이제까지 연립방정식과 그 풀이법(가감법, 대입법)에 대해서 알아봤어요. 이번 글에서는 이런 방법들을 응용해서 실제로 어떻게 문제를 푸는 지 설명할게요.
연립방정식의 활용에서 제일 중요한 것은 식을 세우는 과정이에요. 문제에서 요구하는 값을 구할 수 있는 식을 제대로 세우는 연습을 많이 해야 해요.
일차방정식의 활용 1, 일차방정식의 활용 2에서 했던 내용과 큰 차이는 없어요. 식이 연립방정식이라는 것 빼고는요. 즉, 연립방정식 방정식 2개를 만들어야 해요. 그때의 기억을 되살려보세요.
연립방정식의 활용 문제 푸는 단계
- 구하려고 하는 것을 x, y로
연립방정식을 활용하는 문제에서 첫 번째 해야 할 일은 문제에서 구하는 것이 무엇인지를 파악하는 거예요. 대부분은 문제 마지막에 "…?을 구하여라."라고 나오니까 금방 찾을 수 있어요. 문제에서 구하라고 하는 것을 미지수, x, y로 놓습니다. - 연립방정식 세우기
문제에서 준 정보와 미지수를 잘 조합해서 식을 세워야 해요. 연립방정식 문제니까 식은 당연히 2개가 나오겠죠. - 연립방정식 풀기
만들어진 연립방정식을 가감법과 대입법을 이용해서 풉니다. - 결과 확인
푼 결과가 실제로 맞는지 확인하세요.
시간, 거리, 속력에 관한 문제
거리, 시간, 속력에 관한 문제는 수학에서는 빼놓지 않고 나오는 문제에요. 일차방정식은 물론 이차방정식, 부등식, 함수에서까지 모든 영역에서 나오는 문제입니다. 수학뿐 아니라 과학시간에도 배우는 내용이죠.
그래서 거리, 속력, 시간 구하는 공식을 꼭 외워야 해요.
왼쪽에 있는 그림을 기억하세요. 가로로 그어져 있는 선을 분수에서 사용하는 그 가로선이라고 생각하면 되겠죠.
이 유형에서 주의해야 할 건 단위에요. 단위가 시간인지 분인지 km인지 m 인지 꼭 확인해야 해요.
선영이는 집에서 학교까지 3km를 가는 동안 처음에는 시속 3km의 속력으로 걷다가 중간에 시속 5km의 속력으로 뛰어서 총 40분이 걸렸다. 선영이가 학교까지 뛰어간 거리를 구하여라.
집에서 학교까지의 거리가 3km니까 걸어간 거리를 x, 뛰어간 거리를 y라고 하면 x + y = 3이에요.
이번에는 시간을 한 번 계산해보죠. 그런데 속력은 단위가 시속이므로 시단위이고 걸린 시간은 40분으로 분단위예요. 두 시간의 단위를 맞추려면 40분을 
걸어간 시간 = 
연립방정식이 만들어졌어요.
①식에서 y = 3 - x
②식에 대입하면
5x + 3(3 - x) = 10
5x - 3x + 9 = 10
2x = 1
x = 0.5
y = 2.5
따라서 선영이가 학교까지 뛰어간 거리는 2.5km네요.
농도에 관한 문제
농도에 관한 문제 역시 빠지지 않고 나오는 문제입니다. 어쩔 수 없지만, 공식을 외워야 하고요.
농도에 관한 문제에서도 g과 kg의 단위에 주의하세요.
두 소금물 A, B를 하나로 섞었을 때
- (A + B)의 소금의 양 = A 소금의 양 + B 소금의 양
- (A + B) 소금물의 양 = A 소금물의 양 + B 소금물의 양
- (A + B) 의 농도 = (A + B)의 소금의 양 / (A + B) 소금물의 양 * 100
어떤 경우에도 농도는 +/-로 구할 수 없어요. 두 소금물을 더했다고 해서 각각의 농도를 더해서 구하면 안된다는 얘기예요. 위 농도 공식에 있는 방법으로만 농도를 구해야 해요.
소금물 A을 가열했을 때
- 가열한 후의 소금양 = 가열 전의 소금양
- 가열한 후의 소금물의 양 = 가열 전 소금물의 양 - 증발한 물의 양
소금물 A에 물만 넣었을 때
- 물을 넣은 후의 소금양 = 물을 넣기 전의 소금양
- 물을 넣은 후의 소금물의 양 = 물을 넣기 전의 소금물의 양 + 넣은 물의 양
8% 소금물에 5% 소금물을 섞어서 6% 소금물 600g을 만들려고 한다. 8% 소금물과 5% 소금물의 양을 구하여라.
두 소금물을 섞어서 600g의 소금물을 만든다고 했으니까, 8% 소금물의 양을 x, 5% 소금물의 양을 y라고 하면 x + y = 600이라는 식을 하나 만들 수 있어요.
8% 소금물과 5% 소금물에 들어있는 소금의 양을 합치면 6% 소금물 600g에 들어있는 소금의 양과 같아요. 이걸 식으로 써보죠.
(8% 소금물에 들어있는 소금의 양) + (5% 소금물에 들어있는 소금의 양) = (6% 소금물에 들어있는 소금의 양)
연립방정식이 만들어졌네요.
①식에서 y = 600 - x
②식에 대입하면
8x + 5(600 - x) = 3600
3x = 600
x = 200
y = 400
8% 소금물은 200g, 5% 소금물은 400g이네요.
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수학방님 질문이 하나 있습니다 제가만약 문제를 보고 아!이건 부등식의 활용이다 연방의 활용 이다를 어떻게 아나요?
부등식은 식의 특성상 "많다 크다" 등의 표현이 나오니까 방정식과 구분할 수 있어요.
다만 부등식과 연립부등식, 일차방정식과 연립방정식은 어쩔수 없이 문제를 많이 풀어서 감을 익혀야 해요.
그런데 계단 오르기 문제에서 '단 비기는 경우는 없다.'라고 한 이유가 뭐예요?
문제에 따라 다를 수 있겠지만 일반적으로 비기면 둘 다 계단을 이동하지 않으므로 판 수만 올라가고 결과에는 아무런 영향을 미치지 않으니까 빼는 거죠.
두시간의 단위라는게 뭔가요??
하나는 시단위, 하나는 분단위잖아요. 이 둘을 묶어서 두 시간 단위라고 표현한 거예요.
혹시 교재를 구입하면 연립방정식활용문제 몇문제 정도있나요?
블로그의 내용을 그대로 제본한 거라서 블로그에 없는 문제를 추가하지는 않았습니다.
감사해요~
이해가 잘 되네요
식 세우는 게 어려우니까 연습 많이 해보세요.
굿
비밀댓글입니다
일단 비례식은 (내항의 곱) = (외항의 곱)으로 식의 모양을 바꿀 수 있지요?
계수가 유리수면 정수로 바꾸고, 괄호가 있으면 전개해야 해요.
복잡한 연립방정식의 활용을 참고해서 풀어보세요.
http://mathbang.net/20
이거 문제 하나만 알려주세요!!!
수진이가 참가한 퀴즈 프로그램에서는 한 문제를 맞히면 100점을 얻고, 틀리면 50점을 잃는다고 한다. 수진이가 틀린 문제 수는 맞힌 문제 수의 3분의1이고, 수진이가 얻은 점수는 750점일떄, 수진이가 푼 문제 수는?
(아무리 생각해봐도 어떻게 두 식을 만들어야 할지 모르겠네여...ㅠ)
맞힌 문제 수를 x라고 하면 얻은 점수는 100x
틀린 문제 수를 y라고 하면 잃은 점수는 -50y
틀린 문제 수가 맞힌 문제 수의 1/3
-> y가 x의 1/3
-> y = x/3
-> 3y = x
총 얻은 점수가 750
-> 100x - 50y = 750
위 식을 연립해서 풀면 x, y를 구할 수 있고, 푼 문제는 x + y죠?
오~감사해요^^
크~~~~~~~~ 역시 수학방님 활용 부분이 외우는게 많았는데 정리가 잘되어서 텐션이 올라가네요^^
활용은 일차방정식, 일차함수, 연립방정식 등 에서 식의 모양만 바뀔 뿐 기본적으로 사용하는 펴턴이 비슷해요.
한 번만 잘해놓으면 어렵지 않게 해결할 수 있어요.
뿡뿡
기차 문제는 거리, 속력, 시간 공식을 이용해서 풀면돼요.
대신 이동 거리에 기차의 길이를 더해줘야 하는 점이 중요해요.
가령 길이가 50m인 기차가 500m 터널을 완전히 통과하는데 이동한 거리는 500 + 50 = 550이에요.
비밀댓글입니다
이거 보니 정말 이해가 되는것 같다가도 안되네요..허허,,
역시 수학바보라 그런지 보면 볼수록 이해가 안가지는;;;;;
생각을 하며 문제를 풀면 푸는족족 다 틀려버리는 클라스...
저 진짜 수학 때려쳐야 하나요....이제 곧 시험보는데
이런 저를 위해서 요약해서 설명해주실 수 있으시나요.....ㅠㅠㅠ
그런 생각을 갖고 있으니 잘 될리가 없죠. 모르는데, 어려운데 하는 생각으로 공부하면 절대로 실력이 늘질 않아요.
아주 흔한 얘기지만 '하면 된다, 할 수 있다'는 생각으로 덤벼야해요.
다시 한 번 천천히 정독을 해보시고 다 이해가 됐다는 생각이 들 때, 문제를 풀어보세요.
정말 많은 도움 됬습니다.
혼자 못풀던 문제의 답을 찾았어요!!
혹시 제 블로그에 URL 복사해서 게시해도 될까요?
본문 내용 복사하고 출처로 URL 표시하는 건 안돼요.
본문 내용없이 URL만 가져기시는 건 괜찮아요.
네이버 블로그로 퍼가실거라면 본문 제일 아래 네이버 아이콘을 클릭하시면 쉽게 담아가실 수 있어요.
수학 너무 어렵네요 ㅠㅠ
처음엔 어려워도 한 번, 두 번, 세 번 반복해서 보면 쉬워지는 때가 반드시 와요.
포기하지 말고 함께 공부해요.
저기요 혹시 일에 대한 연립방정식의 활용은 없나요????? 없으면 대표적인 일에대한 문제 좀 알려주세요;;;;
비밀댓글입니다
제가 지금 중2인데 모르는 문제도 알려주시나용?
와..진짜 감사합니다..
길이가 570m인 다리를 A열차가 지나가는데 50초가 걸리고, 이 열차보다 길이가 60m 짧은 B열차가 이 다리를 2배의 속력으로 23초만에 지나갔다. A 열차의 길이는?
이란 문제인데 통과문제는 넘 어려운거 같애요ㅠ 공식을 외워놔도 계속 까먹고ㅠㅠ
거리, 시간, 속력 공식은 그림으로 외우셔도 되고, 아니면 세 개 중 하나만 외워서 사용해도 됩니다.
이항하거나 등식의 성질을 이용해서 식을 변형할 수 있으니까요. 등식의 변형에 대한 설명인데 중간에 <한 문자에 대한 식> 바로 윗부분을 참고해보세요
https://mathbang.net/251
일단 통과 문제에서 이동한 길이는 (다리의 길이 + 기차의 길이)예요.
A의 열차 길이를 x, 속력을 y라고 놓고, 셋 중 하나의 공식에 기차가 이동한 거리와 시간을 대입해서 식을 세워보세요.
B기차의 길이는 (x - 60)m, 속력은 2y니까 같은 공식에 대입해서 식을 하나 세우고요.
형과 동생이 일하는 시간(?) 이런것도 알려주세요!!!