이제부터 공부할 삼각형의 외심과 내심은 매우 중요해요. 삼각형의 내심과 외심은 도형 관련 문제에서 제일 많이 나오는 것 중의 하나입니다. 내용도 어려운 편이에요.
이제까지 했던 것에 비해서 선분이나 각이 많이 나오니까 알파벳 하나하나에 집중해서 보세요. 그림이 보기 어려우면 교과서나 참고서의 그림을 함께 보세요. 색이 잘 칠해져 있어서 보기가 더 편할 수도 있어요.
삼각형 외심의 증명
삼각형에서 각 변의 수직이등분선을 그으면 한 점에서 만나요. 이 점을 외심이라고 하는데 이 점이 아주 중요해요. 먼저 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만나는지부터 알아보죠.
△ABC에서 ,
의 수직이등분선을 그려요. 두 수직이등분선은 평행하지 않으니까 어느 한 점에서 만날 거예요. 그 점을 점 O라고 하죠.
의 중점을 점 D,
의 중점을 점 E라고 할게요. 그리고 점 O에서
에 수선을 내리고 수선의 발을 점 F라고 하지요. 또 점 O에서 세 꼭짓점 A, B, C로 선을 긋습니다.
세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만나는지를 확인하려면 매우 복잡하니까 잘 보세요. 일단 두 변 (,
)의 수직이등분선의 교점(O)에서 다른 한 변(
)에 수선을 내려요. 그리고 수선의 발(점 F)이 한 변 (
)의 중점인지 확인하는 방법으로 확인할 거예요.
의 수직이등분선과
의 수직이등분선의 교점을 점 O라고 하면
,
,
,
죠. 점 O에서
에 내린 수선의 발이 점 F니까
죠. 그렇다면
인지만 확인하면 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만난다는 걸 확인할 수 있다는 얘기예요.
△ODA와 △ODB는 (이등분), ∠ODA = ∠ODB = 90°(수직),
가 공통인 SAS합동이에요. 따라서 대응변인 (1)
=
가 돼요.
같은 방법으로 △BOC에서 (2) =
가 됩니다.
결국 (1), (2)에 의해서 =
=
가 되는 거예요.
∠OFA = ∠OFC = 90°, =
이고,
는 공통이므로 RHS 합동에 의해서 △OFA ≡ △OFC이죠. 대응변인
가 됩니다.
이고, ∠OFA = ∠OFC = 90°이므로
가
의 수직이등분선임을 알 수 있어요.
결국, 세 변의 수직이등분선은 한 점 O에서 만나게 된다는 걸 증명했어요.
세 개의 이등변삼각형과 세 쌍의 합동인 삼각형
먼저, 세 개의 이등변삼각형을 찾아보죠.
=
이니까 △OAB는 이등변삼각형이겠죠? 이등변삼각형의 성질에 의해서 밑각의 크기는 같으니까 ∠OAB = ∠OBA이고요. 마찬가지로 △OBC도 이등변삼각형이고, ∠OBC = ∠OCB입니다. △OCA도 이등변삼각형, ∠OCA = ∠OAC고요.
또, 수직이등분선을 이용해서 삼각형을 6개 만들 수 있어요. 위에서 확인했던 것처럼 SAS 합동인 삼각형이요. △ODA ≡ △ODB, △OEB ≡ △OEC, △OFC ≡ △OFA로 총 3쌍의 합동인 삼각형이 있어요.
삼각형의 외심의 성질 - 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.
위 증명 과정에서 중요한 게 하나 있어요. 점 O에서 삼각형의 세 꼭짓점 A, B, C에 이르는 거리가 같죠. =
=
점 O를 중심으로 하고 를 반지름으로 하는 원을 그리면 삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원을 그릴 수 있죠? 이 원은 삼각형의 바깥에 있는데, 꼭짓점과 만나요. 이렇게 만나는 걸 접한다고 해요.
이렇게 다각형의 꼭짓점을 모두 지나는(접하는) 원을 외접원이라고 해요. 그리고 그 외접원의 중심을 외심이라고 하고요. 외심은 Outer center에서 첫 글자를 따서 O라고 표시합니다.
삼각형의 외심
삼각형 세 변의 수직이등분선의 교점
외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다. =
=
외심은 세 변의 수직이등분선의 교점인데, 세 선이 한 점에서 만나니까 두 변의 수직이등분선만 그어서도 알 수 있어요.
함께 보면 좋은 글
삼각형 외심의 위치, 삼각형 외심의 활용
삼각형의 내심, 삼각형 내심의 성질
삼각형 내심의 활용
삼각형의 외심과 내심, 삼각형의 내심과 외심 비교
체계적으로 외심에 대해 설명한 글인 것 같습니다. 유익한 정보를 제공해 주셔서 진심으로 감사합니다.
외심은 진짜 중요한 성질이니까 설명을 열심히 했어요. ㅎㅎ
고맙습니다!!!><
네, 저도 댓글 남겨줘서 고마워요.
삼각형 외심 증명에서 삼각형 ABC는 이등변 삼각형인가요?
아니요. 그냥 삼각형이에요.
항상 잘 알고갑니다!
감사합니다!
자주 오시나 보네요. 댓글 고맙습니다.
외심은 반드시 삼각형의 내부에 있나요?
삼각형 외심의 위치(http://mathbang.net/126)참고하세요.
삼각형의 수직이등분선이 한점에서 만난다는 것을 증명할 때 왜 굳이 합동인 것 까지 증명해야 하나요?
일단은 두 변의 수직이등분선의 교점이 O라고 했잖아요.
그럼 선분의 수직이등분선의 성질을 이용해서 두 빗변의 길이가 같다, 이렇게 하는게 더 맞는거 아닌가요?
학교 선생님께서도 합동임을 먼저 증명해야한다고 하시긴 했는데요, 그 부분이 계속 이해가 안돼서요.
교과서에서는 또 수직이등분선이기 때문에 두 빗변이 같다고 설명이 되어 있거든요.(선생님께서 합동이라는 것을 증명하는 과정이 안 나와있는거라고 하세요)
빠른 답변 부탁드립니다~
빗변의 길이가 같다는 것으로는 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만난다는 걸 증명할 수 없어요.
멋지시다
멋지죠?ㅎㅎ
잘 보았습니다~
또 보러 오세요.~
수직이등분선이 한 점에서 만난다 증명을 하실때 b o f가 한직선위에있다는 보장이 되어있습니까?
한직선위에 있지 않아요. 변의 수직이등분선이 대각을 지나느냐는 외심과 아무 상관이 없어요.
와진짜 대박입니다. 현재 배우고있는 과정으로는 외심은 외접원의 중심이라는 거부터 정의하고 수직이등분한다는 그냥 성질로 배워서 정삼각형 외심 내심 무게중심 일치하는 성질 공부할때 계속 아니 외접원의 중심과 내접원의 중심이 어떻게 일치하는거지? 우연의 일치인가?라는 생각이 들어서 받아들이기 힘들었는데 이렇게 수직이등분 교점이라는 거부터 성질 증명하고 시작하니까 대박이네요. 수학방님 감사합니다~ 대박나세요
이미 이해하셨다고 했지만, 정삼각형의 내심과 외심은 http://mathbang.net/129 아랫 부분에 간단히 설명되어 있어요.
대박 날 수 있게 친구들한테 수학방 홍보 좀 많이 해주세요. ㅎㅎ
기초가 부족한 편입생입니다. 항상 도움 많이 받고 갑니다!
지금은 부족하겠지만 수학방에서 함께 공부하시면 머지않아 탄탄해질 거예요.
제가 블로그를 하는데
출처 쓰고 그림좀 붙여도 될까요?
한 두개 정도 가져가시는 건 괜찮은데, 그 보다 많이는 안돼요.
굿굿 좋습니다. 재미있네욬ㅋㅋ
거짓말.. 솔직히 재미는 없잖아요. ㅎㅎ
다른 재미있는(?) 것도 많으니까 자주 오세요.
진짜 너무 감사합니다ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ 헷갈려서 찾아보고 있었는데 이거 보고 이해 갔어요ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ
저두요 ㅠㅠ
선생님 제가 궁금한게 있는데요
외심에서 변의 수직이등분선이 3개가 한점에서 만난다고 하는데 두개가 평해하지 않으니 한점에서 만난다는걸 알고있지만 나머지 하나는 외심에서 수직으로 내려서 만난다고 정의가 되잖아요? 처음부터 바로 3개가 한점에서 만난다고 알순없나요?
내심에서외심까지길이공식좀
감사합니다아
항상 유익한 정리 감사합니당
감솸다
고맙습다
자세히 잘 알려주시네요!! 감사합니닷