삼각형의 내심과 외심은 상당히 비슷하지만 달라요. 헷갈리는 부분이 많아서 따로따로 공부하더라도 같이 보면 도움이 될 거예요.
그래서 이 글에서 내심과 외심의 차이를 좀 더 명확하게 알 수 있게 둘을 비교해 볼까 합니다.
표만 보지 말고, 삼각형의 외심과 내심에 대하여 설명한 다음 글들까지 보고, 완벽히 정리하세요. 아랫글들을 읽지 않으면 표를 봐도 이해할 수 없어요.
삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질
삼각형 외심의 위치, 삼각형 외심의 활용
삼각형의 내심, 삼각형 내심의 성질
삼각형 내심의 활용
글 마지막에는 이등변삼각형과 정삼각형의 내심과 외심에 관한 내용도 있으니까 한 번 보세요.
삼각형의 외심과 내심 비교, 삼각형의 내심과 외심의 차이
| 삼각형의 외심 | 삼각형의 내심 |
|---|---|
 |
 |
| 세 변의 수직이등분선의 교점 | 세 각의 이등분선의 교점 |
외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리가 같다. =  =  |
내심에서 세 변에 이르는 거리가 같다. =  =  |
| 이등변 삼각형 세 개 △OAB △OBC △OCA |
없음. |
| 세 쌍의 합동인 삼각형(SAS 합동) △ODA ≡ △ODB △OEB ≡ △OEC △OFC ≡ △OFA |
세 쌍의 합동인 삼각형(RHA 합동) △IAD ≡ △IAF △IBD ≡ △IBE △ICE ≡ △ICF |
 외접원: 삼각형의 세 꼭짓점을 지나는 삼각형 바깥의 원 외접원의 반지름: 외심에서 꼭짓점까지의 거리 |
 내접원: 삼각형의 세 변에 접하는 삼각형 안의 원 내접원의 반지름: 내심에서 변까지의 거리 |
 예각삼각형: 내부 둔각삼각형: 외부 직각삼각형: 빗변의 중점 |
삼각형의 내부 |
 ∠x + ∠y + ∠z = 90° |
 ∠x + ∠y + ∠z = 90° |
 ∠BOC = 2∠A |
 ∠BIC = 90° + ½∠A |
 △ABC 넓이 = ½r(△ABC 둘레 길이) |
이등변삼각형과 정삼각형의 내심과 외심
이등변삼각형의 내심과 외심
이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건에 따르면 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다고 했어요. 즉 (꼭지각의 이등분선) = (밑변의 수직이등분선)이 되는 거죠. 내심은 꼭지각의 이등분선 위에 있고, 외심은 밑변의 수직이등분선 위에 있어요. 따라서 이등변삼각형의 내심과 외심은 같은 선위에 있다는 걸 알 수 있어요.
정삼각형의 내심과 외심
정삼각형은 세 각의 크기가 모두 같고, 세 변의 길이도 같아요. 기본적으로 이등변삼각형의 성질을 가지고 있어요. 이등변삼각형에서와 마찬가지로 (꼭지각의 이등분선) = (밑변의 수직이등분선)에요. 정삼각형은 따지고 보면 세 개의 꼭지각이 있는 것과 같죠? 세 꼭지각의 이등분선의 교점은 세 밑변의 수직이등분선의 교점이므로 외심과 내심이 같아요.
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와 이렇게 섬세하다니 덕분에 잘이해됬어여 감사합니다
내심과 외심은 아주 헷갈리니까 비교표는 자주 자주 봐두시면 잊어버리지 않을 거에요.
감사합니다. 내심에서 세변에 이르는 거리가 같으면 무조건 각이 90도인가요?
점에서 선까지의 거리는 수선을 내려서 재니까 당연히 90도가 되어야 지요. 그건 내심과는 상관없어요.
수선, 수선의 발, 점과 직선 사이의 거리(http://mathbang.net/83)를 참고하세요.
수1을 지금 학원에서 배우고 있는데, 이 블로그의 포스팅들이 많은 도움이 됩니다. 감사합니다~~
해보니까 알겠지만 고등수학은 중학수학과 수준차이가 엄청나요. 열심히 준비하세요.
기출문제 풀면서 4점짜리에서 맨날 삼각형 성질나와서
짜증나서 정리하고 가네요 ㅋㅋㅋ
감사합니다
궁금한게 있는데요
내접원의 반지름의 길이가
(밑변+높이-빗변)/2
던데 왜 그런거죠??
그 공식이 나와요? 별로 쓸모있는 공식도 아닌데요.
3학년이 되면 조금 더 쉽게 유도할 수 있을 거예요. 삼각형 내접원(http://mathbang.net/184)의 마지막 예제에 비슷한 그림이 있으니까 미리 봐두는 것도 괜찮겠네요.
이해가 넘 잘 되어요 감사합니다
또 오세요. ㅎㅎ
글 잘보고 갑니다 그런데 질문이 하나 있는데요
이등변삼각형의 외심과 내심은 꼭지각의 이등분선 위에 있지만 왜 정삼각형처럼 외심과 내심이 일치하지는 않는 것인가요? 왜 외심이 내심보다 좀위에 위치하는지 정확하게 모르겠어요 ㅠㅠ.~
이등변삼각형에 따라서 외심과 내심 중 어느 것이 더 위에 있는지는 달라질 수 있어요. 외심이 위에 있을 수도 있고 아래에 있을 수도 있지요. 그러니까 "외심이 내심보다 위에 있다."는 건 생각하지 않아도 돼요.
정삼각형의내심과외심이같다고하셨는데그러면 각을구하는공식은 2<A 를쓰나요 1/2+90 을쓰나요?
정삼각형의 한 각은 60도니까 어느 공식을 적용해도 120도라는 같은 값을 가져요.
외심과 내심이 같은 직선상에 존재한다고 했는데 그럼 그 역도 성립하나요?
그러니까, 외심과 내심이 같은 같은 직선상에 존재하는 삼각형은 이등변삼각형이다
이런것도 성립하나요?
같은 직선이라는 선이 꼭지각의 이등분선, 밑변의 수직이등분선이라면 가능하죠. 다만, 같은 직선 위에 있다는 건 내심과 외심이 일치하는 것도 포함하니까 그게 이등변삼각형인지 정삼각형인지 구별할 수 없죠.
출처 밝히고 이 표 자료 퍼가도 될까요?
어떤 경우라도 퍼가는 건 안돼요.
2학기교재는 언제나오나요
2학년 2학기 교재는 이번주 중에 나올 예정이에요.
이해안가서 끙끙되고 있었는데 이 사이트보니 한번에 이해되네요.!!
이제 안 끙끙(?)되나요 ㅎㅎ 외심과 내심은 정말 중요한 내용이니까 꼭 기억해두세요.
2015년 11월에 치뤄지는 2016학년도 수능 칠 예정인 재수생입니다.
저같은 경우에 삼각형의 수심이나 방심은 공부 안해도 되는건가요??
수심이나 방심 내용이 어떤 교육과정부터 빠졌고 제가 해당되는 교육과정에도 빠져있는지
궁금합니다!!
저도 잘 모르겠네요.
감사합니다 수업지도안 짜보는데 좋은 자료 보고가용 ㅎ
굉장히 중요한 내용이니까 수업지도안에 꼭 있어야 하죠. ㅎㅎ
감사합니다>< 제가 이걸왜 지금알았나몰라요ㅜㅜ 좀더일찍알걸그랬어요 ㅎㅎ
잘보고갑니다^^ 앞으로도 자주들릴게요~
네, 자주 오세요. ㅎㅎ
설명이 딱딱하지도 않고 이해도 잘 돼요! 자주 참고하고 있습니다😀😁
같은 내용어어도 단순히 설명하는 문제만 바꿔도 훨씬 쉽게 느껴지죠? 자주 말고 매일 오세요. ㅎㅎ
'외심에서 세 꼭짓점에 이르는 길이는 같다'도 맞나요? 거리말고 길이라고 해도 의미가 같나요?
단순한 단어보다는 그 의미에 더 가치를 두고 생각하세요.
'외심에서 세 각에 이르는 거리는 같다' 이것은 수학적으로 허용 가능할까요?
정삼각형의 중선같은 경우도 대변과 수직으로 직교하나요?
정삼각형의 한 꼭짓점에서 대변에 그은 중선과 대변이 서로 수직이냐를 묻는 거죠?
본문 그림 속의 삼각형이 정삼각형이라고 가정하고 설명해보면요.
정삼각형 ABC는 중선 AE에 의해 두 삼각형 ABE, ACE로 나눠지는데요.
1. 변 BE = 변 CE (중선)
2. 변 AB = 변 AC (정삼각형)
3. 각 ABE = 각 ACE = 60도
두 삼각형은 합동이에요.
각 BEC = 180도(평각) 이므로, 각 AEB = 각 AEC = 90도예요.
대변과 중선은 서로 직교하는 걸 알 수 있어요.
정확히 말하면 정삼각형에서 중선 = 대변의 수직이등선 이에요.
혹시 직각삼각형은 내심을 어떻게 구하는지 설명 좀 해주실 수 있으시나요?
직각삼각형이라고 해서 다른 예각, 둔각 삼각형과 다를 게 없어요. 똑같아요.
외심, 내심 성질이 이렇게 많았엇군요!!
이렇게 성질이 잘 정리되어 있는 글은 처음봅니다ㅜㅜ!!
원래 글로 설명되어 있는걸 보면 조금만 깊이 들어가도 이해가 딸리는데 ㅇㅕ기 게시물은 너무너무너무 이해가 잘 돼요..ㅎㅎ 정말 감사합니다. 자주 이용할게요
네, 자주자주 이용해주세요. 또 봬요.