평행사변형에 대해서 공부하고 있는데요. 이번에는 평행사변형의 넓이에 대해서 알아볼 거예요.
평행사변형도 사각형이니까 넓이를 구하는 건 알고 있을 거예요.
여기서는 평행사변형을 여러 개의 삼각형으로 나누고, 그 삼각형들의 넓이에는 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요. 또 그 삼각형들의 넓이와 평행사변형의 넓이 사이의 관계도 알아볼 거고요.
삼각형의 넓이를 비교할 때, 평행사변형의 성질을 이용하니까 앞의 내용에 대한 이해가 있어야 해요.
평행사변형과 넓이
대각선을 하나만 그었을 때
평행사변형 □ABCD에 대각선을 하나 그으면 아래 그림처럼 두 개의 삼각형으로 나뉘어요. 두 삼각형의 넓이를 알아보죠.
평행사변형의 성질에서 두 대변의 길이가 각각 같다고 했으니, 
두 삼각형 △ABC와 △CDA에서 밑변의 길이와 높이가 같으므로 두 삼각형의 넓이는 같아요. S1 = S2. 두 삼각형 넓이의 합이 전체 평행사변형의 넓이와 같고, 두 삼각형은 서로 넓이가 같으므로 삼각형 한 개의 넓이는 전체 사각형 넓이의 
대각선을 두 개 그었을 때
이번에는 □ABCD에 대각선을 두 개 그었어요. 네 개의 삼각형이 생겼네요. 두 대각선의 교점을 O라고 해보죠. 평행사변형의 성질에서 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다고 했어요. 따라서 
△OAB와 △OCD를 볼까요?
△OAD와 △OCB도 SAS 합동이므로 넓이가 같죠. S2 = S4
△OAB와 △OAD를 보세요. 두 삼각형은 밑변의 길이가 같고(
결국 S1 = S2 = S3= S4가 됩니다. 네 삼각형 넓이의 합은 전체 평행사변형의 넓이와 같고, 네 삼각형의 넓이가 서로 모두 같으니 삼각형 하나의 넓이는 전체 사각형 넓이의 
평행사변형 □ABCD의 넓이가 60cm2일 때 색칠한 △OAB의 넓이를 구하여라.
평행사변형에 대각선을 그어서 생기는 네 개의 삼각형은 모두 넓이가 같아요. 또 전체 평행사변형의 넓이의
△OAB =
△OAB = 15(cm2)
임의의 점에서 꼭짓점으로 선을 그었을 때
이번에는 평행사변형 □ABCD 내부에 대각선의 교점이 아닌 임의의 점 P를 잡아요. 점 P에서 네 꼭짓점에 선을 그으면 네 개의 삼각형이 생기죠. 이 네 삼각형의 넓이 관계에 대해서 알아볼까요?
두 직선 때문에 □ABCD에 총 네 개의 평행사변형이 만들어졌어요. 이 글 처음에 나온 것처럼 평행사변형을 구성하는 두 개의 삼각형은 넓이가 같잖아요. 작은 평행사변형에서 넓이가 같은 삼각형끼리 번호를 붙였어요.
그림에서 같은 색으로 칠해진 삼각형의 넓이를 구해보죠. 노란색으로 된 부분은 (△PAB의 넓이) + (△PCD의 넓이) = S1 + S3 = ① + ② + ③ + ④에요. 연두색으로 된 부분은 (△PAD의 넓이) + (△PBC의 넓이) = S2 + S4 = ① + ② + ③ + ④죠. 따라서 S1 + S3 = S2 + S4가 성립하죠.
평행사변형 내부에 임의의 점 P에서 네 꼭짓점으로 선을 그었을 때, 마주 보는 삼각형의 넓이의 합이 서로 같아요. 이 두 부분의 넓이가 같으므로 각 영역은 전체 사각형 넓이의 절반이 되죠.
여기는 S1, S2, S3, S4의 넓이가 같지 않아요. 이 점에 주의하세요.
평행사변형 □ABCD의 내부에 임의의 점 P를 잡고, 꼭짓점에 선을 그었더니 네 개의 사각형이 생겼다. 평행사변형 □ABCD의 넓이가 100cm2이고, △PAB의 넓이가 30cm2일 때, △PCD의 넓이를 구하여라.
위 그림에서 △PAB + △PCD =
30 + △PCD =
△PCD = 20(cm2)
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평행사변형이 되는 조건
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여러 가지 사각형 사이의 관계
잘보고가요<3
네, 또 보러 오세요.
감사합니다ㅠㅠ
댓글 남겨주신 거 저도 감사드려요.
감사합니다!!♥♥덕분에수학점수가많이올랐어요!!ㅎㅎ
정말감사합니다!!@@
백점 맞을 때까지 함께 해요. ㅎㅎ
이번 개념 정리는 깔끔해서 좋습니다.
이론적으로는 훌륭하지만, 저는 문제집을 몇 번 들추어보고 나서야
이해가 되더군요..
한 두번 읽어서는 이해가 되지 않죠. 반복해서 읽어봐야 해요. 그리고 문제를 풀어서 확실히 이해했는지를 확인하는 과정도 거쳐야하고요.
질문입니다! 대각선을 두 개 그었을 때 부분에서 S₁=S₄증명과정에 대한 질문인데요, 삼각형 OAB와 OAD의 밑변과 높이가 같다고 나와있는데 이거 OAB와 대응변을 맞춰서 OAD를 왼쪽으로 접어서 봤을 때 밑변과 높이가 같은거죠? 그리고 두 변의 길이가 같고 넓이가 같으면 합동조건 중 하나는 충족시키지 못하지만(가령 SAS합동이라면 위 그림에서 A는 알 수 없음으로) 합동이나 다름없는 거 아닌가요? 안 될 이유가 없지 않은가요?
삼각형 OAB에서는 점 A에서 OB에 내린 수선의 길이가 h죠. 삼각형 OAD에서는 점 A에서 OD의 연장선에 그은 수선의 길이가 h로 같아요. 평행사변형에서 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분하므로 밑변의 길이에서 OB = OD예요. 옆으로 돌리고 어떻게 해서 나오는 게 아니죠.
그리고 일반적인 평행사변형이라면 각 AOD와 각 AOB의 크기가 달라서 합동이라고 할 수 없어요. 합동이나 다름 없는 게 아니라 그냥 합동이 아니에요
먼저, 질문드린 의도는 밑변의 길이가 같은 건 알았으나 높이가 어떻게 같은지 의아해 혼자 생각하는 과정에서 나온 질문이었구요, 전 삼각형 OAD를 왼쪽으로 접으면 포개지는 모양일 줄 알고 그렇게 생각했는데 접어보니 포개지지가 않네요. 그러면 삼각형의 높이를 생각할 때 OAD설명은 점A의 수선을 선분OD의 연장선에 그으면 OAB와 높이가 같다고 했는데 이 과정을 따르면 두 삼각형의 높이가 같은건 알겠으나 보통 삼각형의 높이하면 삼각형 내에서 높이를 찾는거 아닌가요? 연장선을 그어서 점 A에서 수선을 내리면 삼각형 OAD 바깥쪽에 위치한 높이가 되는데 둔각일 경우 높이를 그렇게 찾는건지.. 정말 몰라 질문드리니 양해바랍니다..ㅜ
삼각형에서 높이와 밑변은 정해진 게 아니고 구하고 싶은 사람 마음대로 고르는 거예요.
둔각삼각형에서 가장 긴 변을 밑변으로 하고 정하면 나머지 한 점에서 밑변으로 수선을 그어서 그걸 높이라고 하면 되겠죠. 만약에 가장 긴 변이 아닌 변을 밑변으로 하고 싶으면 나머지 한 점에서 밑변의 연장선에 수선을 그어서 높이라고 하면 됩니다. 밑변과 높이를 다르게 선택하더라도 넓이는 같으니까 상관없어요. 여기서는 두 번째 방법을 사용했어요.
친절하고 상세한 설명 정말 감사드립니다! 그리고 항상 도움 많이 얻습니다. 감사합니다 (_ _)
언제라도 이해되지 않는 부분은 질문하세요.
대각선이 두개 였을때 왜 네 사각형의 넓이가 같은지 몰랐었는데 여기서 알게되네요~~~~~~~~
선을 그어보면 생각보다 간단히 해결되죠?
높이가 왜h인지 몰랐는데 고민해보니 이제 알겟어욬ㅋㅋ
감사해욬ㅋㅋ
높이는 그냥 삼각형의 높이에요. 어렵게 생각하지 말아요.
정말 감사해요 ♥♥
댓글 고마워요 ♥♥
정말 기초적인거 질문해서 죄송해요;;
△aod의 높이는 꼭 빗변에 수직으로 그은선만 높이가 되는게 아니군요;;
그럼,점o에서 선분ad에 수직으로 내린 선의 길이랑
점a에서 선분bd에 내린 선의 길이는 결국 같다는
거네요?
아니요. 같다고 할 수 없어요.
어는 선을 밑변으로 할 것인가에 따라 높이가 달라져요.
변 AD를 밑변으로 놓으면 점 O에서 내린 수선이 높이고,
변 OD를 밑변으로 하면 점 A에서 변 OD의 연장선(선분 BD)에 내린 수선이 높이예요.
밑변의 길이가 다르면 높이도 달라요. 넓이는 같아야 하니까요.
근데 아무 사각형에서나 성립하는 대각선 2개 그었을때 위에거*아래거=왼쪽거*오른쪽거 그거는 없나요?
만약 평행사변형에 대각선 두개 모두 꺾여있고 전체 넓이와 네 조각중 하나의 넓이만 알려주면 나머지 조각들의 넓이는 어떻게 구하죠?
위 평행사변형의 넓이에 대한 내용 이등분, 사등분, 임의의 점이 직사각형에서도 성립하는지 궁금합니다. 직사각형도 평행사변형이니 당연히 성립하나요?
네, 당연하죠.