을 때, 분모의 유리화를 했었죠? 여기에서도 분모에 무리식이 있으면 유리화를 합니다.

무리식의 덧셈과 뺄셈은 유리화를 한 후에 통분해서 계산을 해요. 곱셈과 나눗셈은 곱셈공식을 이용해서 계산하면 됩니다. 약분도 이제까지 해왔던 방법대로 할 수 있어요.

무리식

무리수는 유리수의 반대예요. 그러니까 무리식도 유리식의 반대예요. 무리식은 근호 안에 문자가 있는데, 근호를 없앨 수 없는 식을 말합니다. 근호를 없앨 수 있으면 유리식이 되는 거죠.

예를 들어 같은 식은 근호 안에 문자 x가 있는데, 근호를 없앨 수 없죠?

무리식이 실수 값을 가지려면 근호 안의 숫자는 0보다 크거나 같아야 하죠. 근호 안이 음수이면 허수잖아요. 위 보기에서 x ≥ -1이어야 해요. 문제에서 특별한 언급이 없는 한 무리식의 값은 실수입니다.

또 무리식이 분수꼴로 나오는 경우도 있는데, 이때 분모는 0이 아니어야 해요.

무리식: 근호 안에 문자가 있고 근호를 없앨 수 없는 식
가 실수일 때, A ≥ 0
가 실수일 때, ≥ 0이고, B ≠ 0

무리식에서 분모의 유리화

무리수의 계산을 할 때, 분모가 무리수이면 분모의 유리화를 했었죠? 복소수 계산할 때는 분모의 실수화를 했었고요. 분모에 무리식이 들어있으면 유리화를 해요. 유리화를 해야만 통분을 할 수 있거든요. 분모의 유리화는 무리수에서 했던 방법과 똑같아요.

분모의 가운데 부호를 바꿔서 분자, 분모에 곱하는 거요. 이때 주의해야 할 게 근호 안의 부호를 반대로 바꿔서 곱하는 실수를 자주 하는데, 근호 안의 부호가 아니라 근호 바깥의 부호를 반대로 하는 거예요.

무리식의 분모의 유리화

분모에 무리식이 하나일 수도 있고, 두 개일 수도 있는데 그건 상관없어요. 유리화하는 방법은 똑같아요.

다음을 간단히 하여라.
무리식의 연산 예제

(1)번에서 유리화는 분모의 가운데 부호를 바꾼 걸, 분자, 분모에 곱하는 거예요.

무리식의 연산 예제 풀이 1

(2) 번은 분모에 무리식이 두 개가 있고, 가운데 부호는 (-)네요.

무리식의 연산 예제 풀이 2

(3)번은 단순히 유리화가 아니라 뺄셈을 하는 거네요. 유리화를 한 후에 통분하고 계산을 해야 하는데, 유리화를 하면 동시에 통분이 되네요.

무리식의 연산 예제풀이 3

정리해볼까요

무리식

근호 안에 문자가 있으면, 근호를 없앨 수 없는 식
무리식이 실수값을 가지려면 (근호 안) ≥ 0 and (분모) ≠ 0
분수꼴에서 분모에 무리식이 있을 때는 유리화

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