피타고라스의 정리, 피타고라스의 정리 증명

피타고라스의 정리에 대해서 알아보고 여러가지 방법으로 증명해봅니다.

학교를 졸업한 지 오랜 시간이 지난 분들도 1학기 때 공부했던 근의 공식과 이 글에서 공부할 피타고라스의 정리는 들으면 기억이 난다고 할 거에요.

피타고라스의 정리는 이처럼 학교를 졸업한 지 몇 년이 지나도 기억나는 대표적인 공식이죠. 왜 기억할까요? 매우 오랫동안 매우 많은 시간을 공부했으니까요. 즉, 앞으로 수학 시간에 계속해서 나오는 아주 중요한 공식이라는 얘기예요.

이 글의 내용을 주의 깊게 보시면 앞으로 수학 시간에 헤매는 일은 줄어들 겁니다.

피타고라스의 정리

피타고라스의 정리 직각삼각형 ABC에서 각 꼭짓점의 대변의 길이를 각각 a, b, c라고 할 때, 빗변 c의 제곱은 다른 두 변 a, b의 제곱의 합과 같다.
a² + b² = c²

피타고라스의 정리의 증명

피타고라스 정리가 진짜로 성립하는지 확인하는 방법은 10가지도 넘어요. 그 방법을 다 소개할 수는 없고, 몇 가지만 하죠.

직각삼각형에서 닮음을 이용한 증명

직각삼각형에서의 닮음에서 봤던 직각삼각형이에요

$\overline{AB}^{2} = \overline{BC} \times \overline{BH}$, $\overline{AC}^{2} = \overline{CB} \times \overline{CH}$가 성립해요.

연립방정식처럼 두 식의 좌변, 우변을 각각 더하면

$$ \begin{align} &\overline{AB}^{2} + \overline{AC}^{2}\\ &=(\overline{BC} \times \overline{BH}) + (\overline{BC} \times \overline{CH})\\ &= \overline{BC} \times (\overline{BH} + \overline{CH})\\ &= \overline{BC}^{2} \quad \quad \quad \quad \quad(\because \overline{BH} + \overline{CH} = \overline{BC}) \end{align} $$

세 번째 줄에서 분배법칙을 활용하면 $\overline{BC} \times (\overline{BH} + \overline{CH}) = (\overline{BC} \times \overline{BH}) + (\overline{BC} \times \overline{CH})$로 두 번째 줄이랑 같죠? 둘이 서로 같으니까 두 번째 줄에서 세 번째 줄로 바꿀 수 있어요.

결국 $\overline{AB}^{2} + \overline{AC}^{2} = \overline{BC}^{2}$이 성립해요.

피타고라스의 정리 증명 - 피타고라스의 증명

교과서에서도 설명하는 내용이고 가장 많이 이용하는 증명방법이에요. 핵심은 ▵ABC와 합동인 삼각형 네 개를 붙여서 빗변이 아닌 두 변의 길이의 합을 한 변의 길이로 하는 정사각형을 만드는 거예요.

▵ABC에서 변 AC와 변 BC 연장선을 그려서 한 변의 길이가 a + b인 정사각형을 만들어요. 그리고 그림처럼 점 A, G, E, B를 잡아요.

그러면 큰 사각형 FHCD는 삼각형 네 개와 작은 사각형 하나로 이루어지죠. 넓이를 구해볼까요? 삼각형 4개의 넓이는 모두 ▵ABC의 넓이와 같아요.

작은 사각형 □ABEG의 넓이를 구해보죠.

평각 ∠HAC = 180° = ▵ABC 내각의 합
∠GAH + ∠GAB + ∠BAC = ∠ABC + ∠ACB + ∠BAC
∠GAB = ∠ACB = 90°       (∵ ∠GAH = ∠ABC)

따라서 □ABEG는 한 변의 길이가 c인 정사각형이에요. (□ABEG의 넓이) = c²

(□FHCD의 넓이) = (□ABEG의 넓이) + 4 × (▵ABC의 넓이)
(a + b)² = c² + 4 × ½ab
a² + 2ab + b² = c² + 2ab
a² + b² = c²

▵ABC에서 빗변의 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같아요.

피타고라스의 정리 증명 - 바스카라의 증명

이 방법의 핵심은 빗변의 길이를 한 변의 길이로 하는 정사각형을 만드는 거예요. ▵ABC와 합동인 삼각형 네 개를 붙여서 다음 그림처럼 빗변을 한 변으로 하는 정사각형을 만듭니다.

큰 사각형 EDAB는 작은 사각형 한 개와 삼각형 네 개로 이루어져 있어요. 삼각형 4개의 넓이는 모두 ▵ABC의 넓이와 같아요.

$\overline{AC}$ = b이고 $\overline{AF}$ = a이므로 $\overline{CF}$ = b - a죠? 따라서 □CFGH의 넓이 = (b - a)²이에요.

(□ABDE의 넓이) = □CFGH + 4 × (▵ABC의 넓이)
c² = (b - a)² + 4 × ½ab
c² = a² - 2ab + b² + 2ab
a² + b² = c²

▵ABC에서 빗변의 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같아요.

피타고라스의 정리를 증명하는 다른 방법은 유클리드의 증명, 가필드의 증명 - 피타고라스의 정리 증명에서 확인하세요.

피타고라스 정리의 역

피타고라스의 정리를 거꾸로 한 성질도 알아두면 좋아요.

피타고라스의 정리

• 직각삼각형에서 빗변 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다
• 피타고라스 정리 거꾸로
  세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형에서 a² + b² = c²이면 c가 빗변인 직각삼각형이다.

피타고라스의 수

피타고라스의 정리를 이용하는 문제에서 한 변의 길이를 구하는 건 공식에 넣어서 구하면 돼요.

그런데, 매번 공식에 넣어서 구하는 것도 귀찮잖아요. 그래서 피타고라스의 정리에서 자주 나오는 길이는 외워두면 편리해요. 이걸 피타고라스의 수라고 해요. (피타고라스의 수를 구하는 방법)

세 변의 순서는 가장 짧은 변 : 중간 : 빗변의 순서예요.

세 변의 길이의 비가 3 : 4 : 5인 삼각형은 직각삼각형이에요. 3² + 4² = 5²이거든요. 3cm, 4cm, 5cm인 경우만 되는 것이 아니라 길이의 비가 3 : 4 : 5인 경우 모두가 직각삼각형이에요. 6cm, 8cm, 10cm인 삼각형도 9cm, 12cm, 15cm인 삼각형도 직각삼각형이에요.

세 변의 길이의 비가 5 : 12 : 13인 삼각형도 직각삼각형이에요. 마찬가지로 5cm, 12cm, 13cm뿐 아니라 10cm, 24cm, 26cm인 삼각형도 직각삼각형이에요.

세 변의 길이의 비가 8 : 15 : 17인 삼각형도 직각삼각형이에요.

세 변의 길이가 6cm, xcm, 10cm인 직각삼각형이 있다. 빗변의 길이가 10cm일 때 x를 구하여라. (단, x는 자연수)

빗변의 길이가 10cm이므로 x는 10보다 작은 자연수예요.

길이를 알고 있는 두 변의 길이가 6 : 10 = 3 : 5이므로 세 변의 길이의 비가 3 : 4 : 5인 비례식에 넣어보죠.

6 : x : 10 = 3 : 4 : 5
6 : x = 3 : 4
x = 8(cm)

x : 6 : 10 ≠ 3 : 4 : 5 이므로 여기서는 x를 구할 수 없어요.

x는 8(cm)입니다.

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