삼각형 내심의 활용

삼각형의 내심은 세 각의 이등분선의 교점이에요. 이 교점에서 세 변에 이르는 거리는 같고요. 교점에서 변에 이르는 거리를 반지름으로 하는 원은 세 변에 접하므로 내접원이라고 하죠.

삼각형의 내심을 중심으로 세 쌍의 합동인 삼각형이 생겨요.

삼각형의 내심은 삼각형의 종류와 상관없이 그 의미상 모든 삼각형의 내부에 있어요.

위 내용을 바탕으로 해서 삼각형 내심을 여러 가지로 활용하는 방법을 알아보죠.

삼각형 내심의 활용

점 I가 △ABC의 내심일 때, ∠x + ∠y + ∠z = 90°

점 I가 내심이면 ∠IAB = ∠IAC, ∠IBA = ∠IBC, ∠ICB = ∠ICA에요. 점 I는 각의 이등분선의 교점이니까요.

삼각형의 내각의 합에 따라서 2∠x + 2∠y + 2∠z = 180°이므로 ∠x + ∠y + ∠z = 90°가 됩니다.

∠BIC = 90° + ∠A

△IAB만 따로 떼서 생각해보죠. 변 IA의 연장선을 그어보세요.

삼각형 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 합에서 한 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같다는 걸 공부했어요.

∠BIE = ∠x + ∠y입니다.

이번에는 △IAC를 생각해보면, 같은 이유로 ∠CIE = ∠x + ∠z가 되죠.

∠BIC = ∠BIE + ∠CIE = ∠x+ ∠y + ∠x + ∠z가 성립해요.

위에서 ∠x + ∠y + ∠z = 90°라고 했잖아요. 따라서 식을 정리하면 ∠BIC = 90° + ∠x가 돼요. ∠x = ∠A니까 결국 ∠BIC = 90° + ∠A가 됩니다.

△ABC의 넓이 = r(x + y + z)

이번에는 x, y, z가 각의 크기가 아닌 세 변의 길이를 뜻해요. 위와 혼동하지 마세요.

내접원의 반지름 r은 내심 I에서 변에 수직으로 이르는 거리, 즉 △IAB의 높이에 해당해요. 따라서 △IAB의 넓이는  × x × r이죠.

마찬가지로 △IBC의 넓이는  × y × r이고, △ICA의 넓이는  × z × r이에요.

△ABC의 넓이 = △IAB 넓이 + △IBC 넓이 + △ICA넓이
                   =  × x × r +  × y × r +  × z × r

                  = r(x + y + z)

두 번째 줄에서 세 번째 줄로 바뀌는 이유는 3학년 때 공부할 거예요. 여기서는 그냥 '이렇게 바뀌는구나.' 하고 넘어가요.

△ABC의 내접원의 반지름이 2cm이고, △ABC의 넓이가 20cm²일 때, △ABC의 둘레의 길이를 구하여라.

내접원의 반지름과 둘레를 이용해서 삼각형의 넓이를 구하는 공식은 S = r × (삼각형 둘레의 길이)에요. 여기에 대입을 해보죠.

20 =  × 2 × (둘레의 길이)

(둘레의 길이) = 20 (cm)

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