평행사변형이란?, 평행사변형의 성질에서 평행사변형이 어떤 특징을 가지고 있는지 알아봤어요. 대변과 대각, 대각선에 관한 내용이었지요.
이 글에서는 어떤 사각형이 평행사변형이 되는지 알아볼 거예요. 그리고 왜 그렇게 되는지 증명도 해볼거고요.
평행사변형이 되는 조건은 총 다섯 가지인데, 그중에 네 가지가 평행사변형이란?, 평행사변형의 성질에 나오는 내용이에요. 평행사변형의 성질과 조건이 깊은 관계가 있으니까 잘 비교해보세요.
새로운 내용은 하나밖에 없으니까 그것만 주의 깊게 보면 되겠네요.
평행사변형이 되는 조건
평행사변형이 되는 조건 중에 네 가지가 평행사변형이란?, 평행사변형의 성질에 나오는 거라고 했으니까, 평행사변형의 성질을 다시 정리해보죠.
- 평행사변형은 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형이라고 정의
- 평행사변형에서 두 쌍의 대변은 길이가 각각 같다.
- 평행사변형에서 두 쌍의 대각은 크기가 각각 같다.
- 평행사변형에서 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.
평행사변형이 되는 조건은 바로 위 성질을 거꾸로 하면 돼요. 위 성질의 역이 바로 조건이 되는 거죠.
변의 길이가 같거나 각의 크기가 같은 건 합동을 이용해서 증명했어요. 평행사변형이 되는 걸 증명하려면 네 변이 각각 평행하다는 것을 증명해야 하잖아요? 이때는 어떤 성질을 이용해야 할까요? 평행하다는 것을 증명하려면 평행선에서 동위각과 엇각에서 배웠던 것처럼 동위각과 엇각의 크기가 같다는 것을 보여주면 돼요.
두 쌍의 대변이 평행하다.
평행사변형이란?, 평행사변형의 성질에서 평행사변형은 두 쌍의 대변이 서로 평행한 사각형이라고 정의했어요. 이 정의에 따라서 두 쌍의 대변이 평행한 사각형은 평행사변형이 되는 거예요.
두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
□ABCD에서 점 A와 점 C에 선을 그어보세요. ∠BAC와 ∠DCA가 엇각의 위치에 있어요.
조건에서 두 쌍의 대변의 길이가 같다고 했으니까 =
,
=
에요. 거기에
는 공통이죠. 세 변의 길이가 같으니까 SSS합동으로 △ABC ≡ △CDA가 돼요.
대응각인 ∠BAC와 ∠DCA의 크기는 같은 거죠. 즉, 엇각인 ∠BAC와 ∠DCA가 크기가 같으므로 와
는 평행이에요.
∠BCA와 ∠DAC도 같은 방법으로 증명하면 와
가 평행인 걸 알 수 있어요.
따라서 □ABCD에서 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으면 두 쌍의 대변이 평행하니까 그 사각형은 평행사변형이 되는 거죠. (증명 끝.)
두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
두 쌍의 대각의 크기가 같다고 했으니까 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 2(∠A + ∠B) = 360°가 돼요. 즉 ∠A + ∠B = 180°죠. 다시 말해 이웃하는 두 각의 크기의 합은 180°라는 새로운(?) 성질을 알 수 있어요.
□ABCD에서 의 연장선을 긋고, 그 위에 임의의 점 E를 잡아요.
∠EAD와 ∠B는 동위각의 위치에 있어요. 그런데 이웃하는 두 각의 합에 따라 ∠BAD + ∠B = 180°이고, 평각인 ∠EAB = ∠BAD + ∠EAD = 180°에요. ∠BAD + ∠B = ∠BAD + ∠EAD에서 ∠EAD = ∠B임을 알 수 있죠.
∠EAD와 ∠B는 동위각의 위치에 있으면서 크기가 같으니까 와
는 서로 평행이에요.
의 연장선 위에 임의의 점 F를 잡아서 위와 같은 방법을 이용하면
와
도 평행인 걸 증명할 수 있어요.
따라서 □ABCD에서 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으면 두 쌍의 대변이 평행하니까 그 사각형은 평행사변형이 되는 거죠. (증명 끝.)
두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다.
두 대각선의 교점을 점 O라고 할게요. △OAB와 △OCD를 보세요. 대각선이 서로를 이등분한다고 했으니 =
,
=
에요.
맞꼭지각으로 ∠AOB = ∠COD죠. (맞꼭지각, 동위각, 엇각)
그러면 두 삼각형은 SAS 합동이에요. △OAB ≡ △OCD
대응변인 =
가 되죠.
△OAD와 △OCB에서도 같은 방법을 이용하면 =
임을 알 수 있어요.
두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 □ABCD는 평행사변형이 되는 거죠. (증명 끝.)
한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다.
이건 평행사변형의 성질과 직접적인 관련은 없는 거예요. 일단, 한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같다고 했으니 =
,
//
라고 해보죠.
□ABCD에서 점 A와 점 C에 선을 그어요.
△ABC와 △CDA에서 //
이고 엇각이므로 ∠ACB와 ∠CAD는 크기가 같아요.
=
이고
는 공통이므로 SAS 합동이죠. △ABC ≡ △CDA
대응변인 =
가 됩니다.
따라서 두 쌍의 대변의 길이가 같으므로 □ABCD는 평행사변형이 되는 거죠. (증명 끝.)
평행사변형이 되는 조건
두 쌍의 대변이 평행하다. - 평행사변형의 정의
두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
두 대각선이 서로를 이등분한다.
한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다.
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진짜 감사해요~ 시험 잘 볼 수 있을 것 같습니다~
네, 시험 잘 보세요.
근데 벌써 시험인가요?
글 잘 봤습니다~궁금한게 있는데요, 평행사변형의 조건 안에 성질이 포함되어있는건가요?
조건에 성질이 포함되는 건 아니고요.
조건과 성질이 서로 겹치는 거죠.
대응변과 대변 대응각과 대각의 차이가 뭐죠
대변, 대각은 한 도형 내에서 관계고, 대응변, 대응각은 서로 다른 두 도형(합동)에서 관계를 말하죠.
혹시 저 사진 쓸수있을까요?
제가 수학동영상 만드는데에 좀 필요해서 그런데
쓸수 있을까요?
아니요. 퍼가는 건 안돼요. 죄송합니다.
조건이랑 성질은 차이가 뭔가요?
성질은 평행사변형이 갖는 특성이고요.
조건은 어떤 사각형이 있는데, 그게 평행사변형인지 아닌지를 알아보는 거예요. 어떤 조건을 만족시키는 사각형은 평행사변형이고, 조건을 만족하지 않으면 평행사변형이 아닌 사각형이에요.
두쌍의 대각의 크기가 같다는 조건 말인데요
사각형의 네변을 다 연장시켜보면
대각은 엇각 위치에 놓인게 아닌가요?
앞서 도형의 기초에서 평행선에선 원래각과 엇각과 동위각의 크기가 같다고 설명해주셨는데
그걸 역으로 생각해서 증명하는건 잘못된방법일까요?
대각은 서로 마주보는 각이에요. 평행사변형에서 엇각과 크기는 같을 수 있지만 위치는 달라요.
성질을 모두 만족해야 하는지 하나만 만족해도 되는지 언급이 있었으면 좋겠어요~
하나만 만족해도 돼요.
각 조건마다 증명을 해서 평행사변형이 된다는 것을 보였으니까 따로 얘기하지 않았어요.
그럼 어떤도형이다와
어떤도형의 성질을 갖는다는 필요충분조건이네요?
"한쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다" 요것이 왜 평행사변형의 성질에 누락된건가요? 특별한 이유가 있나요??
저도 궁금합니당
왜 저는 대답 안 해주시는거죠?
저도요
그러게요..저도 씹힌건가요?
감사해요! 원리 이해보다는 암기를 강요하는 한국 교육의 현실속에서 원리를 이해할 수 있도록 도와주시네요‼️