중등수학
중2 수학 목차
중학교 2학년 수학 목차입니다.
각 목차의 순서에 맞게 따라서 공부하시면 진도 걱정없이 학습할 수 있어요. 혹시 빠진 내용이 있거나 추가하고 싶은 내용이 있으면 언제든 댓글 남겨주세요.
- 유리수
- 식의 계산
- 연립방정식
- 부등식
- 일차함수
- 도형의 성질
- 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건
- 직각삼각형의 합동, 직각삼각형의 합동 조건
- 각의 이등분선의 성질 - 직각삼각형의 합동조건 이용
- 삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질
- 삼각형 외심의 위치, 삼각형 외심의 활용
- 삼각형의 내심, 삼각형 내심의 성질
- 삼각형 내심의 활용
- 삼각형의 외심과 내심 비교, 차이
- 평행사변형의 정의 평행사변형의 성질
- 평행사변형이 되는 조건
- 평행사변형과 넓이
- 직사각형의 성질과 직사각형이 되는 조건
- 마름모의 성질과 마름모가 되는 조건
- 정사각형의 성질과 정사각형이 되는 조건
- 사다리꼴의 정의, 등변사다리꼴의 정의와 성질
- 여러가지 사각형의 정의와 성질
- 여러가지 사각형 사이의 관계
- 사각형의 중점을 연결하여 만든 사각형
- 평행선과 넓이, 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비
- 도형의 닮음
- 피타고라스의 정리
- 확률
연립방정식의 풀이법 - 가감법 두 번째
연립방정식의 풀이법 - 가감법에 이은 연립방정식의 풀이 두 번째입니다. 첫 번째 글에서는 가감법에 대해서 알아봤는데요. 간단히 정리해볼까요?
연립방정식의 풀이에서 핵심은 바로 미지수의 개수를 줄이는 거였어요.
가감법은 두 식을 더하거나 빼서 미지수의 개수를 줄이는 방법이었죠. 없애고자 하는 미지수의 계수가 절댓값이 같고 부호가 같으면 두 식을 빼고, 미지수의 계수가 절댓값이 같고 부호가 다르면 두 식을 더하는 거였죠.
이번 글에서 공부할 내용은 미지수의 계수가 절댓값이 다를 때는 어떻게 하는가에요.
앞에서 해봤던 가감법 풀이는 미지수의 계수의 절댓값이 같아서 더해주고 빼주고만 하면 됐는데, 미지수 계수의 절댓값이 다르면 어떻게 해야 할까요?
가감법 - 미지수의 계수의 절댓값이 다를 때
가감법 첫 번째에서 했던 것처럼 위에 있는 식을 ①식, 아래에 있는 식을 ②식이라고 이름 붙이고, 두 식의 좌변끼리 우변끼리 더해보세요.
5x - y + 4x + 3y = 8 + 14
각 변을 정리해보면 9x + 2y = 22가 돼요. 미지수의 개수가 줄어들지 않았어요. 그럼 두 식을 빼볼까요?
5x - y - (4x + 3y) = 8 – 14
5x - y - 4x - 3y = -6
x - 4y = -6
두 식을 빼 봐도 마찬가지로 미지수의 개수가 줄어들지 않아요.
두 식을 더하거나 빼서 미지수를 없애려면 없애려고 하는 미지수의 계수의 절댓값이 같아야 해요. 생각해보세요. 5x와 -5x를 더해야 x가 없어지겠죠? 5x에서 5x를 빼야 없어질 거 아니에요? 5x에서 4x를 빼거나 더해서는 x가 없어지지 않아요.
우리가 할 건 뭐냐면 미지수를 없앨 수 있게, 두 식의 미지수의 계수의 절댓값을 같게 만드는 거예요.
자 여기서 선택을 해야 합니다. 무슨 선택이냐면 어떤 미지수를 없앨 것인가를 고르는 거예요. 없앨 미지수를 선택할 때는 딱 한 가지 방법만 사용하세요. 각 미지수의 계수 절댓값의 최소공배수가 작은 쪽을 선택해요. 계산을 쉽게 하려면 숫자가 작아야 하니까 최소공배수가 작은 쪽을 선택하는 거예요.
x의 계수의 절댓값은 ①식이 5, ②식이 4, 두 수의 최소공배수는 20이에요. y의 계수의 절댓값은 ①식이 1, ②식이 3, 두 수의 최소공배수는 3이네요. 그럼 절댓값의 최소공배수가 작은 y를 없애기로 하죠.
지금부터 하는 건 미지수의 계수의 절댓값을 같게 하는 거예요. 그 이후의 과정에 앞서 했던 “연립방정식의 풀이법 – 가감법”과 같아요.
①식에 3을 곱해 볼게요. 식에 3을 곱한다는 말은 ①식의 모든 항에 3을 곱해주는 겁니다.
5x – y = 8
3(5x – y) = 3 × 8
①식에 3을 곱하면 15x - 3y = 24으로 바뀌는데 이 식을 ③식이라고 하죠
②식과 ③식을 비교해보세요. y의 계수의 절댓값이 같아졌죠? 자 그럼 이제 ②식과 ③식을 더하거나 빼서 미지수 y를 없애고 x만 남길 수 있다는 뜻이에요.
②식과 ③식의 y 계수는 절댓값이 같고 부호가 반대니까 두 식을 더해야겠네요.
15x - 3y + 4x + 3y = 24 + 14
19x = 38
x = 2
x = 2라는 값을 구했어요. 이렇게 나온 x = 2를 ①식, ②식 아무 식에나 대입하세요. ①식에 넣어보죠.
5 × 2 - y = 8
10 - y = 8
-y = -2
y = 2
y값도 구했네요. 연립방정식의 해는 x = 2, y = 2군요.
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해가 특수한 연립방정식
연립방정식의 풀이법 - 가감법 1
연립방정식이 무엇인지는 이해가 되죠? 연립방정식이란에서 살펴본 것처럼 연립방정식은 방정식을 두 개 이상 묶어놓은 걸 말해요. 그리고 간단한 예제도 풀어봤어요.
그런데 방정식의 공통 해를 찾기 위해서 일일이 숫자를 다 넣어봐야 할까요? 만약 미지수 x, y가 정수나 자연수라는 조건이 없다면 어떻게 하죠? 분수나 소수까지 일일이 넣어볼 수는 없는 노릇이잖아요.
그래서 숫자를 대입하지 않고 두 방정식을 변형해서 해를 구하는 방법을 알려줄게요.
연립방정식의 풀이 - 가감법
연립방정식을 푸는 방법은 두 가지가 있는데, 첫 번째는 가감법, 두 번째는 대입법이에요. 이 글에서는 가감법을 공부해 봐요.
연립방정식을 풀 때 가장 중요한 건 미지수의 개수를 줄이는 것입니다. 미지수가 2개이면 1개로 줄이는 거예요. 가감법과 대입법은 모두 미지수의 개수를 줄이는 방법이에요.
가감이란 말은 더하고 빼는 거죠. 그래서 가감법은 두 식을 서로 더하거나 빼서 미지수를 구하는 방법이에요. 두 식을 더한다는 게 무슨 말인지 이해가 안 되죠. 예제를 통해서 설명할게요.
미지수의 계수가 절댓값이 같고 부호가 반대일 때 - 두 식을 더한다
다음 식을 만족시키는 자연수 x, y를 구하여라.
위에 있는 식을 ①, 아래에 있는 식을 ②이라고 할게요. ①과 ②을 통째로 더해보죠. 두 식을 더한다는 건 등호를 기준으로 ①의 좌변과 ②의 좌변을 더하고 ①의 우변과 ②의 우변을 더하는 거예요.
① 좌변 + ② 좌변 = ① 우변 + ② 우변
x + y + x - y = 5 + 3
두 식을 더했더니 위처럼 되네요. 이제 좌변과 우변을 동류항끼리 계산해 보세요.
2x = 8
어떻게 됐나요? y가 없어지고 미지수가 x 하나뿐인 일차방정식으로 바뀌었죠? 미지수가 하나인 일차방정식은 우리가 1학년 때 공부했으니까 해를 구할 수 있죠.
x = 4
x = 4라는 값이 구해졌어요. x값을 구했으니까 y값을 구할 차례네요. y값을 구할 때는 x = 4를 이용합니다. x = 4를 ① 이나 ② 아무 식에나 넣어보죠. ①에 넣어볼까요? ①의 x 자리에 4를 대입했더니 아래 식처럼 바뀌었네요.
4 + y = 5
마찬가지로 미지수가 y 하나뿐인 일차방정식이 되었어요. 일차방정식을 풀어보면 y = 1이라는 값을 구할 수 있어요.
미지수가 x, y 2개였는데 그 미지수 값을 다 알아냈죠. x = 4, y = 1이 문제의 답이네요. (4, 1)이라고 써도 좋고요. 연립방정식이란에서 구한 해와 똑같죠?
이 문제에서는 ①과 ②에서 미지수 y의 계수의 절댓값이 1로 같고 부호가 반대지요? 이처럼 2개의 미지수 중 하나의 미지수의 절댓값이 같고 부호가 반대일 때는 두 식을 더해서 미지수의 개수를 줄여야 해요.
미지수의 계수가 절댓값이 같고 부호가 같을 때 - 두 식을 뺀다.
다른 문제를 하나 더 풀어보죠.
다음 연립방정식의 해를 구하여라.
위에서 했던 것처럼 위에 있는 식을 ①, 아래에 있는 식을 ②이라고 이름 붙이고, 두 식의 좌변끼리 우변끼리 더해보세요.
x + 2y + x - 3y = 6 + 1
각 변을 정리해보면 2x - y = 7가 돼요. 이상하죠? 위에서는 두 식을 더하면 미지수가 2개에서 하나로 줄었는데, 이번에는 미지수 2개가 그대로 있잖아요.
이럴 때는 두 식을 더하는 게 아니라 두 식을 빼보세요. 좌변은 좌변끼리, 우변은 우변끼리요. 두 식을 뺄 때는 ②의 좌변과 우변에 괄호를 넣는 것에 주의하세요.
① 좌변 - (② 좌변) = ① 우변 - (② 우변)
(x + 2y) - (x - 3y) = 6 - 1
위 식을 괄호를 풀어서 정리해보면
x + 2y - x + 3y = 5
5y = 5
y = 1
x가 없어지고 y만 남기 때문에 y값을 구할 수 있어요. 이 y = 1이라는 값을 ①이나 ② 아무 식에나 대입해보세요. ①에 대입해볼게요. 2y = 2 × y이니까 아래처럼 쓸 수 있어요.
x + 2 × 1 = 6
x + 2 = 6
x = 4
이제 x의 값도 구해졌네요. 그래서 위 연립방정식의 해는 x = 4, y = 1 이고요. (4, 1)이라고 써도 됩니다.
이 문제에서는 ①과 ②에서 미지수 x의 계수의 절댓값이 1로 같고 부호가 같아요 이처럼 2개의 미지수 중 하나의 미지수의 절댓값이 같고 부호가 같을 때는 두 식을 빼서 미지수의 개수를 줄여야 해요.
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연립방정식의 풀이법 - 가감법 두 번째
연립방정식의 풀이법 - 대입법
복잡한 연립방정식의 풀이
연립방정식이란
연립방정식이라는 용어가 조금 생소하죠? 연립방정식은 2개 이상의 방정식을 묶어놓은 걸 말해요. 연립방정식의 해는 묶여있는 방정식을 모두 만족시키는 미지수의 값입니다.
우리가 배울 연립방정식은 미지수가 2개인 방정식 2개를 묶어놓은 방정식이에요. 각각의 방정식의 해를 구한 다음에 양쪽 모두를 만족시키는 해, 즉 양쪽 모두에 포함된 해를 찾으면 됩니다.
예제를 하나 풀어보죠.
다음 연립방정식을 만족시키는 자연수 x, y를 구하여라.
먼저 첫 번째 방정식의 해를 구해보죠. x, y가 자연수라고 했으니까
- x = 1일 때 y = 4
- x = 2일 때 y = 3
- x = 3일 때 y = 2
- x = 4일 때 y = 1
총 네 개가 나오네요. 순서쌍으로 표시하면 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)가 되겠고요.
두 번째 방정식의 해는
- x = 4일 때 y = 1
- x = 5일 때 y = 2
- x = 6일 때 y = 3
- x = 7일 때 y = 4
- …
계속해서 나오는군요. 순서쌍으로 표시하면 (4, 1), (5, 2), (6, 3), (7, 4), … 이렇게 되겠죠.
연립방정식의 해는 묶여 있는 식을 모두 만족시키는 해. 즉 공통근을 구해야 해요. 양쪽 모두에 (4, 1)이 들어있으니까 이 연립방정식의 해는 (4, 1)이 되는 걸 알 수 있어요. 다르게 표현하면 x = 4, y = 1이라고 해도 좋고요.
미지수가 2개인 일차방정식
1학년 때 공부했던 방정식에 대해서 정리해 볼게요.
먼저 등식이라는 게 있었어요. 등호(=)를 기준으로 양쪽에 수나 식이 있어서 양쪽의 값이 같다는 것을 나타내는 식이죠. 방정식은 미지수를 포함하고 있어서 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식을 말하죠. 다른 말로는 미지수가 특정한 값을 가질 때만 참이 되는 식이라고도 해요. 그리고 식을 참이 되게 하는 특정한 값을 해 또는 근이라고 하고요.
차수는 미지수가 곱해져 있는 횟수죠. 미지수 x가 한 번 곱해져 있으면 일차식, 두 번 곱해져 있으면 이차식 이렇게요. 일차방정식은 미지수의 차수가 1인 방정식을 말해요.
방정식을 푼다는 말은 방정식의 해를 구한다, 즉 방정식이 참이 되게 하는 미지수의 값을 구한다는 뜻이죠.
여기까지 이해가 다 되죠?
미지수가 2개인 일차방정식
1학년 때 배웠던 방정식은 미지수가 하나이고, 차수도 1인 방정식이었죠. 아래 같은 모양이었어요.
ax + b = 0 (a, b는 상수)
이제 공부할 방정식은 미지수가 2개인 방정식이에요. 차수는 일차이고요. 미지수가 2개이기 때문에 보통은 하나를 x, 다른 하나를 y라고 써요.
ax + by + c = 0 (a, b, c는 상수)
해를 쓰는 방법도 약간 달라요. 1학년 때 방정식의 해를 쓸 때 x = 2 이런 식으로 썼죠. 미지수가 2개인 방정식에서는 해를 x = 2, y = 3 이렇게 쓰기도 하고 (2, 3)처럼 순서쌍으로 나타내기도 해요. 중요한 건 x와 y 두 개를 동시에 써야 한다는 거예요. 순서쌍으로 쓸 때는 (x, y)의 순서로 씁니다.
예제 문제를 하나 풀어볼까요?
일차방정식 2x + y = 10을 만족하는 자연수 x, y를 구하여라.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y | 8 | 6 | 4 | 2 | 0 |
x, y가 자연수라고 했으니까 x에 1부터 숫자를 계속 넣어가면서 식을 만족시키는 y값을 구했더니 위 표처럼 나왔어요. 그럼 이 표를 보고 방정식의 해를 어떻게 쓸까요?
x = 1, y = 8 또는 x = 2, y = 6 또는 x = 3, y = 4 또는 x = 4, y = 2 이렇게 총 네 개를 쓰면 돼요. 순서쌍으로 표시해보면 (1, 8), (2, 6), (3, 4), (4, 2)가 됩니다.
이런 방정식을 풀 때에는 미지수 x, y가 정수인지 자연수인지 잘 확인한 다음에 각각에 알맞은 수를 넣어서 찾으면 돼요.