인수분해 어디서 들어본 것 같죠? 소인수분해 들어봤잖아요. 글자 하나만 다르죠? 그 원리나 용어의 뜻도 비슷해요. 소인수분해와 같은 점, 다른 점을 함께 공부하면 더 쉽게 이해할 수 있어요.
다항식의 곱셈에서 가장 기본이 되는 분배법칙과 그 분배법칙을 활용한 곱셈공식이 있어요. 인수분해는 다항식의 곱셈에서 했던 곱셈공식만 잘 외우고 있으면 반은 먹고 들어가는 단원이에요. 그러니까 이번에 곱셈공식을 잊고 있었다면 다시 한번 외우세요. 분배법칙, 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식
이 글에서는 인수분해와 인수의 뜻을 알아보고, 간단한 인수분해도 공부할거예요.
인수분해
약수와 인수
약수와 인수는 같은 것 같지만 서로 달라요.
어떤 수를 다른 수로 나누었을 때, 나머지가 0이면 나누는 수를 나눠지는 수의 약수라고 해요.
(나눠지는 수) ÷ (나누는 수) = (몫) + (나머지는 0)
(나눠지는 수) ÷ (약수) = (몫) + 0
반면에 인수는 어떤 수나 식들을 곱해서 다른 수나 식이 될 때 곱해지는 식 또는 수를 말해요.
(인수) × (인수) = (식 또는 수)
그러니까 약수는 나누기를 기준으로 하고, 인수는 곱하기를 기준으로 한다고 생각하면 쉬워요.
인수분해
소인수분해는 어떤 숫자를 소수인 인수 즉, 소인수들의 거듭제곱과 곱으로 나타내는 거죠? 숫자를 소인수들의 곱으로 분해하는 거잖아요. 인수분해는 어떤 다항식을 두 개 이상의 다항식 또는 수의 거듭제곱과 곱으로 나타내는 거예요. 소수뿐 아니라 다항식으로 분해라는 거라서 앞에 "소"자가 빠지고 그냥 인수분해예요.
소인수분해: 12 = 22 × 3
인수분해: x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
인수분해는 (하나의 다항식) -> (식의 곱)으로 표시하는 거예요. (식의 곱) → (하나의 다항식)으로 하는 반대과정을 생각해볼 수 있겠죠? 이 반대과정이 전개예요. 즉 인수분해와 전개는 서로 반대 과정인거죠.
다항식의 곱을 전개할 때 분배법칙, 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식을 이용해서 하죠. 전개와 인수분해가 반대과정이니까 인수분해 공식도 곱셈공식의 반대공식이에요.
인수 구하기
그러면 인수분해된 걸 보고 인수를 구하는 방법을 알아보죠.
x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
우변에서 곱해져 있는 것들이 바로 인수예요. (x + 1)과 (x + 2)가 인수죠. 그리고 이들을 곱한 게 또 인수입니다. 마지막으로 모든 수의 약수에 1이 포함되듯이 모든 식의 인수로도 1이 포함돼요.
인수 1개: (x + 1), (x + 2)
인수 2개를 곱한 것: (x + 1)(x + 2)
모든 식의 인수: 1
총 4개의 인수를 구할 수 있어요.
소인수분해를 이용하여 약수 개수 구하기에서 각 소수의 지수에 1씩 더해서 곱하면 약수의 개수만 바로 구하는 방법이 있었죠?
소인수분해 → am × bn → (m + 1) × (n + 1)
12 = 22 × 3 → 약수의 개수는 (2 + 1)(1 + 1) = 6
인수분해에서도 같은 방법으로 인수의 개수를 구할 수 있어요.
x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
→ 인수 (x + 1)의 지수는 1, 인수 (x + 2)의 지수가 1
→ (1 + 1)(1 + 1) = 4
인수: ① 인수분해가 된 상태에서 괄호로 묶인 것, 괄호 밖의 숫자와 문자
② ①의 인수들을 서로 곱한 것
③ 모든 식의 인수 1
인수의 개수 = 각 인수의 (지수 + 1)의 곱
2x2 + 6x + 4가 2(x + 1)(x + 2)로 인수분해될 때, 2x2 + 6x + 4의 인수를 모두 구하여라.
인수분해가 이미 다 되어있네요. 인수분해가 된 상태에서 괄호 쳐진 각각의 것들이 모두 인수예요. 이때, 괄호 밖에 있는 것들은 숫자, 문자 모두 하나의 인수예요. 각 인수를 서로 곱한 게 인수고 마지막으로 1도 인수고요.
1개짜리 인수: 2, (x + 1), (x + 2)
2개를 곱한 인수: 2(x + 1), 2(x + 2), (x + 1)(x + 2)
3개를 곱한 인수: 2(x + 1)(x + 2)
모든 수의 인수: 1
총 8개의 인수가 있네요.
인수가 8개 맞는지 확인해보죠. 2의 지수 1, (x + 1)의 지수 1, (x + 2)의 지수 1이므로 (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8이네요. 8개가 맞네요.
공통인수로 인수분해
이제 직접 인수분해를 해볼까요? 인수분해를 할 때, 가장 먼저 하는 게 공통인수로 묶는 거예요. 이건 분배법칙을 거꾸로 하면 돼요
여러 개의 항도 인수로 되어 있겠죠? 그중에서 서로 똑같은 인수가 있을 때, 그걸 공통인수라고 하고 분배법칙을 이용해서 공통인수로 묶어요. 이때 공통인수는 1은 제외해요. 숫자는 최대공약수를 사용하고, 문자와 식은 차수가 가장 높은 걸 공통인수로 사용합니다.
공통인수: 모든 항에 들어있는 인수.
1은 제외. 숫자는 최대공약수, 문자와 식은 차수가 높은 것
공통인수로 인수분해: 각 항을 공통인수로 묶고, 공통인수로 나눈 몫은 괄호로
ma + mb = m(a + b)
x2 + 3x을 볼까요? x2은 x와 x2을 인수로 가져요. 3x는 3과 x가 인수죠? 공통으로 들어있는 인수는 x네요. x2에서 x로 나누면 x예요. 3x를 x로 나누면 3이고요. x라는 공통인수로 나누고, 몫을 그대로 써주면 돼요.
x2 + 3x = x(x + 3)
12a + 16a2를 공통인수로 인수분해해보죠. 숫자는 최대공약수를 사용하니까 12와 16의 최대공약수 4이고 공통으로 들어있는 문자는 a예요. 그러니까 공통인수는 4a입니다. 12a를 4a로 나누면 3이죠? 16a2에서 4a로 나누면 4a고요.
12a + 16a2 = 4a(3 + 4a)
다음 식을 인수분해하여라.
(1) x2 - 3x
(2) 4a2 + 8a
(3) 2xy + 3yz
공통인수로 묶어서 인수분해를 하는데, 공통인수는 각 항에 들어있는 인수 중 숫자는 최대공약수, 문자와 식은 차수가 가장 높은 걸 찾아요.
(1) 공통인수는 x네요. x로 묶고, 나머지는 괄호 안에 써주면
x2 - 3x = x(x - 3)
(2) 공통인수는 숫자는 4, 문자는 a예요.
4a2 + 8a = 4a(a + 2)
(3) 숫자는 최대공약수가 1이니까 제외하고요. 문자는 둘 다 y가 들어있어요.
2xy + 3yz = y(2x + 3z)
(x+1)(x+2) 와 같은 형태에서 공통인수를 구하려면 어떻게 해야하나요?
인수 분해가 다 된 상태에서는 공통인수를 구할 수 없나요?
아니면 (x+1)이나 (x+2) 둘다 공통인수가 될 수 있나요?
(예를 들어 x(x+1)+2(x+1)과 같은 형태가 될 수 있으니까)
개념이 헷갈리네요ㅠㅠ..
공통인수를 찾는 건 인수분해를 하려고 하는 거예요. 인수분해가 다 된 상태에서는 당연히 공통인수를 찾을 수 없죠. 공통인수를 찾을 수 있다면 그건 인수분해가 완전히 끝나지 않은 거에요.
감사합니다!! ㅎㅎ 인수분해가 많이 햇갈렸는... 한번에 해결 해 주셨네요. 도움이 참 많이 되는 수학방^^
그러면 인수분해가 다 된 상태에서는 전개해서 공통인수를 찾는게 아니라 그냥 공통인수 자체가 없는건가요?
전 전개하면 공통인수가 보이길래 공통인수가 있는 줄 알았거든요ㅜ
전개하면 공통인수가 있죠.
하지만 인수분해는 전개되어 있는 걸 전개하기 전의 상태로 바꾸는 작업이니까 전개를 하면 안되죠.
저기 죄송한데요.....진짜 만약에 말이죠... (2+3)(4+5)=45 잖아요....
근데 이게 만약 인수분해에서 인수라는건 일단 1,(2+3),(4+5),(2+3)(4+5)
잖아요..... 근데 인수는 약수잖아요.... 45의 약수는 1,3,5,9,15,45잖아요... 인수분해 해서 찾은 인수에는 3,15가 없는데..... 이럴때는 어떻게 해야 되나요...?
숫자는 소인수분해를 해야지 그렇게 하시면 안돼요.
5 x 9 = 45가 아니라 5 x 3^2 = 45로 해야죠.
정말 어렵네요 하지만 감사합니다
처음에는 어렵지만 몇 번 해보면 갑자기 눈에 확 들어올 때가 있어요. 그 뒤로는 술술 풀릴 거예요.
안녕하세요~
인수분해 공식 1로 가는 링크 오류입니다 ~
네.
항상 감사하단 뜻을 어떻게 전해드릴까 고민했는데 도움이 많이 될런지는 몰라도 도움드릴게 있어서 즐겁네요 앞에 오타부분은 지나온게 많아서 나중에 복습할 때 천천히 찾아볼게요 ㅎ 항상 감사합니다 ^^
도움이 정말 많이 되었어요. 고맙습니다.
링크가 끊기고 오타가 많으면 블로그의 신뢰도가 떨어지거든요. 처음에 글을 쓸 때 주의해야하는데 쓰는 데만 급급해서 틀린 것도 모르고 넘어간 게 많네요.
생각보다 틀린 게 많아서 조금 당황하긴 했지만 발견한 것들은 모두 고치고 새롭게(?) 태어날 거예요.
안녕하세요.
수학방 너무나 잘보고 있습니다.
인수 분해를 보다 보니...
인수 라는 말이 헷갈려서 질문 올립니다.
인수 분해는 어떤 다항식을 두 개 이상의 다항식의 거듭제곱과 곱으로 나태는 거에요. 이때 곱하는 식을 인수라고 해요.
숫자에서는 약수라고 하고 다항식에서는 약수 대신에 인수라는 용어를 사용 해요. 둘이 같은 뜻이에요.
라는 설명인데..
X^2 + 3X 을 볼까요? X^2 은 X 와 X^2 인수를 가져요. 3X 는 3과 X 가 인수죠?
이 말이 잘 이해가 가지 않습니다.
다르게 설명 해주실수 있나요..?
부탁드립니다.
중간에 인수구하는 과정을 다시 읽어보세요.
너무 이해가 잘되는....
설명을 며칠 전에 들었는데 까먹고 다른 거 풀다가
막상 인수분해 보니까 머리가 하얗게 변해버려서 설명들으러 들어왔어요
수학방이란, 수학 풀다 막히면 오게되는 알라딘의 램프같은 곳입니다 ㅎㅎ
막히기 전에 미리 수학방에서 공부를 하면 어떨까요? ㅎㅎ
수학잘하는방법이뭐죠
그냥 열심히 하는 거죠.
수학은 개념을 마스터한 것 + 피나는 연습입니다
중3들어와서 수학공부열심히하는데 도움이 많이 되네요 ㅅㅅ
중 3때부터 열심히 해도 충분하죠. 앞으로 열심히 하겠다는 마음 변치 마세요.
비밀댓글입니다
이 글이 인수를 구하는 내용을 설명한 글이에요. 본문을 잘 읽어보세요.
비밀댓글입니다
수와 인수의 차이죠.
예를들어x^2-2x-24이면 인수분해를 어떤방식으로 해야하죠?
인수분해 공식 2 - 이차항의 계수가 1일 때를 참고하세요.
https://mathbang.net/272
죄송하지만 공통인수에서 문자와 식은 차수가 '낮은'것이 아닌가요? 왜 높은 것이 되나요?
공통인수는 쉽게 말해 최대공약수와 비슷한 개념이에요. 묶을 수 있을 만큼 최대한 큰 걸로 묶고 서로소만 남긴다고 생각하시면 쉬워요.
x세제곱 + 8 = 0 을 인수분해 하면 뭐가 나오나요
고1 수학의 인수분해 공식 3번을 참고해주세요.
https://mathbang.net/319
x^3 + 8 = 0
x^3 + 2^3 = 0
(a-1)의 제곱 - (b-1)의 제곱의 인수 다 말해주실 수 있나요? ㅊㅠㅠ