곱셈공식
행렬의 곱셈에 대한 성질
행렬의 곱셈 방법에 대해 알아봤으니 이제 행렬의 곱셈에 대한 성질을 알아볼 차례에요. 덧셈, 곱셈에 대한 성질은 자리를 바꿔도 되는 교환법칙, 연산 순서를 바꿔도 되는 결합법칙, 괄호를 풀 수 있는 분배법칙이 대표적이죠. 행렬의 곱셈에서 이 세 가지 법칙이 어떻게 적용되는지 알아볼 거예요.
그리고 일반적으로 수와 다항식에서 사용했던 곱셈에 대한 성질이 행렬의 곱셈에 대해서도 똑같이 성립하는지도 알아볼 거고요. 수와 다항식, 행렬에서의 곱셈에 대한 성질 중에 같은 것과 다른 것을 구별하고 왜 다른지도 이해할 수 있도록 하세요.
행렬의 곱셈에 대한 성질
행렬의 덧셈에 대한 성질에서 행렬의 덧셈에는 교환법칙, 결합법칙이 성립한다는 걸 공부했어요. 분배법칙은 곱셈과 덧셈을 함께 해야 하니까 여기서 다루기로 하죠.
세 행렬 A, B, C가 있어요. 행렬 A = 2 × 3 행렬, 행렬 B는 3 × 2 행렬, C는 2 × 2 행렬이라고 해보죠.
계산을 해보면 AB는 2 × 2 행렬이 될 거고, BA는 3 × 3 행렬이 돼요. AB ≠ BA죠? 즉 행렬의 곱셈에서는 교환법칙은 성립하지 않아요.
결합법칙은 성립해요. (AB)C = A(BC) 실제로 해보면 결과가 같다는 걸 알 수 있는데 너무 길어질 것 같으니까 생략할게요.
분배법칙도 성립해요. A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC. 역시 생략하죠.
k가 실수이면 kAB = (kA)B = k(AB) = A(kB)도 성립해요. 행렬의 실수배에 대한 성질과 관련지어서 생각해보세요.
행렬의 곱셈에 대한 성질과 수, 다항식에서의 곱셈에 대한 성질 비교
곱셈에 대한 성질이 행렬과 수, 다항식에서 모두 똑같이 적용되는 게 아니에요. 위에서 알아봤듯이 행렬에서는 교환법칙이 성립하지 않아요.
곱셈공식에서 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2가 될 수 있었던 건 ab = ba였기 때문이에요. 그런데 행렬에서 (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + B2이에요. AB ≠ BA이므로 A2 + 2AB + B2이 될 수 없어요.
또, 실수나 다항식에서는 ab = 0이면 a = 0 or b = 0이에요. 하지만 행렬에서는 그렇지 않은 경우도 있어요. 행렬에서는 0이 아니라 영행렬 O를 사용하니까 AB = O이라도 A ≠ O, B ≠ O일 수 있어요.
AB = O이지만 A ≠ O, B ≠ O이죠?
또 실수와 다항식에서는 a ≠ 0 일 때, ab = ac이면 b = c죠? 행렬에서는 A ≠ O 일 때, AB = AC이더라도 B ≠ C일 수 있어요.
A ≠ O이고 AB = AC이지만 B ≠ C에요.
일반적인 곱셈에 대한 성질들이 행렬에서는 적용되지 않는다는 걸 알 수 있어요. 이 차이를 잘 알아두세요.
위 내용을 표로 정리해보죠.
| 행렬 | 수, 다항식 | ||
|---|---|---|---|
| 같은 점 | 결합법칙 | (AB)C = A(BC) | (ab)c = a(bc) |
| 분배법칙 | A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC |
a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc | |
| 실수의 곱 | k(AB) = (kA)B = A(kB) | k(ab) = (ka)b = a(kb) | |
| 다른 점 | 교환법칙 | AB ≠ BA | ab = ba |
AB = O이어도 A = O or B = O이 성립하지 않음. |
ab = 0이면 a = 0 or b = 0 | ||
A ≠ O일 때, AB = AC여도 B = C이 성립하지 않음. |
a ≠ 0일 때, ab = ac이면 b = c | ||
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여러가지 유리식의 풀이
유리식은 종류가 많아요. 부분분수 공식, 번분수, 가비의 리, 비례식 등이 있지요. 그 외도 여러 가지 분수식이 있는데, 여기서 다뤄볼게요.
여러 가지 유리식의 풀이에서는 그 전에 공부했던 곱셈공식, 인수분해 공식 등을 활용해야 합니다. 다 기억하고 있어야겠죠? 문제에 조건식과 답을 구해야 하는 식 두 가지가 나오는데, 조건식을 여러 공식을 이용해서 모양을 바꾸어 문제의 식에 대입해서 답을 구합니다.
모양을 바꾸는 방법은 몇 가지 유형이 있으니까 유형만 잘 알고 있으면 돼요. 문제의 유형과 풀이법을 알아보죠.
유리식의 계산
조건식이 방정식일 때
조건이 방정식일 때는 방정식의 모양을 바꿔서 분수식으로 만드는데 이때 곱셈공식이나 곱셈공식의 변형을 이용해요. 가장 많이 나오는 게 분수꼴 곱셈 공식의 변형이에요.
아래 공식을 잘 기억해두세요. 유도하는 과정은 곱셈공식의 변형에 나와 있어요.
x2 + x + 1 = 0일 때 다음을 구하여라.
(1) x3
(2) x3 +
(1) 인수분해 공식 중에 a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2 ), a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)이 있어요.
x2 + x + 1 = 0의 양변에 (x - 1)을 곱해보죠.
x2 + x + 1 = 0
(x - 1)(x2 + x + 1) = 0·(x - 1)
x3 - 1 = 0
x3 = 1
x2 - x + 1 = 0이었다면 양변에 x + 1을 곱해서 같은 방법으로 풀면 돼요.
(2) 
x2 + x + 1 = 0
x2 + 1 = -x
x +
좌변에 x = 0을 대입하면 식이 성립하지 않으므로 x = 0이 아니에요. 따라서 양변을 x로 나눌 수 있어요. 양변을 x로 나누면 분수꼴이 돼요.
= (-1)3 - 3(-1)
= -1 + 3
= 2
이차방정식이 조건식으로 주어졌을 때, 일차항을 이항하고 양변을 x로 나누는 방법은 자주 사용하는 방법이니까 잘 기억해두세요.
조건식이 두 문자가 있는 등식일 때
이번에도 조건식을 문제에 맞게 변형해야 해요. 조건식이 등식이면 한 문자에 대하여 정리합니다. 정리한 문자를 식에 대입해서 한 문자에 관한 식으로 바꾸면 문자는 약분돼 없어지고 숫자만 남아요.
조건식이 방정식일 때: 곱셈공식, 곱셈공식의 변형을 이용하여 방정식을 변형
조건식이 등식일 때: 한 문자에 관해 정리한 후 문제에 대입
4x = 2y일 때 
4x = 2y이므로 y에 대하여 정리하면
y = 2x
y= 2x를 문제에 대입
x = 2y = 3z일 때, 
x = 2y
y = 
x = 3z
z = 
y와 z에 대하여 정리했으니까 이걸 문제에 대입해보죠.
마지막에는 번분수의 성질을 이용해서 약분도 하고, 분수로 바꾼 겁니다.
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인수분해, 인수분해 공식(고1)
인수분해는 중학교 때 인수분해, 공통인수로 인수분해에서 다 해봤어요. 고등학교에서 하는 인수분해의 개념이나 기본 공식은 똑같아요. 대신 항의 개수가 많아지고 차수가 높아지는 등 수준이 더 어려워진 것뿐이에요.
인수분해는 전개의 반대과정이에요. 전개할 때는 공셈공식을 사용하니까 인수분해는 공셈공식을 거꾸로 사용하면 되는 거죠. 따라서 인수분해 공식이라고 따로 외우는 게 아니라 곱셈공식의 좌, 우변을 바꾸면 돼요.
곱셈공식, 곱셈공식 유도를 보고 공식을 잘 외웠다면 이번 글은 별로 어렵지 않을 거예요.
인수분해공식
인수분해는 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 걸 말해요. 그 곱을 이루고 있는 다항식을 인수라고 하고요. 숫자의 약수와 비슷한 거예요.
인수분해를 할 때 가장 먼저 해야 할 일은 공통인수로 묶는 거예요. 공통인수로 묶은 다음에 공식을 적용하는 거죠. 공통인수가 없다면 바로 공식을 사용해도 되고요.
인수분해는 전개의 반대과정이니까 곱셈공식의 좌, 우변을 바꾸기만 하면 인수분해 공식이 돼요.
먼저 중학교 때 공부했던 인수분해 공식 다섯 개를 확인해보죠. 인수분해 공식 1 - 완전제곱식, 합차공식, 인수분해 공식 2
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)
공식 말고 X자로 했던 것도 기억하나요?
위 모든 게 다 기억나죠?
다음은 곱셈공식, 곱셈공식 유도에서 했던 공식들의 좌, 우변을 바꾼 인수분해 공식이에요.
(1) ma + mb + mc = m(a + b + c)
(2) a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2
(3) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3
(4) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
(5) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
= 
(1)번은 인수분해의 가장 기본인 공통인수로 묶기를 나태나는 거예요. (2), (3), (4)는 곱셈공식을 거꾸로 한 거고요. (5)의 아랫줄에 있는 공식은 곱셈공식의 변형에서 했던 a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca =
다음을 인수분해하여라.
(1) x2 - 5x + 6
(2) x3y - xy3
(3) 4x2 + y2 + 9z2 + 4xy - 6yz - 12zx
(4) x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
인수분해는 공통인수로 묶은 다음에 인수분해 공식을 이용해야 해요.
(1)은 공통인수가 없네요. X자를 이용해서 해도 좋고, 공식을 이용해도 좋아요. 하지만 이 정도 문제는 암산으로 바로 풀 수 있을 정도가 되어야 해요.
x2 - 5x + 6 = (x -2)(x -3)
(2)은 두 항에 xy라는 공통인수가 있어요. 이걸로 묶고 공식을 적용해야 하죠.
x3y - xy3 = xy(x2 - y2) = xy(x + y)(x - y)
(3)번은 항이 무척 많네요. 항을 잘 보면 제곱인 항이 3개가 있으니까 위 인수분해 공식에서 (2)번에 해당하는 문제예요.
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)2
4x2 + y2 + 9z2 + 4xy - 6yz - 12zx
= (2x)2 + y2 + (-3z)2 + 2(2x)y + 2y(-3z) + 2(-3z)(2x)
= (2x + y - 3z)2
(4)번은 세제곱인 항이 두 개있고, 이들이 섞여 있는 항이 두 개니까 (3)번 공식에 해당하는 문제예요. 그런데 y3이 (-)네요.
a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = (a ± b)3
x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
= (x - y)3
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고1 곱셈공식의 변형, 곱셈공식의 변형 유도
고1 곱셈공식의 변형은 고1 곱셈공식에서 항을 이항시켜서 만든 거예요. 솔직히 말해서 이항을 잘 한다면 곱셈공식의 변형을 외울 필요는 없어요. 괜히 외우려다가 원래의 곱셈공식과 헷갈리기만 할 뿐이죠.
원래의 곱셈공식에서 이항을 해서 만든 게 곱셈공식의 변형이라서 기본적으로 두 개는 같은 거예요. 2 + 3 = 5와 2 = 5 - 3이 같은 거잖아요. 실제로 문제에서는 원래의 곱셈공식에 대입해서 풀다가 필요할 때 숫자를 이항시키는 게 훨씬 쉬워요.
그렇다고 모든 변형 공식이 필요없는 게 아니에요. 그 중에는 꼭 외워야하는 곱셈공식의 변형도 있으니 설명을 잘 보세요. 이 글에서는 곱셈공식의 변형을 외우려고 하지 말고, 어떻게 만들어지는 지 잘 이해해야해요.
곱셈공식의 변형
곱셈공색의 변형에서 가장 핵심은 이항이에요. 항의 부호를 바꿔서 반대 변으로 넘기는 걸 이항이라고 하죠? 아래는 중학교 때 공부했던 곱셈공식의 변형이에요.
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
= (a - b)2 + 2ab
(a + b)2 = (a - b)2 + 4ab
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
세 번째 줄이 어떻게 만들어지는지 이해하고, 외우세요.
고1 곱셈공식의 변형을 알아보죠. 앞서 공부했던 곱셈공식에서 몇몇 항을 이항해서 여러가지 곱셈공식의 변형을 만들 수 있어요.
(1) a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)
(2) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)
(3) a3 + b3 + c3 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) + 3abc
(4) a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca =
마지막 (4)은 (3)번의 가운데에 있는 괄호안을 정리한 거예요. 어떻게 위 공식들이 변형되었는지 확인해보죠.
(1) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)
(2) (a + b)3 = a3 + 3ab(a + b) + b3
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)
(3) (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = a3 + b3 + c3 - 3abc
a3 + b3 + c3 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) + 3abc
(4) a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca
=
=
=
=
곱셈공식의 변형은 기본 곱셈공식에서 항을 이항한 것에 지나지 않기때문에 굳이 외울 필요는 없어요. 오히려 원형과 헷갈리기만 할 뿐이거든요. 계산할 때 숫자를 대입한 다음에 이항해도 문제는 풀 수 있어요. 단, 마지막에 있는 (4)번은 곱셈공식에 없는거니까 외워두세요.
x + y + z = 6, x2 + y2 + z2 = 14, xyz = 6일 때, x3 + y3 + z3를 구하여라.
곱셈공식의 변형을 이용하지 않고 곱셈공식 원형을 이용해서 문제를 풀어보죠.
곱셈공식 중에서 세 제곱인 세 항이 들어있는 공식은 (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) = x3 + y3 + z3 - 3xyz에요. 그런데, -xy - yz - zx의 값을 모르니 이 공식에 대입할 수 없어요.
-xy - yz - zx = -(xy + yz + zx)의 값을 구할 수 있는 공식은 (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx)네요. 대입해보죠.
62 = 14 + 2(xy + yz + zx)
2(xy + yz + zx) = 36 - 14
xy + yz + zx = 11
-(xy + yz + zx) = -11
(x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) = x3 + y3 + z3 - 3xyz
6(14 - 11) = x3 + y3 + z3 - 3 × 6
18 = x3 + y3 + z3 - 18
x3 + y3 + z3 = 36
곱셈공식 원형을 이용해서 문제를 풀어도 아무런 지장없이 풀 수 있어요.
분수꼴 곱셈공식의 변형
분수 형태의 곱셈공식이에요. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2에서 a = x, b =
(x +
x2 + 
(x -
x2 +
x2 +
= (x -
우 변 두 개를 같다고 놓고, -2와 +2를 한 번씩 이항해보죠.
(x +
(x +
(x -
x +
(1) x2 +
(2) x3 +
(1) (x +
x2 +
= 32 - 2
= 7
(2) (x +
x3 + 
= 33 - 3·3
= 27 - 9
= 18
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곱셈공식이에요. 중학교 때 곱셈공식 1, 곱셈공식 2에서 다섯 개의 곱셈공식을 공부했어요. 이 곱셈공식을 잘 외워두면 다항식의 곱셈을 할 때 과정을 생략하고 바로 결과를 이끌어낼 수 있었죠?
고1 과정에서는 위 다섯 개에 추가로 몇 개를 더 공부해요. 조금 더 길고 어려운 공식들이 많이 나오니까 잘 외워두세요. 비슷한 게 있더라도 헷갈리면 안 돼요.
곱셈공식을 거꾸로 하면 인수분해 공식 1, 인수분해 공식 2가 됐어요. 여기서도 마찬가지로 새로운 곱셈공식은 뒤에서 공부할 인수분해 공식에서 다시 사용되니까 꼭 외우세요.
곱셈공식
아래는 중학교 때 외웠던 곱셈공식이에요. 잊어버리지 않았죠?
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
(a + b)(a - b) = a2 - b2
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
고1 곱셈공식은 위에 있는 것보다 훨씬 많아요. 아래 공식들은 분배법칙과 위 다섯 개의 곱셈공식에서 파생되어 나온 공식들이에요.
다 외워야 합니다.
(1) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
(2) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + 3ab(a + b) + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = a3 - 3ab(a - b) - b3
(3) (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3
(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3
(4) (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc
(5) (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = a3 + b3 + c3 - 3abc
(6) (a2 + ab + b2)(a2 - ab + b2) = a4 + a2b2 + b4
고1 곱셈공식이 어떻게 만들어지는지 유도해보죠.
(1) (a + b + c)2
= (t + c)2 (∵ a + b = t로 치환)
= t2 + 2tc + c2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 (∵ t = a + b)
= a2 + 2ab + b2 + 2ca + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
= a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
(2) (a + b)3
= (a + b)2(a + b)
= (a2 + 2ab + b2)(a + b)
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(3) (a + b)(a2 - ab + b2)
= a3 + a2b - a2b - ab2 + ab2 + b3
= a3 + b3
(4) (x + a)(x + b)(x + c)
= (x2 + ax + bx + ab)(x + c)
= x3+ ax2 + bx2 + abx + cx2 + cax + bcx + abc
= x3 + ax2 + bx2 + cx2 + abx + bcx + cax + abc
= x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc
(5), (6)도 연습장에 전개해서 동류항 계산을 해보세요.
공식을 외우는 길은 종이에 많이 써보고, 머리로 많이 생각해보는 방법밖에 없어요. (2), (3)은 비슷한 공식이 있으니까 헷갈리지 않도록 조심하세요.
다음을 전개하여라.
(1) (2a - b + c)2
(2) (3a + 2b)3
(3) (x + 1)(x + 2)(x + 3)
위 곱셈공식을 사용해서 전개하면 돼요.
(1)은 항이 세 개 있는 식의 완전제곱이네요. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
(2a - b + c)2
= (2a)2 + (-b)2 + c2 + 2{2a·(-b) + (-b)·c + c·2a)
= 4a2 + b2 + c2 + 2(-2ab - bc + 2ca)
= 4a2 + b2 + c2 - 4ab - 2bc + 4ca
(2)번은 세제곱이군요. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(3a + 2b)3
= (3a)3 + 3·(3a)2·2b + 3·3a·(2b)2 + (2b)3
= 27a3+ 54a2b + 36ab2 + 8b3
(3)번은 세 다항식의 곱이에요. (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
= x3 + (1 + 2 + 3)x2 + (1·2 + 2·3 + 3·1)x + 1·2·3
= x3 + 6x2 + 11x + 6
(x + 1)(x + 2)(x - 3)(x - 4)를 전개하여라.
이게 좀 어려운 문제에요. 풀이를 집중해서 잘 보세요.
네 개의 항이 곱해져 있는 경우예요. 공식으로는 바로 전개할 수가 없지요. 이때는 두 개씩 나눠서 각각을 곱셈공식으로 전개해야 해요. 어떻게 두 개씩 묶느냐가 중요하죠.
대부분은 상수항이 가장 큰 것과 가장 작은 걸 묶고, 나머지 두 개를 묶으면 맞아요. 물론 아닐 때도 있어요.
상수항이 가장 큰 (x + 2)와 가장 작은 (x - 4)를 묶고, 나머지 두 개를 묶어서 전개해보죠.
{(x - 4)(x + 2)}{(x - 3)(x + 1)}
= (x2 - 2x - 8)(x2 - 2x - 3)
두 개의 다항식의 곱으로 바뀌었는데, 두 식에서 이차항과 일차항이 x2 - 2x로 같아요. 바로 여기를 치환하는 거예요.
(x2 - 2x - 8)(x2 - 2x - 3)
= (t - 8)(t - 3)
곱셈공식을 이용해서 한 번 더 전개하고, 치환했던 t에 x2 - 2x를 넣어요. 그리고 나머지 과정을 계속하는 거예요.
처음부터 다시 정리해보죠.
(x + 1)(x + 2)(x - 3)(x - 4)
= (x - 4)(x + 2)(x - 3)(x + 1) (∵ 두 개씩 묶기)
= (x2 - 2x - 8)(x2 - 2x - 3)
= (t - 8)(t - 3) (∵ x2 - 2x = t로 치환)
= t2 - 11t + 24
= (x2 - 2x)2 - 11(x2 - 2x) + 24 (∵ t = x2 - 2x)
= x4- 4x3 + 4x2 - 11x2 + 22x + 24
= x4 - 4x3- 7x2 + 22x + 24
이 문제의 핵심은 이차항과 일차항을 t로 치환할 수 있게 만드는 거예요. 때로는 이 방법이 통하지 않을 수 있어요. 그때는 이차항과 상수항을 t로 치환해서 (t - x)(t - 2x) 같은 꼴로 나올 수 있게 상수항의 곱이 같아지도록 네 개의 항을 두 개씩 잘 나눠야 합니다.
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곱셈공식 첫 번째 - 완전제곱식
곱셈공식 두 번째 - 합차공식 외
다항식의 덧셈과 뺄셈, 다항식의 곱셈
단항식은 항이 하나만 있는 식이죠. 다항식은 항이 여러 개 있는 식을 말해요. 헷갈리면 안되는 게 단항식도 다항식의 한 종류에요. 다항식은 항이 한 개이상있는 식이니까요.
다항식의 덧셈과 뺄셈은 중학교 때 다항식의 계산에서 해봤어요. 동류항끼리 모아서 계산하는 거였죠? 그리고 다항식의 곱셈도 해봤는데, 분배법칙과 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식을 이용해서 전개한 후에 동류항끼리 정리를 했어요.
이 글에서 공부하는 다항식의 계산은 중학교에서 공부했던 내용을 한 번 더 정리하고 복습하는 과정이에요.
다항식의 연산법칙
a + b = b + a, ab = ba가 성립하는 걸 교환법칙이라고 해요. (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc)가 되는 걸 결합법칙이라고 하고요. (a + b)c = ac + bc를 분배법칙이라고 하죠. 이 때, a, b, c는 숫자였어요.
다항식의 연산법칙에서는 A, B, C를 사용하는데, 이 A, B, C는 숫자가 아니라 다항식이에요. a, b, c가 숫자라고는 하지만 넓게 보면 상수항이고 단항식에 해당하니까 A, B, C 자리에 들어가도 상관없어요.
세 다항식 A, B, C에 대하여
교환법칙: A + B = B + A, AB = BA
결합법칙: (A + B) + C = A + (B + C)
분배법칙: (A + B)C = AC + BC
A = 2x2 + 3x + 1, B = x2 - 2x - 8, C = 3x - 2라고 하죠.
(2x2 + 3x + 1) + (x2 - 2x - 8) = (x2 - 2x - 8) + (2x2 + 3x + 1)이 된다는 거예요.
새로운 얘기는 아니니까 굳이 전부 증명할 필요는 없겠죠?
다항식의 계산
다항식의 덧셈과 뺄셈
다항식의 덧셈과 뺄셈은 동류항을 찾는 게 제일 중요해요. 문자와 차수가 같은 항을 찾아서 앞의 계수끼리 계산하는 거죠.
단, 계산에서 괄호가 있다면 괄호를 먼저 풀고 계산을 해야하고요. 그리고 마지막에는 한 문자를 정해서 내림차순으로 정리하면 끝이에요. 내림차순은 어떤 문자에 대해서 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서대로 쓰는 걸 말해요.
- 괄호를 푼다. ( ) → { } → [ ]
- 동류항을 찾아 계산
- 내림차순으로 정리
다항식의 곱셈
다항식의 곱셈이 바로 곱셈공식이에요. 곱셈공식을 이용해서 전개를 하고, 동류항을 찾아서 계산을 하는 거죠. 물론 이 때도 내림차순으로 정리를 하세요.
A = 2x2 + 3x + 1, B = x2 - 2x - 8, C = 3x - 2일 때, 다음을 간단히 하여라.
(1) 2A - (B + C)
(2) AC - 3B
식의 값을 구하는 문제에요. 대입하죠.
(1) 2A - (B + C)
= 2(2x2 + 3x + 1) - {(x2 - 2x - 8) + (3x - 2)}
= 4x2 + 6x + 2 - (x2 + x - 10)
= 4x2 + 6x + 2 - x2 - x + 10
= 3x2 + 5x + 12
(2) AC - 3B
= (2x2 + 3x + 1)(3x - 2) - 3(x2 - 2x - 8)
= 6x3 + 9x2 + 3x - 4x2 - 6x - 2 - 3x2 + 6x + 24
= 6x3 + 2x2 + 3x + 22
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인수분해 공식 - 완전제곱식, 합차공식
다항식의 곱을 전개할 때는 곱셈공식을 사용하죠. 인수분해는 전개의 반대과정이라고 했어요. 따라서 인수분해를 공부하는 순서도 곱셈공식에서 공부했던 순서와 같아요.
인수분해 공식은 곱셈공식을 거꾸로 한 거니까 따로 외우지 않아도 돼요.
곱셈공식부터 정리해보죠. 총 다섯 개가 있는데, 이 글에서는 우선 완전제곱식과 합차공식의 세 가지만 볼게요.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)(a - b) = a2 - b2
인수분해 공식이라고 부르지는 않지만 인수분해할 때 가장 먼저 해야 하는 건 공통인수로 인수분해하는 거예요. 공식을 적용하기 전에 먼저 해야 합니다.
인수분해 공식 - 완전제곱식
완전제곱식이란
완전제곱식은 어떤 다항식을 두 번 곱하는 거예요. 숫자로 치면 제곱이랑 같아요.
완전제곱식은 어떤 식이 있고 그 전체가 제곱이어야 해요. (……………)2처럼 생겼어요. 앞에 숫자가 곱해져 있는 것도 완전제곱식이에요. 예를 들어 (x + a)2도 완전제곱식이고, 2(x + a)2도 완전제곱식이에요. 단 괄호 앞에 숫자가 아니라 문자이거나 제곱이 아닌 다른 식이 있으면 완전제곱식이라고 하지 않아요. x(x + a)2이나 (x + a)(x + b)2처럼 말이죠.
완전제곱식: 같은 다항식을 두 번 곱한 식, 또는 여기에 숫자를 곱한 식
(a + b)2, k(a + b)2
어떤 식의 모양을 보고, 이게 완전제곱식의 전개식인지 아닌지를 판단하고, 완전제곱식으로 인수분해할 수 있어야 해요. 전개식을 보고 완전제곱식인지 아닌지 판단하는 방법을 알아보죠.
일단 전개식은 세 개의 항으로 되어 있어요. 두 개는 어떤 숫자나 문자의 제곱인 항인데, 이걸 A2, B2이라고 쓸 수 있겠죠? 남은 한 개의 항은 제곱이 되는 a, b를 곱하고 거기에 또 2를 곱한 항이에요.
A2 + 2 × A × B + B2
첫 번째 항은 a의 제곱, 세 번째 항은 b의 제곱, 가운데 항은 a와 b를 곱한 것의 두 배죠. 이런 모양이 바로 완전제곱식이에요. 가운데 항의 모양을 잘 기억하세요.
다음 식이 완전제곱식이 되도록 □에 알맞은 값을 구하여라.
(1) a2 + □ + 36
(2) 4a2 + 4ab + □
(1)의 모양을 조금 바꿔보죠.
a2 + □ + 36
= a2 + □ + 62
□ = 2 × a × 6 = 12a
그런데, 36 = 62 = (-6)2이기도 하죠? 따라서 주어진 식은 a2 + □ + (-6)2이라고 쓸 수도 있어요.
□ = 2 × a × (-6) = -12a
결국 □ = ±12a가 될 수 있어요. 가운데 항의 부호는 ± 가 될 수 있다는 걸 알아두세요.
(2)의 모양을 바꿔보죠.
4a2 + 4ab + □
= (2a)2 + 2 × 2a × b + □
□ = b2
여기는 제곱이니까 부호는 무조건 +에요.
완전제곱식으로 인수분해
일단 전개식이 완전제곱식이라는 걸 알았으면 완전제곱식으로 인수분해를 해야겠죠? 곱셈공식 - 완전제곱식을 거꾸로 하는 거니까 그 모양을 잘 생각해보죠.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
전개식에서 가운데 항의 부호가 완전제곱식의 가운데 항의 부호와 같다는 점만 주의하면 돼요. 전개식에서 각 항은 어떤 것의 제곱인지, 어떤 것을 곱했는지 파악하면 되겠죠?
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
다음 식을 다항식의 곱셈으로 나타내어라.
(1) a2 + 4ab + 4b2
(2) 4a2 + 12ab + 9b2
(3) 8a2 + 8ab + 2b2
식을 다항식의 곱셈으로 나타내는 게 인수분해죠?
(1) 모양을 바꿔보면
a2 + 4ab + 4b2
= a2 + 2 × a × 2b + (2b)2
= (a + 2b)2
(2) 4a2 + 12ab + 9b2
= (2a)2 + 2 × 2a × 3b + (3b)2
= (2a + 3b)2
(3)은 모든 항이 2의 배수이므로 가장 먼저 공통인수로 인수분해를 해야 해요.
8a2 + 8ab + 2b2
= 2(4a2 + 4ab + b2)
= 2{(2a)2 + 2 × 2a × b + b2}
= 2(2a + b)2
인수분해 공식 - 합차공식
곱셈공식에서 합차공식은 숫자, 문자는 같은데 가운데 부호만 다르게 해서 곱한 경우를 말하죠?
(a + b)(a - b) = a2 - b2
인수분해는 거꾸로니까 (제곱 - 제곱)의 꼴 → 합과 차로 바꾸는 거예요. 이 공식을 사용해야 하는 경우를 찾는 건 쉽죠?
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
다음을 인수분해하여라.
(1) 4a2 - 9b2
(2) 3a2 - 27b2
(3) a2 + 4b2
제곱 - 제곱의 꼴일 때, 인수분해 공식을 적용할 수 있어요.
(1) 4a2 - 9b2
= (2a)2 - (3b)2
= (2a + 3b)(2a - 3b)
(2)는 각 항을 3으로 묶을 수 있으니까 먼저 3으로 묶은 다음에 인수분해 공식을 적용해야 해요.
3a2 - 27b2
= 3(a2 - 9b2)
= 3{a2 - (3b)2}
= 3(a + 3b)(a - 3b)
(3)번은 (제곱 + 제곱)의 꼴이에요. 인수분해 공식을 적용할 수 없는 행태에요. 이건 함정으로 낸 문제인데, 더 이상 인수분해를 할 수 없어요.
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인수분해, 공통인수로 인수분해
인수분해 어디서 들어본 것 같죠? 소인수분해 들어봤잖아요. 글자 하나만 다르죠? 그 원리나 용어의 뜻도 비슷해요. 소인수분해와 같은 점, 다른 점을 함께 공부하면 더 쉽게 이해할 수 있어요.
다항식의 곱셈에서 가장 기본이 되는 분배법칙과 그 분배법칙을 활용한 곱셈공식이 있어요. 인수분해는 다항식의 곱셈에서 했던 곱셈공식만 잘 외우고 있으면 반은 먹고 들어가는 단원이에요. 그러니까 이번에 곱셈공식을 잊고 있었다면 다시 한번 외우세요. 분배법칙, 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식
이 글에서는 인수분해와 인수의 뜻을 알아보고, 간단한 인수분해도 공부할거예요.
인수분해
약수와 인수
약수와 인수는 같은 것 같지만 서로 달라요.
어떤 수를 다른 수로 나누었을 때, 나머지가 0이면 나누는 수를 나눠지는 수의 약수라고 해요.
(나눠지는 수) ÷ (나누는 수) = (몫) + (나머지는 0)
(나눠지는 수) ÷ (약수) = (몫) + 0
반면에 인수는 어떤 수나 식들을 곱해서 다른 수나 식이 될 때 곱해지는 식 또는 수를 말해요.
(인수) × (인수) = (식 또는 수)
그러니까 약수는 나누기를 기준으로 하고, 인수는 곱하기를 기준으로 한다고 생각하면 쉬워요.
인수분해
소인수분해는 어떤 숫자를 소수인 인수 즉, 소인수들의 거듭제곱과 곱으로 나타내는 거죠? 숫자를 소인수들의 곱으로 분해하는 거잖아요. 인수분해는 어떤 다항식을 두 개 이상의 다항식 또는 수의 거듭제곱과 곱으로 나타내는 거예요. 소수뿐 아니라 다항식으로 분해라는 거라서 앞에 "소"자가 빠지고 그냥 인수분해예요.
소인수분해: 12 = 22 × 3
인수분해: x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
인수분해는 (하나의 다항식) -> (식의 곱)으로 표시하는 거예요. (식의 곱) → (하나의 다항식)으로 하는 반대과정을 생각해볼 수 있겠죠? 이 반대과정이 전개예요. 즉 인수분해와 전개는 서로 반대 과정인거죠.
다항식의 곱을 전개할 때 분배법칙, 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식을 이용해서 하죠. 전개와 인수분해가 반대과정이니까 인수분해 공식도 곱셈공식의 반대공식이에요.
인수 구하기
그러면 인수분해된 걸 보고 인수를 구하는 방법을 알아보죠.
x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
우변에서 곱해져 있는 것들이 바로 인수예요. (x + 1)과 (x + 2)가 인수죠. 그리고 이들을 곱한 게 또 인수입니다. 마지막으로 모든 수의 약수에 1이 포함되듯이 모든 식의 인수로도 1이 포함돼요.
인수 1개: (x + 1), (x + 2)
인수 2개를 곱한 것: (x + 1)(x + 2)
모든 식의 인수: 1
총 4개의 인수를 구할 수 있어요.
소인수분해를 이용하여 약수 개수 구하기에서 각 소수의 지수에 1씩 더해서 곱하면 약수의 개수만 바로 구하는 방법이 있었죠?
소인수분해 → am × bn → (m + 1) × (n + 1)
12 = 22 × 3 → 약수의 개수는 (2 + 1)(1 + 1) = 6
인수분해에서도 같은 방법으로 인수의 개수를 구할 수 있어요.
x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
→ 인수 (x + 1)의 지수는 1, 인수 (x + 2)의 지수가 1
→ (1 + 1)(1 + 1) = 4
인수: ① 인수분해가 된 상태에서 괄호로 묶인 것, 괄호 밖의 숫자와 문자
② ①의 인수들을 서로 곱한 것
③ 모든 식의 인수 1
인수의 개수 = 각 인수의 (지수 + 1)의 곱
2x2 + 6x + 4가 2(x + 1)(x + 2)로 인수분해될 때, 2x2 + 6x + 4의 인수를 모두 구하여라.
인수분해가 이미 다 되어있네요. 인수분해가 된 상태에서 괄호 쳐진 각각의 것들이 모두 인수예요. 이때, 괄호 밖에 있는 것들은 숫자, 문자 모두 하나의 인수예요. 각 인수를 서로 곱한 게 인수고 마지막으로 1도 인수고요.
1개짜리 인수: 2, (x + 1), (x + 2)
2개를 곱한 인수: 2(x + 1), 2(x + 2), (x + 1)(x + 2)
3개를 곱한 인수: 2(x + 1)(x + 2)
모든 수의 인수: 1
총 8개의 인수가 있네요.
인수가 8개 맞는지 확인해보죠. 2의 지수 1, (x + 1)의 지수 1, (x + 2)의 지수 1이므로 (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8이네요. 8개가 맞네요.
공통인수로 인수분해
이제 직접 인수분해를 해볼까요? 인수분해를 할 때, 가장 먼저 하는 게 공통인수로 묶는 거예요. 이건 분배법칙을 거꾸로 하면 돼요
여러 개의 항도 인수로 되어 있겠죠? 그중에서 서로 똑같은 인수가 있을 때, 그걸 공통인수라고 하고 분배법칙을 이용해서 공통인수로 묶어요. 이때 공통인수는 1은 제외해요. 숫자는 최대공약수를 사용하고, 문자와 식은 차수가 가장 높은 걸 공통인수로 사용합니다.
공통인수: 모든 항에 들어있는 인수.
1은 제외. 숫자는 최대공약수, 문자와 식은 차수가 높은 것
공통인수로 인수분해: 각 항을 공통인수로 묶고, 공통인수로 나눈 몫은 괄호로
ma + mb = m(a + b)
x2 + 3x을 볼까요? x2은 x와 x2을 인수로 가져요. 3x는 3과 x가 인수죠? 공통으로 들어있는 인수는 x네요. x2에서 x로 나누면 x예요. 3x를 x로 나누면 3이고요. x라는 공통인수로 나누고, 몫을 그대로 써주면 돼요.
x2 + 3x = x(x + 3)
12a + 16a2를 공통인수로 인수분해해보죠. 숫자는 최대공약수를 사용하니까 12와 16의 최대공약수 4이고 공통으로 들어있는 문자는 a예요. 그러니까 공통인수는 4a입니다. 12a를 4a로 나누면 3이죠? 16a2에서 4a로 나누면 4a고요.
12a + 16a2 = 4a(3 + 4a)
다음 식을 인수분해하여라.
(1) x2 - 3x
(2) 4a2 + 8a
(3) 2xy + 3yz
공통인수로 묶어서 인수분해를 하는데, 공통인수는 각 항에 들어있는 인수 중 숫자는 최대공약수, 문자와 식은 차수가 가장 높은 걸 찾아요.
(1) 공통인수는 x네요. x로 묶고, 나머지는 괄호 안에 써주면
x2 - 3x = x(x - 3)
(2) 공통인수는 숫자는 4, 문자는 a예요.
4a2 + 8a = 4a(a + 2)
(3) 숫자는 최대공약수가 1이니까 제외하고요. 문자는 둘 다 y가 들어있어요.
2xy + 3yz = y(2x + 3z)
곱셈공식의 변형
곰셈공식의 변형은 곱셈공식과 등식의 변형을 하나로 합친 내용이에요.
곱셈공식은 다섯 가지가 있었는데, 모두 외우고 있죠? 필수공식이니까 반드시 외워야 해요. 그리고 등식의 변형에서 가장 기본이 되는 건 이항이었어요. 이 두 가지만 잘 알고 있으면 이번 글은 비교적 쉽게 넘어갈 수 있는 내용이에요.
곱셈공식의 모양을 바꾸면 새로운 공식이 나오는데, 외우면 좋아요. 하지만 헷갈려서 외우기가 어렵다면 외우지 않아도 돼요. 단 원리는 꼭 이해해야 하고, 곱셈공식을 변형할 수 있어야 해요.
곱셈공식의 변형
곱셈공식의 변형 - 제곱의 합
곱셈공식(완전제곱식, 합차공식 외)은 총 다섯 가지가 있었는데, 그중 완전제곱식 두 가지 있었죠?
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
이 두 공식의 우변에서 2ab를 이항해서 모양을 바꿀 거예요.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)2 - 2ab = a2 + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a - b)2 + 2ab = a2 + b2
첫 번째 곱셈공식은 두 수의 합(a + b), 두 수의 곱(ab), 각각을 제곱한 것의 합(a2 + b2)으로 이루어져 있어요. 두 번째 곱셈공식은 두 수의 차(a - b), 두 수의 곱(ab), 각각을 제곱한 것의 합(a2 + b2)으로 되어 있고요. 그러니까 두 수의 합/차, 곱, 제곱한 것의 합 중 두 가지를 알면 나머지 하나를 구할 수 있는 거죠. 두 수가 무엇인지는 구할 필요가 없어요.
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
= (a - b)2 + 2ab
곱셈공식의 변형 공식은 외우면 좋아요. 하지만 외워지지 않는다면 굳이 외우지 말고, 변형하는 방법만 알아두세요. 문제 푸는 데 전혀 지장이 없으니까요.
변형된 곱셈공식을 이용해서 문제를 풀 때는 문제에서 구하라고 하는 것과 문제에서 주어진 것들이 들어있는 공식을 사용해야 해요. x + y를 구하라고 하는 문제에서 엉뚱하게 (x - y)가 들어있는 공식을 사용해서는 안 되겠죠?
어떤 두 수 x, y의 합이 5이고, 곱이 10일 때 x2 + y2을 구하여라.
합과 곱을 주고 제곱한 것의 합을 구하는 문제예요. 세 가지가 들어있는 공식은 (a + b)2 = a2+ 2ab + b2이네요. 각 자리에 수를 대입해볼까요?
52 = x2 + 20 + y2
x2 + y2 = 25 - 20
x2 + y2 = 5
곱셈공식의 변형 - 합의 제곱, 차의 제곱
변형된 곱셈 공식을 보면 둘 다 좌변이 a2 + b2예요. 그러니까 두 공식의 우변을 서로 같다고 놓을 수도 있겠죠? 그런 다음 2ab를 이항해보죠.
(a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab
(a + b)2 = (a - b)2 + 4ab
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
합의 제곱, 차의 제곱, 두 수의 곱 중 두 가지를 알면 나머지를 구할 수 있는 공식이에요. 두 수가 어떤 수인지 몰라도 상관없는 거죠. 두 수의 합이 아니라 합의 제곱, 두 수의 차가 아니라 차의 제곱이라는 걸 주의하세요.
새로운 공식들이 만들어졌어요. 외우면 좋겠지만 외우지 못하겠다면 변형하는 방법을 잘 이해하면 돼요.
x + y = 4, x2 + y2 = 10일 때 다음을 구하여라.
(1) xy
(2) (x - y)2
두 수의 합과 제곱의 합이 주어졌어요. 두 가지가 들어있는 공식은 (x + y)2 = x2 + 2xy + y2이에요. 여기서 모르는 xy를 구할 수 있어요.
(1) 42 = 10 + 2xy
2xy = 6
xy = 3
(2)는 차의 제곱을 구하라고 했어요. 차의 제곱이 들어있는 공식은 (x - y)2 = x2 - 2xy + y2이죠. 대입하면
(x - y)2 = 10 - 2 × 3
(x - y)2 = 10 - 6
(x - y)2 = 4
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곱셈공식 두 번째예요. 곱셈공식 - 완전제곱식에서 완전제곱식의 형태인 공식을 두 개 공부했어요.
이 글에서 공부할 곱셈공식은 조금 더 어려워요. 하지만 공식이 만들어지는 원리는 분배법칙으로 모두 같아요. 만들어지는 원리를 잘 이해하고, 그림을 통해서 한 번 더 확인해보면 공식을 외우는 데 도움이 될 거예요.
공식을 외우는 이유는 계산과정을 조금 더 쉽고 빨리하기 위해서예요. 그런데 공식을 외우라고 하면 공식은 잘 외우지만, 실제 계산에서 적용하지 못하는 학생들이 있어요. 단순히 외우지만 말고 실제 문제에서 바로바로 적용할 수 있도록 연습을 많이 하세요.
곱셈공식
곱셈공식 (3) - 합차공식
세 번째 곱셈공식은 합차공식이라는 이름으로 불러요. 왜 합차공식이냐면 두 항을 더한 것과 뺀 것을 곱하거든요.
(a + b)(a - b)는 a와 b를 한 번은 더하고, 한 번은 빼서 곱하는 거죠. 전개해서 정리해볼까요?
(a + b)(a - b)
= a(a - b) + b(a - b)
= a2 - ab + ba - b2
= a2 - b2
(a + b)(a - b) = a2 - b2
앞의 항을 제곱한 것에서 뒤의 항을 제곱한 것을 빼주는 거예요.
그림으로 확인해보죠.
한 변의 길이가 a인 정사각형에서 가로는 b만큼 늘려주고, 세로는 b만큼 줄이면 가로 길이는 (a + b), 세로 길이는 (a - b)예요. 넓이는 (a + b)(a - b)죠. 이게 가운데 그림이에요.
가운데 그림의 오른쪽에 있는 작은 사각형을 밑으로 돌리면 세 번째 그림처럼 돼요. 흰 사각형의 가로 길이는 a - (a - b) = b죠.
색칠한 부분의 넓이 = 전체 사각형의 넓이 - 흰 사각형
(a + b)(a - b) = a2 - b2
합차공식은 두 개의 항을 한 번은 더하고, 한 번은 뺀 것을 곱할 때만 씁니다. (a + b)(a - c)는 +, -가 있지만 두 번째 항이 b와 c로 달라서 합차공식을 사용해서는 안 돼요.
(a + b)(a - c) ≠ a2 - b2
(b + c)(d - c) ≠ b2 - c2
다음을 간단히 하여라.
(1) (3a + b)(3a - b)
(2) (2a + 3b)(2a - 3b)
(3) (5a - 2b)(5a + 2b)
합차공식은 앞의 항을 제곱한 것에서 뒤의 항을 제곱한 것을 빼면 돼요.
(1) (3a + b)(3a - b)
= (3a)2 - b2
= 9a2 - b2
(2) (2a + 3b)(2a - 3b)
= (2a)2 - (3b)2
= 4a2 - 9b2
(3)은 두 항의 뺄셈이 앞에 있고, 덧셈이 뒤에 있죠. 곱셈에서는 교환법칙이 성립하니까 순서는 상관없어요.
(5a - 2b)(5a + 2b)
= (5a)2 - (2b)2
= 25a2 - 4b2
곱셈공식 (4) - x의 계수가 1일 때
이번 곱셈공식은 x가 있는 일차식 두 개를 곱하는 공식이에요. 이때 두 일차식의 x의 계수가 1이에요.
(x + a)(x + b)를 전개해서 정리해보죠. 여기서 a, b는 상수항이에요.
(x + a)(x + b)
= x(x + b) + a(x + b)
= x2 + bx + ax + ab
= x2 + (a + b)x + ab
세 번째 줄의 ax와 bx가 x가 있는 동류항이라서 서로 더해줬어요.
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
x는 제곱해주고, 두 상수항을 더한 것에 x붙여주고, 두 상수항을 곱한 것을 더해줘요.
역시 그림으로 확인해보죠.
가로가 (x + a)이고, 세로가 (x + b)인 사각형이에요.
전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 합
(x + a)(x + b) = x2 + bx + ax + ab
= x2 + (a + b)x + ab
다음을 간단히 하여라.
(1) (x + 2)(x + 3)
(2) (x + 3)(x - 5)
(3) (x - 2)(x - 3)
계수가 1인 두 일차식의 곱은 x는 제곱, 두 상수항의 합에 x를 붙여주고, 상수항의 곱을 더해주는 거예요.
(1) (x + 2)(x + 3)
= x2 + (2 + 3)x + 2 × 3
= x2 + 5x + 6
(2) (x + 3)(x - 5)
= x2 + {3 + (- 5)}x + 3 × (-5)
= x2 - 2x - 15
(3) (x - 2)(x - 3)
= x2 + {(-2) + (-3)}x + (-2) × (-3)
= x2 - 5x + 6
곱셈공식 (5) - x의 계수가 1이 아닐 때
이번 게 제일 어려운 곱셈공식이에요. 이번에도 일차식 두 개를 곱하는데 일차항의 계수가 1이 아니에요.
(ax + b)(cx + d)에서 a, c는 일차항의 계수이고, b, d는 상수항이에요.
(ax + b)(cx + d)
= ax(cx + d) + b(cx + d)
= acx2 + adx + bcx + bd
= acx2 + (ad + bc)x + bd
(ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
복잡하죠? 동류항이 있어서 더해주는 과정이 있어요.
그림을 보죠.
가로가 (ax + b)이고, 세로가 (cx + d)인 사각형이에요.
전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 합
(ax + b)(cx + d) = acx2 + adx + bcx + bd
= acx2 + (ad + bc)x + bd
다음을 간단히 하여라.
(1) (2x + 3)(3x + 1)
(2) (3x - 1)(2x + 1)
(3) (2x - 1)(4x + 3)
(1) (2x + 3)(3x + 1)
= 2x × 3x + (2 × 1 + 3 × 3)x + 3 × 1
= 6x2 + 11x + 3
(2) (3x - 1)(2x + 1)
= 3x × 2x + {3 × 1 + (-1) × 2}x + (-1) × 1
= 6x2 + x - 1
(3) (2x - 1)(4x + 3)
= 2x × 4x + {2 × 3 + (-1) × 4}x + (-1) × 3
= 8x2 + 2x - 3
곱셈공식 - 완전제곱식에서 2개, 이 글에서 3개 해서 총 5개의 곱셈공식을 공부했어요. 무조건 외워야 합니다.
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
- (a + b)(a - b) = a2 - b2
- (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
- (ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
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이 글에서는 다항식과 다항식의 곱셈을 해볼 거예요. 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 계산하면 되니까 그냥 넘어가고요. 그리고 다항식과 다항식을 곱할 때, 계산과정을 생략하고 그 결과를 바로 만들어낼 수 있는 공식인 곱셈공식도 공부할 거예요.
앞으로 공부할 식은 기본적으로 모두 다항식이기 때문에 곱셈공식은 꼭 알아야 하는 공식이에요. 총 다섯 개가 있는데, 이 글에서는 먼저 2개를 알아보죠.
다항식 × 다항식
두 개의 다항식의 곱 (a + b)(c + d)을 해보죠. 분배법칙을 이용할 거예요.
먼저 앞에 있는 a + b를 m이라고 한 번 생각해볼까요? 그러면 식은 m(c + d)로 바꿀 수 있죠? 이 모양이라면 분배법칙으로 괄호를 풀 수 있죠?
(a + b)(c + d)
= m(c + d)
= (m × c) + (m × d)
그런데, 원래 m = a + b였잖아요. 원래 값을 대입해보죠.
= {(a + b) × c} + {(a + b) × d}
다시 분배법칙으로 괄호를 풀면
= {(a × c) + (b × c)} + {(a × d) + (b × d)}
= ac + bc + ad + bd
항이 두 개인 다항식을 곱할 때는 분배법칙을 2번 이용해서 전개하는 거죠.
위의 계산 결과가 맞는지 그림으로 증명해볼까요? 가로 길이가 (a + b)이고, 세로 길이가 (c + d)인 사각형의 넓이는 (a + b)(c + d)죠?
전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 넓이의 합
(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd
다항식의 곱셈을 하는 방법이에요. 앞에 있는 다항식의 항 하나를 뒤에 있는 다항식의 항에 모두 곱하고, 앞에 있는 다항식의 다른 항을 뒤에 있는 다항식의 모든 항에 곱하는 거예요. 말로 하면 어려우니까 그림으로 보고 외우세요.
다음을 간단히 하여라.
(1) (3a + 2)(a + 3)
(2) (a + 3)(a - 2)
(3) (a + 3)(2a + b - 1)
첫 번째 다항식의 한 항을 두 번째 다항식의 모든 항에 곱해주고, 첫 번째 다항식의 다른 항을 두 번째 다항식의 모든 항에 곱해주는 거예요.
(1) (3a + 2)(a + 3)
= 3a(a + 3) + 2(a + 3)
= 3a2 + 9a + 2a + 6
= 3a2 + 11a + 6
(2) (a + 3)(a - 2)
= a(a - 2) + 3(a - 2)
= a2 - 2a + 3a - 6
= a2 + a - 6
(3) 번은 두 번째 다항식의 항이 세 개인데 항의 개수만 다를 뿐 방법이 똑같아요.
(a + 3)(2a + b - 1)
= a(2a + b - 1) + 3(2a + b - 1)
= 2a2 + ab - a + 6a + 3b - 3
= 2a2 + ab + 5a + 3b - 3
곱셈공식(1) - 완전제곱식(합의 공식)
완전제곱식은 똑같은 다항식을 여러 번 곱하는 거예요. 같은 수를 곱하는 걸 거듭제곱이라고 한다면 같은 식을 곱하는 게 완전제곱식이죠.
(a + b) 라는 다항식을 2번 곱하면 (a + b)(a + b) = (a + b)2에요. 한 번 전개해보죠.
(a + b)2
= (a + b)(a + b)
= a2 + ab + ba + b2
= a2 + 2ab + b2
결과만 볼까요?
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
다항식의 각 항을 제곱(a2, b2)해서 더해주고, 그다음 두 항을 곱한 것의 두 배(2ab)를 더해주는 거예요.
그림으로 보면 공식을 더 쉽게 이해할 수 있어요. 한 변의 길이가 a인 정사각형의 길이를 b만큼 늘린 후 넓이를 구하는 거예요.
전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 넓이의 합
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2
= a2 + 2ab + b2
곱셈공식(2) - 완전제곱식(차의 공식)
이번에는 (a - b) 의 완전제곱을 구해보죠.
(a - b)2
= (a - b)(a - b)
= a2 - ab - ba + b2
= a2 - 2ab + b2
결과만 볼까요?
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
다항식의 각 항을 제곱(a2, b2)해서 더해주고, 그다음 두 항을 곱한 것의 두 배(2ab)를 빼주는 거예요.
아래 그림을 보세요. 한 변의 길이가 a인 정사각형의 길이를 b만큼 줄인 다음에 사각형의 넓이를 구하는 과정이에요.
색칠한 사각형의 넓이 = 큰 사각형 - 흰 사각형 세 개의 넓이
(a - b)2 = a2 - b(a - b) - (a - b)b - b2
= a2 - ba + b2 - ab + b2 - b2
= a2 - 2ab + b2
두 완전제곱식의 차이를 잘 비교해서 외우세요. 각 항을 제곱해주는 건 같은데, 가운데 부호에 따라서 2ab를 더해주고, 빼주는 차이가 있어요.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
다음을 간단히 하여라.
(1) (a + 5)2
(2) (2a + 3b)2
(3) (3a - 5)2
(4) (4a - 2b)2
완전제곱식은 각 항은 제곱해서 더해주고, 두 항의 곱에 2배 한 것을 더해주거나 빼주는 거예요.
(1) (a + 5)2
= a2 + 2 × a × 5 + 52
= a2 + 10a + 25
(2) (2a + 3b)2
= (2a)2 + 2 × 2a × 3b + (3b)2
= 4a2 + 12ab + 9b2
(3) (3a - 5)2
= (3a)2 - 2 × 3a × 5 + 52
= 9a2 - 30a + 25
(4) (4a - 2b)2
= (4a)2 - 2 × 4a × 2b + (2b)2
= 16a2 - 16ab + 4b2
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[중등수학/중1 수학] - 분배법칙, 분배법칙, 교환법칙, 결합법칙 비교
중2 수학 목차
중학교 2학년 수학 목차입니다.
각 목차의 순서에 맞게 따라서 공부하시면 진도 걱정없이 학습할 수 있어요. 혹시 빠진 내용이 있거나 추가하고 싶은 내용이 있으면 언제든 댓글 남겨주세요.
- 유리수
- 식의 계산
- 연립방정식
- 부등식
- 일차함수
- 도형의 성질
- 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건
- 직각삼각형의 합동, 직각삼각형의 합동 조건
- 각의 이등분선의 성질 - 직각삼각형의 합동조건 이용
- 삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질
- 삼각형 외심의 위치, 삼각형 외심의 활용
- 삼각형의 내심, 삼각형 내심의 성질
- 삼각형 내심의 활용
- 삼각형의 외심과 내심 비교, 차이
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