확률의 계산에서는 확률의 덧셈과 확률의 곱셈에 대해서 배워요.
먼저 경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙에서 봤던 경우의 수의 합과 곱에 대해서 알고 있어야 해요.
확률의 계산에서도 덧셈과 곱셈을 하는데, 경우의 수에서 봤던 덧셈의 법칙과 곱셈의 법칙이 그대로 사용되거든요.
우리가 알고 있는 공식에서 경우의 수라는 단어를 확률이라는 단어로 바꾸면 끝이에요.
경우의 수에서 했던 덧셈의 법칙과 곱셈의 법칙을 정리해보죠. 두 사건이 동시에 일어날 때는 경우의 수를 곱하고, 동시에 일어나지 않으면 경우의 수를 더했죠?
- 사건 A가 일어나는 경우의 수가 a가지
사건 B가 일어나는 경우의 수가 b가지일 때
사건 A 또는 B가 일어날 경우의 수 = a + b(가지) - 사건 A가 일어나는 경우의 수가 a가지
사건 B가 일어나는 경우의 수가 b가지일 때
사건 A와 사건 B가 동시에(모두) 일어날 경우의 수 = a × b(가지)
확률의 덧셈과 곱셈에서도 똑같아요.
두 사건이 동시에 일어나면 확률을 곱하고, 동시에 일어나지 않으면 더하는 거죠.
확률의 덧셈
1 ~ 10까지의 자연수가 적힌 카드가 있어요. 이 중에서 한 장의 카드를 뽑을 때 3 또는 5의 배수가 나올 확률을 구해보죠.
카드가 1 ~ 10까지 있으니까 전체 경우의 수는 10이에요. 3 또는 5의 배수를 뽑는 경우는 3, 5, 6, 9, 10 이렇게 5 가지 경우가 있네요.
(3 또는 5의 배수가 나올 확률) = 
그럼 이번에는 각각의 확률을 구해보죠.
전체 경우의 수는 마찬가지로 10이에요. 3의 배수가 나오는 경우의 수는 3, 6, 9의 3가지 경우이고, 5의 배수가 나오는 경우는 5, 10의 2가지 경우가 있어요. 두 확률을 더해볼까요
(3의 배수가 나올 확률) + (5의 배수가 나올 확률) = 
사건 A 또는 사건 B가 일어날 확률
= (사건 A가 일어날 확률) + (사건 B가 일어날 확률)
사건이 동시에 일어나지 않을 때는 각각의 확률을 더해주면 돼요. 보통은 문제에서 "또는" 이라는 단어가 보일 때에요.
서로 다른 주사위 2개를 던질 때, 나오는 눈금의 합이 3 또는 6일 확률을 구하여라.
눈금이 3 또는 6일 확률이니까 각각의 확률을 구해서 더해주면 되겠죠? 물론 경우의 수를 한꺼번에 구해서 확률을 계산할 수도 있고요. 한 번 더해보죠.
주사위를 2개를 동시에 던져서 눈금의 합을 구할 수 있는 경우의 수는 6 × 6 = 36
두 주사위를 던져서 눈금의 합이 3이 되는 경우: (1, 2), (2, 1)
두 주사위를 던져서 눈금의 합이 6이 되는 경우: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
(합이 3이 될 확률) + (합이 6이 될 확률) =
확률의 곱셈
경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙에서 두 사건이 동시에 일어나면 경우의 수를 곱한다고 했어요. 마찬가지로 확률에서도 두 사건이 동시에 일어나면 각각의 확률을 곱해서 계산하면 돼요.
사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 확률
= (사건 A가 일어날 확률) × (사건 B가 일어날 확률)
A, B 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 주사위 A는 짝수가, 주사위 B는 3의 배수가 나올 확률을 구해볼까요?
이때는 주사위 두 개를 던지지만 두 주사위가 서로 영향을 미치지 않죠? 따라서 각각을 별개의 사건으로 봐야 해요. 또 동시에 일어나는(둘 다 일어나야 하는) 사건이니까 확률을 구할 때는 곱해서 구해야 하죠.
A 주사위에서 나올 수 있는 모든 경우의 수는 6이고, 짝수가 나올 경우의 수는 2, 4, 6 이렇게 3이에요.
B 주사위에서 나올 수 있는 모든 경우의 수는 6이고, 3의 배수가 나올 경우의 수는 3, 6의 2이네요.
(A 주사위에서 짝수가 나올 확률) × (B 주사위에서 3의 배수가 나올 확률)
=
A 주머니에 파란 공 2개와 빨간 공 3개가, B 주머니에는 빨간 공 4개와 파란 공 2개가 들어있다. 양쪽 주머니에서 공을 한 개씩 꺼낼 때 둘 다 파란 공일 확률을 구하여라.
양쪽 모두에서 한 개씩 꺼낸다고 했네요.
A주머니에는 총 5개의 공이 있고 그 중 파란색은 2개
B주머니의 6개 공 중에 파란색은 2개
(A 주머니에서 파란 공을 꺼낼 확률) × (B 주머니에서 파란 공을 꺼낼 확률)
=
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항상 감사 해요 학원을 끈고나서 보게됬는데 학원 다니는거랑 점수가똑같이나오네여
학원비 저한테 입금시켜주세요. ㅎㅎ
혼자서하는 공부는 나태해지기 쉬워요. 학원에 다닐 때처럼 매일 정해진 시간동안 꾸준히 공부하셔야해요.
오타있습니다. 서론에 동시에 일어나면 곱하고 동시에 일어나지 않으면 곱한다 되어 있는데,
동시에 일어나면 곱하고 동시에 일어나지 않으면 더한다 입니다. 최저생계가정 무료봉사 과외하는데 중학개념이 하나도 생각나지 않아 이렇게 들러서 밤새서 공부중이네요. 자료 감사합니다.
글 올리는데 너무 바빠서, 검토할 시간이 부족하네요.
오타 나오면 계속 알려주세요.
저.. 문제 질문 할게요.
남학생 4명,여학생 3명으로 구성된 모둠에서 대표2명을 뽑으려 할떄, 남학생과 여학생이 각각 1명씩 뽑힐확률은? 이라는 문제인데요,,
전 7분의 4 곱하기 6분의 3을 해서 7분의 2가 답으로 나왔는데
해설지를 보니 답이 틀렸어요,,
전 이 유형이 나올때마다 이렇게 풀었었는데 모두 맞았었거든요...
근데 이게 왜틀린 건지 자세히 알려주시면 감사하겠습니다,,,
4/7 * 3/6은 남학생, 여학생의 순서로 뽑히는 경우만 고려된 거니까 틀린 거지요. 반대의 경우도 생각해봐야겠지요?
근데 대표2명을 뽑는거니 순서가 상관이 없으니까 남-여 순이나 여-남 순이나 같은것 아닌가요?
순서가 중요하죠. 남자를 먼저 뽑을 때의 확률과 남자를 나중에 뽑을 때의 확률이 다르니까 두 경우를 모두 생각해줘야죠.
근데 만약 보든 경우의 수를 구하면 21가지인거고, 남학생과 여학생이 각각 1명씩 뽑히는 경우의수는
12가지여서 확률은 약분하면 7분의 4 가 되서 정답이긴 하는데,,, 이거와 비슷한유형인 개념반 3명 원리반 4명중에서 두명의 대표를 뽑을때, 적어도 한명이 원리반에서 뽑힐확률은? 이란 문제는 앞에서 푼것처럼 7분의3 곱하기 6분의2 를 해서 7분의 1일 이나왔고 그것을 1에서 빼면 7분의 6, 이렇게 맞았는데.. 이경우는 앞경우와 무엇이 달라서 맞은건지 알려주세요_____
우연히 맞은 것 뿐이에요. "적어도" 라는 단어가 들어있는 문제는 여사건의 확률(http://mathbang.net/113) 개념을 이용하면 좀 더 쉽게 풀 수 있어요.
근데요 600자루 볼펜 중 두 자루의 꼴로 불량품이 발생한다. 임의로 두 자루를 선택할 때, 모두 불량품인 확률은? 2/600 x 2/600 이잖아요. 그런데 2/600 x 1/599 는 틀린 이유를 모르겠어요. ㅠㅠ답변 부탁드리겠습니다 ^^*
두 자루를 연속해서 선택하는 거니까 연속하여 뽑는 확률의 계산(http://mathbang.net/115)을 참고하세요.
책의 원고 수정했는지 다시 확인해보시길 부탁드립니다
2학년 통합 142페이지 구요. 현재 웹페이지의 내용인데, 책을 보면서 공부하다가 확률의 곱셈 공식이 나와야 하는 부분이 확률의 덧셈하는 공식으로 잘못 나와있길래 이상하다고 생각하여 여기 와서 다시 확인했습니다.
웹페이지는 올바르게 수정되어 있으나 책의 원고가 수정되지 않은것으로 생각됩니다.
혼자서 책을보고 공부하는데, 공식같은 부분에 오/탈자가 있으면 매우 곤란해지는 경우가 있습니다. 이것이 심할경우 학습의 장애물이 되기도 합니다.
이런경우를 저 말고 다른분들은 겪지 않기를 바라는 마음에서 적습니다.
원고 수정 절차가 조금 까다롭습니다. 제가 원고를 고쳐서 교보문고에 제출하면 그곳에서 글 전체가 자기 정책에 맞는지 다시 확인하고 허가를 해줍니다. 이게 단순히 고친 글자 한 자만 보는 게 아니라 원고 전체를 다시 검수해야하는 거라서 책 만드는 과정을 처음부터 다시 하는 것과 같습니다. 책의 오탈자를 수정하는 게 블로그의 글자 고치는 것과는 차원이 다른 문제죠.
이미 확인된 오탈자를 수정하는 것도 복잡한데다 확인하지 못한 오탈자도 있으니 좀 골치가 아프긴 합니다.
그래서 책 판매 중단을 심각하게 고려하고 있습니다. 고등과정 책을 내지 않는 것도 이 이유가 상당히 차지하고 있기도 하지요.
초등 아들을 둔 아빠입니다 기초통계학 책을 보다 이해가 안되 고민하다 여길왔는데 많은 도움이 되고 있습니다 감사합니다
다른 내용도 많으니 꼭 참고하고 가세요. ㅎㅎ
안녕하세요. 항상 많은 도움 받고 있습니다. 감사합니다. 책 자체의 오탈자 교정이 어렵다면 책 구매자들에게 제보된 오탈자 부분을 웹 페이지에 문제된 페이지를 기재하신 후에 수정할 부분을 공지하여 주셔서 학습자들이 확인하는 것도 하나의 방법이 되지 않을까 싶네요. 이 문제 때문에 책 판매 중단을 고려하시거나 고등교재가 나오지 않는 이유라 말씀하시기에 안타까워서 한말씀 올립니다.
일전에 그 방법을 고려했었는데, 처음부터 그렇게 했으면 가능하겠지만 임기응변 식으로 오탈자가 보일 때마다 고친 부분이 있어서 제가 어느 부분을 수정했는지 정확한 자료가 없어서 실행하지 못했습니다.
앞으로 새 교육과정에 맞게 내용을 수정해야 하는데, 그 때는 말씀하신 방법대로 하려고 계획하고 있습니다.
근본적으로는 오탈자를 줄여야하는데, 이상하게 판매가 된 이후에야 보이는 부분들이 있어요. ㅠㅠ
비밀댓글입니다
전체 사람 수와 뽑히는 사람수만 같으면 뽑는 사람의 수와 상관없이 확률은 바뀌지 않아요.
두 사람이 뽑는다고 하면 이 둘은 별 개의 사건으로 아무런 상관이 없으므로 추가적인 내용이 없다면 관련성을 논할 수 없습니다. (이 둘의 확률을 더하거나 곱할 이유가 없어요.)
용두리자동차 주식회사는 국내에서 판매실적이 우수한 A와 B두 종류의 자동차를 미국에 수출하고자 한다. 미국 현지의 신뢰성 높은 컨설팅 업체에 사전 시장조사를 의뢰한 결과 미국 소비자가 각각의 모델을 선택할 확률은 P(A)=0.4, P(B)=0.6으로 나타났다. 지금까지 국내 시장에서 두 가지 모델이 판매된 후의 고장률은 A가 0.5%, B가 0.3%이다. 회사는 미국 현지의 자동차정비센터 운영 규모를 예측하기 위하여 두 종류의 자동차 전체에 대한 고장률을 알고자 한다. 향후 미국 시장에서 팔릴 A와 B두 종류의 자동차 중 임의의 자동차 한 대가 고장날 사건 F의 확률을 구하시오.(단, 국내에서의 자동차 A와 B의 고장률은 미국에서도 그대로 유지된다고 가정한다
계산풀이 알수있을까요?
팔린 A차 중 고장 확률이 0.5니까 전체 팔린 차중 A차가 팔린 확률과 곱해줘야 해요. 두 사건 모두 일어나야 하니까요.
B도 마찬가지고요.
임의의 자동차 1대가 고장나는 확률은 A 또는 B 차가 고장나는 확률로 둘중 하나만 일어나도 되는 사건이니까 합의 법칙을 이용해야 하고요.
P(A) * 0.5 + P(B) * 0.3
어느 순간 헷갈려서 질문 올려요ㅠㅠ
글 마지막 부분에 나오는 문제에서 A주머니에서 파란 공이 나올 확률을 구하잖아요~ 이 때 그 확률은 (A주머니에서 파란공이 나오는 경우의 수)/(전체 경우의 수)인 것은 이해가 됐어요. 그런데 파란 공끼리는 모두 크기와 모양이 같을 것 같은데, (A주머니에서 파란공이 나오는 경우의 수)는 주머니에서 빨간색 공 아니면 파란색 공이 나오는거니까 1가지로 볼 수도 있는 것 아닌가요?ㅠㅠ 아니면 A주머니 내에 있던 파란색 공들끼리는 같은 색과 모양이더라도 서로 다른 공이라고 생각해서 2가지가 나오는건가요? 조금 황당한 질문인 건 알지만 헷갈려서요...ㅠㅠ
두 번째 이야기 하신 게 맞아요.
헷갈리시면 경우의 수를 한 번 더 공부해보세요.
https://mathbang.net/109
안녕하세요? 확률 흥미롭게 읽었어요!
그럼 만약에 두 사람 핸드폰 배터리 용량이
동시에 74%가 될 확률은
1/100*1/100= 0.0001 이 되는건가요??