중등수학
일차함수 y=ax+b 그래프의 특징
y = ax + b 그래프에서 a는 기울기이고, b는 y 절편이라는 사실을 알 수 있어요. 이제 이 두 가지에 따라 그래프가 어떻게 달라지는 지 알아볼 거예요.
일차함수의 그래프에서 간략하게 이야기하기는 했는데, 좀 더 자세히 알아보죠.
먼저 y = ax의 특징을 정리해보죠.
- 원점(0, 0)을 지난다.
- a의 절댓값이 커질수록 그래프는 y축에 가까워진다.
- a > 0
- x 증가 → y 증가
- 오른쪽 위로 향하는 직선
- 1, 3 사분면을 지난다.
- a < 0
- x 증가 → y 감소
- 오른쪽 아래로 향하는 직선
- 2, 4 사분면을 지난다.
y = ax와 y = ax + b의 차이는 b가 있고 없고의 차이에요. 사실은 y = ax + b에서 b = 0일 때가 y = ax이에요.
y = ax + b 그래프의 특징
y = ax와 y = ax + b의 차이는 b니까 b의 영향을 받는 부분만 다르고 나머지는 똑같아요.
원점(0, 0)을 지나는 대신 (0, b)를 지나고요.
그래프가 지나는 사분면은 y절편인 b의 부호에 따라서 달라져요.
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| a > 0, b > 0 | a > 0, b < 0 |
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| a < 0, b > 0 | a < 0, b < 0 |
| a > 0 | a < 0 | |
|---|---|---|
| 같은 점 | (0, b)를 지난다 a의 절댓값(|a|)의 절댓값이 커질수록 y축에 가까워진다. |
|
| 다른 점 | x 증가 → y 증가 오른쪽 위로 향하는 직선 b > 0이면 제 1, 2, 3 사분면 b < 0이면 제 1, 3, 4 사분면 |
x 증가 → y 감소 오른쪽 아래로 향하는 직선 b > 0이면 제 1, 2, 4 사분면 b < 0이면 제 2, 3, 4 사분면 |
다음 y = ax + b의 그래프를 보고, a와 b의 부호를 구하여라.
a는 그래프의 기울기인데, 그래프가 오른쪽 아래로 향하는 직선이니까 a < 0이겠네요. 그리고 b는 y 절편이니까 y축과 그래프가 만나는 곳의 부호를 보면 되겠죠. x 축보다 윗부분 즉, 양수인 곳에서 만나니까 b > 0이 되는군요.
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이제 일차함수의 그래프를 직접 그려볼까요?
일차함수의 그래프를 그리는 방법은 이미 1학년 때 배워봤어요. 함수식이 주어지면 그 식에, x = 1, 2, 3, …을 넣어서 그때의 y값을 구했죠. 그리고 순서쌍을 이용해서 좌표평면에 점을 찍은 다음 그 점들을 이어서 그래프를 그려요. 함수 그래프, 함수의 그래프 특징 비교
기본 원리는 점들의 좌표를 구해서 점을 찍고, 선으로 연결하는 겁니다. 그런데 사실 점의 좌표가 많이 필요하지 않아요. 그냥 두 개만 있으면 직선을 그을 수 있거든요.
두 점을 이용해서 일차함수 그래프 그리기
직선이라는 게 점을 여러 개 연결해도 되지만 두 점을 연결해도 직선이 돼요. 따라서 1학년 때처럼 점들의 좌표를 여러 개 구할 필요 없이 딱 두 개만 구해서 직선으로 연결하면 돼요.
두 점의 좌표가 주어졌다면 점을 찍어서 직선을 그으면 되고, 점이 주어지지 않고, 함수식만 주어졌다면 x = 1, 2처럼 임의의 값을 두 개 넣어서 좌표를 구해서 점을 찍고, 선을 그어주면 돼요.
두 점 (1, 1)과 (3, 2)를 지나는 함수의 그래프를 그려라.
좌표평면 위에 두 점을 찍고 그냥 이어서 연결하세요.
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x절편, y절편을 이용해서 일차함수 그래프 그리기
마찬가지로 두 점의 좌표를 이용해서 그래프를 그리는 방법이에요.
두 개의 점의 좌표를 구할 때 아무 점이나 상관없지만 x절편, y절편을 구하는 방법도 좋아요. y 절편은 y = ax + b라는 함수식에서 b라는 걸 바로 알 수 있지요? 한 점의 좌표(0, b)를 금방 알아낼 수 있잖아요. 그럼 나머지 한 점의 좌표만 구하면 되는데, y = 0을 넣어서 구하면 x 절편이 나오죠.
문제에서 x, y 절편을 미리 알려주면 좋은 거고, 알려주지 않아도 다른 점의 좌표에 비해서 구하기가 쉬워서 많이 이용하는 방법이에요.
y = x + 2의 그래프를 그려라. (x절편과 y절편을 이용)
y = x + 2의 y 절편이 2이므로 y축과 만나는 점은 (0, 2), x 절편이 –2이므로 x축과 만나는 점은 (-2, 0)이네요. 두 점의 좌표를 구했으니 그래프를 그려보죠.
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y절편과 기울기를 이용해서 일차함수 그래프 그리기
y 절편은 함수식에서 바로 구할 수 있지요?
일차함수와 그래프에서 기울기가 나타내는 게 뭐죠?
y = ax + b에서 y 절편이 b이므로 이 그래프는 (0, b)를 지나요. 기울기 a가 나태나는 건 x가 1 증가할 때, y는 a만큼 증가한다는 뜻이잖아요. 그래서 x가 0 → 1로 될 때, b → b + a 가 된다는 뜻이지요? 따라서 (0, b)와 (1, b + a)라는 점의 좌표를 구할 수 있다는 거예요. 물론 (1, b + a)가 아니라 (2, b + 2a), (3, b + 3a)라는 좌표를 구할 수도 있는 거지요. 어차피 두 점의 좌표만 있으면 되니까 아무거나 구해도 상관없어요.
두 점을 구했으니 좌표평면에 점을 찍고, 직선으로 연결하면 되겠지요?
y = 2x + 2의 그래프를 그려라. (기울기와 y절편을 이용)
y절편이 2이므로 이 그래프는 (0, 2)를 지나고 기울기가 2니까 x가 1 증가하면 y는 2 증가한다는 뜻이에요. x가 0 → 1이 되면, y는 2만큼 증가하니까 2 → 4가 되겠지요. 그래프가 지나는 두 점 (0, 2)와 (1, 4)를 구할 수 있어요.
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일차함수의 그래프에서 또 한가지 알아야 할 내용이 기울기에요.
일차함수 y = ax 그래프에서 a의 부호에 따라 그래프가 어떤 특징을 가졌는지 알아봤지요? 바로 a가 기울기입니다. 그래프의 특징에 아주 큰 영향을 미치니까 기울기에 대해서 꼭 알고 있어야겠죠?
함수식이 주어진 경우라면 a를 바로 구할 수 있지만, 식이 주어지지 않았다면 어떻게 a를 구하는지 알아볼까요.
일차함수의 기울기
기울기는 말 그대로 그래프가 기울어진 정도를 나타내는 용어에요. 그런데 얼마나 기울어졌는지를 각도로 표현하지 않고 숫자로 표현해요.
이 숫자를 구하는 방법이에요.
그럼 x, y값의 증가량은 어떻게 구하느냐? 그래프에서 임의의 두 점 A(x1, y1), B(x2, y2)를 고르세요. 직선 위에 있는 점이면 아무 점이나 괜찮아요. 두 점의 (B점의 x 좌표 - A점의 x 좌표) 가 x의 증가량 (B점의 y 좌표 - A점의 y 좌표)가 y의 증가량입니다.
x, y의 증가량을 구할 때 주의해아 할 것은 x의 증가량을 구할 때 B에서 A를 뺐다면 y의 증가량을 구할 때도 B에서 A를 빼야 한다는 거예요. 큰 수에서 작은 수를 빼는 게 아니에요. 증가량이라고 표현했지만 실제로는 x, y이 변한 정도를 나타내는 말로 감소량을 포함하고 있는 거예요. 따라서 x, y의 증가량은 부호가 (-)일 수도 있고 둘의 부호가 다를 수도 있다는 점을 알아두세요.
다음 일차함수의 그래프를 보고 기울기를 구하여라.
위 그래프에는 기울기가 표시되어 있지만 직접 구해보죠. 그래프가 x축과 만나는 점, y축과 만나는 점의 좌표를 구할 수 있죠? (2, 0)과 (0, 2)입니다.
두 점의 좌표를 이용해서 구한 기울기가 문제에서 주어진 함수식에서의 기울기와 같죠?
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일차함수 y = ax의 그래프의 특징에 대해서 이해했나요?
- 원점 (0, 0)을 지난다.
- 기울기의 절댓값이 커질수록 y축에 가깝다.
- a > 0 이면
- 오른쪽 위로 향하는 직선
- x 증가 → y 증가
- 1, 3 사분면
- a < 0이면
- 오른쪽 아래로 향하는 직선
- x 증가 → y 감소
- 2, 4 사분면
y = ax + b의 그래프는 y = ax 그래프를 y축 방향으로 b만큼 평형이동한 그래프라는 것까지는 알고 있어야 해요.
오늘은 그래프를 읽는 법을 공부할 겁니다. 그래프는 통해서 무엇을 알 수 있는지요. 나중에는 반대로 특정한 정보를 주고, 그래프를 그리는 법도 공부할 거예요.
x절편
함수의 그래프에서 절편은 함수의 그래프가 x축, y축과 만나는 점의 좌표를 말해요. x축과 만나는 점의 x좌표를 x 절편, y축과 만나는 점의 y좌표를 y절편이라고 하지요.
x축의 y좌표는 0이니까 그래프가 x축과 만나는 점의 y 좌표도 0이죠. 이거는 그래프를 통해서 확인할 수 있어요. 그래서 x 절편을 다른 말로 y = 0일 때의 x값이라고도 해요. 어차피 같은 얘기예요. 중요한 건 x축과 만나는 점의 x좌표인데 이 점의 y 좌표가 0이니까 함수식에 y = 0을 대입해서 그때의 x값을 구하면 돼요
y = 2x + 2라는 함수가 있고 이 함수 그래프의 x절편을 구해보죠. y = 0을 대입하면,
0 = 2x + 2
2x = -2
x = -1
y = 0일 때의 x값이 -1이죠? 이 -1을 x 절편이라고 해요.
y절편
x절편이 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표라면 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표가 y 절편이에요. 그래프가 y축과 만나니까 x 좌표가 0이겠죠. 그래서 다른 말로 x = 0일 때의 y좌표라고도 해요.
함수식에 x = 0을 넣어서 y절편을 구해요.
y = 2x + 2
y = 2
x = 0을 대입했더니, y = 2라는 값이 나왔네요. 이 함수의 y절편은 2입니다.
다음 그래프를 보고, x절편과 y절편을 구하여라.
그래프가 x축과 만나는 점의 좌표는 (2, 0)이고, y축과 만나는 점의 좌표는 (0, 2)이네요. 따라서 x절편은 2, y절편은 2입니다.
그래프를 통해서 구할 수도 있고, 아니면 앞에서 했던 방법처럼 x = 0, y = 0을 대입해서 값을 구할 수도 있어요.
y = ax+b의 x절편, y절편
일차함수 y = ax + b (a ≠ 0, a, b는 상수)에서의 x절편, y절편을 구해볼까요?
x절편을 구할 때는 y = 0을 대입한다고 했어요. 대입해 볼게요.
y = ax + b
0 = ax + b
-ax = b
x =
x 절편은 
y절편은 x = 0을 대입해서 구해요.
y = ax + b
y = a × 0 + b
y = b
y 절편은 b고, 그때 점의 좌표는 (0, b)예요. 사실 y 절편은 굳이 x = 0을 대입할 필요가 없어요. 왜냐하면 y = ax + b에서 b니까요. 식만 봐도 바로 알 수 있어요.
- x 절편
- 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표
- y = 0일 때의 x 값
- y = ax + b에서는 x =
- 그래프가 x축과 만나는 점의 좌표: (
- y절편
- 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표
- x = 0일 때의 y 값
- y = ax + b에서는 b
- 그래프가 y축과 만나는 점의 좌표: (0, b)
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일차함수의 그래프
함수를 공부했으니까 그래프에 대해서 알아보죠.
함수 그래프를 그릴 때, x에 1, 2, 3, …을 넣어서 y를 구한 다음 좌표평면에 점을 찍고 그 점들을 이어서 그래프를 그렸어요. 여기까지가 1학년 때 했던 내용이에요.
이제는 그래프도 그려보고, 그래프가 어떤 특징이 있는지, 그래프와 함수식 사이에는 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요.
일차함수 y = ax의 그래프
일차함수 그래프에서 가장 기본이 되는 y = ax의 그래프부터 살펴보죠.
x = 0이면 y = 0이죠. 이 그래프는 (0, 0) 즉 원점을 지나요.
a 값에 따라 그래프가 어떻게 될까요? 아래 y = x와 y = 2x, y = 3x의 그래프를 보세요.
x의 앞의 숫자인 a가 커질수록 그래프는 y축에 더 가까워지죠?
아래는 y = -x, y = -2x, y = -3x의 그래프에요. 여기는 a가 작아질수록 y축에 더 가까워져요.
위 두 그림에서 알 수 있는 것, a > 0일 때는 a가 커질수록 그래프가 y축에 가까워지고, a < 0일 때는 a가 작아질수록 y축에 가까워지죠. 이거를 하나로 묶어서 표현해볼게요. a의 절댓값이 커질수록 그래프는 y축에 가까워진다.
a >0일 때는 x가 증가하면 y도 증가해요. 따라서 그래프의 모양은 오른쪽 위로 향하는 직선이죠. 그래프는 1, 3 사분면을 지나고요.
a < 0일 때는 x가 증가하면 y는 감소해요. 그래프의 모양은 오른쪽 아래로 향하는 직선이요. 2, 4 사분면을 지나네요.
| a > 0 | a < 0 | |
|---|---|---|
| 같은 점 | 원점 (0, 0)을 지난다 a의 절댓값(|a|)의 절댓값이 커질수록 y축에 가까워진다. |
|
| 다른 점 | x 증가 → y 증가 오른쪽 위로 향하는 직선 제 1, 3 사분면 |
x 증가 → y 감소 오른쪽 아래로 향하는 직선 제 2, 4 사분면 |
일차함수 y = ax + b의 그래프
y = ax + b는 y = ax의 그래프를 b만큼 평행이동한 그래프에요. 평행이동은 그래프를 일정한 값만큼 그 모양 그대로 옮기는 걸 말해요.
위 그림에서 보듯이 y = ax 그래프를 b만큼 평행이동했는데요, 어디로 이동했느냐면 y축 방향으로 이동했어요. ax였던 y에 b만큼 더해줬잖아요.
이 그래프는 원점이 아니라 (0, b)를 지나요. b의 값에 따라 지나가는 사분면이 달라지는 것을 빼면 y = ax 그래프와 특징이 같아요.
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일차함수 뜻
함수는 1학년 때 기본적인 용어에 대해서 배웠는데, 기억이 나나요?
함수: 두 변수 x, y에 대하여 x의 값이 정해지면 그에 따라 y의 값이 하나만 정해질 때, y를 x의 함수라 하고, y = f(x)라고 나타냅니다. 즉, x에 y가 하나만 대응하는 걸 함수라고 하지요. x값에 따라 y가 바뀌는 거고요.
일차함수
함수 y = f(x)에서 y가 x에 대한 일차식일 때 이 함수를 일차함수라고 해요.
일차방정식을 공부했는데요. 일차방정식은 일반적으로 ax + b = 0으로 나타내지요. 여기에 우변의 0 대신에 y를 넣고 좌, 우변의 위치를 바꾸면 일차함수의 모양이 돼요
y = ax + b (a ≠ 0, a, b는 상수)
일차함수를 찾는 방법은 일차방정식을 찾는 방법을 이용해요.
다음 중 일차함수인 것을 모두 고르시오.
(1) y = 0x + 3
(2) y = 3x + 10
(3) y = (x + 1)2 - x2
(4) y = 5
(5) xy = 1
(6) y = 2x2 + x -1
y = ax + b (a ≠ 0, a, b는 상수)인 형태가 되어야 일차함수라고 할 수 있어요. 이걸 확인하려면 먼저 식을 간단히 해야 해요.
(1)번은 x의 계수가 0이어서 일차식이 아니니까 일차함수라고 할 수 없어요
(2)번은 우변이 일차식이 맞네요. (2)번은 일차함수가 맞아요.
(3) 번은 괄호를 곱셈공식을 이용해서 전개해요. (x + 1)2 - x2 = x2 + 2x + 1 - x2 = 2x + 1가 되네요. 즉, y = 2x + 1이니까 일차함수가 맞아요
(4) 번은 일차항이 없이 그냥 상수항만 있어서 일차함수가 아니고요.
(5) 번은 y = 
(6) 번은 일차식이 아닌 이차식이에요. 따라서 일차함수라고 할 수 없어요.
위 문제에서 일차함수는 (2) y = 3x + 10과 (3) y = (x + 1)2 - x2 두 개입니다.
함숫값의 표현
함수는 보통 y = f(x)라고 표시하는데, 이때 f(x)는 x에 대한 식이에요.
x = 3일 때의 y값을 f(3)이라고 써요. x = 3을 위 식에 대입해보죠. 대입이라는 건 x자리에 3을 넣는 거잖아요. 계산을 하는 건 아니지만 x 자리에 3을 넣으면 y = f(3)이에요.
반대로 f(5)를 보고 "x에 5를 넣었을 때 y값이구나."하는 걸 읽을 수 있어야 해요.
함수 y = 5x - 1에서 다음 값을 구하여라.
(1) f(3)
(2) f(5) - f(1)
(1) f(3)은 x = 3 일 때의 y 값이니까 x = 3을 대입해요.
y = 5 × 3 - 1 = 14
(2)번 f(5) - f(1) = (5 × 5 - 1) - (5 × 1 - 1) = 24 - 4 = 20입니다.
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부등식의 활용, 연립부등식의 활용
부등식이 뭔지, 부등식은 어떻게 푸는지 알아봤다면 이제 부등식을 실제 어떤 방법으로 활용하는지 배워봐야죠.
사실, 많은 분이 "수학 배워서 어디 써먹느냐?" 하지만 부등식의 활용만큼은 실생활에서도 많이 사용할 수 있어요. 휴대전화 요금제를 정할 때라든가 두 곳의 가게 중에서 더 싼 곳을 찾을 때도 부등식은 아주 유용합니다.
부등식의 활용은 큰 틀에서는 방정식의 활용과 같아요. 미지수 정하고 식 세우고, 푸는 순서로 이루어집니다.
일차부등식과 연립부등식에서 나오는 문제의 유형은 같아요. 식의 개수만 차이가 있을 뿐이에요.
부등식의 활용
- 미지수 결정
문제에서 구하고자 하는 것을 x로 놓는다. - 문제의 뜻에 맞게 식 세우기
문제의 조건에 맞는 식을 만드는 데 연립부등식이라면 식을 두 개 만드세요. - 부등식 풀기
부등식의 성질을 이용해서 부등식을 풀어서 해를 구합니다. - 문제의 뜻에 맞는 해 선택
문제에서 요구하는 해를 찾습니다. 문제에서 해의 범위를 준 경우는 물론 개수나 사람 수 등은 자연수가 되는 것에도 주의하세요.
한가지 주의해야 할 것은 등호에 관한 건데요. 식을 그냥 주면 크게 신경 쓰지 않아도 되지만, 식을 만들어야 할 때는 등호가 들어가야 하는지 들어가면 안 되는지를 잘 파악해야 해요.
부등식의 활용 유형
거리, 속력, 시간에 관한 문제
거리, 속력, 시간에 관한 문제는 방정식, 부등식을 가리지 않고 나오는 활용문제에요. 공식은 반드시 외워야 해요.
농도에 관한 문제
농도 문제 역시 방정식, 부등식을 가리지 않고 나오는 문제에요.
두 소금물 A, B를 하나로 섞었을 때
- (A + B)의 소금의 양 = A 소금의 양 + B 소금의 양
- (A + B) 소금물의 양 = A 소금물의 양 + B 소금물의 양
- (A + B) 의 농도 = (A + B)의 소금의 양 ÷ (A + B) 소금물의 양 × 100
어떤 경우에도 농도는 +/-로 구할 수 없어요. 두 소금물을 더했다고 해서 각각의 농도를 더해서 구하면 안된다는 얘기예요. 위 농도 공식에 있는 방법으로만 농도를 구해야 해요.
소금물 A를 가열했을 때(증발시켰을 때)
- 가열한 후의 소금양 = 가열 전 의 소금양
- 가열한 후의 소금물의 양 = 가열 전 소금물의 양 - 증발한 물의 양
예금에 관한 문제
예금에 관한 문제에서 놓치지 말아야 할 것은 처음에 가지고 있는 예금이에요. x개월 후의 예금은 (처음 예금 + x 개월 동안 입금한 금액)이에요.
현재 수정이의 예금 통장에는 12,500원, 진리의 예금 통장에는 14,000원이 예금되어 있다. 다음 달부터 매월 수정이는 1,200원씩, 진리는 900원씩 예금할 때 수정이가 예금한 돈이 진리가 예금한 돈보다 많아지는 것은 몇 개월째부터인지 구하여라.
몇 개월째부터인지 구하라고 했으니까 월을 x라고 놓아야겠네요.
수정이는 현재 12,500원을 가지고 있고, 매달 1,200원씩 예금하면, x개월 뒤에 수정이의 총 예금은 (12500 + 1200x)원이죠.
진리는 현재 14,000원을 가지고 있고, 매달 900원씩 예금했을 때, x개월 뒤의 진리의 예금은 (14000 + 900x)원이 되겠네요.
수정이의 예금이 진리의 예금보다 많아진다고 했으니까 12500 + 1200x > 14000 + 900x가 되어야 해요.
12500 + 1200x > 14000 + 900x
125 + 12x > 140 + 9x
12x - 9x > 140 - 125
3x > 15
x > 5
5보다 커야 되니까 6개월 후에 수정이의 예금이 진리의 예금보다 많아지겠네요.
물건의 개수에 관한 문제
두 개의 물건을 샀을 때, 총 수량이 나오는 경우에는 한 물건의 개수를 x개라고 하면, 다른 물건의 개수는 (총수량 - x)가 되는 걸 이용해요.
4,500원으로 한 자루에 150원인 연필과 200원인 볼펜을 합하여 25자루를 사려고 한다. 볼펜을 연필보다 많이 사려고 할 때, 볼펜은 몇 자루를 사면 되는지 구하여라.
볼펜을 몇 자루 살 수 있는지를 물어봤으니까 볼펜의 개수를 x라고 할게요. 총 25자루를 산다고 했으니까 연필은 (25 - x) 자루가 되겠네요. 그런데 볼펜의 개수가 연필의 개수보다 많이 사려고 하니까 x > 25 - x라는 식을 세울 수 있어요.
연필과 볼펜을 사는데 드는 총비용은 200x + 150(25 - x)원일 텐데 가진 돈이 4,500원이니까 4,500원보다는 적어야겠죠. 단, 이때 4,500원이 되어도 괜찮으니까 등호가 있어도 되겠군요.
200x + 150(25 - x) ≤ 4500
두 개의 부등식이 만들어졌어요. 연립부등식 문제네요.
x > 25 - x 200x + 150(25 - x) ≤ 4500
2x > 25 4x + 3(25 - x) ≤ 90
x > 12.5 4x + 75 - 3x ≤ 90
x ≤ 15
12. 5 < x ≤ 15이고 개수는 자연수여야 하므로, 볼펜은 13, 14, 15 자루를 살 수 있어요.
과부족 문제
과부족 문제는 부등식의 풀이에서 어려운 유형이에요.
어느 반 학생들이 의자에 앉으려고 한다. 한 의자에 4명씩 앉으면 7명이 앉지 못하고, 6명씩 앉으면 의자 2개가 남을 때 의자의 개수는 최대 몇 개인지 구하여라.
의자의 개수를 구하라고 했으니까 x라고 놓을게요.
의자의 개수도 모르지만 학생 수도 몰라요. 그러니까 학생 수를 먼저 구해보죠. "한 의자에 4명씩 앉으면 7명이 앉지 못하고"에서 학생 수를 알 수 있어요. (4x + 7)명
이제부터가 중요해요. 한 의자에 6명씩 앉으면 2개가 남는다고 했는데요. 이 말이 꼭 모든 의자에 6명씩 앉았다는 뜻은 아니에요. 학생이 앉은 마지막 의자에는 6명을 다 채우지 못할 수도 있거든요. 한 명이 앉아있을 수도 있고 두 명이 앉아있을 수도 있고, 6명이 다 앉아있을 수도 있어요. 또 한 명이 앉아있다 하더라도 의자를 사용했으니까 남은 의자는 아니겠죠?
마지막 의자를 뺀 다른 의자에는 모두 6명씩 앉았을 테니까 그 학생 수는 6(x - 3)이 될 거예요. x - 3에서 3은 남은 의자 2개, 마지막 의자 1개를 나타냅니다.
마지막 의자에 한 명이 앉았을 때는 학생 수가 가장 적을 때, 6명이 앉아있으면 학생 수가 가장 많을 때죠? 그런데 학생 수는 4x + 7이니까 이걸 식으로 나타내면
6(x - 3) + 1 ≤ 4x + 7 ≤ 6(x - 3) + 6
6(x - 3) + 1 ≤ 4x + 7 4x + 7 ≤ 6(x - 3) + 6
6x - 18 + 1 ≤ 4x + 7 4x + 7 ≤ 6x - 18 + 6
2x ≤ 24 -2x ≤ -19
x ≤ 12 x ≥ 9.5
9.5 ≤ x ≤ 12 이므로 의자의 최대 개수는 12개가 되네요.
다시 강조하지만 과부족 문제에서는 마지막 의자의 학생 수를 계산하는 부분에 주의하세요.
연속하는 세 수에 관한 문제
연속하는 세수에서는 가운데 수를 x로 놓으면 돼요.
연속하는 세 자연수(정수): x - 1, x, x + 1
연속하는 세 홀수(짝수): x - 2, x, x + 2
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연립부등식의 풀이는 공통해를 찾는 과정이 중요해요. 수직선을 통해서 충분히 연습해봐야 합니다.
연립방정식에서 A = B = C 꼴의 연립방정식을 푼 기억이 나죠? 어떻게 풀었나요? A = B, B = C, A = C 중 두 개를 선택해서 연립방정식으로 풀었었죠?
이렇게 생긴 게 연립부등식에서 있어요. A < B < C인데요. 방법이 약간 달라요.
이거는 무조건 A < B, B < C를 연립해서 풀어야 해요. A < C라는 식을 만들어서는 안 됩니다. A < C라는 식에서는 A와 B, B와 C 사이의 대소를 알 수가 없잖아요. 그래서 엉뚱한 답이 나오거든요.
A < B < C → A < B and B < C
3x - 2 ≤ 2x + 4 < 20 + 4x의 해를 구하여라.
A < B < C 꼴이기 때문에 A < B와 B < C로 나누어서 연립부등식을 만들어야 해요.
3x - 2 ≤ 2x + 4와 2x + 4 < 20 + 4x로 나눌 수 있겠군요.
3x - 2 ≤ 2x + 4 2x + 4 < 20 + 4x
3x - 2x ≤ 4 + 2 2x - 4x < 20 - 4
x ≤ 6 -2x < 16
x > -8
해는 x ≤ 6과 x > -8의 공통부분인 -8 < x ≤ 6이에요.
해가 특별한 연립부등식
미지수가 2개인 일차방정식 두 개를 묶은 연립방정식에서는 보통 해가 한 쌍이었어요. 그런데 해가 특수한 연립방정식에서는 해가 무수히 많거나 하나도 없는 경우가 있었죠?
연립부등식에서도 보통은 해가 일정한 범위를 갖게 나오는데요, 그렇지 않은 경우가 있어요. 해가 한 개일 때도 있고 해가 하나도 없을 때도 있어요.
수직선으로 표현해보면 더 쉽게 이해할 수 있을 거예요.
아래 그림에서는 두 부등식의 해의 공통부분이 a라는 수로 딱 떨어져요. 이때는 x = a라는 하나의 해만 갖게 돼요.
다음에는 해가 하나도 없을 때가 있어요. 즉 공통부분이 하나도 없다는 거지요. 빈 동그라미와 까맣게 칠해진 동그라미를 잘 구별해야 해요.
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연립부등식에 대해서 배워볼까요? 연립이라는 단어는 연립방정식에서 이미 들어본 단어입니다. 방정식을 두 개 이상 묶어놓은 것이었죠. 연립부등식은 부등식을 두 개 이상 묶어놓은 걸 말해요.
연립방정식의 해는 묶여있는 방정식들을 모두 만족시키는 미지수의 값이었죠? 마찬가지로 연립부등식의 해는 묶여있는 모든 부등식을 만족시키는 해에요. 부등식들의 해의 공통부분을 찾으면 돼요.
연립방정식과 연립부등식의 차이를 알아보죠.
우리가 배운 연립방정식은 미지수가 x, y 두 개가 있었어요. 하지만 연립부등식은 미지수가 x 하나에요.
연립방정식을 풀 때는 가감법, 대입법을 이용해서 풀었는데, 이 방법들은 기본적으로 미지수의 개수를 줄이는 방법이에요. 그런데 연립부등식은 미지수가 하나니까 따로 특별한 방법이 필요한 게 아니에요.
연립부등식은 미지수도 하나고, 특별한 방법이 필요한 것이 아니라서 연립방정식보다 조금 더 쉬워요.
연립부등식의 풀이
연립방정식에서는 두 식을 한꺼번에 이용해요. 두 식을 더하거나 한 식을 다른 식에 대입하거나요.
하지만 연립부등식은 두 식을 한꺼번에 이용하지는 않아요. 식의 독립성(?)을 유지해요. 부등식별로 따로 해를 구한 다음에 공통인 부분을 찾아서 표시합니다.
- 각 부등식의 해를 구한다.
- 두 부등식의 해의 공통부분을 찾는다.
연립부등식 3x - 4 < 2x + 3 와 3x - 6 ≥ 2x - 1을 풀어라.
3x - 4 < 2x + 3 3x - 6 ≥ 2x - 1
3x - 2x < 3 + 4 3x - 2x ≥ -1 + 6
x < 7 x ≥ 5
각 부등식의 해를 구했으니까 이제 공통인 부분을 찾아야 하는데, 수직선으로 표시해보면 쉽게 알 수 있어요.
연립부등식의 해 - 수직선으로 구하기
제일 오른쪽에서 보라색으로 표시된 부분이 바로 두 부등식의 공통부분 즉, 연립부등식의 해에요. 5 ≤ x < 7
각각의 해를 수직선에 그린 뒤 두 수직선을 합치면 되는데, 실제로 문제를 풀 때는 수직선 하나에 함께 그리세요. 높이를 다르게 해서 구분하면 되니까요.
나중에 익숙해지면 수직선을 그리지 않고 바로 구할 수도 있어요.
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이번에 공부할 여러 가지 일차부등식은 복잡한 일차방정식의 풀이, 복잡한 연립방정식의 풀이에서 배웠던 내용과 비슷해요.
복잡한 연립방정식에서 우리 어떻게 했죠? 괄호가 있으면 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀고, 계수가 소수나 분수이면 적당한 수를 곱해서 정수로 바꿔줬었죠? 이번에 배울 내용도 바로 그거에요.
복잡한 식을 계산하기 쉽고 간단하게 방법을 공부할 거예요. 복잡한 식을 간단하게 바꾼 다음에 기존에 알고 있던 방법대로 일차부등식을 풀면 되지요.
괄호가 있는 일차부등식 - 분배법칙을 이용해서 전개
괄호가 있는 일차부등식은 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀고, 동류항끼리 계산해서 해를 구해요.
3(x + 2) < 2(x - 3) + 1의 해를 구하여라.
괄호가 있으니까 전개해보죠.
3(x + 2) < 2(x - 3) + 1
3x + 6 < 2x - 6 + 1
3x - 2x < -6 + 1 - 6
x < -11
계수가 분수인 일차부등식 - 분모의 최소공배수를 곱한다.
계수가 분수인 일차부등식에는 분수의 분모의 최소공배수를 양변에 곱해주세요. 계수를 정수로 만들어 계산하는 거예요.
분수의 분모가 2, 3, 4, 3으로 최소공배수는 12네요. 양변에 12를 곱해보죠.
계수가 소수인 일차부등식 - 10의 거듭제곱을 곱한다.
계수가 소수이면 10의 거듭제곱(10, 100, 1000)을 곱하여 계수를 정수로 바꿔서 계산합니다.
0.1x + 0.06 < 0.03x - 0.5의 해를 구하여라.
소수 둘째 자리까지 있는 계수가 있으니까 100을 곱해줘야 소수가 없어지고 정수만 남겠네요. 양변에 100을 곱해보죠.
0.1x + 0.06 < 0.03x - 0.5
100(0.1x + 0.06) < 100(0.03x - 0.5)
10x + 6 < 3x - 50
10x - 3x < -50 - 6
7x < -56
x < -8
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부등식, 부등식의 뜻, 부등식의 성질에서 부등식이 무엇인지 부등식은 어떤 성질이 있는지 알아봤어요.
이제는 부등식의 성질을 이용해서 부등식의 해를 구해볼 거예요.
우리가 공부할 건 부등식 중에서도 일차부등식이에요. 일차부등식 뭔지 알 것 같죠? 일차방정식에서 "일차"가 뭘 뜻하는지 알고 있잖아요. 일차부등식에서도 같아요. 모든 항을 좌변으로 옮기고 우변에 0을 둔 상태에서 미지수의 차수가 일차인 부등식을 일차부등식이라고 해요.
ax + b < 0 or ax + b ≤ 0 or ax + b > 0 or ax + b ≥ 0 (단, a ≠ 0)
일차방정식의 풀이
먼저 일차방정식의 풀이를 한 번 정리해보죠.
일차방정식 어떻게 풀었나요? 미지수가 있는 항은 좌변으로 상수항은 우변으로 이항이라는 걸 해요. 그리고 미지수의 계수로 양변을 나눠서 미지수 x를 구하죠?
일차방정식 4x + 5 = 2x + 3의 해를 구하여라.
4x + 5 = 2x + 3
4x - 2x = 3 - 5
2x = -2
x = -1
일차부등식의 풀이
일차부등식도 일차방정식처럼 좌변에 미지수가 있는 항, 우변에는 상수항이 오도록 이항하고 미지수의 계수로 양변을 나눠서 해를 구해요.
중요한 차이가 있다면 미지수의 계수로 양변을 나눌 때 음수로 나누면 부등호의 방향이 바뀐다는 거예요.
일차부등식 x - 3 > 5x + 5의 해를 구하여라.
x - 3 > 5x + 5
x - 5x > 5 + 3 (∵ 좌변에 x 항, 우변에 상수항이 오도록 이항)
-4x > 8 (∵ 좌변과 우변을 각각 동류항 정리)
x < -2 (∵ 미지수의 계수로 양변을 나눔. 계수가 음수이면 부등호 방향이 바뀜)
일차부등식의 풀이는 부등식의 성질에서 나온 것처럼 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향이 바뀌는 것만 주의하면 일차방정식의 풀이법과 완전히 같아요.
일차부등식의 해와 수직선
방정식에서는 그 해가 x = 2처럼 하나였기 때문에 그냥 쓰면 되는데, 부등식의 해는 좀 다른 모양이죠? x<2는 1도 되고 0도 되고 -1도 되고, 
그래서 그냥 쓰는 것도 좋지만 그림으로 나타내는 방법도 있어요. 수직선 위에 표시하는 방법인데요.
- 일단 수직선을 가로로 하나 그어요.
- 그리고 부등식을 푼 해의 숫자를 적습니다. 그다음 숫자에 작은 동그라미를 그리세요. 이때 부등호가 <, >면 그냥 동그라미를, ≤, ≥면 까만 동그라미를 그리세요.
- 동그라미에서 위쪽으로 직선을 그립니다. 그리고 가로선을 하나 더 그을 건데요, 부등호가 <이면 왼쪽으로 >이면 오른쪽으로 선을 그으세요.
- 위에서 그린 선과 처음에 그었던 수직선 사이의 부분을 색칠(빗금)하세요.
x<2를 수직선에 나타내는 방법이에요. 부등호가 <이기 때문에 2위의 동그라미는 색칠되어 있지 않아요. 그리고 미지수가 2보다 작기 때문에 왼쪽으로 선을 그었어요. 2보다 작은 수인 1, 0, -1 등이 2보다 왼쪽에 있으니까 선을 왼쪽으로 긋는 거예요.
아래는 x ≥ 4를 수직선에 나타내는 방법이에요. 부등호가 ≥라서 4위의 동그라미에 색칠했고요. x가 4보다 크니까 오른쪽으로 선을 그었어요.
해를 수직선에 그리는 방법뿐 아니라 그림을 보고 해를 알아내는 것도 중요해요. 위 그림을 보고 x ≥ 4를 나타내는 것이라는 걸 알 수 있어야 한다는 얘기에요.
2x - 3 ≤ 5x - 9의 해를 구하고, 수직선에 나타내어라.
2x - 3 ≤ 5x - 9
2x - 5x ≤ -9 + 3
-3x ≤ -6
x ≥ 2
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부등식의 성질
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부등식의 성질
부등식이란 무엇인지 이해하셨나요?
부등식을 이해할 때 등식과 비교해서 이해하면 좀 더 쉽게 이해할 수 있어요. 등식과 부등식은 이름에서 알 수 있듯이 사촌(?) 관계에요. 등호 대신 부등호를 사용하는 게 부등식이죠.
부등식과 등식이 비슷한 부분이 있는데, 같은 부분은 그대로 이해하면 되고, 다른 부분만 조금 더 생각하면 돼요. 두 가지 빼면 등식의 성질과 완전히 같아요. 등식의 성질을 다 알고 있겠지만 한 번 더 정리해보죠.
등식의 성질
- 등식의 양변에 같은 수를 더해도 등식은 성립한다.
a = b이면 a + c = b + c - 등식의 양변에서 같은 수를 빼도 등식은 성립한다.
a = b이면 a - c = b - c - 등식의 양변에 같은 수를 곱해도 등식은 성립한다.
a = b이면 ac = bc - 등식의 양변을 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.
a = b이면 a ÷ c = b ÷ c (c ≠ 0)
등식에서는 양변에 같은 수를 더하거나 빼거나 곱하거나 나누어도 등식은 성립하는 성질이 있어요. 부등식에도 비슷한 성질이 있어요.
부등식의 성질
부등식의 양변에 똑같은 수를 더할 때: 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.
8 > 4라는 부등식을 이용해보죠.
위 부등식의 양변에 똑같이 2를 더해볼까요? 8 + 2 > 4 + 2는 10 > 6이 되어서 부등호의 방향이 그대로예요. 양변에 음수를 더해볼까요? 8 + (-2) > 4 + (-2)을 하면 6 > 2이 되어서 부등호의 방향은 역시 바뀌지 않아요.
부등식의 양변에서 똑같은 수를 뺄 때: 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.
이번에는 양변에서 같은 수를 빼보죠. 2를 빼 볼게요. 8 - 2 > 4 - 2는 6 > 2가 되어서 부등호가 그대로예요. 음수를 빼 볼게요. 8 - (-2) > 4 - (-2)은 10 > 6이 되어서 마찬가지로 부등호가 그대로군요.
부등식의 양변에 똑같은 수를 곱할 때: 양수를 곱하면 그대로, 음수를 곱하면 바뀐다.
자 이번에는 같은 수를 곱해볼게요. 8 × 2 > 4 × 2은 16 > 8이 되어서 부등호가 그대로예요. 음수를 곱해보죠. 좌변은 8 × (-2) = -16, 우변은 4 × (-2) = -8이 돼요. 부등호가 어떻게 되어야 하죠? -16 < -8처럼 부등호가 바뀌어야 참이죠?
부등식의 양변을 똑같은 수로 나눌 때: 양수로 나누면 그대로, 음수로 나누면 바뀐다.
나누기를 해보죠. 8 ÷ 2 > 4 ÷ 2 는 부등호 방향이 그대로예요. 음수인 (-2)로 나눠볼까요? 8 ÷ (-2)과 4 ÷ (-2) 중 어떤 게 더 큰가요? -4 < -2가 되어야 참이 되네요.
위의 내용을 다 이해했다면 이것만 기억하세요.
부등식의 성질
부등식의 양변에 음수를 곱하거나 음수로 나눌 때만 부등호의 방향이 바뀐다. 그 외에는 그대로이다
a < b일 때 다음 괄호에 알맞은 부등호를 넣어라.
(1) a+5 ( ) b+5
(2) a-3 ( ) b-3
(3) 10a ( ) 10b
(4) -2a ( ) -2b
(5) -5a + 9 ( ) -5b + 9
(1)에서 a < b 이고, 양변에 같은 수인 5를 더했으므로 부등호의 방향은 바뀌지 않고, 그대로 즉, a + 5 < b + 5가 되고요.
(2)도 마찬가지로 양변에서 같은 수를 뺐으므로 부등호의 방향이 그대로예요. a - 3 < b - 3
(3)은 양변에 양수인 10을 곱했으니까 부등호의 방향이 그대예요. 10a < 10b
(4)는 양변에 음수인 -2를 곱했어요. 그러니까 부등호의 방향이 바꿔야겠죠? -2a > -2b
(5)에는 항이 두 개가 되었는데, a, b의 계수가 바뀐 것 즉, -5를 곱해준 계산이 먼저예요. 음수인 -5를 곱했으니 부등호가 바뀌겠죠? -5a > -5b가 돼요. 거기에 양변에 9를 더했으니까 부등호의 방향은 그대로 즉, -5a + 9 > -5b + 9가 돼요.
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부등식, 부등식의 뜻
이제부터 부등식에 대해서 공부할 거예요.
부등식을 공부하기 전에 먼저 1학년 때 공부했던 등식을 한 번 짚고 넘어갈게요.
등식이라는 건 등호(=)를 가운데 두고, 등호 양쪽에 숫자와 식을 써서 양쪽이 서로 같음을 나타내는 식이죠.
부등식은 등호 대신에 부등호 (>, <, ≥, ≤)를 가운데 두고 양쪽에 숫자와 식을 써서 크기를 비교하는 식이에요. 부등호의 사용에 대해서는 1학년 때 아주 잠깐 공부했었어요.
등식에서 등호 왼쪽에 있는 숫자와 식을 좌변이라고 하고 오른쪽에 있는 식을 우변이라고 해요. 부등식에서 똑같이 부등호의 왼쪽에 있는 식과 문자를 좌변이라고 하고 오른쪽에 있는 숫자와 식을 우변이라고 해요. 또 좌변과 우변을 한꺼번에 양변이라고 불러요.
| 등식 | 부등식 |
|---|---|
| = | > < ≥ ≤ |
| 서로 같다 | 크다, 작다, 크거나 같다, 작거나 같다. |
| 2 = 2 | 3 > 2 |
| x = 2 | x > 2 |
| x + 4 = 2 | x + 4 > 2 |
부등식의 표현
등식은 크기가 같은 것만 있어서 표현하기가 쉬워요. 하지만 부등호는 네 가지나 있으니까 그 각각의 부등호가 나타내는 뜻을 정확히 이해하는 게 중요해요.
| 표현 | A 기준 | B 기준 |
|---|---|---|
| A < B | A는 B보다 작다 A는 B 미만 |
B는 A보다 크다 B는 A 초과 |
| A > B | A는 B보다 크다 A는 B 초과 |
B는 A보다 작다 B는 A 미만 |
| A ≤ B | A는 B보다 작거나 같다 A는 B 이하 A는 B보다 크지 않다. |
B는 A보다 크거나 같다 B는 A 이상 B는 A보다 작지 않다 |
| A ≥ B | A는 B보다 크거나 같다 A는 B 이상 A는 B보다 작지 않다. |
B는 A보다 작거나 같다 B는 A 이하 B는 A보다 크지 않다 |
특히 "크지 않다"와 "작지 않다"에 주의하세요.
다음을 부등식으로 나타내시오.
(1) 어떤 수의 3배는 10보다 작다.
(2) 어떤 수의 7배에 2를 더한 것은 30보다 크지 않다
(1)에서 어떤 수를 모르니까 x라고 하면 어떤 수의 3배는 3x라고 할 수 있어요. 3x가 10보다 작으니까 부등호는 <를 사용해야겠네요. 그래서 답은 3x < 10이군요.
(2)는 마찬가지로 어떤 수의 7배니까 7x, 여기에 2를 더하면 7x + 2에요. 그런데 크지 않다는 건 뭘 뜻하죠? 작거나 같은 거예요. 그래서 부등호는 ≤를 써야겠죠. 7x + 2 ≤ 30이 되겠네요.
부등식의 참, 거짓
예를 들어서 3 > 2라는 부등식이 있어요. 이 부등식에서 좌변과 우변의 크기비교가 제대로 되었다면 이 부등식은 참이에요. 이 부등식은 참이네요.
그럼 3 ≥ 2라는 부등식은 어떨까요? 역시 참이네요.
3 < 2라는 부등식을 보죠. 3은 2보다 큰데 부등호는 "작다"를 나타내는 <가 쓰여 있네요. 부등식은 틀렸어요. 그래서 이때는 거짓이라고 해요.
부등식의 해
부등식의 해는 방정식의 해처럼 부등식이 참이 되게 하는 미지수의 값을 말해요.
부등식을 푼다는 말은 부등식이 참이 되게 하는 값, 즉 해를 구한다는 뜻이고요. 방정식에서도 사용했던 용어들이니 어렵지는 않죠?
부등식 x - 4 < 2 의 해를 모두 구하여라. (단, x는 자연수)
x가 자연수라고 했으니 x = 1부터 식에 대입해 보죠.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 식 | -3 < 2 | -2 < 2 | -1 < 2 | 0 < 2 | 1 < 2 | 2 < 2 | 3 < 2 |
| 참/거짓 | 참 | 참 | 참 | 참 | 참 | 거짓 | 거짓 |
위 표에서 보면 1 ~ 5까지는 부등식이 참이고, 6보다 크면 거짓이니까 이 부등식의 해는 x = 1 또는 x = 2 또는 x = 3 또는 x = 4 또는 x = 5네요.
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이차방정식의 활용
이차방정식의 마지막인 이차방정식의 활용입니다.
이차방정식의 활용 문제 푸는 단계
- 문제를 읽고 구하고자 하는 것을 미지수 x로 놓는다.
문제에서 구하고자 하는 것을 정확히 찾아야 해요. 수를 구하는 문제에서 큰 수를 구하라고 했는지 작은 수를 구하라고 했는지 등에 주의하세요. - 미지수를 이용하여 방정식을 세운다.
- 방정식을 푼다.
인수분해, 근의 공식을 이용해서 해를 구합니다. - 문제의 조건에 맞는 답을 고른다.
이차방정식이니까 해가 2개가 나올 수 있어요. 이 중에서 문제에서 요구하는 것을 찾아야 해요. 예를 들어 길이나 무게, 개수 등은 음수가 아닌 양수여야겠죠. 사람 수를 묻는 문제라면 소수가 아닌 자연수가 되어야 하고요.
식 세우는 팁
문제의 유형에 따라 식을 세우는 방법이 몇 가지가 있어요.
연속하는 수
연속하는 두 자연수: x와 x + 1
연속하는 세 자연수: x - 1, x, x + 1
연속하는 세 홀수 또는 연속하는 세 짝수: x - 2, x, x + 2
연속하는 세 홀수가 있다. 가장 큰 수의 제곱이 다른 두 수의 제곱의 합보다 9가 적을 때 가장 작은 홀수는? (단 세 홀수는 모두 양수)
연속하는 세 홀수라고 했으니까 x - 2, x, x + 2라고 해볼까요?
가장 큰 수의 제곱이 다른 두 수의 제곱의 합보다 9가 적으니까 식으로 나타내면 (x + 2)2 = x2 + (x - 2)2 - 9가 되겠네요.
전개해서 정리해보죠.
(x + 2)2 = x2 + (x - 2)2 - 9
x2 + 4x + 4 = x2 + x2 - 4x + 4 - 9
x2 - 8x - 9 = 0
(x - 9)(x + 1) = 0
x = 9 or x = -1
세 홀수는 모두 양수라고 했으니까 x = -1은 안되죠. 남은 건 x = 9지만 문제에서 구하는 건 가장 작은 홀수이므로 x - 2, 즉 7입니다.
도형의 넓이, 부피 문제
사다리꼴 넓이: 1/2 × (윗변 + 아랫변) × 높이
원의 넓이: 
삼각뿔, 원뿔의 부피: 1/3 × 밑넓이 × 높이
땅에 길을 만드는 문제
직사각형 모양의 공원에 가로 세로로 산책로를 만드는 문제도 자주 나와요.
이때는 도형의 모양을 약간 변형해서 풀면 쉬워요. 각각 떨어져 있는 영역들을 하나로 합치면 새로운 직사각형의 모양이 돼요. 그러면 그냥 직사각형의 넓이를 구하는 방법으로 풀면 됩니다.
가로와 세로의 길이가 각각 20m, 15m인 잔디밭에 폭이 일정한 길을 내려고 한다. 길을 제외한 잔디밭의 넓이가 204m2이라고 할 때 길의 폭을 구하여라. (그림 생략.)
폭이 일정하다고 했으니 길의 폭을 x라고 하죠.
(전체 넓이) - (길의 넓이) = (잔디밭의 넓이)라는 식을 구할 수 있지요.
20 × 15 - (x × 20 + x × 15 - x2) = 204
하지만 그보다는 위 그림처럼 길을 제외한 부분을 하나로 합치면 (20 - x)(15 - x) = 204라는 식이 돼요. 두 식을 정리해보면 똑같아요. 하지만 아래식이 조금 더 간단해 보이죠?
(20 - x)(15 - x) = 204
300 - 35x + x2 = 204
x2 - 35x + 96 = 0
(x - 32)(x - 3) = 0
x = 32 or x = 3
일단 둘 다 양수니까 길이가 될 수 있겠죠. 하지만 잔디밭의 세로 길이는 15m여서 폭이 이 세로 길이보다 길 수는 없겠죠? 따라서 길의 폭이 될 수 있는 x는 3m입니다.
하늘로 쏘아 올린 공의 높이 문제
t초 후의 높이를 구하는 식이 주어지고, 정해진 높이일 때 시간을 구하는 문제가 나오죠. 시간이니까 기본적으로 양수여야 해요.
또 공을 위로 쏘아 올리므로 어느 지점을 지나면 다시 땅으로 떨어지겠죠? 따라서 공이 올라가면서 정해진 높이에 도달할 때와 떨어지면서 도달할 때 두 가지 경우가 있다는 걸 주의하세요. 이때 공의 속도가 나오기도 하는데, 속도는 높이에 전혀 영향을 미치지 않으니 그냥 무시하세요.
지면에서 초속 20m/s의 속력으로 하늘로 공을 쏘아 올릴 때 t초 후의 공의 높이는 (30t - 6t2)m이다. 하늘로 쏘아 올린 공은 몇 초 후에 지면에 도달하는지 구하시오.
먼저 초속 20m/s라는 공의 속도는 생각하지 마세요.
공이 지면에 도달할 때 공의 높이는 0m지요? 따라서 식은 30t - 6t2 = 0이에요. 이 이차방정식을 풀면 t = 0초 또는 t = 5초가 되는데 0초는 공을 쏘아 올릴 때의 시간이니까 빼고, 답은 5초 후네요.
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한 근이 주어졌을 때 이차방정식 구하기
이차방정식 구하기 두 번째입니다. 이전 글 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 구하기에서는 두 근이 주어졌을 때와 두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식을 구하는 법을 알아봤어요.
이번 글에서는 두 근이 아니라 한 근만 알려줬을 때, 이차방정식을 구하는 방법을 알아볼 거예요. 근을 하나만 알려줬다고 해서 근이 하나만 있는 건 아니에요. 중근이라서 하나만 가르쳐주는 경우도 있지만 근이 두 개인데 그 중 하나만 알려주는 경우도 있거든요. 두 경우를 잘 구분하고, 어떻게 근을 구하는 지 알아보죠.
중근을 알려주었을 때
중근이라는 건 같은 근이 두 개가 있다는 뜻이죠? 따라서 한 근을 α라고 한다면 다른 근 역시 α라고 할 수 있죠.
두 근이 α, β이고 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x - α)(x - β) = 0
위 식에 대입해보면 a(x - α)(x - α) = 0이라서 좌변을 정리하면 a(x - α)2 = 0라는 식이 돼요.
주어진 근이 중근이라면 기존에 사용했던 방법에 그대로 대입해서 구할 수 있다는 얘기에요. 공식의 모양이 아래처럼 바뀝니다.
중근이 α이고 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x - α)2 = 0
x = 3을 중근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식을 구하여라.
공식에 바로 대입하죠.
2(x - 3)2 = 0
2(x2 - 6x + 9) = 0
2x2 - 12x + 18 = 0
생각보다 어렵지 않죠?
계수가 유리수인 이차방정식
계수가 유리수인 이차방정식은 새로운 내용이 아니에요. 복잡한 이차방정식의 풀이에서 봤던 계수가 소수나 분수인 이차방정식을 말합니다. 물론 여기에는 계수가 정수인 이차방정식도 포함하는 거죠. 즉, 우리가 다루었던 모든 이차방정식을 그냥 이름만 거창하게 붙여놓은 거예요.
계수가 유리수인 이차방정식의 특징이 있어요. 계수가 유리수고 한 근이 무리수면 다른 한 근을 계산해보지 않아도 구할 수 있어요.
근의 공식을 한 번 생각해보세요.
ax2 + bx + c = 0 (a, b, c는 상수, a ≠ 0)
근은 유리수 부분과 무리수 부분으로 나눠져 있어요. 그런데 유리수 부분은 같고, 무리수 부분은 부호만 다르죠. 한 근은
그러니까 주어진 근이 무리수라면 다른 근은 무리수 부분의 부호만 반대인 것이죠. 한 근만 알려줬지만 실제는 두 근 모두를 알려준 거예요.
계수가 유리수고 한 근이 m + n
⇒ 다른 한 근은 m - n
(m, n은 유리수,
두 근을 구한 다음에는 합과 곱을 이용해서 이차방정식을 구합니다.
두 근의 합이 m이고, 곱이 n, 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x2 - mx + n) = 0
a(x2 - 합x + 곱) = 0
한 근이 2 -
일단 계수가 유리수이고, 근은 무리수에요. 다른 근은 무리수 부분의 부호만 반대라고 했죠? 한 근이 2 -
두 근의 합은 (2 -
두 근의 곱은 (2 -
따라서 문제에서 구하는 답은 아래와 같아요.
2(x2 - 4x - 1) = 0
2x2 - 8x - 2 = 0
주의 해야할 내용 - 근이 유리수라면
여기서 주의해야할 것이 하나 있는데요. 계수가 유리수이더라도 근이 유리수면 위 관계는 성립하지 않는다는 거예요.
예를 들어 한 근이 3이라고 하죠. 3은 3 +
절대 안됩니다. 중근이었다면 중근이라고 분명히 얘기를 해 줬을 거예요.
(x – 1)(x – 3) = 0의 경우처럼 한 근이 3일 때 다른 근이 1이 될 수도 있거든요. 이런 경우에는 이차방정식의 해의 정의에 따라 3을 식에 대입해서 다른 계수를 구하는 방법으로 풀어야 해요
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