중등수학
합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 구하기
이차방정식에서 근을 구하는 방법을 모두 배웠어요. 간단하게 정리해보자면 먼저 인수분해를 해서 구하고, 인수분해가 안되면 근의 공식을 사용하는 거죠.
이제는 거꾸로 생각해볼까요?
이차방정식을 주고 그 해를 구하는 게 아니라 해를 알려주고 이차방정식을 구하는 경우요.
이번 글에서는 이차방정식의 두 근을 알려주었을 때와 두 근 대신 두 근의 합과 곱을 알려주었을 때 이차방정식을 구하는 방법을 공부해보죠.
두 근이 주어졌을 때 이차방정식 구하기
방법은 인수분해를 이용해서 이차방정식의 해를 구하는 과정을 거꾸로 거스르는 거에요. 그러니까 해를 이용해서 인수분해가 된 식을 만들고 그 식을 전개하는 거죠. 인수분해의 반대는 전개니까요.
x2 - 3x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2) = 0
x = 1, x = 2
두 근을 α, β라고 하고 위 과정을 거꾸로 해보죠.
x = α, β
(x - α)(x - β) = 0
x2 - (α + β)x + αβ = 0
두 근이 2, 3이고 이차항의 계수가 1인 이차방정식을 구하여라.
거꾸로 주어진 두 근을 이용해서 인수분해가 된 식을 만들고 이 식을 전개해서 이차방정식을 구하는 거예요.
두 근이 2, 3이므로
(x - 2)(x - 3) = 0
x2 - 5x + 6 = 0
두 근이 4, 5이고 이차항의 계수가 3인 이차방정식을 구하여라.
위 문제와 다른 점은 이차항의 계수가 1이 아닌 3이라는 거예요.
(x - 4)(x - 5) = 0
x2 - 9x + 20 = 0
여기에 이차항의 계수가 3이라고 했으니 3x2 - 9x + 20 = 0이라고 쓰면 될까요? 절대 안돼요. 3x2 - 9x + 20 = 0에 x = 4를 넣으면 식이 성립하지 않아요. 그러니까 이 식은 4를 근으로 갖지 않는 거죠.
이차항의 계수가 1이 아닐 때는 인수분해로 만든 식에 이차항의 계수 곱해줍니다. 위에서 만든 식이 (x - 4)(x - 5) = 0였으니까 여기에 이차항의 계수 3을 곱하면 3(x - 4)(x - 5) = 0이 되는 거죠.
이 식을 전개하면 3x2 - 27x + 60 = 0가 되는데 이게 문제에서 구하는 이차방정식이에요.
두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 구하기
두 근이 아니라 합과 곱이 주어졌을 때입니다. 이 때는 근을 구할 필요가 없어요.
위에서 사용했던 공식 a(x - α)(x - β) = 0의 괄호 부분을 전개해보세요. 식이 어떻게 되나요?
a(x - α)(x - β) = 0
a{x2 - (α + β) x + αβ} = 0
이 전개식에 합과 곱을 집어넣으면 돼요.
두 근의 합이 2이고 곱이 -8인 이차방정식을 구하여라. (단 이차항의 계수는 2)
두 근의 합과, 곱, 이차항의 계수를 알려주었네요.
a(x2 - 합x + 곱) = 0
2(x2 - 2x - 8) = 0
2x2 - 4x - 16 = 0
근과 계수와의 관계
이차방정식의 두 근과 계수 사이에는 재미있는 관계가 있어요. 어떤 재미있는 관계냐고요? 두 근을 알고 있다면 이차방정식의 계수를 구할 수 있어요. 반대로 계수들을 알고 있다면 두 근을 구하지 않고도 두 근의 합과 두 근의 곱을 알 수 있고요.
근과 계수와의 관계는 공식으로 외워두면 좋아요. 어렵지 않은 공식이니까 금방 외울 수 있을 거예요.
이차방정식의 근과 계수 사이에는 어떤 관계가 있는 지 알아보죠.
근과 계수와의 관계
이차방정식 근의 공식을 또 써먹을 시간이 되었네요. 근의 공식 한 번 더 해볼까요?
이차방정식의 두 근을 α, β라고 해요. 알파, 베타라고 읽고요.
근의 공식에 나오는 것처럼 한 근을 
두 근의 합과 계수와의 관계
두 근 α, β를 더 해보죠.
두 근을 더했더니, 1차항의 계수를 2차항의 계수로 나눈 거에 (-)를 붙여준 것과 같죠?
두 근의 곱과 계수와의 관계
이번에는 두 근 를 곱해볼께요.
곱한 건 어떻죠? 상수항을 2차항의 계수로 나눈 것과 같아요.
종합해보면 아래같은 공식을 얻을 수 있어요.
이차방정식 x2 - 5x + 6 = 0의 두 근의 합과 곱을 구하여라.
두 근의 합과 곱 공식을 사용하기 전에 먼저 근을 구해볼까요?
(x - 2)(x - 3) = 0
x = 2, or x = 3
근이 2, 3이 네요. 두 근을 더하면 5, 곱하면 6이 됩니다.
자 이번에는 근과 계수와의 관계를 이용해서 답을 구해보죠.
두 근의 합 =
두 근의 곱 =
실제 근을 구해서 더하고 곱한 답과 근과 계수와의 관계를 이용해서 구한 답이 같죠? 그렇다면 굳이 두 근을 구할 필요가 없다는 거예요.
x2 + ax + b = 0의 두 근의 합이 6, 곱이 -12일 때 a + b의 값을 구하여라.
두 근의 합 
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복잡한 이차방정식의 풀이
이차방정식을 풀기 위해서는 이차방정식의 기본형인 ax2 + bx + c = 0꼴로 바꿔주는 것이 좋아요. 기본형으로 바꾼다음 인수분해가 되면 인수분해를 이용해서 해를 구하고 인수분해가 되지 않는다면 근의 공식으로 푸세요.
이번 글에서는 복잡한 이차방정식의 풀이에 대해서 알아볼 거예요. 복잡한 식이라는 거 많이 해봤잖아요. 복잡한 일차방정식의 풀이, 복잡한 연립방정식의 풀이, 복잡한 부등식, 복잡한 인수분해.. 모두 원리는 하나에요.
복잡한 건 복잡하지 않게 계산하기 쉽게 바꾸면 된다. 복잡한 이차방정식은 복잡하지 않게 바꾼 다음에 인수분해 or 근의 공식 입니다.
복잡한 이차방정식 푸는 법
괄호가 있을 때
괄호가 있으면 괄호를 전개한 다음 동류항끼리 계산을 해야해요. 괄호를 전개하지 않거나 동류항 계산을 다 끝내야 일반형으로 바꿀 수 있어요.
x(1 - x) = (x + 2)(x - 3)
괄호가 있으니까 전개해서 동류항 계산을 하세요. 물론 기본형으로 바꾸는 작업까지요.
x - x2 = x2 - x - 6
2x2 - 2x - 6 = 0
x2 - x - 3 = 0
일반형으로 바꿨더니 위처럼 됐어요. 근데 인수분해가 안되니까 근의 공식을 써야겠죠.
계수가 소수일 때
계수가 소수이면 계산이 복잡합니다. 그래서 계수를 정수로 바꿔줘야해요. 정수로 바꿀려면 10의 제곱인 수 즉, 10, 100, 1000을 식에 곱해줍니다. 계수를 정수로 바꾼 다음에 인수분해나 근의 공식을 이용하세요.
0.3x2 - x + 0.1 = 0
계수가 소수 첫째자리까지 있으니까 10을 곱해줘야 겠네요.
3x2 - 10x + 1 = 0
인수분해가 안되네요. 근의 공식을 써야하는데 x의 계수가 짝수니까 짝수 공식을 써볼까요?
계수가 분수일 때
계수가 분수일 때에도 역시 계수를 정수로 바꿔줘야 해요. 정수로 바꾸려면 각 계수의 분모의 최소공배수를 식에 곱해주면 돼요.
계수가 분수이고, 각 계수의 분모인 5, 2, 10의 최소공배수가 10이니까 식에 10을 곱해줄께요.
2x2 + 5x - 3 = 0
(x + 3)(2x - 1) = 0
x = -3 or x =
공통인 식이 있을 때
공통인 식이 있을 때는 다른 문자로 치환을 해요. 치환하는 거 인수분해할 때 연습 많이 해봤죠? 식에 공통으로 들어있는 부분이나 괄호로 묶여져 있는 부분을 치환합니다.
일단 식을 치환하는 경우에는 대부분 인수분해가 돼요. 인수분해가 되면 치환했던 걸 다시 원래 식으로 바꿔주고 그 다음에 해를 구할 수 있어요.
(x - 1)2 + 6(x - 1) - 27 = 0
x - 1이라는 부분이 있으니까 이 걸 A라는 문자로 치환해볼께요.
A2 + 6A - 27 = 0라는 식이 돼요. 이 식은 A에 관한 이차방정식입니다. 따라서 인수분해나 근의 공식으로 A 값을 구할 수 있겠죠. 인수분해가 되는 군요. A를 구해볼까요?
(A + 9)(A - 3) = 0
A = -9 or A = 3
A를 구했어요. 하지만 문제에서 구하는 건 A가 아니라 x 라는 걸 명심하세요. 원래 A = x - 1였으니까 x를 구해보죠.
| A = -9 x - 1 = -9 x = -8 |
A = 3 x - 1 = 3 x = 4 |
x - 1이라는 식을 A라는 문자로 치환한 후에 다시 원래 식으로 되돌아와서 x를 구할 수 있었어요.
괄호가 있으니까 괄호를 전개해서 계산해도 되지만 전개하지 않고 치환하는 게 훨씬 쉬워요.
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복잡한 식의 인수분해 - 항이 4개 이상일 때
이차방정식 근의 개수, 판별식 이용
이차방정식 근의 공식을 다 외우셨나요? 근의 공식을 외우지 못했다면 근의 공식, 근의 공식 유도를 보고 공식을 얼른 외우세요. 중 3수학에서 가장 중요한 내용입니다.
이차방정식이란, 이차방정식의 뜻에서 잠깐 얘기했는데, 일차방정식은 근이 하나, 이차방정식은 근을 두 개까지 가질 수 있어요. 두 개까지 가질 수 있다는 얘기는 하나일 수도있고, 두 개일 수도 있고, 하나도 없을 수도 있다는 뜻이에요.
그럼 어떤 경우에 근이 하나인지, 두 개인지, 하나도 없는 지 알아볼까요?
판별식이란?
이차방정식에서 판별식은 근의 공식에서 근호 안에 있는 부분을 말해요. 판별식은 영어로 Discriminant에서 앞글자 D를 따서 D로로 씁니다.
판별식은 이름 그대로 판별하는 겁니다. 뭘 판별하느냐? 여러가지를 판별할 수 있지만 가장 많이 하는 게 근의 개수를 판별하는 거예요.
이차방정식 근의 개수
이차방정식에서 근의 공식을 이용해볼까요?
이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a, b, c 는 상수 a ≠ 0)의 근은 
판별식 D = b2 - 4ac > 0이면 근은 
판별식 D = b2 - 4ac = 0이면 
판별식 D = b2 - 4ac < 0 이면 어떻게 될까요? 우리가 제곱근에서 배웠던 내용을 기억해보세요. 제곱해서 음수가 되는 수는 없죠? 제곱근 안의 수가 0보다 작은 경우는 없어요. 즉, 수가 없는 겁니다. 판별식 D가 0보다 작은 그런 수는 없어요. 따라서 해도 없는 거지요.
| 판별식 | 근의 개수 |
|---|---|
| b2 - 4ac > 0 | 서로 다른 두 근 |
| b2 - 4ac = 0 | 중근 |
| b2 - 4ac < 0 | 근이 없다 |
x2 + 3x - 4 + k = 0가 서로 다른 두 근을 가질 때, k 값의 범위를 구하여라.
서로 다른 두 근을 가지므로 판별식이 0보다 커야 해요.
D = b2 - 4ac > 0
32 - 4 × 1 × (-4 + k) > 0
9 + 16 - 4k > 0
4k < 25
아래는 이차방정식이 중근을 가질 조건에서 풀었던 문제인데요. 판별식을 이용하면 좀 더 쉽게 문제를 풀 수 있어요.
x2 + □x + 9= 0가 중근을 가질 때 □ 의 값은?
중근을 가지려면 판별식 D = 0이어야 하죠?
D = b2 - 4ac = 0
□2 - 4 × 1 × 9 = 0
□2 = 36
□ = ± 6
판별식을 이용하여 근의 개수를 구할 수도 있고, 근의 개수를 미리 알려주고 이차방정식의 계수를 묻는 문제도 풀 수 있어요. 근의 공식만 외워두면 판별식은 따로 외울 필요가 없겠죠? 근의 공식을 꼭 외우세요.
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완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이를 이용하면 이제 웬만한 이차방정식의 해는 구할 수 있어요. 그런데 그 과정이 너무 복잡하죠. 이차항의 계수로 나누고, 숫자를 더해주고, 인수분해하고 등등……
그래서 이 과정을 생략하고 바로 근만 구할 방법, 즉 공식이 있어요. 그래서 그 공식은 어떤 식인지 어떤 과정을 거쳐서 만들어지는지 배워볼까요?
이차방정식 근의 공식을 유도하는 과정은 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이 과정을 그대로 하면 됩니다. 숫자 대신에 문자를 사용한다는 차이뿐이에요.
완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이
완전제곱식을 이용해서 이차방정식을 푸는 과정은 아래와 같아요.
- 이차항의 계수로 양변을 나눈다
- 상수항을 우변으로 이항
을 양변에 더해준다.
- 좌변을 완전제곱식으로 인수분해: (x+p)2=k
- 제곱근을 이용하여 해를 구한다.
아래 예제를 통해서 한 번 더 확인하세요.
근의 공식 유도
위 복잡한 과정을 생략하고 바로 근만 구하는 공식이 있어요. 다음 표에서 왼쪽은 일반적인 식을 이용한 과정이고 오른쪽은 이차방정식의 일반형을 이용한 과정이에요. 숫자가 문자로 바뀐 것만 다르고 방법과 과정은 모두 같아요. 연습장에 여러 번 써보면서 연습을 해야 합니다.
이제 공식이 어떻게 만들어지는 지 이해하셨죠? 이제 공식을 외워야합니다.
ax2 + bx + c = 0 (a, b, c는 상수 a ≠ 0)의 근
근의 공식은 모든 이차방정식의에 사용할 수 있어요. 인수분해가 되던 안 되던 상관없습니다. 앞으로도 계속 사용하는 가장 중요한 공식 중 하나이니까 꼭 외우세요.
근의 공식 - 짝수 공식
근의 공식 중에 짝수 공식이라는 게 있어요. 짝수 공식은 x 일차항의 계수가 짝수(2b')일 때 사용하는 공식이에요. 위에서 봤던 공식으로 풀지 못하는 건 아니지만, 이 짝수 공식을 이용하면 계산이 조금 더 간단해지죠. 외우면 좋지만, 공식이 두 개라서 헷갈린다면 굳이 외우지 않아도 되는 공식이에요.
ax2 + 2b'x + c = 0 (a, b', c는 상수 a ≠ 0)의 근
혹시 시간나면 이차방정식을 푸는 새로운 방법에 대해서도 읽어보세요. 이 글의 유도보다 조금 더 쉬워요.
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이차방정식을 풀 때 제일 쉬운 방법은 인수분해를 이용하는 방법이에요. 그런데 인수분해가 되지 않을 때도 풀 수 있는 방법도 있어야겠죠?
바로 완전제곱식을 이용한 방법인데요. 원래 완전제곱식으로 인수분해가 되면 이차방정식이 중근을 가질 조건처럼 중근을 가집니다. 그런데 인수분해가 되지 않는 식을 완전제곱식으로 바꿔서 x를 구하면 완전제곱식 꼴이긴 하지만 중근을 갖지는 않아요. 잘 구별하세요.
여기서는 이차방정식의 풀이 - 제곱근을 이용의 방법을 사용하기 위해서 문제에서 주어진 식을 완전제곱식 형태로 바꾸는 과정을 공부할 겁니다.
완전제곱식 만들기
완전제곱식은 말 그대로 식 전체가 제곱이 되어 있는 경우를 말해요. (x + 5)2같은 거 말이죠. 곱셈공식에서 공부했던 (x + a)2, (x - a)2이 바로 완전제곱식이에요.
x2 + 4x + 1 = 0
위 식은 인수분해가 되지 않아요. 그리고 제곱근을 이용할 수도 없네요. 그래서 제곱근을 이용할 수 있도록 식의 모양을 완전제곱식으로 바꿔줄 겁니다.
1단계는 상수항을 우변으로 이항하는 거예요. 이차방정식의 풀이 - 제곱근을 이용에서도 상수항은 우변으로 이항했었죠?
x2 + 4x = -1
좌변을 완전제곱식으로 바꿀 거예요. 완전제곱식은 어떤 특징이 있다고 했죠? 일차항의 계수와 상수항 사이에는 아래같은 관계가 있어요.
x2 + 4x = -1에 일차항의 계수를 이용해서 상수항을 만들어 주는 거예요. 상수항은 
좌변을 완전제곱식으로 인수분해 할 수 있어요.
(x + 2)2 = 3
이제는 제곱근의 정의를 이용할 수 있죠?
이차방정식의 해는 특별한 조건이 없으면 실수 범위에서 구하는 거니까 위의 값이 해가 돼요.
x2 - 2x - 6 = 0
2x2 -8x + 3 = 0
이번에는 x2의 계수가 1이 아닌 2네요. 위에서 했던 건 x2의 계수가 1이었으니까 우리가 해봤던 형태로 바꿔보죠. 어떻게요? 양변을 x2의 계수인 2로 나눠주는 거죠.
이 되겠네요. 나머지는 위와 모두 같아요.
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이차방정식을 푸는 방법은 여러 가지가 있어요. 앞에서는 인수분해를 이용해서 이차방정식을 풀었는데, 이번에는 다른 방법 이용해서 풀어보죠.
바로 제곱근을 이용하는 방법인데요.제곱근이 뭐죠?
위처럼 되어 있을 때 x를 a의 제곱근이라고 하죠.
제곱근을 구하는 것처럼 이차방정식에서도 좌변을 제곱, 우변을 상수항으로 모양을 바꿔서 미지수의 값을 구할 수 있어요.
a(x + p)2 = k (a, k는 상수, k ≠ 0)
x2 - 4 = 0
상수인 4를 우변으로 이항해보세요. x2 = 4가 돼요. 제곱근을 구할 때 많이 봤던 형태네요. x가 얼마인가요? x = ±2입니다.
제곱근의 성질을 이용해서 이차방정식을 풀었어요. 어렵지 않죠?
(x + 3)2 - 16 = 0
마찬가지로 상수인 16를 우변으로 이항해보세요. (x + 3)2 = 16가 됐어요.
제곱근의 성질을 이용하면 x + 3 = ± 4가 돼요. 식이 두 개가 나오네요. x + 3 = 4, x + 3 = -4라는 식에서 각각 x의 값을 구할 수 있어요.
| x + 3 = 4 x = 1 |
x + 3 = -4 x = -7 |
3(2 x + 5)2 - 75 = 0
이번에는 제곱된 식 앞에 3이 곱해져 있군요. 상수인 75를 이항한 후 양변을 3으로 나눠주면 돼요.
3(2x + 5)2 = 75
(2x + 5)2 = 25
2x + 5 = ±5
| 2x + 5 = 5 2x = 0 x = 0 |
2x + 5 = -5 2x = -10 x = -5 |
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이차방정식이 중근을 가질 조건
이차방정식의 해가 하나일 때, 이 해를 중근이라고 해요. 사실 해는 두 개인데, 이 두개가 중복되기 때문에 중근이라고 하는 겁니다.
해가 하나만 있다고 해서 중근이라고 하면 안되요. 예를 들어 x = 2, x = -5라는 해가 나왔는데, 문제에서 x > 0 이라는 조건이 주어져서 x = 2라는 해만 답이 될 때는 중근이라고 하지 않아요. x는 중복되는 게 아니니까요.
이차방정식이 중근을 가지는 지 확인하는 방법은 두 가지가 있는데, 이 글에서는 먼저 한가지만 알아볼꺼에요. 다른 한 가지는 판별식을 이용하는데 나중에 보도록 하죠.
이차방정식이 중근을 가질 조건
이차방정식이 중근을 가지려면 AB = 0 에서 살펴봤듯이 A2 = 0이라는 완전제곱식 형태가 되어야 해요. 이렇게 됐을 때 다항식 A = 0 이 되어서 똑같은 근이 두 개 생기잖아요.
이차방정식의 해가 중근 = 완전제곱식
전개의 반대과정이 인수분해니까 인수분해해서 완전제곱식이 되는 건 거꾸로 완전제곱식을 전개해서 이차방정식과 비교해도 되겠죠?
이차항의 계수가 1일 때
완전제곱식 (x + a)2을 전개해보면 x2 + 2ax + a2가 돼요.
여기서 x의 일차항의 계수와 상수항을 비교해 볼께요. 어떤 관계가 있나요?
x2 + □x + 9 = 0가 중근을 가질 때 □의 값은?
일차항의 계수인 □의 절반의 제곱이 상수항인 9와 같아야하니까 아래처럼 풀 수 있어요.
따라서 □는 6 또는 -6이 되네요.
일차항의 계수는 ± 값 2개가 있다는 점 주의하세요.
x2 - 10x + △ = 0가 중근을 가질 때 △의 값은?
일차항과 상수항의 관계를 이용해서 중근을 가질 때 계수들을 구할 수 있겠죠.
이차항의 계수가 1이 아닐 때
위 경우에는 이차방정식에서 이차항의 계수가 1일 때에 사용하는 방법이고요. 만약에 이차항의 계수가 1이 아니라면 양변을 이차항의 계수로 나눈 다음에(이차항의 계수를 1로 만든 다음) 같은 방법으로 하면 되겠지요.
아니면 아래 방법으로 구해도 되고요.
3x2 + □x + 75 = 0가 중근을 가질 때 □의 값은?
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중3 수학 목차
중학교 3학년 수학 목차입니다.
각 목차의 순서에 맞게 따라서 공부하시면 진도 걱정없이 학습할 수 있어요. 혹시 빠진 내용이 있거나 추가하고 싶은 내용이 있으면 언제든 댓글 남겨주세요.
- 실수와 식의 계산
- 인수분해
- 이차방정식
- 이차함수
- 통계
- 삼각비
- 원의 성질
인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이
이차방정식의 풀이법 중 가장 쉬운 방법은 인수분해를 이용한 방법이에요. 이전 단원에서 인수분해 연습을 많이 해봤으니 이번에 공부할 내용은 그리 어렵지 않을 거예요.
AB = 0
어떤 두 수 a, b를 곱했더니 0이 되었어요. 이게 의미하는 게 뭘까요? 두 수 중의 하나는 반드시 0이라는 뜻이에요. 물론 두 수 모두가 0일 수도 있어요.
마찬가지로 두 다항식을 곱했더니 0이 되었다는 건 두 식 중 하나는 0이라는 거죠. 두 식 모두가 0일 수도 있고요.
AB = 0 은 A = 0 이거나 B = 0이라는 얘기입니다.
AB = 0 <=> A = 0 or B = 0
이 성질(?)을 이용해서 이차방정식을 풀 수 있어요.
이차방정식 ax2+ bx + c = 0의 좌변을 인수분해해서 다항식의 곱으로 표시하면 AB = 0 의 꼴로 바뀌겠죠. 여기에서 다항식 A = 0일 때의 x 값, B = 0일 때의 x값이 이차방정식의 해가 되는 거예요.
x2 - 5x + 6 = 0의 해를 구하여라.
이차방정식의 좌변인 x2 – 5x + 6을 인수분해하면 (x – 2)(x – 3) = 0이죠. 두 다항식을 곱했더니 0이 되었단 말은 x – 2 = 0이거나 x – 3 = 0이라는 뜻이에요. 즉, x = 2이거나 x = 3 이라는 거죠. 그래서 위 이차방정식의 해는 x = 2 또는 x = 3입니다.
2x2 + 8x + 8 = 0의 해를 구하여라.
좌변을 인수분해하면
2x2+ 8x + 8 = 0
2(x2 + 4x + 4) = 0
2(x + 2)2 = 0
2(x + 2)2 = 0은 2 × (x + 2) × (x + 2) = 0이죠. 제일 앞에 있는 2는 0이 될 수 없어요. 그래서 상수 부분은 그냥 넘어갑니다. x + 2 = 0 이거나 x + 2 = 0인데, 어차피 둘이 똑같으니까 한 번만 써주면 돼요. 그래서 위 문제에서 이차방정식의 해는 x = -2예요.
이처럼 이차방정식의 해 두 개가 같아서 결과적으로 해가 하나만 있을 때 이 해를 중근이라고 합니다. 이차방정식이 중근을 가지려면 완전제곱식 형태가 되어야하는 데 자세한 건 다음에서 알아보죠.
이차방정식이란, 이차방정식의 뜻
1학년 때 일차방정식의 뜻, 이항을 공부했죠? 2학년 때는 연립방정식을 공부했고요. 3학년 때는 새로운 방정식을 공부할 거예요. 기본적으로 방정식이니까 1, 2학년 때 공부했던 방정식의 특징을 그대로 다 가지고 있어요.
새로 공부할 방정식은 이차방정식이에요. 방정식이 뭔지는 다 알죠? 식에 미지수가 있어서 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식을 말해요. 앞에 이차라는 말이 붙어있으니까 최고차항의 차수가 2인 방정식이 바로 이차방정식이에요.
x에 관한 일차방정식은 x가 한 번만 곱해져 있었죠. 이차방정식은 x가 두 번 곱해져서 x2으로 표현할 수 있는 식입니다.
ax2 + bx + c = 0 (a, b, c는 상수, a ≠ 0)
이차방정식을 위 형태로 나타내는데, 이런 형태를 일반형이라고 불러요. 만약에 a = 0이라면 최고차항의 차수가 1이라서 이차방정식이라고 할 수 없겠죠. 그래서 a ≠ 0인지 꼭 확인해야 해요.
b와 c는 0이어도 상관없어요. 최고차항인 x2항만 있으면 되니까요.
이차방정식인지는 모든 동류향을 정리해서 계산한 후의 모양으로 판단해요. 괄호가 있으면 괄호를 풀고 더할 건 더하고 뺄 건 빼야겠죠.
이차방정식의 해, 근
방정식의 해(또는 근)는 그 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 말해요. 일차방정식에서는 해가 몇 개였죠? 식 하나에 해가 한 개였어요. 이차방정식에서는 최대 2개까지 해를 가질 수 있어요. 최대 2개까지란 말은 하나일 수도 있고, 없을 수도 있고, 두 개일 수도 있다는 얘기예요. 해의 개수에 관한 건 나중에 더 공부하기로 하죠.
해를 두 개를 갖기때문에 각각의 해를 보통은 α, β로 써요. 알파, 베타라고 읽고요.
x= α가 이차방정식 ax2 + bx + c = 0의 해라면 x = α를 대입했을 때 식이 참이돼요.
x = α가 이차방정식 ax2 + bx + c = 0의 해 <=> a × α2 + b × α + c = 0
이차방정식의 해는 문제에서 특별한 조건이 없다면 실수 전체의 범위에서 구합니다. 무리수도 해가 될 수 있어요.
방정식과 일차방정식을 이미 공부했으니까 이차방정식이라는 용어에 대해서는 그리 어렵지 않게 이해할 수 있을 거예요.
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연립방정식의 활용
이제까지 연립방정식과 그 풀이법(가감법, 대입법)에 대해서 알아봤어요. 이번 글에서는 이런 방법들을 응용해서 실제로 어떻게 문제를 푸는 지 설명할게요.
연립방정식의 활용에서 제일 중요한 것은 식을 세우는 과정이에요. 문제에서 요구하는 값을 구할 수 있는 식을 제대로 세우는 연습을 많이 해야 해요.
일차방정식의 활용 1, 일차방정식의 활용 2에서 했던 내용과 큰 차이는 없어요. 식이 연립방정식이라는 것 빼고는요. 즉, 연립방정식 방정식 2개를 만들어야 해요. 그때의 기억을 되살려보세요.
연립방정식의 활용 문제 푸는 단계
- 구하려고 하는 것을 x, y로
연립방정식을 활용하는 문제에서 첫 번째 해야 할 일은 문제에서 구하는 것이 무엇인지를 파악하는 거예요. 대부분은 문제 마지막에 "…?을 구하여라."라고 나오니까 금방 찾을 수 있어요. 문제에서 구하라고 하는 것을 미지수, x, y로 놓습니다. - 연립방정식 세우기
문제에서 준 정보와 미지수를 잘 조합해서 식을 세워야 해요. 연립방정식 문제니까 식은 당연히 2개가 나오겠죠. - 연립방정식 풀기
만들어진 연립방정식을 가감법과 대입법을 이용해서 풉니다. - 결과 확인
푼 결과가 실제로 맞는지 확인하세요.
시간, 거리, 속력에 관한 문제
거리, 시간, 속력에 관한 문제는 수학에서는 빼놓지 않고 나오는 문제에요. 일차방정식은 물론 이차방정식, 부등식, 함수에서까지 모든 영역에서 나오는 문제입니다. 수학뿐 아니라 과학시간에도 배우는 내용이죠.
그래서 거리, 속력, 시간 구하는 공식을 꼭 외워야 해요.
왼쪽에 있는 그림을 기억하세요. 가로로 그어져 있는 선을 분수에서 사용하는 그 가로선이라고 생각하면 되겠죠.
이 유형에서 주의해야 할 건 단위에요. 단위가 시간인지 분인지 km인지 m 인지 꼭 확인해야 해요.
선영이는 집에서 학교까지 3km를 가는 동안 처음에는 시속 3km의 속력으로 걷다가 중간에 시속 5km의 속력으로 뛰어서 총 40분이 걸렸다. 선영이가 학교까지 뛰어간 거리를 구하여라.
집에서 학교까지의 거리가 3km니까 걸어간 거리를 x, 뛰어간 거리를 y라고 하면 x + y = 3이에요.
이번에는 시간을 한 번 계산해보죠. 그런데 속력은 단위가 시속이므로 시단위이고 걸린 시간은 40분으로 분단위예요. 두 시간의 단위를 맞추려면 40분을 
걸어간 시간 = 
연립방정식이 만들어졌어요.
①식에서 y = 3 - x
②식에 대입하면
5x + 3(3 - x) = 10
5x - 3x + 9 = 10
2x = 1
x = 0.5
y = 2.5
따라서 선영이가 학교까지 뛰어간 거리는 2.5km네요.
농도에 관한 문제
농도에 관한 문제 역시 빠지지 않고 나오는 문제입니다. 어쩔 수 없지만, 공식을 외워야 하고요.
농도에 관한 문제에서도 g과 kg의 단위에 주의하세요.
두 소금물 A, B를 하나로 섞었을 때
- (A + B)의 소금의 양 = A 소금의 양 + B 소금의 양
- (A + B) 소금물의 양 = A 소금물의 양 + B 소금물의 양
- (A + B) 의 농도 = (A + B)의 소금의 양 / (A + B) 소금물의 양 * 100
어떤 경우에도 농도는 +/-로 구할 수 없어요. 두 소금물을 더했다고 해서 각각의 농도를 더해서 구하면 안된다는 얘기예요. 위 농도 공식에 있는 방법으로만 농도를 구해야 해요.
소금물 A을 가열했을 때
- 가열한 후의 소금양 = 가열 전의 소금양
- 가열한 후의 소금물의 양 = 가열 전 소금물의 양 - 증발한 물의 양
소금물 A에 물만 넣었을 때
- 물을 넣은 후의 소금양 = 물을 넣기 전의 소금양
- 물을 넣은 후의 소금물의 양 = 물을 넣기 전의 소금물의 양 + 넣은 물의 양
8% 소금물에 5% 소금물을 섞어서 6% 소금물 600g을 만들려고 한다. 8% 소금물과 5% 소금물의 양을 구하여라.
두 소금물을 섞어서 600g의 소금물을 만든다고 했으니까, 8% 소금물의 양을 x, 5% 소금물의 양을 y라고 하면 x + y = 600이라는 식을 하나 만들 수 있어요.
8% 소금물과 5% 소금물에 들어있는 소금의 양을 합치면 6% 소금물 600g에 들어있는 소금의 양과 같아요. 이걸 식으로 써보죠.
(8% 소금물에 들어있는 소금의 양) + (5% 소금물에 들어있는 소금의 양) = (6% 소금물에 들어있는 소금의 양)
연립방정식이 만들어졌네요.
①식에서 y = 600 - x
②식에 대입하면
8x + 5(600 - x) = 3600
3x = 600
x = 200
y = 400
8% 소금물은 200g, 5% 소금물은 400g이네요.
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해가 특수한 연립방정식
지금까지 배운 연립방정식은 일차식이라서 기본적으로 해는 (x, y)의 한 쌍만 존재해요. 그런데 그렇지 않은 경우가 있어요. 아주 특이하게 해가 무수히 많은 경우도 있고 해가 하나도 없는 경우가 있거든요.
어떤 경우에 해가 무수히 많고, 어떤 경우에 해가 하나도 없는지 알아볼까요?
해가 무수히 많은 경우
해가 무수히 많다는 건 일차방정식 두 개를 공통으로 만족하게 하는 해가 많다는 뜻이죠. 즉 두 방정식을 참이 되게 하는 (x, y) 순서쌍이 무수히 많다는 얘기에요.
위 연립방정식을 가감법으로 풀어볼까요?
위의 식을 ①식이라고 하면 ①식에 2를 곱해서 x의 계수의 절댓값을 똑같게 만들어 주면 어떻게 되나요? 4x + 2y = 16이 돼서 ②식과 같은 식이 되어 버려요.
① x 2 - ②을 해보면 좌변은 0, 우변도 0이 되서 0x + 0y = 0이라는 식이 만들어져버리죠. x, y의 값을 구할 수가 없어요.
이렇게 생각해보세요. 정수, 자연수 등의 특별한 조건이 없는 한 미지수가 2개인 일차방정식의 해의 개수는 무수히 많아요. ①식에 2를 곱했더니 ②식과 같아졌어요. 결국, 같은 식이라는 얘기죠. 두 식이 같으니까 해도 당연히 같겠죠. 그래서 공통으로 만족하게 하는 해도 무수히 많은 거죠.
해가 무수히 많은지 알아보려면 직접 계산해서 0 = 0 꼴이 나오는 경우를 찾아도 되지만 계수를 비교해서 알아내는 간단한 방법이 있어요.
①식과 ②식에서 x의 계수끼리, y의 계수끼리, 상수항끼리의 비를 구해서 비교해보는 거예요. 위 예제에서 x 계수의 비는 
연립방정식의 해가 무수히 많으려면 두 식의 x, y의 계수비와 상수항의 비가 모두 같아야 해요.
주의. 계수를 비교할 때는 계수의 부호까지도 포함해야 해요.
계수비는 
해가 하나도 없는 경우
이와는 반대로 해가 하나도 없을 때도 있어요.
가감법으로 풀기 위해서 ①식에 2를 곱해서 ②식을 빼보죠.
0x + 0y = 2
위처럼 나오는 군요. 좌변은 0인데, 우변은 2에요. 말이 안 되죠. 0과 2가 같을 수는 없잖아요.
①식에 2를 곱했더니 어떻게 바뀌었나요? 2x - 2y = 18이 되었죠? ②식과 비교해보면 좌변은 같아요. 그런데 우변이 다르죠. x, y에 똑같은 값을 넣었는데 결과가 다르게 나온다는 거예요. 결국 무슨 말이냐면 두 식을 동시에 만족하는 해가 없다는 거죠.
해가 없을 때도 두 식의 계수비를 비교해서 알아낼 수 있어요. x와 y의 계수비는 같지만 상수항의 비는 다를 때 해가 하나도 없답니다.
기타
혹시 x 계수와 상수항의 비는 같은데 y 계수의 비가 다를 때는 어떻게 될지 궁금하지 않나요? 아래 예제 문제를 풀어보시면 궁금증을 해결할 수 있을 거예요.
제대로 풀었다면 이전에 우리가 봤던 것처럼 x, y의 한 쌍의 해가 나올 거예요. 특히 계수비가 다른 y = 0이고요.
y 계수의 비와 상수항의 비는 같고 x 계수의 비만 다를 때도 해를 한 개 구할 수 있어요.
복잡한 연립방정식의 풀이
연립방정식을 푸는 기본 방법인 가감법과 대입법에 대해서 연습을 많이 해야 해요.
오늘은 복잡한 연립방정식을 푸는 방법에 대해서 설명할 거예요. 복잡한 연립방정식을 푸는 방법의 핵심은 복잡한 걸 복잡하지 않게 바꾸는 거예요.
실제 연립방정식을 푸는 건 가감법과 대입법을 이용해서 풀어요. 새로운 방법으로 푸는 게 아니니 쫄지(?) 마세요. 우리가 할 건 가감법과 대입법으로 풀 수 있게 모양을 바꾸는 것뿐이랍니다. 게다가 복잡한 일차방정식의 풀이에서 이미 해봤던 내용이고요.
오늘 공부할 내용은 나중에 다룰 부등식에서도 똑같이 적용되는 거니까 잘 익혀두세요. 부등식뿐 아니라 거의 대부분의 식에서 써먹을 수 있어요.
괄호가 있는 연립방정식의 풀이
괄호가 있는 식은 괄호를 풀어서 정리해야 합니다. 괄호는 분배법칙을 이용해서 풀고, 동류항끼리 계산해서 간단히 하는 거예요.
위 문제에는 ①식과 ②식에 각각 괄호가 있잖아요. ①식의 괄호를 풀어서 동류항끼리 계산해보죠.
3x - 2x + 2y = 2
x + 2y = 2
②식도 마찬가지로 괄호를 풀어서 정리해 볼게요.
6x - 6y - 3x = -5
3x - 6y = -5
결국 문제를 아래의 연립방정식 문제로 바꿀 수 있어요.
위처럼 생긴 연립방정식은 가감법이나 대입법으로 풀 수 있겠죠?
계수가 분수인 연립방정식의 풀이
미지수의 계수가 분수일 때는 분모의 최소공배수를 모든 항에 곱해서 계수를 정수로 바꿔야 해요. 계수가 분수인 것보다 정수인 것이 계산하기가 훨씬 쉽겠죠.
위의 식을 ①식이라고 하면 ①식에서 x 계수의 분모인 2와 y계수의 분모인 3의 최소공배수 6을 ①식에 곱해줍니다. ①식의 모든 항에 6을 곱하면 식은 3x - 2y = 18로 바뀌게 돼요.
②식에서 x의 계수의 분모는 4, y 계수의 분모는 3이니까 둘의 최소공배수 12를 ②식에 곱해주면 3x - 4y = 12가 되겠군요.
주의할 점은 x, y 뿐 아니라 우변에 있는 상수항에도 같은 수를 곱해줘야 하는 거예요.
문제를 오른쪽에 있는 모양으로 바꾸면 이제 풀 수 있겠죠?
계수가 소수인 연립방정식의 풀이
이번에는 계수가 소수인 경우랍니다. 계수가 소수일 때는 식에 10의 거듭제곱인 수(10, 100, 1000)를 곱해서 계수를 정수로 바꿔줍니다.
①식에 10을 곱해서 x + 2y = 6으로 바꿀 수 있겠네요.
②식에도 10을 곱하면 3x + 2y = 10이 되고요.
문제가 아래처럼 바뀌었습니다.
A = B = C 꼴인 연립방정식의 풀이
A = B = C 꼴인 연립방정식에서는 A = B, B = C, C = A라는 세 식을 만들 수 있어요. 이 중 2개만 골라서 연립방정식을 만들어 풀면 돼요.
A = B, B = C, C = A로 만들 수 있는 연립방정식은 위 세 가지 형태입니다. 이 중에서 아무거나 하나 골라서 풀어도 해는 모두 같아요.
2x + y = 4x + 5y + 2 = x - 3y - 7
문제에 나온 식을 A = B, B = C, C = A의 세 식으로 만들어 보죠.
위처럼 세 개짜리 연립방정식이 나오는데요. 이 중에서 아무거나 두 개를 고르면 돼요. ①, ②식을 골라서 동류항 정리를 해보면
위에 있는 연립방정식으로 모양을 바꿨으니 이제는 풀 수 있겠죠.
다시 얘기하지만, 연립방정식을 푸는 새로운 방법이 아니에요. 우리가 배웠던 가감법, 대입법을 쓸 수 있도록 그 모양을 바꾸는 과정이에요.
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연립방정식의 풀이법 - 대입법
연립방정식의 풀이 두 번째 방법인 대입법이에요.
먼저 가감법을 정리해볼까요. 연립방정식에서 각 문자의 계수 중 절댓값의 최소공배수가 작은 미지수의 절댓값이 같아지도록 각 식에 적당한 수를 곱해요. 그다음 계수의 부호가 같으면 두 식을 서로 빼고, 계수의 부호가 다르면 두 식을 더해서 미지수를 소거하는 방법이었어요.
가감법보다 대입법은 조금 더 쉬운 방법일 수 있어요.
대입이라는 단어가 무슨 뜻인지는 알고 있죠? 맞아요. 대신 넣은 거예요. 서로 바꾸는 거죠. "x = 2를 대입한다."라는 말은 "x 자리에 2를 넣고 x는 지운다."라는 뜻이죠. (대입, 식의 값)
연립방정식의 대입법도 마찬가지입니다.
대입법의 첫 번째 단계는 연립방정식에서 하나의 식을 고른 다음에 그 식을 한 문자에 대해서 정리하는 거예요. 한 문자에 대하여 정리하는 건 x = Oy + O처럼 좌변에 문자 하나, 우변에는 그 문자를 제외한 다른 문자와 상수항의 합 형태로 식을 바꾸는 거예요.
식을 한 문자에 대해서 정리한 후에 다른 식의 문자 자리에 대입하는 게 대입법이에요.
연립방정식의 풀이법 - 가감법 두 번째에서 봤던 예제인데요, 대입법으로 한 번 풀어볼까요?
다음 연립방정식의 해를 구하여라.
위의 식을 ①식, 아래 식을 ②식이라고 할게요.
①식을 y에 대해서 정리해보죠. 좌변에 y만 남기고 나머지는 전부 우변으로 이항해보세요.
y = 5x - 8로 바꿀 수 있네요. 이제 이 식을 ②식의 y자리에 대입합니다. 괄호를 쓰는 게 좋아요.
4x + 3 × (5x - 8) = 14라는 식이 됐네요. 이 식을 정리해서 x를 구해볼까요?
4x + 15x - 24 = 14
19x = 38
x = 2
x = 2라는 값을 얻었습니다. 이렇게 얻은 x = 2를 ①, ②식 중 아무 곳에나 넣어보죠. ①식에 넣어볼까요?
5 × 2 - y = 8
10 - y = 8
-y = -2
y = 2
y값도 구했네요. 연립방정식의 해는 x = 2, y = 2가 되는군요.
가감법으로 구했을 때와 대입법으로 구했을 때 모두 (2, 2)라는 해를 얻었어요.
두 방법 모두로 구해도 해는 같으니까 본인이 쉽다고 생각하는 방법으로 문제를 풀면 돼요.
가감법, 대입법 중 어떤 방법으로 풀지?
대개 미지수의 계수가 1이면 대입법이 편해요. 또는 계수로 식의 모든 항을 나눴을 때 정수가 되는 식도 대입법이 편리합니다. 가감법에서 계수를 맞추는 작업을 하지 않아도 되니까요.
연립방정식의 한 식이 x + y = 5라면 x = 5 - y라는 식으로 바꿔서 풀면 되겠죠.
또 연립방정식에 2x + 4y = 8이라는 식이 있다면 모든 항을 x의 계수인 2로 나눠서 x + 2y = 4로 바꾼 다음 x = 4 - 2y처럼 x에 대해서 정리할 수도 있지요.
2x + 3y = 7처럼 미지수의 계수로 모든 항을 나눴을 때 정수가 아닌 분수 형태가 되는 경우에는 가감법이 더 편리합니다.
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