삼각형의 내심은 세 각의 이등분선의 교점이에요. 이 교점에서 세 변에 이르는 거리는 같고요. 교점에서 변에 이르는 거리를 반지름으로 하는 원은 세 변에 접하므로 내접원이라고 하죠.
삼각형의 내심을 중심으로 세 쌍의 합동인 삼각형이 생겨요.
삼각형의 내심은 삼각형의 종류와 상관없이 그 의미상 모든 삼각형의 내부에 있어요.
위 내용을 바탕으로 해서 삼각형 내심을 여러 가지로 활용하는 방법을 알아보죠.
삼각형 내심의 활용
점 I가 △ABC의 내심일 때, ∠x + ∠y + ∠z = 90°
점 I가 내심이면 ∠IAB = ∠IAC, ∠IBA = ∠IBC, ∠ICB = ∠ICA에요. 점 I는 각의 이등분선의 교점이니까요.
삼각형의 내각의 합에 따라서 2∠x + 2∠y + 2∠z = 180°이므로 ∠x + ∠y + ∠z = 90°가 됩니다.
∠BIC = 90° +
∠A
△IAB만 따로 떼서 생각해보죠. 변 IA의 연장선을 그어보세요.
삼각형 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 합에서 한 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같다는 걸 공부했어요.
∠BIE = ∠x + ∠y입니다.
이번에는 △IAC를 생각해보면, 같은 이유로 ∠CIE = ∠x + ∠z가 되죠.
∠BIC = ∠BIE + ∠CIE = ∠x+ ∠y + ∠x + ∠z가 성립해요.
위에서 ∠x + ∠y + ∠z = 90°라고 했잖아요. 따라서 식을 정리하면 ∠BIC = 90° + ∠x가 돼요. ∠x = ∠A니까 결국 ∠BIC = 90° +
∠A가 됩니다.
△ABC의 넓이 =
r(x + y + z)
이번에는 x, y, z가 각의 크기가 아닌 세 변의 길이를 뜻해요. 위와 혼동하지 마세요.
내접원의 반지름 r은 내심 I에서 변에 수직으로 이르는 거리, 즉 △IAB의 높이에 해당해요. 따라서 △IAB의 넓이는 × x × r이죠.
마찬가지로 △IBC의 넓이는 × y × r이고, △ICA의 넓이는
× z × r이에요.
△ABC의 넓이 = △IAB 넓이 + △IBC 넓이 + △ICA넓이
= × x × r +
× y × r +
× z × r
두 번째 줄에서 세 번째 줄로 바뀌는 이유는 3학년 때 공부할 거예요. 여기서는 그냥 '이렇게 바뀌는구나.' 하고 넘어가요.
△ABC의 내접원의 반지름이 2cm이고, △ABC의 넓이가 20cm2일 때, △ABC의 둘레의 길이를 구하여라.
내접원의 반지름과 둘레를 이용해서 삼각형의 넓이를 구하는 공식은 S = r × (삼각형 둘레의 길이)에요. 여기에 대입을 해보죠.
20 = × 2 × (둘레의 길이)
(둘레의 길이) = 20 (cm)
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질문이 있는데요, 내심이 원의 중심인건 정삼각형 밖에 없는 거지요?
원의 중심에서 같은 거리에 있는 두현의 길이는 같으니까, 원의 중심에서 같은 거리에 세 현이 있으면 세 현의 길이가 같잖아요. 그러니까 내심이 원의 중심인건 정삼각형 밖에 없는게 맞지요?
내접원의 중심이 내심이에요.(http://mathbang.net/127) 어떤 삼각형이든 내접원의 중심은 내심입니다.
내심에서 삼각형의 세 변에 이르는 거리가 같은데, 이건 현이 아니라 접선이에요. 접선의 길이는 다를 수 있거든요. 따라서 정삼각형과는 아무런 상관이 없어요.
정삼각형의 내심은 http://mathbang.net/129를 참고하세요.
안녕하세요 선생님 ㅎ 오래간만에 질문입니다 ㅎ 더우신데 잘 지내고 계시죠?
위에 그림에서 △ABC 에서 ∠BIC = 90˚ + 1/2(∠A) 가 어떻게 증명되는지좀 알고싶어서요 부탁드립니다 ㅎ
위에 있는 게 그 증명이에요.
정신을 놓고있나봅니다 ㅎ 죄송합니다.
파란색 글씨 있는 줄에
크기의 합고 같다는 걸
=> 크기의 합과 같다는 걸
선생님, 맨 마지막 삼각형 넓이 구하는 공식에서 (x+y+z)가 둘레의 길이 맞죠? 쉽게 생각하면 둘레의 길이는 세 변의 길이를 다 더하는거네요?
다각형에서 모든 변의 길이를 다 더한 걸 둘레의 길이라고 해요.
선생님 글 덕분에 배치고사에 큰 도움이 될 것 같군요. 감사합니다.
배치고사는 별로 중요한 시험이 아니예요. 내신 공부한다 생각하고 공부하시면 더 좋을 것 같아요.
삼각형의 외심과 내심, 이등변삼각형에 대해 새로운 내용을 많이 알게 되어 기쁩니다. 선생님의 자세한 설명으로 많은 도움 얻고 갑니다. 선생님 새해 복 많이 받으세요.
내심, 외심은 2학기 내용 중에 가장 핵심이라고 할 수 있어요. 꼭 기억해 두세요. ㅎㅎ
감사함다. 재미있다!!!!!!!