이번에는 예각삼각형, 둔각삼각형, 직각삼각형에서 외심이 어디에 있는지 알아볼 거예요. 또 삼각형의 외심을 여러 가지 활용하는 방법도 알아볼 거고요.
먼저 삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질을 간단히 정리해보죠.
다각형의 꼭짓점을 모두 지나는 원을 외접원이라고 하고, 외접원의 중심을 외심이라고 해요. 삼각형에서 외심은 각 변의 수직이등분선의 교점이고, 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같지요.
삼각형 외심의 위치
예각삼각형, 둔각삼각형, 직각삼각형에서 외심의 위치
삼각형은 세 내각이 모두 예각이면 예각삼각형, 한 각이 둔각이면 둔각삼각형, 한 각이 직각이면 직각삼각형으로 나눠요.
예각삼각형은 삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질에서 본 것처럼 삼각형의 외심이 삼각형의 내부에 있어요. 둔각삼각형은 삼각형의 외부에 외심이 있고요. 정확하게 말하면 둔각의 대변, 길이가 가장 긴 변의 바깥쪽에 외심이 있어요.
직각삼각형은 외심이 빗변에 있는데, 바로 빗변의 중점이 외심이 됩니다. 따라서 외접원의 반지름의 길이는 빗변 길이의 절반이죠.
△ABC가 직각삼각형이고, 
직각삼각형에서 빗변의 중점은 삼각형의 외심이에요. 따라서 
삼각형 외심의 활용
점 O가 △ABC의 외심일 때, ∠x + ∠y + ∠z = 90°
점 O가 삼각형의 외심이니까 외심에서 각 꼭짓점에 이르는 거리가 같아요. 
삼각형 내각의 합은 180°이므로 2∠x + 2∠y + 2∠z = 180°이고, ∠x + ∠y + ∠z = 90°가 됩니다.
∠BOC = 2∠A
아래 그림처럼 △OAB만 따로 떼서 생각해보죠. 선분 OA의 연장선을 그어요.
삼각형 외각의 크기, 외각의 합에 따르면 삼각형의 외각은 이웃하지 않은 두 내각의 합과 같아요. ∠BOD = ∠OAB + ∠OBA
여기서, ∠OAB = ∠OBA니까 ∠BOD는 2∠OAB에요.
마찬가지로 △OAC에서 삼각형의 외각과, ∠OCA = ∠OAC에 따라 ∠COD = 2∠OAC가 되지요.
결국, ∠BOC = ∠BOD + ∠COD = 2∠OAB + 2∠OAC = 2∠A가 됩니다.
점 O가 △ABC의 외접원의 중심일 때, ∠C의 크기를 구하여라.
점 O가 외심이므로, △OAB는 
∠AOB = 2∠C이므로 ∠C = 120 ÷ 2 = 60°네요.
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삼각형의 외심과 내심, 삼각형의 내심과 외심 비교
잘봤습니다.
그런데 마지막 문제에서
점O는 삼각형의 중점은
혹시 외심의 오타인지요?
외접원의 중심으로 쓰려다가 잘못썻네요.
정말 잘봤고요. 이제 고3올라가는데
중학교때 어영부영 봤던 기억들이 정리되는 느낌이네요
논리도 괜찮고 문제까지 달아주시니 너무 감사해서
이글을 올리게됬네요.
정말 감사합니다.
이제 고3이면 엄청 바쁘겠네요.
좋은 결과 있기를 바랄께요.
혹시 수학 선생님 이신가요?
설명이 아주 좋네요^^
칭찬 고맙습니다. ㅎㅎ
궁금해서 그러는데요 학교 선생님이신가요?
그건 안 가르쳐 드려요.
이해가쏙쏙잘되네요^^항상감사합니다ㅎㅎ
댓글 고맙습니다. ㅎㅎ
다른 내용들도 많이 보고 가세요.
이거 진짜 좋은 사이트네요
물론 제 친구들은 공부를 안하지만 ㅋㅋㅋㅋ
이거 덕분에 문제도 많이 풀었어요
감사합니다^^
친구들에게도 알려주세요. 공부는 함께 해야죠. ㅋㅋ
마지막 문제에서 각AOB=2각C 라고 설명하셨는데 왜 그런가요?
이 글의 주제가 왜 각AOB = 2각C가 되는지를 설명하는 거예요. 본문을 다시 읽어보세요.
외각은 이웃하지않는 두 내각의 합과 같다고 하셨는데 이등변삼각형일경우에만 해당하는 건가요?
삼각형의 외각(http://mathbang.net/96)을 참고하세요.
이 블로그 정말 좋네요.. 제가 중학수학만 안되있어서 발을 동동 구르고있었는데 정말 잘 배우고 갑니다 나중에 출판하신 책 한번 사보고싶네요
출판이라기 보다는 제본이라고 하는 게 더 적절할 것 같아요. ㅎㅎ
직각삼각형일 때 외심이 저렇게 되는 이유는 뭔가요? 예각일 때 써 주신 걸 직각에서는 이해를 못 하겠어요..
직각삼각형을 직접 그려서 외심을 찾아보세요. 이해가 될 겁니다.
외심 부분에서 어려움을 겪고 있었는데 이렇게 잘 설명해주셔서 감사합니다^^
외심이 조금 어렵긴 하죠.
내심(http:/mathbang.net/127)과 함께 비교해서 외워두면 더 오래 기억에 남을 거예요.
수능 끝나니 공부가 하고싶네요ㅋㅋ왜 전 고등학교 수학보다 중학교 수학이 더 어려웠었을까요ㅋㅋ잘 보고 갑니다!
아쉬워서 그럴 거예요. 좋은 성적 받았기를 기대합니다.
둔각, 직각삼각형에서 외심 증명은 예각삼각형과 다르지 않나요?
간단하긴 하지만...
단순히 내부 삼각형의 위치가 조금 달라질 뿐이고, 기본적인 증명 과정은 같죠.
외심과 삼각형의 중점은 완전히 다른 말인가봐요,,,,
중점은 선분에서 얘기하는 거니까, 아마 무게중심 말씀하시는 것 같네요.
외심과 무게중심도 다른 거긴 하지요. 외심은 각 변의 수직이등분선의 교점이고, 무게중심은 그냥 이등분선(중선)의 교점이에요.
자세한 건 삼각형의 무게 중심 http://mathbang.net/176 을 참고하세요.
왜 각 AOB가 2각C 인가요? 제가 이해를 잘 못해서요. ㅠㅠ 전 위 방법이랑 다른 방법으로 풀었어요. 위 삼각형이 외심이니까, 각C를 구할려면 180도에서 60도를 뺀 다음 반으로 나누면 C의 각이 나옵니다. 이방법이 맞나요? 그리고 위에 각 AOB가 왜 2각C인지 모르겠습니다. (제가 수학이 어려워서요ㅠㅠ)
180도에서 60도를 빼는 부분이 틀렸어요. 30도라고 해서 2배, 60도라고 할 수 없어요. 그리고 나온 갓을 반으로 나누는 것도요.
∠AOB = 2∠C인 이유는 본문 가운데 ∠BOC = 2∠A에 설명되어 있어요.
도움이 많이되었습니다
이 사이트 만드시고 올려주셔서 정말 감사합니다
이제는 수포자가 아닌 거죠? 수포자에서 벗어나는 데 수학방이 도움이 되었길 바랍니다.
둔각삼각형일 경우에도 외심의 성질이 이용될 수 있나요? 이용된다면 어떤 방법으로 되나요?
외심도 있었쿤요!
근데 외심의 증명은 없나요?
여기 있어요.
http://mathbang.net/125