삼각형은 각의 크기에 따라 예각삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각형으로 나눠요.
삼각형의 세 각의 크기가 주어지지 않더라도, 삼각형의 세 변의 길이가 주어졌을 때, 피타고라스 정리의 역을 이용하면 직각삼각형인지 아닌지 알 수 있죠?
직각삼각형이 아니면 예각삼각형인지 둔각삼각형인지 알 수도 있을까요? 물론 알 수 있어요. 피타고라스의 정리의 역을 이용할 건데, 이걸 그대로 이용하는 게 아니라 아주 살짝 모양을 바꿔서 이용하면 알 수 있어요.
삼각형 세 변의 길이와 각의 크기
물론 다들 알고 있겠지만, 피타고라스의 정리의 역을 확인해보죠.
피타고라스의 정리: 직각삼각형에서 빗변 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다.
피타고라스 정리의 역: 세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형에서 a2 + b2 = c2이면 c가 빗변인 직각삼각형이다.
△ABC에서 가장 긴 변의 길이를 c라고 놓고 위 피타고라스 정리의 역을 이용해보죠.
세 변의 길이가 3cm, 4cm, 5cm인 삼각형에서 가장 긴 변의 길이는 5cm에요. 52 = 32 + 42이 성립하므로 이 삼각형은 직각삼각형이에요.
세 변의 길이가 3cm, 4cm, 6cm인 삼각형에서 가장 긴 변의 길이는 6cm네요. 62 ≠ 32 + 42이므로 이 삼각형은 직각삼각형이 아니에요. 직각삼각형이 아니니까 예각삼각형이거나 둔각삼각형일 거예요. 어떻게 알 수 있을까요?
아래 그림을 보세요.
첫 번째 그림은 예각삼각형과 직각삼각형을 겹쳐놓은 그림이에요. 직각삼각형의 세로 변을 왼쪽으로 살짝 돌렸더니 예각삼각형이 되었어요. 이 예각삼각형에서 아랫변과 세로 변의 길이는 직각삼각형과 같은데, 빗변의 길이 c가 줄어들었죠? 따라서 a2과 b2은 그대로이고, c2은 줄었어요. 직각삼각형에서는 a2 + b2 = c2이었는데, 예각삼각형에서는 a2 + b2 > c2가 된 거죠.
이걸 거꾸로 얘기하면 a2 + b2 > c2이면 이 삼각형은 예각삼각형인 거예요.
세 번째 그림은 둔각삼각형과 직각삼각형을 겹쳐놓은 그림이에요. 직각삼각형의 세로 변을 오른쪽으로 살짝 돌렸더니 둔각삼각형이 되었어요. 이 둔각삼각형에서 아랫변과 세로 변의 길이는 직각삼각형과 같은데, 빗변의 길이 c가 늘어났죠? 따라서 a2과 b2은 그대로이고, c2은 늘었어요. 직각삼각형에서는 a2 + b2 = c2이었는데, 둔각삼각형에서는 a2 + b2 < c2가 된 거죠.
이걸 거꾸로 얘기하면 a2 + b2 < c2이면 이 삼각형은 둔각삼각형인 거예요.
- △ABC에서 가장 긴 변의 길이를 c, 다른 두 변의 길이를 a, b라고 할 때
- a2 + b2 > c2 ↔ ∠C < 90°인 예각삼각형
- a2 + b2 = c2 ↔ ∠C = 90°인 직각삼각형
- a2 + b2 < c2 ↔ ∠C > 90°인 둔각삼각형
가장 긴 변의 길이를 c로 하는 것에 주의하세요.
세 변의 길이가 5cm, 12cm, xcm 인 삼각형이 둔각삼각형이 될 x의 범위를 구하여라. (단 x가 가장 긴 변)
삼각형의 세 변의 길이가 주어졌으니까 가장 긴 변의 길이를 c로 놓고 위 내용을 적용해보죠. 문제 마지막에 x가 가장 긴 변이라고 했네요.
52 + 122 < x2
169 < x2
132 < x2
13 < x
여기서 끝내면 안 돼요. 삼각형의 조건 중에서 가장 긴 변의 길이는 다른 두 변의 길이의 합보다 작아야 하는 거 알고 있죠? 따라서 x < 5 + 12가 되어야 해요. x < 17이죠.
따라서 x의 범위는 13cm < x < 17cm입니다.
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