지금까지 배운 연립방정식은 일차식이라서 기본적으로 해는 (x, y)의 한 쌍만 존재해요. 그런데 그렇지 않은 경우가 있어요. 아주 특이하게 해가 무수히 많은 경우도 있고 해가 하나도 없는 경우가 있거든요.
어떤 경우에 해가 무수히 많고, 어떤 경우에 해가 하나도 없는지 알아볼까요?
해가 무수히 많은 경우
해가 무수히 많다는 건 일차방정식 두 개를 공통으로 만족하게 하는 해가 많다는 뜻이죠. 즉 두 방정식을 참이 되게 하는 (x, y) 순서쌍이 무수히 많다는 얘기에요.
위 연립방정식을 가감법으로 풀어볼까요?
위의 식을 ①식이라고 하면 ①식에 2를 곱해서 x의 계수의 절댓값을 똑같게 만들어 주면 어떻게 되나요? 4x + 2y = 16이 돼서 ②식과 같은 식이 되어 버려요.
① x 2 - ②을 해보면 좌변은 0, 우변도 0이 되서 0x + 0y = 0이라는 식이 만들어져버리죠. x, y의 값을 구할 수가 없어요.
이렇게 생각해보세요. 정수, 자연수 등의 특별한 조건이 없는 한 미지수가 2개인 일차방정식의 해의 개수는 무수히 많아요. ①식에 2를 곱했더니 ②식과 같아졌어요. 결국, 같은 식이라는 얘기죠. 두 식이 같으니까 해도 당연히 같겠죠. 그래서 공통으로 만족하게 하는 해도 무수히 많은 거죠.
해가 무수히 많은지 알아보려면 직접 계산해서 0 = 0 꼴이 나오는 경우를 찾아도 되지만 계수를 비교해서 알아내는 간단한 방법이 있어요.
①식과 ②식에서 x의 계수끼리, y의 계수끼리, 상수항끼리의 비를 구해서 비교해보는 거예요. 위 예제에서 x 계수의 비는 , y 계수의 비는
, 상수항의 비는
으로 모두
로 같아요.
연립방정식의 해가 무수히 많으려면 두 식의 x, y의 계수비와 상수항의 비가 모두 같아야 해요.
주의. 계수를 비교할 때는 계수의 부호까지도 포함해야 해요.
계수비는 이 아니라
이 되는 거예요.
해가 하나도 없는 경우
이와는 반대로 해가 하나도 없을 때도 있어요.
가감법으로 풀기 위해서 ①식에 2를 곱해서 ②식을 빼보죠.
0x + 0y = 2
위처럼 나오는 군요. 좌변은 0인데, 우변은 2에요. 말이 안 되죠. 0과 2가 같을 수는 없잖아요.
①식에 2를 곱했더니 어떻게 바뀌었나요? 2x - 2y = 18이 되었죠? ②식과 비교해보면 좌변은 같아요. 그런데 우변이 다르죠. x, y에 똑같은 값을 넣었는데 결과가 다르게 나온다는 거예요. 결국 무슨 말이냐면 두 식을 동시에 만족하는 해가 없다는 거죠.
해가 없을 때도 두 식의 계수비를 비교해서 알아낼 수 있어요. x와 y의 계수비는 같지만 상수항의 비는 다를 때 해가 하나도 없답니다.
기타
혹시 x 계수와 상수항의 비는 같은데 y 계수의 비가 다를 때는 어떻게 될지 궁금하지 않나요? 아래 예제 문제를 풀어보시면 궁금증을 해결할 수 있을 거예요.
제대로 풀었다면 이전에 우리가 봤던 것처럼 x, y의 한 쌍의 해가 나올 거예요. 특히 계수비가 다른 y = 0이고요.
y 계수의 비와 상수항의 비는 같고 x 계수의 비만 다를 때도 해를 한 개 구할 수 있어요.
감사합니다 공부내용에 도움이 잘 되었습니다 고맙습니다^^
공부 열심히 하세요. ㅎㅎ
그럼 해가 1쌍인 조건이 무엇인지 혹시 알고 계십니까??
위 두가지가 아니면 되는데요.
a/a' 와 b/b'가 다르면 해가 하나에요.
c/c'는 상관없어요.
이런 홈페이지가 있었다니 그것도 모르고 있던게 후회됩니다.
감사합니다.
혹시 고등수학도 있나요?
아직 중등수학이 다 끝나지 않아서요.
중등수학이 다 끝나면 고등수학도 올릴 계획인데, 시간이 좀 걸릴 듯 하네요.
형님사랑합니더
ㅎㅎ
잘 보고 갑니다! 감사합니다~
ㅎㅎ, 댓글 고맙습니다.
와우 중2 선행하고 있는데 책만보다 이해안돼서 찾아보니 정말 좋은곳이 있네요 ㅎㅎ
깔끔한 정리 눈에 쏙쏙 들어와요 ㅠㅠ
책에 따라 좀 차이가 있을 거에요.
앞으로는 여기에 와서 선행하세요. ㅎㅎ
연립방정식의 활용
링크오류 입니다.
이런 곳을 이제 알았다니.......
조금 아쉽네요.
진작에 알았으면 좋았을껄....
이제라도 안 게 어디에요? ㅎㅎ
아직 시간이 많이 남아있으니까 열심히 준비하시면 좋은 성적을 받을 수 있어요.
해가 없는경우에서 -2곱하는 거 아닐까요?
1식 * 2 - 2식
1식 * (-2) + 2식
둘 중 아무거나 해도 상관없어요.
이글을봐도 이해가않가면 어쩌죠?
한 번 읽어서 이해가 안되면 두 번, 세 번 읽어보면 이해될 거예요.
그런데 이거 해가 무수히 많을떈 답을 뭐라고 써야하죠
"해가 무수히 많다." 하면 되죠.
연립방정식의 해가 무수히 많으려면 두 식의 x,y 계수비와 상수항의 비가 모두 같아야한다고 했는데
왜 계수비가 2분의1 같지않다 -2분의1 같지않다
6분의3이 되는건가요?
또 '연립방정식의 해가 무수히 많을조건에서
a,b,c 위에 따옴표는 무슨의미인가요??
헷갈리기 쉬운 걸 참고삼아 써놓은 거예요
따옴표가 아니고 슬래쉬예요.
a' b'
이게 슬래시라구요??
아니요. 제가 착각했네요. 프라임 기호입니다.
a는 아니지만 a랑 비슷한 다른 변수를 의미합니다. a'
굿
해가 하나도 없으면 그냥 '해가 없다'라고만 적어도 되나요?
네, 그렇게 적으면 돼요.
정말 많은 도움이 됬습니다!
댓글 고맙습니다.
제가 뇌절이 와서 그런데요..
연립일차방정식이 해가 2개 이상일수가 없나요?
해가 무수히 많은 경우가 해가 2개 이상인 경우죠.
해가 2개 이거나 3개 이런 건 없고요. 1개 이거나 무수히 많거나 없거나예요.
비밀댓글입니다
계수 잘못 봤을 때 추가해주실 수 있나요?