연립방정식이 무엇인지는 이해가 되죠? 연립방정식이란에서 살펴본 것처럼 연립방정식은 방정식을 두 개 이상 묶어놓은 걸 말해요. 그리고 간단한 예제도 풀어봤어요.
그런데 방정식의 공통 해를 찾기 위해서 일일이 숫자를 다 넣어봐야 할까요? 만약 미지수 x, y가 정수나 자연수라는 조건이 없다면 어떻게 하죠? 분수나 소수까지 일일이 넣어볼 수는 없는 노릇이잖아요.
그래서 숫자를 대입하지 않고 두 방정식을 변형해서 해를 구하는 방법을 알려줄게요.
연립방정식의 풀이 - 가감법
연립방정식을 푸는 방법은 두 가지가 있는데, 첫 번째는 가감법, 두 번째는 대입법이에요. 이 글에서는 가감법을 공부해 봐요.
연립방정식을 풀 때 가장 중요한 건 미지수의 개수를 줄이는 것입니다. 미지수가 2개이면 1개로 줄이는 거예요. 가감법과 대입법은 모두 미지수의 개수를 줄이는 방법이에요.
가감이란 말은 더하고 빼는 거죠. 그래서 가감법은 두 식을 서로 더하거나 빼서 미지수를 구하는 방법이에요. 두 식을 더한다는 게 무슨 말인지 이해가 안 되죠. 예제를 통해서 설명할게요.
미지수의 계수가 절댓값이 같고 부호가 반대일 때 - 두 식을 더한다
다음 식을 만족시키는 자연수 x, y를 구하여라.
위에 있는 식을 ①, 아래에 있는 식을 ②이라고 할게요. ①과 ②을 통째로 더해보죠. 두 식을 더한다는 건 등호를 기준으로 ①의 좌변과 ②의 좌변을 더하고 ①의 우변과 ②의 우변을 더하는 거예요.
① 좌변 + ② 좌변 = ① 우변 + ② 우변
x + y + x - y = 5 + 3
두 식을 더했더니 위처럼 되네요. 이제 좌변과 우변을 동류항끼리 계산해 보세요.
2x = 8
어떻게 됐나요? y가 없어지고 미지수가 x 하나뿐인 일차방정식으로 바뀌었죠? 미지수가 하나인 일차방정식은 우리가 1학년 때 공부했으니까 해를 구할 수 있죠.
x = 4
x = 4라는 값이 구해졌어요. x값을 구했으니까 y값을 구할 차례네요. y값을 구할 때는 x = 4를 이용합니다. x = 4를 ① 이나 ② 아무 식에나 넣어보죠. ①에 넣어볼까요? ①의 x 자리에 4를 대입했더니 아래 식처럼 바뀌었네요.
4 + y = 5
마찬가지로 미지수가 y 하나뿐인 일차방정식이 되었어요. 일차방정식을 풀어보면 y = 1이라는 값을 구할 수 있어요.
미지수가 x, y 2개였는데 그 미지수 값을 다 알아냈죠. x = 4, y = 1이 문제의 답이네요. (4, 1)이라고 써도 좋고요. 연립방정식이란에서 구한 해와 똑같죠?
이 문제에서는 ①과 ②에서 미지수 y의 계수의 절댓값이 1로 같고 부호가 반대지요? 이처럼 2개의 미지수 중 하나의 미지수의 절댓값이 같고 부호가 반대일 때는 두 식을 더해서 미지수의 개수를 줄여야 해요.
미지수의 계수가 절댓값이 같고 부호가 같을 때 - 두 식을 뺀다.
다른 문제를 하나 더 풀어보죠.
다음 연립방정식의 해를 구하여라.
위에서 했던 것처럼 위에 있는 식을 ①, 아래에 있는 식을 ②이라고 이름 붙이고, 두 식의 좌변끼리 우변끼리 더해보세요.
x + 2y + x - 3y = 6 + 1
각 변을 정리해보면 2x - y = 7가 돼요. 이상하죠? 위에서는 두 식을 더하면 미지수가 2개에서 하나로 줄었는데, 이번에는 미지수 2개가 그대로 있잖아요.
이럴 때는 두 식을 더하는 게 아니라 두 식을 빼보세요. 좌변은 좌변끼리, 우변은 우변끼리요. 두 식을 뺄 때는 ②의 좌변과 우변에 괄호를 넣는 것에 주의하세요.
① 좌변 - (② 좌변) = ① 우변 - (② 우변)
(x + 2y) - (x - 3y) = 6 - 1
위 식을 괄호를 풀어서 정리해보면
x + 2y - x + 3y = 5
5y = 5
y = 1
x가 없어지고 y만 남기 때문에 y값을 구할 수 있어요. 이 y = 1이라는 값을 ①이나 ② 아무 식에나 대입해보세요. ①에 대입해볼게요. 2y = 2 × y이니까 아래처럼 쓸 수 있어요.
x + 2 × 1 = 6
x + 2 = 6
x = 4
이제 x의 값도 구해졌네요. 그래서 위 연립방정식의 해는 x = 4, y = 1 이고요. (4, 1)이라고 써도 됩니다.
이 문제에서는 ①과 ②에서 미지수 x의 계수의 절댓값이 1로 같고 부호가 같아요 이처럼 2개의 미지수 중 하나의 미지수의 절댓값이 같고 부호가 같을 때는 두 식을 빼서 미지수의 개수를 줄여야 해요.
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복잡한 연립방정식의 풀이
비밀댓글입니다
그냥 동류항 정리 한 거예요.
비밀댓글입니다
왕수박수박수박수박박수 합시다 여러분
제 이름 도용하지 마세요. ㅎㅎ
비밀댓글입니다
미지수가 2개인 일차방정식(http://mathbang.net/14)을 참고하세요.
감사합니다♥♥
고맙습니다.♥♥
우리의 몸을 미분하면 어떻게 되나요?
미분 안돼요.
이해가 너무 잘됐어요 감사합니다.
근데 이런 문제 어떻게 풀어요?? X+3Y=15?????????????????????
연립방정식은 그런 식 2개 이상이 있어야하는데, 1개만 있어서 풀 수 없어요.
다른 조건들 (예를 들어, x, y가 정수나 자연수 같은)이 있다면 가능하겠지만요.
감사합니당~~ 덕분에 이해가 쏙쏙 되네요^^ 현재 2학년 선행중입니당~~
앞으로 고1 선행까지 함께해요.
안녕하세요.
감사요...
고마워요.
글에서 '미지수의 계수가 절대값이 같고 부호가 같을때... 또는 다를때...'
뭔가 읽어보면 부자연스러워요 자연스럽기도하고 (~의 ~가 ~이)
위에 '미지수의 계수가 절대값이 같고 부호가 다를때...'라고 적혀있는데 밑에 예제는 부호가 달라요 ( x + 2y=6 x-3y=1 x와 2y, 3y사이)그리고 y의 계수의 절대값이 달라요 제가 개념을 이해못한건가요?
(미지수의 계수)의 (절댓값이 같고, 부호가 같을 때) 예요.
x + 2y = 6
x - 3y = 1
에서 두 식의 미지수 x의 계수가 둘 다 1로 절댓값이 1로 같고 부호도 (+)로 같다는 뜻이에요.
답글 써주셔서 감사해요^^
연립방정식을 푸는 이유가있나요?
계수가 2,3이여서 다르고 앞에 부호도 -,+ 인데 왜 같나요?아님 왜 같아서 빼나요?
아니다 zum에 나와있어서 그걸로 볼께요
이거 덕분에 시험에서 몇개 더 맞았어요 감사해요 ㅎㅎ
감사합니다
네, 댓글 고맙습니다.
그러면 a+b-2c=0,2a-3b+3c=0 이런건 어떻게 푸는 건가요 ㅜㅜ?
미지수는 3개인데, 식은 2개라서 다른 조건이 없다면 풀 수 없어요.
미지수도 3개, 식도 3개라면 아래 글에 나오는 방법으로 풀 수 있어요.
https://mathbang.tistory.com/352
혹시 학습지도 맀나요?
있
학습지는 없어요.
y = 뭐x + 뭐
{
x + 뭐y = 뭐
이런식은 어떻게하나요??
"Y가 앞에왔을때에는" 궁금한것
그런 식을 y에 대하여 푼 식이라고 하는데, 여기를 참고하세요.
https://mathbang.net/251
이런 경우에는 대입법을 이용해서 풀면 쉬워요.
http://mathbang.net/18
안녕하세요 선생님!!!♥️
연립해서 나온 값을 나눠지면 a나 b값 나온 걸로
같이 나눠서 마무리 하잖아영 만약에 마이너스로 나오면 마이너스도 같이 지워지나요? 아님 계속 살아있나요?!
a, b가 무슨 말인지 이해하지 못하겠네요. 질문을 좀 더 자세히 해주세요.
질문의 내용과 상관없이 기본적으로 마이너스는 지워지는 일이 없어요. 그냥 그대로 둬요.