사각형 시리즈(?) 마지막입니다.
평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형의 각 변의 중점을 연결해서 그려지는 사각형이 어떤 사각형인지 알아볼 거예요. 중점이 뭔지는 다 알고 있죠? 중점은 두 점 사이의 거리를 이등분하는 점이에요.
이 글에서 다룰 내용은 각 사각형의 기본적인 정의만 잘 알고 있어도 쉽게 이해할 수 있어요. 일반적인 사각형과 사다리꼴의 중점을 연결한 사각형은 이 글에서 다루지 않고, 나중에 다른 단원에서 추가하도록 할게요.
사각형의 중점을 연결하여 만든 사각형
평행사변형의 중점을 연결해서 만든 사각형 - 평행사변형
먼저 평행사변형의 각 변의 중점을 연결해서 만든 사각형부터 알아보죠.
평행사변형 ABCD의 각 변의 중점을 잡아서 연결한 사각형을 □EFGH라고 해보죠.
평행사변형의 두 쌍의 대변의 길이는 같아요. 그래서 변의 중점에서 꼭짓점까지의 거리도 대변에서는 같아요.
평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 같죠? ∠A = ∠C, ∠B = ∠D
△AEF와 △CGH는 SAS 합동이에요. 따라서 대응변인 
결국 □EFGH는 두 쌍의 대변의 길이가 같으니까 평행사변형이에요.
직사각형의 중점을 연결해서 만든 사각형 - 마름모
이번에는 직사각형 ABCD의 각 변의 중점을 연결해서 그린 사각형을 □EFGH라고 해보죠.
직사각형도 평행사변형의 한 종류이므로 각 대변의 중점에서 꼭짓점까지의 거리는 같아요.
그리고 직사각형의 네 내각의 크기는 모두 90°죠. ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°
△AEF와 △CGH, △BGF, △DEH 네 개의 삼각형은 모두 SAS합동이에요. 따라서 
결국 □EFGH는 네 변의 길이가 같은 마름모입니다.
마름모의 중점을 연결해서 만든 사각형 - 직사각형
마름모 ABCD의 각 변의 중점을 연결해서 그린 사각형 □EFGH입니다.
마름모는 네 변의 길이가 같으므로 중점에서 꼭짓점까지의 거리도 모두 같아요.
마름모도 평행사변형의 한 종류로 두 쌍의 대각의 크기가 같으므로 ∠A = ∠C, ∠B = ∠D예요.
SAS 합동에 의해서 △AEF와 △CGH가 합동이고, △BFG와 △DHE가 합동이에요.
그런데 이 네 삼각형은 이등변삼각형이므로 밑각의 크기가 같아요.
∠AFE = ∠AEF
∠BGF = ∠BFG
∠CGH = ∠CHG
∠DEH = ∠DHE
삼각형이 합동이므로 크기가 같은 각끼리 모으면
∠AFE = ∠AEF = ∠CGH = ∠CHG
∠BGF = ∠BFG = ∠DEH = ∠DHE죠.
평각인 ∠AFB와 ∠BGC의 크기를 삼각형의 내각 두 개와 사각형의 내각 한 개로 표시할 수 있죠?
∠AFB = 180° = ∠AFE + ∠BFG + ∠EFG
∠BGC = 180° = ∠BGF + ∠CGH + ∠FGH
연립방정식의 가감법처럼 두 식을 변변 빼보면
0° = (∠AFE - ∠CGH) + (∠BFG - ∠BGF) + (∠EFG - ∠FGH)
0° = ∠EFG - ∠FGH (∵ ∠AEF = ∠CGH, ∠BFG = ∠BGF)
∠EFG = ∠FGH
□EFGH의 이웃한 두 각의 크기가 같다는 걸 알 수 있어요.
결국 □EFGH는 이웃한 두 각의 크기가 같은 평행사변형으로 직사각형이라는 걸 알 수 있지요.
그림으로 설명하면 쉬운데 말로 설명하려니 정말 어렵네요. 아래는 다른 설명이니까 위의 내용이 이해하기 어려우면 아래 내용을 보세요.
점 E와 점 G를 연결해서 
이번에는 점 F와 점 H를 연결해서 
□ABCD는 마름모이므로 네 변의 길이가 같아요.
□EFGH은 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형이므로 직사각형이에요.
정사각형의 중점을 연결해서 만든 사각형 - 정사각형
정사각형 ABCD의 각 변의 중점을 연결해서 □EFGH를 그려보죠.
정사각형은 네 변의 길이가 같으므로 중점에서 꼭짓점까지의 거리도 모두 같아요.
정사각형이라서 □ABCD의 네 내각의 크기도 같지요. ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°
위 조건에 따라 네 삼각형 △AEF, △BFG, △CGH, △DHE는 SAS 합동이므로 □EFGH의 네 변의 길이는 모두 같아요. 일단 마름모에요.
그리고 네 개의 삼각형은 직각이등변삼각형이니까 한 내각의 크기는 90°고, 다른 두 내각의 크기는 45°죠. (이등변삼각형의 성질)
평각인 ∠AED의 크기를 삼각형의 내각 두 개와 사각형의 내각 한 개로 표시할 수 있죠?
∠AED = 180° = ∠AEF + ∠DEH + ∠FEH
∠FEH = 90° (∵ ∠AEF = ∠DEH = 45°)
□EFGH는 네 변의 길이가 같고, 한 내각의 크기가 90°이므로 정사각형입니다.
등변사다리꼴의 중점을 연결하여 만든 사각형 - 마름모
사다리꼴의 중점 연결 정리에서 자세히 다루니까 이쪽으로 오세요. ㅎㅎ
사각형의 각 변의 중점을 연결해서 그린 사각형
평행사변형 → 평행사변형
직사각형 → 마름모
마름모 → 직사각형
정사각형 → 정사각형
평행사변형, 정사각형은 그대로, 직사각형, 마름모는 서로 반대로
등변사다리꼴 → 마름모
평행사변형 ABCD의 각 변의 중점을 연결하여 그린 사각형을 □EFGH라고 할 때, □EFGH의 성질이 아닌 것을 모두 고르시오.
(1) 두 쌍의 대변의 길이가 같다.
(2) 두 쌍의 대각의 크기가 같다.
(3) 두 대각선이 서로 이등분한다.
(4) 두 대각선은 서로 수직이다.
(5) 네 내각의 크기가 모두 같다.
(6) 네 변의 길이가 모두 같다.
평행사변형의 중점을 연결해서 그린 사각형은 평행사변형이에요. 따라서 보기 중에 평행사변형의 성질이 아닌 것을 고르면 되겠지요.
(1), (2), (3)은 평행사변형의 성질이 맞아요.
(4) 번은 마름모, 정사각형의 성질이고, (5) 번은 직사각형, 정사각형의 성질이죠. (6) 번은 마름모, 정사각형의 성질이네요. 따라서 답은 (4), (5), (6)이 되겠습니다.
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사다리꼴의 중점 연결 정리, 등변사다리꼴의 중점 연결 정리
활동한지 얼마 되지 않으셨나봐요ㅎㅎ 너무 좋은 곳이고 도움이 많이 되는 곳이네요
앞으로도 오래오래 멋지게 꾸려주셨으면 하네요 감사해요ㅎ
5월 초에 시작해서 얼마 안됐어요.
앞으로도 계속 찾아주시면 당연히 도와드려야죠.
애들 공부시켜야 되는데 기억이 안나서 찾다가 완전 유용하게 읽고있어요!!
감사합니다!!!!!
아이들 공부를 직접 시키시나요? 대단하시네요.
기억 안나는 거 있으면 또 찾아오세요.
중학생 과외를 하는중인데, 기억 안나는 단원들 있을 때 마다 여기 들어와서 공부하고 갑니다. ^^
고등 수학도 다뤄주시면 안될까요 ~
고등수학은 중등수학이 끝나면 올릴 계획이에요.
아마도 1월이 되어야 가능할 것 같네요.
비밀댓글입니다
감사합니다 정말 없는 게 없네요^^
없는 거 빼고는 다 있어요. ㅎㅎ
아, 이거 프린트하려면 어떻게 하죠?
직접 책 옆에 두고 보면서 이해를 하려고 하는데 계속 인터넷 봤다
책 들여봤다 하려니 불편해요ㅠ
따로 인쇄 기능은 업서요. 그냥 브라우저 메뉴의 파일 - 인쇄를 눌러서 인쇄하세요.
제 수학문제에는 각 변의 중심을 이어 만든 사각형이 마름모인 것으로만 묶여있는 것을 구하라고 하는데요.. 평행사변형 , 직사각형 , 마름모, 정사각형, 등변사다리꼴이 보기에있는데 직사각형이랑 등변사다리꼴 로만 묶인 답이없어요ㅜㅜ 혹시 마름모의 각 변의 중심을 이어 만든 사각형도 마름모가 될 수 있나요? ㅜ
마름모 각 변의 중점을 연결한 사각형은 마름모일 수도 있지만 아닐 수도 있어요.
정사각형은 기본적으로 마름모의 성질을 가지고 있으니, 직사각형, 등변사다리꼴에 정사각형이 함께 포함된 보기가 있는지 보세요.
[오타신고]
아래 정답란에 2번이 평행사변형의 성질이라고 했는데
마지막 문제 파란박스 2번 "두 쌍의 대각의 (길이)가 같다." 에서 괄호부분이 [평행사변형의 성질, 평행사변형의 특징]단원의 내용과 달라서 오타신고해요.
대각으로 각이니까 '길이'가 아니라 '크기'가 같다여야 하네요.
그냥 사각형의 각변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 그냥 사각형인요/
네, 특별한 성질을 갖고 있지 않아요.
사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 '기본적으로' 평행사변형입니다.
저 초등학생인대 어려운 것도 쉽게 이해가 되요. 감사합니다~
혹시 등변사다리꼴은 어떻게 되는지 알려주실수 있으시나요?
죄송합니다 저가 꼼꼼히 않읽었더니 ㅎㅎ
아래 나오네요 ㅎㅎ
마름모!!! 감사합니다!!!💋