평행사변형에 이어 사각형 두 번째입니다. 바로 직사각형이에요. 직사각형이 어떤 건지는 모두 알고 있을 거예요. 직각으로 이루어진 사각형이죠.
이 글에서는 직사각형의 성질과 어떤 조건을 만족해야 직사각형이 되는지 알아볼 거예요.
직사각형의 성질과 조건은 평행사변형의 성질과 조건의 연장선에 있어요. 둘의 내용이 많이 다르지 않으니까 이해하기도 쉽지만, 헷갈리지 않게 잘 보세요.
직사각형의 정의
직사각형은 네 개의 내각의 크기가 모두 같은 사각형으로 정의합니다. 다각형 내각의 크기의 합에서 사각형 내각의 크기의 합은 360°이기 때문에 한 내각의 크기는 360° ÷ 4 = 90°가 되겠죠.
네 내각의 크기가 90°로 모두 같으니까 마주보는 두 쌍의 대각의 크기가 서로 같아요. 따라서 직사각형은 평행사변형의 한 종류라고 할 수 있어요.
직사각형을 한 내각의 크기가 90°인 평행사변형이라고 정의하기도 합니다. 한 내각의 크기가 90°이면 평행사변형의 성질 중 대각의 크기가 서로 같다는 성질에 의해서 마주 보는 각의 크기도 90°가 돼요. 나머지 두 각의 크기의 합이 180°가 되어야 하는데, 이 두 각의 크기도 같으니까 각각 90°가 되어서 결국 네 각의 크기가 모두 90°로 같아지는 거죠.
직사각형의 성질
직사각형은 평행사변형의 한 종류이기 때문에 평행사변형의 성질을 모두 갖고 있어요. 여기에 하나가 더 추가됩니다.
먼저 평행사변형의 성질을 정리해볼까요?
- 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
- 두 상의 대각의 크기가 각각 같다.
- 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.
위 세 가지 성질에 추가되는 게 두 "대각선의 길이가 같다."입니다.
대각선의 길이가 같다
직사각형에 대각선을 두 개 그었어요. △ABC와 △DCB를 보세요.
평행사변형의 성질에 의해 두 대변의 길이가 같으니까 =
에요. …… (1)
또 직사각형은 내각의 크기가 모두 90°니까 ∠ABC = ∠DCB = 90°죠. …… (2)
는 공통이고요. …… (3)
(1), (2), (3)에 의해서 두 삼각형은 SAS합동이에요. △ABC ≡ △DCB
대응변이라서 가 되는 거죠. (증명 끝.)
직사각형: 내각의 크기가 모두 같은 사각형 or 한 내각의 크기가 90°인 평행사변형
직사각형의 성질: (평행사변형의 성질) + 대각선의 길이가 같다.
평행사변형이 직사각형이 되는 조건
한 내각의 크기가 90° 또는 이웃하는 두 내각이 크기가 같다.
평행사변형의 한 내각의 크기가 90°면 직사각형이 될 수 있어요. 평행사변형은 두 대각의 크기가 같아요. 직사각형의 정의에서 설명한 것처럼 한 내각의 크기가 90°가 되면 마주 보는 각도 90°가 되고, 나머지 두 각도 90°가 되기 때문에 모든 내각의 크기가 90°가 돼요.
평행사변형의 이웃하는 두 내각의 크기가 같으면 직사각형이 될 수 있어요. 평행사변형의 성질에서 이웃하는 두 내각의 크기는 180°라는 걸 알고 있어요. 두 각의 크기가 같은데 더했더니 180°가 되려면 한 내각의 크기가 90°라는 말이 되죠? 한 내각의 크기가 90°면 직사각형이 되는 건 바로 윗줄에서 설명했어요.
대각선의 길이가 같다.
평행사변형이 되는 조건에서도 평행사변형의 성질을 거꾸로 해서 평행사변형이 되는 조건이 되는 걸 봤어요. 여기서도 마찬가지로 직사각형의 성질을 거꾸로 하면 직사각형이 되는 조건이 되는 거예요.
직사각형의 성질 중에 두 대각선의 길이가 같다는 성질이 있었어요. 이 성질을 거꾸로 해서 두 대각선의 길이가 같으면 직사각형이 되는 거죠.
△ABC와 △DCB를 보세요.
두 대각선의 길이가 같으니까 에요.…… (1)
평행사변형의 성질에 의해 두 대변의 길이가 같으니까 =
에요. …… (2)
는 공통이고요. …… (3)
(1), (2), (3)에 의해서 두 삼각형은 SSS합동이에요. △ABC ≡ △DCB
합동이니까 대응각의 크기가 같겠죠? ∠B = ∠C가 됩니다. 그런데 ∠B와 ∠C는 이웃하는 두 내각이에요. 이웃하는 두 내각의 크기의 합은 180°인데, 크기가 같으니까 ∠B = ∠C = 90°가 되죠. 대각의 크기도 서로 같으므로 평행사변형의 내각이 모두 90°가 되요.
따라서 평행사변형에서 두 대각선의 길이가 같으면 직사각형이 돼요. (증명 끝.)
평행사변형이 직사각형이 되는 조건
1. 한 내각의 크기가 90° 또는 이웃하는 두 내각이 크기가 같다.
2. 대각선의 길이가 같다.
아래 그림에서 평행사변형 ABCD가 직사각형이 되는 조건이 아닌 것을 고르시오.
(1) (2) ∠C = 90° (3)
(4) ∠B = ∠C (5)
평행사변형이 직사각형이 되는 조건들을 쭉 나열해보죠.
첫 번째는 한 내각의 크기가 90°일 때에요. (2)가 여기에 해당하네요.
두 번째는 이웃한 두 내각의 크기가 같을 때에요. (4)가 해당하고요.
세 번째는 두 대각선의 길이가 같아야 해요. (1)이 해당하네요.
남은 건 (3)번과 (5)번인데요. 평행사변형에서 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분해요. 따라서 라는 말은
라는 얘기죠. 즉
가 된다는 것과 같은 말이에요. (5) 번도 맞는 얘기입니다.
(3) 번은 그냥 평행사변형의 조건 중 하나일 뿐이에요. 따라서 조건이 아닌 것은 (3)번이네요.
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정리해볼까요 이전에 문제에 2번과 5번이라 하셨지만 3번과 5번이고 답은 3번인것 같습니다
설명은 다 맞게 했는데, 번호가 잘못 써져있네요.
여기두요 정리해 볼까요,,에
직사각형이 될 조건이
'...또는 이웃한 두 각의합이 180도'라고 써져있어요.
&위에 문제에서 (4)번도 그냥 평행사변형의 성질일뿐이니까
답이죠???
네, 같은 오류가 있었어요.
별것아닌 오타요
평행사변형의 성질 정리부분에
두 쌍의 대각의 크기가. . . 부분이
두 '상'의 대각의. . . .로 되어있습니다
"두 상의" ㅋㅋ
대각선의 길이가 같으면 직사각형이다
증명할때 왜 평행사변형의 성질을 이용안하고는 안되는건가요? 그럼 평행사변형이 직사각형이 될수있는 조건인기요?
이 글은 그냥 사각형이 아니라 평행사변형이 직사각형이 되는 조건이에요.
그래서 평행사변형의 성질을 그대로 이용하는 거예요.
직사각형의 성질 오타요
두 상의 대각의 크기가 각각 같다.
두 상 -> 두 쌍
많은 도움 받고 있습니다 :)
수학방덕분에 수학을 다시 보고있습니다. 고맙습니다.