인수분해 어디서 들어본 것 같죠? 소인수분해 들어봤잖아요. 글자 하나만 다르죠? 그 원리나 용어의 뜻도 비슷해요. 소인수분해와 같은 점, 다른 점을 함께 공부하면 더 쉽게 이해할 수 있어요.

다항식의 곱셈에서 가장 기본이 되는 분배법칙과 그 분배법칙을 활용한 곱셈공식이 있어요. 인수분해는 다항식의 곱셈에서 했던 곱셈공식만 잘 외우고 있으면 반은 먹고 들어가는 단원이에요. 그러니까 이번에 곱셈공식을 잊고 있었다면 다시 한번 외우세요. 분배법칙, 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식

이 글에서는 인수분해와 인수의 뜻을 알아보고, 간단한 인수분해도 공부할꺼에요.

인수분해

소인수분해는 어떤 숫자를 소수들의 거듭제곱과 곱으로 나타내는 거죠? 숫자를 소수들의 곱으로 분해하는 거잖아요. 인수분해는 어떤 다항식을 두 개 이상의 다항식의 거듭제곱과 곱으로 나타내는 거에요. 소수가 아니라 다항식으로 분해라는 거라서 앞에 "소"자가 빠지고 그냥 인수분해에요. 이 때 곱하는 식을 인수라고 해요.

소인수분해: 12 = 2² × 3
인수분해: x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

인수분해는 (하나의 다항식) -> (식의 곱)으로 표시하는 거에요. (식의 곱) -> (하나의 다항식)으로 하는 반대과정을 생각해볼 수 있겠죠? 이 반대과정이 전개에요. 즉 인수분해와 전개는 서로 반대 과정인거죠.

다항식의 곱을 전개할 때 분배법칙, 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식을 이용해서 하죠. 전개와 인수분해가 반대과정이니까 인수분해 공식도 곱셈공식의 반대공식이에요.

인수 구하기

소인수분해를 이용하여 약수구하기에서 소인수분해를 하면 약수를 쉽게 구할 수 있다고 했어요. 숫자에서는 약수라고 하고 다항식에서는 약수 대신에 인수라는 용어를 사용해요. 둘이 같은 뜻이에요.

그러면 인수분해된 걸 보고 인수를 구하는 방법을 알아보죠.

x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

우변에서 곱해져있는 것들이 바로 인수에요. (x + 1)과 (x + 2)가 인수죠. 그리고 이들을 곱한 게 또 인수가 됩니다. 마지막으로 모든 수의 약수에 1이 포함되듯이 모든 식의 인수로도 1이 포함돼요.

인수 1개: (x + 1), (x + 2)
인수 2개를 곱한 것: (x + 1)(x + 2)
모든 식의 인수: 1

총 4개의 인수를 구할 수 있어요.

소인수분해를 이용하여 약수 개수 구하기에서 각 소수의 지수에 1씩 더해서 곱하면 약수의 개수만 바로 구하는 방법이 있었죠? 소인수분해 → a^m × bⁿ → (m + 1) × (n + 1)

12 = 2² × 3 → 약수의 개수는 (2 + 1)(1 + 1) = 6

인수분해에서도 같은 방법으로 인수의 개수를 구할 수 있어요.

x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) → (x + 1)의 지수는 1, 인수 (x + 2)의 지수가 1 → (1 + 1)(1 + 1) = 4

인수: ① 인수분해가 된 상태에서 괄호로 묶인 것, 괄호 밖의 숫자와 문자
        ② ①의 인수들을 서로 곱한 것
        ③ 모든 식의 인수 1
인수의 개수 = 각 인수들의 (지수 + 1)의 곱

2x² + 6x + 4가 2(x + 1)(x + 2)로 인수분해될 때, 2x² + 6x + 4의 인수를 모두 구하여라.

인수분해가 이미 다 되어있네요. 인수분해가 된 상태에서 괄호쳐진 각각의 것들이 모두 인수에요. 이 때, 괄호밖에 있는 것들은 숫자, 문자 모두 하나의 인수에요. 각 인수들을 서로 곱한 게 인수고 마지막으로 1도 인수고요.

1개짜리 인수: 2, (x + 1), (x + 2)
2개를 곱한 인수: 2(x + 1), 2(x + 2), (x + 1)(x + 2)
3개를 곱한 인수: 2(x + 1)(x + 2)
모든 수의 인수: 1

총 8개의 인수가 있네요.

인수가 8개 맞는 지 확인해보죠. 2의 지수 1, (x + 1)의 지수 1, (x + 2)의 지수 1이므로 (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8이네요. 8개가 맞군요.

공통인수로 인수분해

이제 직접 인수분해를 해볼까요? 인수분해를 할 때, 가장 먼저 하는 게 공통인수로 묶는 거에요. 이건 분배법칙를 거꾸로 하면 돼요.

여러 개의 항도 인수로 되어 있겠죠? 그 중에서 서로 똑같은 인수가 있을 때, 그걸 공통인수라고 하고 분배법칙을 이용해서 공통인수로 묶어요. 이 때 공통인수는 1은 제외해요. 숫자는 최대공약수를 사용하고, 문자와 식은 차수가 가장 높은 걸 공통인수로 사용합니다.

공통인수: 모든 항에 들어있는 인수
              1은 제외. 숫자는 최대공약수, 문자와 식은 차수가 높은 것
공통인수로 인수분해: 각 항을 공통인수로 묶고, 공통인수로 나눈 몫은 괄호로
                              ma + mb = m(a + b)

x² + 3x을 볼까요? x²은 x와 x²을 인수로 가져요. 3x는 3과 x가 인수죠? 공통으로 들어있는 인수는 x네요. x²에서 x를 나누면 x에요. 3x에서 x를 나누면 3이고요. x라는 공통인수로 나누고 , 그 몫을 그대로 써주면 돼요.
x² + 3x = x(x + 3)

12a + 16a²를 공통인수로 인수분해해보죠. 숫자는 최대공약수를 사용하니까 12와 16의 최대공약수 4이고 공통으로 들어있는 문자는 a에요. 그러니까 공통인수는 4a가 됩니다. 12a에서 4a나누면 3이죠? 16a²에서 4a를 나누면 4a고요.
12a + 16a² = 4a(3 + 4a)

다음 식을 인수분해하여라.
(1) x² - 3x
(2) 4a² + 8a
(3) 2xy + 3yz

공통인수로 묶어서 인수분해를 하는데, 공통인수는 각 항에 들어있는 인수 중 숫자는 최대공약수, 문자와 식은 차수가 가장 높은 걸 찾으세요.

(1) 공통인수는 x네요. x로 묶고, 나머지는 괄호안에 써주면
x² - 3x = x(x - 3)

(2) 공통인수는 숫자는 4, 문자는 a에요.
4a² + 8a = 4a(a + 2)

(3) 숫자는 최대공약수가 1이니까 제외하고요. 문자는 둘 다 y가 들어있어요.
2xy + 3yz = y(2x + 3z)