일차함수 그래프를 이용해서 연립방정식을 푸는 방법입니다.

약간 어려울 수도 있는 내용이에요. 일차함수와 직선의 방정식, 연립방정식의 개념이 섞여서 나오는 부분이라서요. 세 가지가 왔다 갔다 하니까 복잡할 수 있어요. 너무 어렵게 생각하지 마시고, 단순하게 "일차함수 = 직선의 방정식 = 연립방정식의 각 방정식"이라는 정도로 생각하고 보세요.

연립방정식이란에서 봤던 것처럼 연립방정식은 미지수가 2개인 일차방정식 두 개가 있는 걸 말하죠. 그리고 두 방정식을 모두 만족하는 (x, y)의 순서쌍을 연립방정식의 해라고 해요.

직선의 방정식, 일차함수와 일차방정식에서 직선의 방정식은 미지수가 2개인 일차방정식이라고 했어요. 연립방정식에서의 방정식도 미지수가 2개인 일차방정식이죠?

그러니까 연립방정식은 직선의 방정식 2개가 묶인 것으로 생각해도 되겠죠?

일차함수의 그래프와 연립방정식

연립방정식의 그래프를 좌표평면 위에 그려볼까요?

연립방정식 의 그래프를 그리면 아래 그림처럼 돼요.

연립방정식의 해와 그래프

그래프는 직선의 방정식을 만족시키는 x, y의 순서쌍의 집합이죠. 그런데 그래프를 그렸더니 (4, 1)이라는 점에서 두 그래프가 만나요. 그래프가 만난다는 건 양쪽 모두 (4, 1)이라는 해를 가지고 있다는 뜻이네요.

실제로 연립방정식의 풀이법으로 연립방정식을 풀어보면 해가 x = 4, y = 1이 나와요.

그래프의 교점의 좌표가 연립방정식의 해와 같아요.

그래프의 교점 = 연립방정식의 해

연립방정식 의 해를 구하여라.

x + y = 2를 y에 관해서 풀면, y = -x + 2라는 일차함수가 돼요. 3x - y = -2는 y = 3x + 2가 되고요.

그래프를 그렸더니 아래처럼 됐어요.

연립방정식의 해와 그래프 - 예제

두 그래프의 교점이 연립방정식의 해니까 교점인 (0, 2)가 해가 되겠네요. 따라서 해는 x = 0, y = 2가 되는군요.

두 직선의 위치와 연립방정식의 해

직선의 교점이 바로 연립방정식의 해에요. 따라서 교점의 개수와 해의 개수는 같아요.

두 직선이 한 점에서 만날 때 - 교점이 하나일 때

위 예제에서는 두 그래프가 한 점에서만 만났어요. 그러니까 해도 한 개만 있죠?

일차함수 그래프의 평행과 일치에서 보면 일차함수의 그래프의 기울기가 같으면 그래프가 평행이거나 일치하죠? 기울기가 다르면 한 점에서 만나요.

일차함수에서는 기울기를 바로 구할 수 있는데, 직선의 방정식에서는 기울기를 구하려면 y에 관해서 풀어야 해요.

매번 그럴 수는 없잖아요. 그래서 간단하게 기울기가 같은지 알 수 있는 방법을 이용해요. 바로 계수의 비를 비교하는 거예요. x 계수의 비와 y 계수의 비가 다르면 두 직선의 기울기가 달라요.

기울기가 다르다 = 그래프의 교점이 한 개 = 연립방정식의 해는 하나 = 연립방정식의 x 계수의 비와 y 계수의 비가 다르다

두 직선이 평행일 때 - 교점이 없을 때

그래프가 평행일 때는 어떨까요? 연립방정식의 해는 그래프의 교점인데, 그래프가 평행이니까 교점이 없어요. 그 말은 해가 없다는 뜻이겠죠?

일차함수의 그래프가 평행이려면 어떤 조건이 있어야 하죠? 기울기는 같고, y절편은 달라야 해요.

해가 특수한 연립방정식에서 해가 하나도 없을 때는 x와 y 계수의 비는 같지만 상수항의 비는 다를 때라는 걸 이미 배웠잖아요.

이 두 개를 연결해 볼까요?

기울기가 같고 y 절편이 다르다. = 그래프가 평행 = 교점이 없다 = 해가 없다 = 연립방정식의 x, y 계수의 비는 같고 상수항의 비는 다르다

두 직선이 일치할 때

그래프가 일치하면 교점의 개수는 무수히 많아요. 교점의 교수가 무수히 많다는 건 해가 무수히 많다는 거고요.

그래프가 일치하려면 어때야 하죠? 기울기가 같고 y절편도 같아야 해요.

연립방정식의 해가 무수히 많으려면 두 식의 x, y 계수의 비와 상수항의 비가 모두 같아야 해요

마찬가지로 일차함수의 그래프가 평행일 조건과 연립방정식의 해가 무수히 많을 조건을 연결해볼까요?

기울기가 같고 y 절편도 같다 = 그래프가 일치 = 교점이 무수히 많다 = 해가 무수히 많다 = 연립방정식의 계수의 비와 상수항의 비가 같다.

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정리해볼까요

일차함수의 그래프와 연립방정식의 해

  • 일차함수 그래프의 교점 = 연립방정식의 해
  • 그래프의 교점 개수 = 연립방정식 해의 개수
  • 그래프가 한 점에서 만날 때
    • 교점이 하나 = 해가 하나
    • 두 일차함수의 기울기가 다르다
    • 연립방정식의 x 계수의 비 ≠ y 계수의 비
  • 그래프가 평행
    • 교점은 0개 = 해가 없다
    • 두 일차함수의 기울기가 같고, y절편이 다르다.
    • 연립방정식의 x 계수의 비 = y 계수의 비 ≠ 상수항의 비
  • 그래프가 일치
    • 교점은 무수히 많다 = 해가 무수히 많다.
    • 두 일차함수의 기울기가 같고 y절편이 같다.
    • 연립방정식의 x 계수의 비 = y 계수의 비 = 상수항 비
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