이차방정식에서 근을 구하는 방법을 모두 배웠어요. 간단하게 정리해보자면 먼저 인수분해를 해서 구하고, 인수분해가 안되면 근의 공식을 사용하는 거죠.
이제는 거꾸로 생각해볼까요?
이차방정식을 주고 그 해를 구하는 게 아니라 해를 알려주고 이차방정식을 구하는 경우요.
이번 글에서는 이차방정식의 두 근을 알려주었을 때와 두 근 대신 두 근의 합과 곱을 알려주었을 때 이차방정식을 구하는 방법을 공부해보죠.
두 근이 주어졌을 때 이차방정식 구하기
방법은 인수분해를 이용해서 이차방정식의 해를 구하는 과정을 거꾸로 거스르는 거에요. 그러니까 해를 이용해서 인수분해가 된 식을 만들고 그 식을 전개하는 거죠. 인수분해의 반대는 전개니까요.
x2 - 3x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2) = 0
x = 1, x = 2
두 근을 α, β라고 하고 위 과정을 거꾸로 해보죠.
x = α, β
(x - α)(x - β) = 0
x2 - (α + β)x + αβ = 0
두 근이 2, 3이고 이차항의 계수가 1인 이차방정식을 구하여라.
거꾸로 주어진 두 근을 이용해서 인수분해가 된 식을 만들고 이 식을 전개해서 이차방정식을 구하는 거예요.
두 근이 2, 3이므로
(x - 2)(x - 3) = 0
x2 - 5x + 6 = 0
두 근이 4, 5이고 이차항의 계수가 3인 이차방정식을 구하여라.
위 문제와 다른 점은 이차항의 계수가 1이 아닌 3이라는 거예요.
(x - 4)(x - 5) = 0
x2 - 9x + 20 = 0
여기에 이차항의 계수가 3이라고 했으니 3x2 - 9x + 20 = 0이라고 쓰면 될까요? 절대 안돼요. 3x2 - 9x + 20 = 0에 x = 4를 넣으면 식이 성립하지 않아요. 그러니까 이 식은 4를 근으로 갖지 않는 거죠.
이차항의 계수가 1이 아닐 때는 인수분해로 만든 식에 이차항의 계수 곱해줍니다. 위에서 만든 식이 (x - 4)(x - 5) = 0였으니까 여기에 이차항의 계수 3을 곱하면 3(x - 4)(x - 5) = 0이 되는 거죠.
이 식을 전개하면 3x2 - 27x + 60 = 0가 되는데 이게 문제에서 구하는 이차방정식이에요.
두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 구하기
두 근이 아니라 합과 곱이 주어졌을 때입니다. 이 때는 근을 구할 필요가 없어요.
위에서 사용했던 공식 a(x - α)(x - β) = 0의 괄호 부분을 전개해보세요. 식이 어떻게 되나요?
a(x - α)(x - β) = 0
a{x2 - (α + β) x + αβ} = 0
이 전개식에 합과 곱을 집어넣으면 돼요.
두 근의 합이 2이고 곱이 -8인 이차방정식을 구하여라. (단 이차항의 계수는 2)
두 근의 합과, 곱, 이차항의 계수를 알려주었네요.
a(x2 - 합x + 곱) = 0
2(x2 - 2x - 8) = 0
2x2 - 4x - 16 = 0