수학방

중학교 1학년 수학 목차입니다. 각 게시글 하단의 목차보다 여기 있는 목차를 이용해주세요.

각 목차의 순서에 맞게 따라서 공부하시면 진도 걱정없이 학습할 수 있어요. 혹시 빠진 내용이 있거나 추가하고 싶은 내용이 있으면 언제든 댓글 남겨주세요.

중2 수학 목차
중3 수학 목차

1. 자연수
   • 거듭제곱
   • 소수와 합성수
   • 에라토스테네스의 체
   • 소인수분해
   • 소인수분해를 이용하여 약수 개수구하기
   • 최대공약수의 뜻과 최대공약수 구하는 방법
   • 최소공배수의 뜻과 최소공배수 구하는 방법
   • 최대공약수와 최소공배수의 관계
2. 정수와 유리수
   • 양수와 음수, 정수
   • 절댓값과 수직선
   • 정수의 대소관계
   • 부등호의 사용
   • 정수의 덧셈, 교환법칙, 결합법칙
   • 정수의 뺄셈
   • 정수의 덧셈과 뺄셈의 혼합계산
   • 정수의 곱셈, 교환법칙, 결합법칙
   • 정수의 나눗셈과 혼합계산
   • 분배법칙
   • 유리수와 유리수의 분류
   • 유리수와 수직선, 유리수의 대소관계
   • 유리수의 덧셈과 뺄셈
   • 유리수의 곱셈과 나눗셈
3. 문자와 식, 일차방정식의 풀이
   • 문자와 식, 문자를 포함하는 식
   • 곱셈기호와 나눗셈 기호의 생략
   • 대입, 식의 값
   • 항, 계수, 차수, 단항식과 다항식, 일차식
   • 단항식의 곱셈과 나눗셈, 일차식의 곱셈과 나눗셈
   • 동류항, 일차식의 덧셈과 뺄셈
   • 방정식과 항등식
   • 등식의 성질, 등식의 성질을 이용한 일차방정식의 풀이
   • 일차방정식의 풀이
   • 복잡한 일차방정식의 풀이
   • 일차방정식의 활용 1 - 숫자, 나이
   • 일차방정식의 활용 2 - 거리, 속력, 시간, 농도
4. 그래프와 비례관계
   • 순서쌍과 좌표평면
   • 그래프의 뜻과 표현
   • 정비례와 그래프
   • 반비례와 그래프

1. 도형의 기초
   • 점, 선, 면, 직선, 반직선, 선분
   • 두 점 사이의 거리와 중점
   • 평각, 직각, 예각, 둔각
   • 맞꼭지각, 동위각, 엇각
   • 직교와 수직, 수선과 수선의 발, 점과 직선 사이의 거리
   • 점, 직선, 평면의 위치 관계
   • 평면에서 점과 직선의 위치관계, 두 직선의 위치관계
   • 공간에서 두 직선의 위치관계, 공간에서 평면과 직선의 위치관계
   • 공간에서 두 평면의 위치관계
   • 평행선의 성질, 평행선에서의 동위각과 엇각
   • 작도, 길이가 같은 선분의 작도, 크기가 같은 각의 작도
   • 삼각형의 정의, 삼각형의 대변, 대각
   • 삼각형의 작도
   • 도형의 합동, 삼각형의 합동 조건
2. 평면도형
   • 다각형, 내각, 외각, 정다각형
   • 대각선의 개수 구하기, 대각선 개수 공식
   • 삼각형 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 합
   • 다각형 내각의 크기의 합과 외각의 크기의 합
   • 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각
   • 원주율, 원의 둘레, 원의 넓이, 부채꼴의 둘레, 부채꼴의 넓이
3. 입체도형
   • 다면체, 각뿔, 각기둥, 각뿔대
   • 정다면체의 뜻, 정다면체의 종류
   • 회전체와 원뿔대, 회전체의 성질
   • 각기둥의 겉넓이와 부피, 원기둥의 겉넓이와 부피
   • 각뿔의 겉넓이와 부피, 원뿔의 겉넓이와 부피
   • 구의 겉넓이와 부피
4. 통계
   • 대푯값과 평균, 중앙값, 최빈값
   • 줄기와 잎 그림
   • 도수분포표, 변량, 계급, 도수의 뜻
   • 도수분포표 만드는 방법
   • 히스토그램
   • 도수분포다각형
   • 상대도수와 상대도수의 분포표
   • 상대도수의 그래프

하나의 삼각형을 작도할 수 있는 경우가 세 가지 있어요. 특정한 조건이 주어지면 다른 삼각형은 그릴 수 없고 단 하나의 삼각형만 그릴 수 있는 경우요.

삼각형을 작도할 수 있는 조건은 삼각형을 그리는 데 뿐 아니라 다음에 공부할 삼각형의 합동에서도 아주 중요하니까 꼭 기억해야 해요.

삼각형은 변이 3개, 각이 3개예요. 그래서 변의 길이와 각의 크기 중 섞어서 3개를 알면 삼각형을 그릴 수 있어요.

• 변의 길이 3개
• 변의 길이 2개와 각의 크기 1개
• 변의 길이 1개와 각의 크기 2개

각의 크기 3개를 알 때도 삼각형을 그릴 수는 있는데, 딱 하나의 삼각형을 그리는 게 아니라 여러 삼각형을 그릴 수 있어서 이건 제외해요.

• 세 변의 길이를 알 때
• 두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 크기를 알 때
• 한 변의 길이와 양쪽 끝각의 크기를 알 때

세 가지 중에 첫 번째는 세 변의 길이를 알 때예요. 세 변의 길이를 알면 컴퍼스를 이용해서 삼각형을 그릴 수 있어요. 세 변의 길이만큼 컴퍼스를 벌려서 원을 그리고 그 교점들을 연결하면 돼요.

주의해야 할 건 세 변의 길이를 알고 있다고 해서 무조건 삼각형을 그릴 수 있는 게 아니에요.

가장 긴 변의 길이가 다른 두 변의 길이의 합보다 크거나 같으면 삼각형을 그릴 수 없어요. 예를 들어 세 변의 길이가 1cm, 2cm, 100cm라면 삼각형을 그릴 수 없는 거죠. 마찬가지로 1cm, 2cm, 3cm면 삼각형을 그릴 수 없어요.

세 변의 길이를 줬을 때 길이가 가장 긴 변의 길이는 다른 두 변 길이의 합보다 작아야 삼각형을 그릴 수 있어요. 이거 중요하니까 잊으면 안돼요. 1cm, 2cm, 2.999cm는 삼각형을 그릴 수 있어요.

두 번째는 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때예요. 두 변의 길이를 알려준다고 했잖아요. 끼인각은 그 두 변이 만나서 생기는 각이에요. 다른 각은 안돼요. 꼭 길이를 알려준 두 변이 만나서 생기는 각이어야 해요. 이때는 끼인각을 먼저 그려요. 그다음 각 변의 길이만큼만 남기는 거예요.

마지막은 한 변의 길이와 양쪽 끝각의 크기를 알 때예요. 한 변을 긋고 양쪽에 주어진 각과 크기가 같은 각을 넣으면 삼각형을 그릴 수 있어요.

삼각형의 작도

세 변의 길이를 알 때

삼각형을 작도하는 첫 번째는 세 변의 길이를 알 때예요. 세 변의 길이를 알면 컴퍼스를 이용해서 그릴 수 있어요.

1. 길이가 같은 선분의 작도에 나온 방법대로 한 변을 그려요. $\overline{AB}$라고 할게요.
2. $\overline{AB}$의 한쪽 끝 점 A에 바늘을 놓고 다른 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요.
3. $\overline{AB}$의 반대쪽 끝 점 B에 바늘을 놓고 마지막 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요.
4. ②와 ③의 교점 점 C에서 점 A와 점 B로 선을 그으면 △ABC가 돼요.

두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 크기를 알 때

삼각형을 작도하는 두 번째는 두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 크기를 알 때예요.

끼인각을 먼저 그려야 하는데, 크기가 같은 각의 작도에 있는 방법대로 알려준 각과 크기가 같은 각을 그려요. ∠POQ라고 해보죠.
1. 점 O에 바늘을 놓고 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요. 이때 원과 $\overline{OQ}$가 만나는 교점을 점 B라고 할게요.
2. 다시 점 O에 바늘을 놓고 다른 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요. 이 원과 $\overline{OP}$가 만나는 교점을 점 A라고 할게요.
3. 점 A와 점 B를 연결하면 △AOB가 생겨요.

한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때

삼각형의 작도 마지막은 한 변의 길이와 양 끝각를 알 때예요.

1. 길이가 같은 선분의 작도에 나온 방법대로 한 변을 그려요. $\overline{AB}$라고 해보죠.
2. $\overline{AB}$의 한쪽 끝 점 A에 미리 알려준 크기의 각을 크기가 같은 각의 작도의 방법으로 그려요. 이때 선분을 충분히 길게 그려요. 이 선분을 $\overline{AP}$라고 하죠.
3. $\overline{AB}$의 반대쪽 끝 점 B에 알려준 다른 크기의 각을 그려요. 이때 선분을 $\overline{BQ}$라고 하고 $\overline{BQ}$와 $\overline{AP}$의 교점을 점 C라고 해보죠.
4. ②와 ③의 교점 C에서 점 A와 점 B로 선을 그으면 △ABC가 생겨요.

작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용해서 도형을 그리는 걸 말해요. 눈금 있는 자로 그리거나 각도기를 가지고 그리는 건 작도가 아니에요. 작도할 때 몇 가지 조건을 주는데, 그 조건에 맞추려면 굳이 눈금 있는 자와 각도기가 필요가 없거든요.

눈금 없는 자는 선을 그을 때 써요. 두 점을 연결해서 선을 그을 때와 이미 그려져 있는 선분을 더 길게 그릴 때요.

컴퍼스는 원래 기능대로 원을 그릴 때 쓰고요. 자에 눈금이 없으니 길이를 잴 수가 없잖아요. 이때 컴퍼스를 이용해서 주어진 선분의 길이만큼을 다른 곳에 옮길 수 있어요.

길이가 같은 선분의 작도

한 선분을 주고 이 선분과 길이가 같은 다른 선분을 그리는 거예요.

처음 선분을 $\overline{AB}$라고 해보죠.

1. 자를 이용해서 직선 l을 긋고 그 위에 점 P를 잡아요.
2. 컴퍼스로 $\overline{AB}$의 길이를 재요.
3. 점 P에 컴퍼스를 대고 $\overline{AB}$의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려서 원과 직선 l이 만나는 점을 점 Q라고 해보죠.
4. 이 $\overline{PQ}$가 처음 선분 $\overline{AB}$와 길이가 같은 선분이에요.

크기가 같은 각의 작도

하나의 각을 주고, 이 각과 크기가 같은 각을 그리는 거예요. 이 각을 ∠XOY라고 해볼게요.

1. 이 ∠XOY에서 점 O에 컴퍼스를 대고 원을 그려요. 원과 선분 OX가 만나는 점을 P, 원과 선분 OY가 만나는 점을 Q라고 해보죠.
2. 일단 이렇게 해놓은 상태에서 크기가 같은 새로운 각을 그릴 선분을 하나 그어요. 선분 l이라고 할까요?
3. 선분 l의 한쪽 끝점 A에 컴퍼스 바늘을 놓고 ①에서 그렸던 원과 반지름이 같은 원을 그려요. 이 원이 선분 l과 만나는 점을 B라고 해보죠.
4. 컴퍼스를 이용해서 점 P와 점 Q 사이의 거리만큼을 재요. 그리고 점 B에 컴퍼스의 바늘을 놓고 원을 그립니다. 이 원과 ③에서 그린 원과의 교점이 생겨요. 이 교점을 C라고 할게요.
5. 점 A와 점 C를 자를 대고 연결해요.

이 ∠BAC가 ∠POQ와 크기가 같은 각입니다.

폄면에서 두 직선의 위치관계에서 두 직선은 만나는 경우와 만나지 않는 경우가 있었어요. 만나는 경우는 2가지였으니까 전체 총 3가지 경우가 있었죠. 한 점에서 만난다, 일치, 만나지 않는다(평행)

공간에서 두 평면의 위치 관계는 한 점(교점)이 아니라 한 직선(교선)에서 만난다는 것 빼고는 평면에서 두 직선의 위치 관계와 똑같아요. 한 직선에서 만난다. 일치, 평행

두 평면 사이의 수직 관계

공간에서 평면과 직선의 수직에서 평면과 평면에 있지 않는 직선이 수직으로 만나는 경우를 공부했는데요. 평면 Q와 수직인 직선 l이 평면 P에 포함할 때, 평면 P와 평면 Q도 서로 수직이에요. Q ⊥ l → P ⊥ Q

두 평면 사이의 거리

평행한 두 평면 P, Q사이에는 거리를 구할 수 있어요. 평행하지 않은 평면 사이의 거리는 구할 수 없고요. 평행하지 않으면 사이가 일정하지 않으니까 위치에 따라 값이 달라지잖아요.

평행한 두 평면 중 한 평면 위의 점에서 다른 평면에 그은 수선의 길이를 평행한 두 평면 P, Q 사이의 거리라고 하고, 이 거리는 두 평면 사이 어디에서든 일정해요.
$P\quad\parallel\quad Q\quad\rightarrow\quad\overline{AB}\quad=\quad\overline{CD}$

반대로 서로 다른 점에서 구한 거리가 일정하면 두 평면은 평행이에요.

위치 관계가 여러 개 나와서 헷갈릴 수 있으니 한 번 정리하고 넘어가죠.

육하원칙 중에 어디에서 무엇을 이라는 항목이 있어요. 위치 관계에서는 어디에서 무엇들의 위치 관계인지가 중요해요.

어디에서에 해당하는 게 평면과 공간이에요. 이 두 곳에서 여러 항목들의 위치 관계를 따져요.

무엇들의 위치 관계를 따지느냐면 점과 직선, 점과 평면, 두 직선, 직선과 평면, 두 평면이에요.

두 가지 항목 사이의 위치 관계를 따지는데, 평면에서는 평면과 다른 항목의 위치 관계를 따질 수 없죠? 그래서 평면에서는 점과 직선, 두 직선의 위치 관계만 다뤄요.

공간에서는 다 다룰 수 있는데, 평면에서의 위치 관계가 그대로 성립하고 여기에 새로 추가되거나 살짝 바뀌는 형태예요. 그러니까 평면에서의 위치 관계를 먼저 잘 알아두고, 공간에서는 똑같은 것, 추가되는 것, 바뀌는 것이 뭔지 이해하면 공부하기 더 쉬워요.

평면에서 점과 직선의 위치 관계 : 직선이 점을 지난다(= 직선 위의 점), 직선이 점을 지나지 않는다(= 점이 직선 위에 있지 않다.)
이 관계를 이용해서 공간에서 점과 직선, 점과 평면의 위치 관계를 쉽게 외울 수 있어요.

(평면에서 점과 직선의 위치 관계) = (공간에서 점과 직선의 위치 관계)
(평면에서 점과 직선의 위치 관계)에서 직선을 평면으로 = (공간에서 점과 평면의 위치 관계)

평면에서 점과 직선의 위치 관계 : 한 점에서 만난다. 일치, 평행
이걸 살짝 바꾸면 공간에서 두 직선, 직선과 평면, 두 평면의 위치 관계를 알 수 있어요.

(평면에서 두 직선의 위치 관계) + 꼬인 위치 = (공간에서 두 직선의 위치 관계)
(평면에서 두 직선의 위치 관계)에서 일치를 포함으로 = (공간에서 직선과 평면의 위치 관계)
(평면에서 두 직선의 위치 관계)에서 한 점을 한 직선으로 = (공간에서 두 평면의 위치 관계)

표로 정리해 보죠.

기본 도형 - 점, 선, 면, 직선, 반직선, 선분>에서 점, 선, 면에 대해서 공부했어요. 이제 점, 선, 면 사이의 위치 관계를 공부할 거예요. 점과 선 사이의 위치 관계, 선과 면 사이의 위치 관계 같은 거요.

대신, 점은 그대로 점, 선은 직선, 면은 평면을 다뤄요.

가로 점과 세로 직선이 만나는 칸의 (O) 표시는 점과 직선의 위치 관계를 공부한다는 뜻이고, 가로 직선과 세로 직선이 만나는 칸의 (O) 표시는 두 직선의 위치 관계를 공부한다는 뜻이에요.

점과 점 사이의 위치 관계는 X로 되어있는데, 이건 다루지 않는다는 뜻이에요.

가로 직선과 세로 점이 만나는 칸에 (-) 표시 되어 있는 건 가로 점과 세로 직선이 만나는 칸에 (O) 표시 된 것과 중복되는 거라서 그렇게 표시했고요.

어디에서의 위치를 다룰 것이냐도 중요한데요. 평면과 공간에서 각 항목들의 위치 관계를 따져요. 그러니까 점과 직선의 위치 관계를 따지는데 이걸 평면에서의 위치 관계, 공간에서의 위치 관계 이렇게 2번 다루죠.

다만 평면에서 평면의 위치 관계를 다룰 수 없으므로 평면과 다른 항목의 위치 관계는 공간에서만 다뤄요. 다시 정리해보죠.

그러니까 총 7가지 위치 관계를 다뤄요.

반비례

정비례와 반대인 경우를 볼까요?

넓이가 30cm2인 사각형을 만들려고 해요. 가로의 길이를 xcm, 세로의 길이를 ycm라고 할 때, x와 y의 관계를 알아보죠.

가로의 길이가 1cm → 2cm로 두 배가 되면 세로의 길이는 30cm → 15cm로 $\frac{1}{2}$배가 되고, 가로의 길이가 1cm → 3cm로 3배가 되면 세로의 길이는 30cm → 10cm로 $\frac{1}{3}$배가 되죠.

이처럼 x가 2배, 3배가 될 때, y는 $\frac{1}{2}$배, $\frac{1}{3}$배가 되는 걸 반비례라고 해요.

x, y 사이의 관계를 알아볼까요?

x × y = 1 × 30 = 2 × 15 = 3 × 10 = 5 × 6 = 6 × 5 = 30

x × y = 30이니까 y = $\frac{30}{x}$이라는 관계식으로 나타낼 수 있어요.

x, y가 반비례하면 xy = a (a ≠ 0) 이라는 관계가 성립해요.

$$xy = a\quad\rightarrow\quad y\quad = \quad \frac{a}{x}\\(a\quad \ne \quad 0)$$

반비례의 그래프

y = $\frac{a}{x}$ (a ≠ 0)의 그래프는 어떤 특징이 있는지 알아볼까요?

y = $\frac{12}{x}$ 그래프를 그려보죠.

먼저 순서쌍을 찾아보면 …, (-12, -1), (-6, -2), (-4, -3), (-3, -4), (-2, -6), (-1, -12), (1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1), …이 있네요. 물론 중간마다 x = 0.1, 0.11, …, 0.2, 0.22, … 같은 순서쌍도 찾을 수 있겠죠. 이런 점들을 좌표평면에 표시하면 아래처럼 돼요. 직선이 아니라 x축, y축에 가까워지면서 한없이 뻗어 나가는 곡선이 2개가 그려졌어요. 한 쌍의 곡선이라서 쌍곡선이라고 해요. 이 곡선은 제1사분면과 제3사분면을 지나네요.

y = -$\frac{12}{x}$의 그래프도 그려보죠.

먼저 순서쌍을 찾으면 …, (-12, 1), (-6, 2), (-4, 3), (-3, 4), (-2, 6), (-1, 12), (1, -12), (2, -6), (3, -4), (4, -3), (6, -2), (12, -1), …이 있네요. 마찬가지로 정수가 아니라 유리수 순서쌍도 무수히 많을 거고요. 좌표평면에 점을 찍어봤더니 아래 그림처럼 그래프가 그려졌어요. x축, y축에 가까워지면서 한없이 뻗어 나가는 2개의 곡선인데, 곡선은 제2사분면과 제4사분면을 지나가요.

y = $\frac{a}{x}$ (a ≠ 0)에서 분수의 분모인 x는 0이 될 수 없으니까 y축과 만나지 않아요. 또 a ≠ 0이므로 y ≠ 0이어서 x축과도 만나지 않죠. 대신 x축, y축에 한없이 가까워지지만 할 뿐이에요. x ≠ 0, y ≠ 0이니까 원점도 지나지 않죠. 모양도 직선이 아니라 곡선이에요. 그리고 a > 0이면 x와 y의 부호가 같으니까 제1사분면과 제3사분면을 지나요. a < 0이면 x의 부호와 y의 부호가 반대라서 제2사분면과 제4사분면을 지나고요.

y = $\frac{a}{x}$(a ≠ 0)의 그래프 그리기

y = $\frac{a}{x}$는 직선이 아니라 곡선이라서 가능하면 많은 순서쌍을 찾아야 해요. 그래서 그 순서쌍을 좌표평면에 나타내고, 곡선으로 연결하는 거죠. 기본적인 형태는 같아요. 지나는 점만 다르다고 생각하면 돼요.

몇 번 연습해보면 그릴 수 있어요.

다음에 그려진 그래프를 보고, x, y의 관계식을 구하여라.

(1)은 제2사분면과 제4사분면을 지나는 직선이에요. y = ax의 그래프인데, a < 0인 그래프죠. 원점 O와 (1, -3)을 지나요. y = ax에 x = 1, y = -3을 대입하면 a를 구할 수 있어요.

y = ax
-3 = a × 1
a = -3

y = -3x의 그래프네요.

(2)는 제1사분면과 제3사분면을 지나는 곡선이에요. y = $\frac{a}{x}$의 그래프라는 얘기죠. 이 그래프는 (1, 5)를 지나네요. x = 1, y = 5를 대입해보죠.

$$y\quad = \quad \frac{a}{x}\\5\quad = \quad\frac{a}{1}\\a\quad = \quad 5$$

$y = \frac{5}{x}$의 그래프군요.

정비례

한 권에 1,000원 하는 공책을 x권 구입했을 때의 가격 y를 표로 나타내보죠.

x가 1권에서 2권으로, 다시 3권으로 늘어날 때, y는 어떻게 변하나요? 공책의 권 수가 2배, 3배가 되면 내야 할 금액도 2배, 3배가 되죠? 이처럼 변수 x, y에서 x가 2배, 3배가 될 때 y도 2배, 3배가 되는 걸 정비례라고 해요

$$\frac{y}{x}\quad=\quad\frac{1000}{1}\quad=\quad\frac{2000}{2}\quad=\quad\frac{3000}{3}\quad =\quad … =\quad=\quad 1000$$

$\frac{y}{x}$= 1000이니까 y = 1000x라는 관계식으로 나타낼 수 있어요.

일반적으로 x, y가 정비례할 때 y = ax (a ≠ 0)라는 관계가 성립해요.

정비례의 그래프

y = 2x가 있을 때, (-3, -6), (-2, -4), (-1, -2), (0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6) 같은 순서쌍을 만들 수 있어요. 이 순서쌍들을 좌표평면에 나타내 보면 아래 그림처럼 되지요.

그런데 x가 정수일 때 뿐 아니라 유리수일 때도 순서쌍을 만들 수 있겠죠? 0.1, 0.11, 0.111, …, 0.2, 0.22, … 처럼요. 그러면 이런 x에 대응하는 y값들을 구해서 순서쌍을 만들고, 이 순서쌍을 좌표평면에 나타내면 그래프를 그릴 수 있어요.

y = 2x에서 순서쌍을 만들어서 좌표평면에 나타내면 아래 그래프를 그릴 수 있어요.

x, y의 범위를 좁게 해서 그래프를 그려서 그렇지 실제로는 왼쪽 아래와 오른쪽 위로 끝없이 계속 이어지는 그래프예요.

앞에서 그렸던 y = 2x의 그래프가 바로 a = 2인 y = ax 형태의 그래프죠? 어떤 특징이 있나요? 일단 원점 O(0, 0)를 지나고 오른쪽 위로 향하는 직선이에요. 제1사분면과 제3사분면을 지나는 그래프네요.

이번에는 y = -2x의 그래프를 그려보죠. 마찬가지로 순서쌍을 만들고 그 순서쌍을 좌표평면에 찍어서 나타내요. (-3, 6), (-2, 4), (-1, 2), (0, 0), (1, -2), (2, -4), (3, -6)

y = -2x의 그래프도 원점 O (0, 0)를 지나요. 그리고 오른쪽 아래로 향하는 직선이고, 제2사분면과 제4사분면을 지나네요.

y = ax (a ≠0)의 그래프에서 x = 0이면 y = 0이니까 원점 O(0, 0)를 지나요. 그리고 a > 0이면 x와 y의 부호가 같죠? 그래서 제1사분면과 제3사분면을 지나요. a < 0이면 x의 부호와 y의 부호가 반대라서 제2사분면과 제4사분면을 지나고요.

y = ax (a ≠ 0) 그래프 그리는 법

y = ax (a ≠ 0)의 그래프는 원점을 지나는 직선이에요. 직선은 점 두 개만 있으면 그릴 수 있어요. y = ax의 그래프는 원점 O를 지나니까 원점이 아닌 다른 점의 좌표 하나만 더 알면 그릴 수 있다는 얘기예요.

y = 2x의 그래프를 예로 들면, 원점 (0, 0)과 (1, 2) 두 점을 연결해서 직선을 그으면 돼요. 굳이 x = 2, 3, 4, … 이런 점들의 순서쌍을 구할 필요가 없다는 뜻이죠. y = -2x도 원점 (0, 0)과 (1, -2) 두 점을 직선으로 연결해서 그래프를 그릴 수 있어요.

변수와 상수

"한 권에 1000원 하는 공책 x권을 샀다"고 했을 때, x는 1이 될 수도 있고, 2가 될 수도 있고 100이 될 수도 있죠. 이처럼 딱 정해진 값을 갖는 게 아니라 변하는 값을 변수라고 해요. 이런 변수들은 문자로 나타내니까 변하는 값을 나타내는 문자를 변수라고하기도 해요.

문자와 식에서 식에 문자를 사용하는 걸 공부했었죠? 거기서 사용했던 문자들이 모두 변수예요.

이와 반대로 1은 언제나 1이고 10은 언제나 10이에요. 어떤 경우라도 바뀌지 않고 그대로죠. 이처럼 변하지 않는 값을 상수라고 해요. 항, 상수항, 계수, 차수에서 상수항 들어봤죠? 숫자만 있는 항을 상수항이라고 한다고 했어요. 숫자만 있는 항은 바뀌지 않으니까 상수항인 거예요.

• 변수: 변하는 값, 변하는 값을 나타내는 문자
• 상수: 변하지 않는 값

그래프

여러 자료를 좌표를 이용해서 좌표평면에 점, 직선, 곡선 등으로 나타낸 것을 그래프라고 해요. 그래프를 보면 표로 볼 때보다 변화나 상태를 더 직관적으로 알아볼 수 있어요.

아래 그래프는 지민이가 집에서 슈퍼에 가서 물건을 사올 때, 시간에 따른 집과 지민이 사이의 거리를 나타낸 그래프예요. 가로축(x축)은 시간, 세로축(y축)은 집과 지민이 사이의 거리예요.

처음에 집에서 마트로 갈 때는 집과 지민이 사이의 거리가 멀어지다가 마트에 도착해서 물건을 고르고 계산하는 중에는 거리의 변화가 없죠. 물건을 사고 다시 집으로 돌아올 때는 거리가 줄어들고요.

이 그래프를 보면 지민이 집에서 마트는 5분 거리에 있고, 마트에서 3분 머물렀다는 걸 알 수 있어요.

마트로 가는 길, 마트에서 집으로 돌아오는 길의 그래프가 직선이에요. 이건 거리가 일정하게 늘어나고 줄어들었다는 뜻으로 걷는 속력이 일정했다는 말이에요.

다음 그래프는 시간에 따른 거리가 아니라 시간에 따른 속력의 그래프예요. 마트에 갈 때와 마트에서 올 때는 속력이 일정하고, 마트에 있는 동안은 속력이 0이에요.

직선이 아닌 곡선이 포함된 그래프는 어떨까요?

0 ~ 5 사이의 구간에서 곡선이 처음에는 가파르게 올라가다 점점 완만하게 오르죠? 가파르게 오른다는 건 변화가 빠르다는 거고, 완만하게 오른다는 건 변화가 느리다는 거예요.

이 그래프는 거리의 변화를 나타내는 그래프니까 곡선이 가파르다는 건 거리의 변화가 빠르다는 거고, 거리의 변화가 빠르다는 건 이동하는 속력이 빠르다는 얘기죠. 즉, 지민이가 빨리 걸었다는 뜻이에요. 반대로 곡선이 완만한 건 변화가 느리다는 거고 이건 이동 속력, 걷는 속력이 느려졌다는 뜻이에요.

즉, 곡선이 가파르다 완만하게 바뀐 그래프를 보면 지민이가 출발할 때는 빨리 걷다가 점점 느리게 걸어서 마트에 도착했다는 걸 알 수 있어요.

올 때(8 ~ 13 구간)는 반대로 완만하던 곡선이 가파르게 바뀌죠? 천천히 걷다가 점점 빨리 걸어서 왔다는 뜻이에요.

이것도 시간에 따른 거리가 아니라 시간에 따를 속력 그래프로 그려보면 아래처럼 될 거예요. 처음에는 빨랐다가 느려지더니 마트에 도착해서는 0이 되었죠? 그리고 다시 마트에서 출발할 때는 느렸다가 점점 빨라져요.

초등학교에서 분수를 처음 공부할 때를 생각해보세요. 피자 1판을 8조각으로 나누는 걸 예시로 들었던 기억나나요?

$$1 \div 8 = \frac{1}{8}$$

자연수를 나눠서 소수로 표현하는 방법도 공부했어요.

$$1 \div 8 = 0.125$$

1을 8로 나누어 분수로 표현한 값와 소수로 표현한 값은 같아요. $\frac{1}{8} = 0.125$

이렇게 나눈 조각이 8개 있으면 다시 1판을 만들 수 있죠?

$$\frac{1}{8} \times 8 = 1\\0.125 \times 8 = 1$$

분수로 표현한 $\frac{1}{8}$에 8을 곱한 것도 소수로 표현한 0.125에 8을 곱한 것도 둘 다 1로 같아요.

$$\frac{1}{8} \times 8 = 0.125 \times 8$$

이번에는 피자를 9조각으로 나눴다고 해보죠.

$$1 \div 9 = \frac{1}{9}\\1 \div 9 = 0.111\dots = 0.\dot{1}$$

여기서도 마찬가지로 1을 9로 나누어 분수로 표현한 값과 소수로 표현한 값은 같아요. $\frac{1}{9} = 0.\dot{1}$

이렇게 나눈 조각 9개가 있으면 다시 1판을 만들 수 있죠?

$$\frac{1}{9} \times 9 = 1\\0.\dot{1} \times 9 = 0.999\dots = 0.\dot{9}$$

$\frac{1}{8}$에 8을 곱한 값과 0.125에 8을 곱한 값이 같은 것처럼, 분수로 표현한 $\frac{1}{9}$에 9를 곱한 값이나 소수로 표현한 $0.\dot{1}$에 9를 곱한 값이 같아요.

정리해보죠.

$$1 \div 9 = \frac{1}{9}\\ 1 \div 9 = 0.111\dots = 0.\dot{1}\\ \downarrow \\ \frac{1}{9} = 0.\dot{1}\\ \downarrow\\\frac{1}{9} \times 9 = 0.\dot{1} \times 9 \\\downarrow \\ 1 = 0.\dot{9}$$

결국 $1 = 0.\dot{9}$인 걸 알 수 있어요.

[중등수학/중2 수학] - 순환소수를 분수로 나타내기

삼각형의 중선에 이어서 삼각형의 무게중심이라는 걸 공부합니다. 삼각형의 내심, 외심과 달리 삼각형의 중선이 한 점에서 만나는 이유에 대한 내용이 빠져있어서 이 글에서 추가로 설명합니다. 삼각형의 외심, 내심은 합동인 삼각형을 이용해서 증명했는데, 삼각형의 중선이 한 점에서 만나 삼각형의 무게중심이 되는 이유는 닮음인 삼각형을 이용해서 증명합니다.

이 글에는 삼각형의 세 중선이 한 점에서 만나는 이유만 설명되어 있으므로 삼각형의 중선과 삼각형의 무게중심에 대한 더 자세한 내용은 삼각형의 무게중심과 삼각형의 중선을 참고하세요.

삼각형의 중선이 한 점에서 만나는 이유를 이해하려면 삼각형의 중점 연결 정리에 대해 알고 있어야 합니다. 삼각형의 세 중선이 한 점에서 만나는 이유를 증명하는 내용은 무게중심의 성질을 설명하는 내용과 거의 비슷하니까 잘 이해할 수 있을 거예요.

삼각형의 세 중선이 한 점에서 만나는 이유

△ABC에서 의 중점을 점 F, 의 중점을 점 E라고 해보죠. 점 B와 점 E를 연결한 와 점 C와 점 F를 연결한 가 만나는 점을 점 M이라고 하고요.

와 는 두 변의 중점을 연결한 직선이므로 삼각형의 중점 연결 정리에 따라 가 됩니다.

△MEF와 △MBC를 보세요.

∠MEF = ∠MBC (이므로 평행선에서 엇각)
∠MFE = ∠MCB (이므로 평행선에서 엇각)

∴ △MEF ∽와 △MBC (AA 닮음)

두 삼각형이 닮음이므로 각 대응변의 길이의 비가 같죠? 이 성립합니다.

여기서 우리가 필요한 부분만 가져오면 이죠. 따라서 점 M은 를 2 : 1로 나누는 점이에요. (※ 고등학교에 가면 선분의 내분점이라는 걸 공부하는데, 여기서는 그냥 선분을 나누는 점이라는 정도만 알고 있으면 됩니다.)

이번에는 △ABC에서 의 중점을 점 F, 의 중점을 점 D라고 해보죠. 점 A와 점 D를 연결한 와 점 C와 점 F를 연결한 가 만나는 점을 점 N이라고 하고요.

와 는 두 변의 중점을 연결한 직선이므로 삼각형의 중점 연결 정리에 따라 가 됩니다.

△NDF와 △NAC를 보세요.

∠NDF = ∠NAC (이므로 평행선에서 엇각)
∠NFD = ∠NCA (이므로 평행선에서 엇각)

∴ △NDF ∽와 △NAC (AA 닮음)

두 삼각형이 닮음이므로 각 대응변의 길이의 비가 같죠? 이 성립합니다.

여기서 우리가 필요한 부분만 가져오면 이죠. 따라서 점 N은 를 2 : 1로 나누는 점이에요.

를 2 : 1로 나누는 점이 점 M과 점 N 두 개가 있죠? 이 두 점 사이에는 어떤 관계가 있을까요?

중점은 선분의 두 점 사이의 거리를 절반으로 나누는 점이에요. 이때 두 점과 중점 사이의 거리의 비는 1 : 1이죠? 한 선분에서 중점은 하나밖에 없죠? 그럼 선분의 두 점 사이의 거리를 2 : 1로 나누는 점은 몇 개가 있을까요? 이것도 마찬가지로 하나밖에 없어요. 따라서 를 2 : 1로 나누는 점인 점 M과 점 N은 같은 점이죠.

와 가 한 점 M에서 만나고, 와 가 한 점 N에서 만나는 데 이 두 점 M과 N이 서로 같은 점이므로 삼각형 △ABC의 세 중선 , , 는 한 점에서 만나요.

그리고 삼각형의 세 중선이 만나는 점을 삼각형의 무게중심 G라고 하는데, 삼각형의 무게중심과 삼각형의 중선에 더 자세히 소개되어 있습니다.

삼각형의 세 중선은 한 점에서 만난다.

함께 보면 좋은 글

삼각형의 무게중심과 삼각형의 중선
삼각형의 무게 중심과 넓이, 삼각형의 중선과 넓이
닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비 1
닮은 도형의 부피의 비와 넓이의 비 2

신문 기사에 [취재파일] 세계적 수준 이르렀던 조선 시대 수학자들이라는 제목의 기사가 있어서 클릭해서 봤습니다. 그중에서 홍길주라는 분이 쓰신 숙수념이라는 책에 나오는 제곱근을 구하는 방법에 대한 소개가 있더군요.

나눗셈과 뺄셈만으로 제곱근을 구하는 방법인데, 실제로 해봤더니 정말 재미있어요. 그리고 정확하고요. 그래서 이 글을 보는 학생들도 실제로 해보면 재미있을 것 같아서 소개합니다.

숙수념에 나오는 제곱근 구하는 방법

방법은 아주 간단해요.

제곱근을 구하려고 하는 수를 2로 나눈 다음에 그 수에서 1부터 2, 3, 4의 오름차순으로 계속 빼주는 거예요. 그러다 더는 뺄 수 없을 때(음수가 나올 때) 앞에서 뺀 결과로 나온 수와 빼야 하는 수를 비교하는 거지요.

글로 써서 잘 이해가 안 될 수 있는데, 실제로 제곱근을 구해보면 쉽게 이해가 될 거예요.

36의 제곱근을 구해보죠.

1. 36을 2로 나눈다. 36 ÷ 2 = 18
2. 18에서 1을 뺀다. 18 - 1 = 17
3. 17에서 2를 뺀다. 17 - 2 = 15
4. 15에서 3을 뺀다. 15 - 3 = 12
5. 12에서 4를 뺀다. 12 - 4 = 8
6. 8에서 5를 뺀다. 8 - 5 = 3
7. 3에서 6을 빼야 하지만 음수가 나오니까 멈춘다. 대신 3을 2배 한 것이 빼야 하는 수 6과 같으므로 36의 제곱근은 6이다.

제곱근이야 양수와 음수의 절댓값이 같고 부호만 다르니까 양의 제곱근이 6이면 음의 제곱근은 -6이죠?

다른 수를 한 번 해볼까요?

1. 49를 2로 나눈다. 49 ÷ 2 = 24.5
2. 24.5에서 1을 뺀다. 24.5 - 1 = 23.5
3. 23.5에서 2를 뺀다. 23.5 - 2 = 21.5
4. 21.5에서 3을 뺀다. 21.5 - 3 = 18.5
5. 18.5에서 4를 뺀다. 18.5 - 4 = 14.5
6. 14.5에서 5를 뺀다. 14.5 - 5 = 9.5
7. 9.5에서 6을 뺀다. 9.5 - 6 = 3.5
8. 3.5에서 7을 빼야 하지만 음수가 나오니까 멈춘다. 대신 3.5를 2배 한 것이 빼야 하는 수 7과 같으므로 49의 제곱근은 7이다.

어때요? 신기하죠?

36과 49는 제곱수니까 제곱수가 아닌 수의 제곱근을 구하는 방법을 알아보죠. 50의 제곱근을 구하는 과정이에요.

1. 50을 2로 나눈다. 50 ÷ 2 = 25
2. 25에서 1을 뺀다. 25 - 1 = 24
3. 24에서 2를 뺀다. 24 - 2 = 22
4. 22에서 3을 뺀다. 22 - 3 = 19
5. 19에서 4를 뺀다. 19 - 4 = 15
6. 15에서 5를 뺀다. 15 - 5 = 10
7. 10에서 6을 뺀다. 10 - 6 = 4
8. 4에서 7을 빼야 하지만 음수가 나오니까 멈춘다. 4를 2배 한 것과 빼야 하는 수 7이 같지 않으니까 이 방법으로는 50의 제곱근을 구할 수 없다.

이럴 때는 어떻게 하느냐면 50에 100을 곱한 5,000의 제곱근을 구하는 거예요.

• 50에 100을 곱한다. 50 × 100 = 5000
• 5000을 2로 나눈다. 5000 ÷ 2 = 2500
• 2500에서 1을 뺀다. 2500 - 1 = 2499
• 2499에서 2를 뺀다. 2499 - 2 = 2497
• 2497에서 3을 뺀다. 2497 - 3 = 2494
• 2494에서 4를 뺀다. 2494 - 4 = 2490
• …
• 85에서 70를 뺀다. 85 - 70 = 15
• 15에서 71을 빼야 하지만 음수가 나오니까 멈춘다.

여기서도 마찬가지로 15의 2배인 30과 빼야 하는 수 71이 같지 않으므로 제곱근을 구할 수 없어요. 그렇다고 이 71을 그냥 무시할 수 없는 게 71이 5,000의 제곱근은 아니지만 그것과 비슷한 값이라는 걸 유추할 수 있어요. 실제로 5,000의 제곱근은 70.71이에요. 별로 차이가 안 나죠?

근데 왜 100을 곱해서 구할까요? 그건 제곱근의 근삿값, 제곱근표 보는 방법에서 제곱근표에 없는 제곱근의 근삿값을 구했던 것과 비슷해요. 제곱근표에 없는 제곱근의 근삿값을 구할 때 10의 짝수 거듭제곱과 제곱근표에 있는 근삿값을 이용해서 구했었죠? 바로 이와 같은 원리로 10의 거듭제곱인 100을 곱해서 제곱근을 구하는 거지요.

10의 거듭제곱인 100을 곱해서 5,000의 제곱근의 근삿값인 71을 얻었어요. 그럼 100을 곱한 5,000의 제곱근의 근삿값이니까 100으로 나눈 0.71이 50의 제곱근의 근삿값일까요? 그렇지는 않아요.

다음 식을 보세요. 50의 양의 제곱근을 x라고 해보죠.

x =
x² = 50
100x² = 5000          (∵ 양변 × 100)
(10x)² ≒ (71)²
10x ≒ 71
x ≒ 7.1

어떤가요? 마지막에 나누는 수는 처음에 곱했던 100이 아니라 10이죠? 바로 제곱근을 구하는 거니까 100의 제곱근인 10으로 나눠주는 거예요. 이해가 되나요?

이 과정을 통해서 50의 제곱근은 약 7.1이라는 걸 알 수 있어요.

그럼 50에 100을 곱하지 않고 (10)⁴ = 10000을 곱해보죠. 같은 방법으로 500,000을 2로 나눈 다음 1부터 오름차순으로 빼보면 마지막에 429가 나오고 여기에서 707을 빼야 해요. 이 말은 707이 500,000의 제곱근의 근삿값이라는 얘기에요. 실제로 500,000의 제곱근의 근삿값은 707.106이에요.

x =
x² = 50
10000x² = 500000          (∵ 양변 × 10000)
(100x)² ≒ (707)²
100x ≒ 707
x ≒ 7.07

50의 제곱근의 근삿값이 7.07이라는 걸 구했어요. 곱하는 숫자가 크니까 조금 더 자세히 구했죠?

이렇게 100, 10000, 1000000씩 곱해서 1부터 오름차순으로 빼고, 위 식처럼 근삿값을 구하다 보면 실제 50의 양의 제곱근의 근삿값인 7.0710을 구할 수 있어요.

단순히 나눗셈과 뺄셈만으로 제곱근 또는 제곱근의 근삿값을 구할 수 있다는 것도 재미있지만 그것도 18C 조선에서 고안해낸 독창적인 방법이라는 것도 재미있네요.

함께 보면 좋은 글

제곱근의 뜻과 표현
제곱근의 곱셈과 나눗셈
제곱근의 근삿값, 제곱근표 보는 방법

연립방정식의 활용 두 번째예요. 보통 모든 단원 마지막에 나오는 활용 문제의 유형은 사실 거기서 거기예요. 식의 종류만 달라지죠. 일차방정식, 연립방정식 이렇게요.

하지만 연립방정식에만 나오는 특이한 유형이 있는데, 바로 흐르는 강물에서 배의 속력에 대한 문제예요. 일반적인 속력이나 소금물 농도 문제는 자주 다루니까 복습을 하는 효과가 있어서 잊어버리는 경우가 별로 없는데, 흐르는 강물에서 배의 속력 문제는 연립방정식의 풀이에서만 나오는 유형이라 잊어버리기 쉬운 유형이에요.

하지만 한가지 간단한 팁만 알고 있으면 일반적인 속력 문제와 다르지 않으니까 쉽게 풀 수 있어요. 여기서 알려주는 이 팁을 꼭 기억하세요.

연립방정식의 활용 두 번째

흐르는 강물에서 배의 속력 문제

배의 속력은 원래 정지된 호수 위를 움직일 때의 속력이에요. 하지만 강물은 흐르죠? 그래서 강물이 흐르는 경우에는 따로 이야기하지 않아도 강물의 속력까지 고려해줘야 해요. 강물은 아래쪽으로 흐르니까 강을 거슬러 올라갈 때는 강물의 속력을 빼주고 강을 내려올 때는 강물의 속력을 더해줘야 배가 실제로 움직이는 속력이 나와요. 문제만 읽어서는 찾기 어려운 내용이죠.

• 배가 강물을 거슬러 올라갈 때: 배의 실제 속력 = 배의 속력 - 강물의 속력
• 배가 강을 따라 내려올 때: 배의 실제 속력 = 배의 속력 + 강물의 속력

길이가 10km인 강을 배로 거슬러 올라갈 때는 5시간, 내려올 때는 2시간이 걸렸다. 배의 속력을 구하여라.

배의 속력을 구하라고 했는데, 배의 속력만 생각해서는 이 문제를 풀 수 없어요. 강물도 움직인다는 것을 고려해야 해요.

배의 속력을 x, 강물의 속력을 y라고 하죠.

강을 거슬러 올라갈 때 배의 실제 속력 = x - y
강을 내려올 때의 배의 실제 속력 = x + y

강을 올라갈 때와 내려올 때의 이동거리는 강의 길이와 같아요. 둘 다 10km

니까 공식에 대입하면 연립방정식을 세울 수 있어요.

① + ②
2x = 7
x = 3.5
y = 1.5

배의 속력은 시속 3.5km, 강물의 속력은 시속 1.5km네요.

두 자리 수에 관한 문제

두 자리 수에 관한 문제에서는 10의 자리 숫자를 x, 일의 자리 숫자를 y로 놓고 풀면 돼요. 조심해야 할 건 실제로 구하는 수는 10 × x + y라는 거예요.

각 자리의 숫자의 합이 15인 두 자리 자연수가 있다. 십의 자리와 일의 자리를 바꾼 수가 처음의 수보다 9가 클 때 처음 수를 구하여라.

십의 자리 숫자를 x, 일의 자리 숫자를 y라고 할 때 처음 수는 10x + y에요.

처음 수의 두 자리의 숫자의 합이 15라고 했으니까 x + y = 15

십의 자리와 일의 자리를 바꾼 숫자는 10y + x인데 이게 처음 수보다 9가 크다고 했어요.
10y + x = 10x + y + 9
x - y = -1

연립방정식이 세워졌죠?

① + ②
2x = 14
x = 7
y = 8

처음 수는 10x + y = 78이네요.

이 외에도 나이에 관한 문제(몇 년 후 나이가 OO배가 된다는 형식), 비용에 관한 문제(어른은 입장료 10,000원 어린이는 5,000원일 때 총 요금이 OO원, 어른 몇 명?, 어린이 몇 명?) 등 여러 형태가 나옵니다. 위에서 얘기한 유형의 문제에 비해서는 비교적 쉽다고 할 수 있죠.

함께 보면 좋은 글

연립방정식의 활용
해가 특수한 연립방정식
복잡한 연립방정식의 풀이
연립방정식의 풀이법 - 대입법
연립방정식의 풀이법 - 가감법 두 번째

인터넷 사이트에 올라온 유머예요. 아마도 누군가 문제집에 나오는 문제를 보고 재미있어서 인터넷에 올렸나 봐요. 간단한 인수분해 문제인데 실생활과 연결지어서 문제를 냈더니 유머가 되어버렸어요.

수학과 관련된 유머가 몇 가지 있었죠? 물론 이번 문제는 문제 자체에 웃음을 짓는 경우라 풀이 때문에 웃었던 유머와 조금 다른 경우죠.

1초 고민하는 수학 문제
경우의 수 문제 푸는 법
끈기만 있으면 풀 수 있는 수학문제

딸이 집에 들어오는 게 싫은 아빠

문제는 길게 써놨는데 실제로는 아주 쉬운 문제예요. 식도 알려줬고 결과도 알려줬으니까요.

일단 ab월 cd일이니까 월과 날짜를 나타내는 a, b, c, d는 양수여야 해요. 그리고 10월 10일이나 01월 01일일 수도 있으니 0도 괜찮죠. 그러니까 a, b, c, d ≥ 0이에요.

첫 번째 식을 먼저 보죠.

(x² - 2x)² + x² - 2x - 2 = (x²2 - 2x - a)(x² - 2x + b)

좌변을 전개하면 4차식이 되니까 전개한 후에 인수분해하는 것보다는 괄호로 묶은 부분을 치환해서 푸는 게 더 쉬워요. 복잡한 식의 인수분해 1 - 공통인수로 묶기, 치환

(x² - 2x)² + x² - 2x - 2
= (x² - 2x)² + (x² - 2x) - 2
= t² + t - 2                                    (∵ x² - 2x = t 치환)
= (t - 1)(t + 2)
= (x² - 2x - 1)(x² - 2x + 2)              (∵ t = x² - 2x)

상수항을 비교해보면 a = 1, b = 2 or b = -1, a = -2인데, a ≥ 0, b ≥ 0이므로 a = 1, b = 2에요.

두 번째 식을 보죠.

2x² + xy - 7x - 3y + 3 = (x - 3)(cx + y - d)

좌변에 항이 다섯 개나 있어요. 이럴 때는 차수가 낮은 한 문자를 선택해서 내림차순으로 정리한 다음에 인수분해를 해요. 복잡한 식의 인수분해 - 항이 4개 이상일 때

2x² + xy - 7x - 3y + 3
= xy - 3y + 2x² - 7x + 3                      (∵ 차수가 낮은 y에 대하여 내림차순 정리)
= (x - 3)y + (2x - 1)(x - 3)
= (x - 3)(y + 2x - 1)
= (x - 3)(2x + y - 1)

c는 x의 계수니까 c = 2, d는 상수항이니까 d = 1이에요.

결국 abcd = 1221이네요.

여러 분이 미래라면 집에 들어가는데 얼마나 걸릴까요? ㅎㅎ

참고로 이 문제는 고등학교에 올라가면 배우는 미정계수법 - 계수비교법, 수치대입법이라는 방법을 이용해서도 풀 수 있어요.

함께 보면 좋은 글

인수분해 공식 - 완전제곱식, 합차공식
인수분해 공식 두 번째
복잡한 식의 인수분해 1 - 공통인수로 묶기, 치환
복잡한 식의 인수분해 2 - 항이 4개 이상일 때
인수분해의 활용 - 수의 계산, 식의 값

인터넷에서 쉬운 수학 문제 풀이법을 봤어요. 정말 열심히 풀었더라고요.

그래서 그 노력이 너무나 가상하여 저도 한 번 풀어봤어요. 주사위를 이용한 경우의 수 문제고요 원본의 풀이법과 조금 색다른(?) 방법으로 풀어봤습니다.

너무 꼼수를 부린 게 아닌가 해서 사진 속 풀이를 한 학생에게 미안하기도 하네요. 제가 푸는 방법이 꼭 옳은 건 아니에요. 풀이과정만 정확하다면 어떤 방법으로 풀어도 상관없겠죠? 여러분들도 한 번 풀어보세요.

아주 쉬운 경우의 수 문제

사진 속의 학생은 모든 경우의 수를 다 쓰고, 그 수를 세었군요.

세 주사위 A, B, C를 동시에 던질 때 나오는 눈의 수의 곱이 짝수인 경우의 수를 구하시오.

세 수를 곱해서 짝수가 되는 경우의 수를 구하는 문제에요. 이 때 세 수는 1 ~ 6까지의 자연수죠. 순서쌍으로 몇 개만 써보죠.

(1, 1, 1) = 1
(1, 1, 2) = 2
(1, 1, 3) = 3
(1, 1, 4) = 4

(6, 2, 1) = 12
(6, 2, 2) = 24
(6, 2, 3) = 36
(6, 2, 4) = 48

해보니까 어떤 특징이 보이나요?

(1, 1, 1) (1, 1, 3) 처럼 세 수가 모두 홀수이면 그 곱은 홀수에요.
(1, 1, 2) (1, 1, 4) 처럼 세 수중 하나만 짝수여도 그 곱은 짝수네요.
(6, 2, 1) (6, 2, 3) 처럼 두 수만 짝수여도 그 곱이 짝수고요.
(6, 2, 2) (6, 2, 4) 처럼 세 수가 모두 짝수여도 그 곱은 짝수네요.

결국 구하는 건 하나 이상의 수가 짝수인 경우에요. 이걸 구하려면 어떻게 해야할까요? 막막하죠? 그러니까 반대로 생각해보기로 해요.

위에서 세 수가 다 홀수이면 그 곱이 홀수죠? 그 외에는 전부 짝수잖아요. 그래서 전체 경우의 수에서 곱이 홀수인 경우의 수를 빼서 구하는 거지요.

(세 수의 곱이 짝수인 경우의 수)
= (전체 경우의 수) - (세 수의 곱이 홀수인 경우의 수)
= (전체 경우의 수) - (세 수가 모두 홀수인 경우의 수)

주사위를 한 개 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수는 6가지이고, 그 중 3개가 홀수에요. A, B, C 세 개의 주사위를 던지는 사건은 동시에 일어나니까 곱의 법칙을 적용해야겠죠?

전체 경우의 수 = 6 × 6 × 6 = 216
세 주사위의 수가 모두 홀수인 경우의 수 = 3 × 3 × 3 = 27

(세수의 곱이 짝수인 경우의 수)
= (전체 경우의 수) - (세수가 모두 홀수인 경우의 수)
= 216 - 27
= 189

답은 189에요.

사진속에 답은 안써져 있지만 동그라미가 쳐져있으니 답을 정확히 구했나 봅니다. 저 학생은 수학은 열심히 노력하면 되는 거라는 걸 보여주는 군요. 여러분들도 포기하지 말고 끝까지 도전해 보세요.

함께 보면 좋은 글

경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙
경우의 수 공식 - 한 줄 세우기
경우의 수 공식 - 대표 뽑기
확률, 확률의 뜻, 확률 공식