연립방정식을 푸는 기본 방법인 가감법과 대입법에 대해서 연습을 많이 해야 해요.
오늘은 복잡한 연립방정식을 푸는 방법에 대해서 설명할 거예요. 복잡한 연립방정식을 푸는 방법의 핵심은 복잡한 걸 복잡하지 않게 바꾸는 거예요.
실제 연립방정식을 푸는 건 가감법과 대입법을 이용해서 풀어요. 새로운 방법으로 푸는 게 아니니 쫄지(?) 마세요. 우리가 할 건 가감법과 대입법으로 풀 수 있게 모양을 바꾸는 것뿐이랍니다. 게다가 복잡한 일차방정식의 풀이에서 이미 해봤던 내용이고요.
오늘 공부할 내용은 나중에 다룰 부등식에서도 똑같이 적용되는 거니까 잘 익혀두세요. 부등식뿐 아니라 거의 대부분의 식에서 써먹을 수 있어요.
괄호가 있는 연립방정식의 풀이
괄호가 있는 식은 괄호를 풀어서 정리해야 합니다. 괄호는 분배법칙을 이용해서 풀고, 동류항끼리 계산해서 간단히 하는 거예요.
위 문제에는 ①식과 ②식에 각각 괄호가 있잖아요. ①식의 괄호를 풀어서 동류항끼리 계산해보죠.
3x - 2x + 2y = 2
x + 2y = 2
②식도 마찬가지로 괄호를 풀어서 정리해 볼게요.
6x - 6y - 3x = -5
3x - 6y = -5
결국 문제를 아래의 연립방정식 문제로 바꿀 수 있어요.
위처럼 생긴 연립방정식은 가감법이나 대입법으로 풀 수 있겠죠?
계수가 분수인 연립방정식의 풀이
미지수의 계수가 분수일 때는 분모의 최소공배수를 모든 항에 곱해서 계수를 정수로 바꿔야 해요. 계수가 분수인 것보다 정수인 것이 계산하기가 훨씬 쉽겠죠.
위의 식을 ①식이라고 하면 ①식에서 x 계수의 분모인 2와 y계수의 분모인 3의 최소공배수 6을 ①식에 곱해줍니다. ①식의 모든 항에 6을 곱하면 식은 3x - 2y = 18로 바뀌게 돼요.
②식에서 x의 계수의 분모는 4, y 계수의 분모는 3이니까 둘의 최소공배수 12를 ②식에 곱해주면 3x - 4y = 12가 되겠군요.
주의할 점은 x, y 뿐 아니라 우변에 있는 상수항에도 같은 수를 곱해줘야 하는 거예요.
문제를 오른쪽에 있는 모양으로 바꾸면 이제 풀 수 있겠죠?
계수가 소수인 연립방정식의 풀이
이번에는 계수가 소수인 경우랍니다. 계수가 소수일 때는 식에 10의 거듭제곱인 수(10, 100, 1000)를 곱해서 계수를 정수로 바꿔줍니다.
①식에 10을 곱해서 x + 2y = 6으로 바꿀 수 있겠네요.
②식에도 10을 곱하면 3x + 2y = 10이 되고요.
문제가 아래처럼 바뀌었습니다.
A = B = C 꼴인 연립방정식의 풀이
A = B = C 꼴인 연립방정식에서는 A = B, B = C, C = A라는 세 식을 만들 수 있어요. 이 중 2개만 골라서 연립방정식을 만들어 풀면 돼요.
A = B, B = C, C = A로 만들 수 있는 연립방정식은 위 세 가지 형태입니다. 이 중에서 아무거나 하나 골라서 풀어도 해는 모두 같아요.
2x + y = 4x + 5y + 2 = x - 3y - 7
문제에 나온 식을 A = B, B = C, C = A의 세 식으로 만들어 보죠.
위처럼 세 개짜리 연립방정식이 나오는데요. 이 중에서 아무거나 두 개를 고르면 돼요. ①, ②식을 골라서 동류항 정리를 해보면
위에 있는 연립방정식으로 모양을 바꿨으니 이제는 풀 수 있겠죠.
다시 얘기하지만, 연립방정식을 푸는 새로운 방법이 아니에요. 우리가 배웠던 가감법, 대입법을 쓸 수 있도록 그 모양을 바꾸는 과정이에요.
함께 보면 좋은 글
연립방정식이란
연립방정식의 풀이법 - 가감법 1
연립방정식의 풀이법 - 가감법 두 번째
연립방정식의 풀이법 - 대입법
해가 특수한 연립방정식
연립방정식의 활용
ㅠ.ㅡ
저 위에 A=B=C꼴 방정식에서여
처음식 동류항 정리할때여
2x -4x + y -5y = 2 -->-2x -4y = 2 답이 이렇게 나와야 되는거 아니에여? ㅠ.ㅜ
동류항 정리에서 부등호= 있으면 옮겨야 될 상황이면 부호 바꾸면서 옮겨주는거 마쪄?-_-
등호(=) 반대쪽으로 옮기는 걸 이항이라고 하는데, 이항할 때 부호를 바꾸면서 옮겨요.
본문에 있는 식은 좌변의 미지수를 우변으로 이항한 거고, 댓글에 남겨준 식은 우변의 미지수를 좌변으로 이항한 거예요. 둘 다 맞는 거예요.
A=B=C 에서요 3개중에 고르는거잖아요,
어떤걸고르든 쉽게풀수있나요? 문제에따라 다른건가요?
문제에 따라 다르죠.
오타가 있는것 같은데 맞나요?
문제가 아래처럼 바뀌었습니다. 하고 0.1x + 0.2y = 0.6 아닌가요..?
우변이 0.6이네요. 고칠게요.
시간이 지나도 분수 계산나오면 머리아파요ㅋㅋ통분하는건 매번 까먹고..;;
통분하는 과정만 다를 뿐 나머지는 모든 계산이 똑같아요. 그러니까 "분수=통분"만 기억하세요.
감사해요 쉽게 설명햐주셔서 이해가 잘 가네요 ㅎㅎ
댓글 고맙습니다.
"복잡한 ~~"은 식의 종류만 달라질 뿐 방정식, 부등식, 함수 등에서 모두 똑같으니까 이번에 잘 공부해 두면 다음번에 편할 거예요.
수학시간에 수업들으면 무슨소리인지 이해가 안갓는데 이거보고 이해가 가네요
앞으로도 열심히 운영하시길
계산까지 함께 생각하니까 조금 어려워 보일 수 있는데요. 이 부분에서는 복잡한 걸 복잡하지 않게 바꾸는 과정에 집중하면 쉬워요.
[오타신고]
A=B=C 꼴인 연립방정식의 풀이 단원에서 3번째 문장에 [... 만들 수 있는 연립방정식을 위 세 가지 형태입니다.] 이부분에서 문맥상 [... 만들 수 있는 연립방정식은 위 세 가지 형태입니다.] 인것 같아요.
"을"을 "은"으로 바꿨어요.
ㅎㅎ
x-2y+1=3x+y=2x-y+2이런 문제는 어떻게 풀어야하나요?
답보단 풀이과정이 어떤지 도와주세요.
본문 내용 중 <A = B = C 꼴인 연립방정식의 풀이>를 참고해서 풀어보세요.
맨윗 예문 풀어주심 안될까요?
저는 왜 풀때마다 답이 다른지ㅜㅜ
x+2y=2
3x-6y=-5
x=2-2y를 대입하고
3（2-2y）-6y=-5
6-6y-6y=-5
-12y=-11
y=11/12
뭐가 틀린건가요..ㅜㅜ
맞게 풀었어요.
여기서는 풀어서 답을 구하는 것보다는 복잡한 걸 복잡하지 않게 변환하는 걸 중점적으로 공부하세요.
A=B=C꼴에서 2X+Y=4X+5Y+2에서 좌변항을 이항하면 2X+4Y=2아니고 -2가 되는 것은 상수항2는 우변으로 이항해야 합니까? 그럼 두번째는 상수항이 두개이면 둘중 하나만 이항하면 됩니까?
좌변에 미지수, 우변에 상수항 꼴로 나타내시면 돼요.
3개의 식 중 2개를 고르기만 하면 나머지는 그냥 연립방정식 푸는 것과 같아요.
감사합니다. 학원에선 계수가 분수일땐 예를들어4분의3a는 3알파 5분의2b는 2베타 이렇게 잡고 풀었었는데 분모를 없애주니 더 편하네요