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에라토스테네스라는 사람은 그리스 사람인데, 지구의 둘레를 계산하기도 한 과학자이자 소수를 찾는 방법을 생각해낸 수학자이기도 해요. 지구 둘레 계산한 것도 나중에 과학 시간에 공부할 거예요.

에라토스테네스가 소수를 찾은 방법을 에라토스테네스의 체라고 해요. 체는 물건을 걸러낼 때 쓰죠? 이 체를 통해서 소수를 걸러내는 거예요.

에라토스테네스의 체를 이용해서 소수를 찾는 방법에 대해서 알아보죠.

에라토스테네스의 체

에라토스테네스의 체는 소수를 찾는 방법이니까 먼저 소수가 뭔지는 알아야 해요. 소수와 합성수에서 소수가 어떤 수인지 공부했어요.

1: 소수도 합성수도 아님
소수: 약수의 개수가 2개인 자연수, 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 자연수
합성수: 약수의 개수가 3개 이상인 자연수, 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 자연수

에라토스테네스의 체는 소수를 하나 찾고, 그 배수를 지워서 소수를 찾아내는 방법이에요. 어떤 소수의 배수는 최소한 1과 소수, 자기 자신의 3개를 약수로 가지니까 합성수잖아요.

에라토스테네스의 체는 아래 순서대로 해요.

1. 숫자를 차례대로 쓴다.
2. 1은 소수가 아니므로 지운다.
3. 2는 두고 2의 배수는 모두 지운다.
4. 남은 숫자 중 가장 작은 수인 3은 두고 3의 배수는 모두 지운다.
5. 4는 2의 배수로 지웠으니 통과
6. 남은 숫자 중 가장 작은 5는 두고 5의 배수는 모두 지운다.
7. 6, 7, 8…… 도 반복 ……
8. 남은 수는 소수, 지운 수는 합성수, 1은 그냥 1

에라토스테네스의 체를 이용하여 1 ~ 30까지 자연수 중에서 소수를 찾아라.

위의 방법대로 해보죠.

첫 번째 그림에서는 소수가 아닌 1을 지웠어요.

두 번째 그림에서는 2에 동그라미를 치고, 2의 배수는 지웠어요.

세 번째 그림에서는 3에 동그라미를 치고, 3의 배수는 지웠고요.

네 번째 그림에서는 5에 동그라미를 치고, 5의 배수는 지웠고요.

다섯 번째 그림은 6, 7, 8……을 계속 같은 방법으로 반복한 결과에요.

동그라미 쳐진 숫자가 소수니까 1 ~ 30까지 자연수 중에서 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29네요.

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학년별로 수학 요점 정리를 하려고 시도는 많이 해봤는데, 이게 잘 안되네요. 요점 정리를 해서 파일로 만드는 게 보통 일이 아니거든요. 그림도 다시 그려야하고 공식도 새로 써야하는 등 시간도 많이 걸려요. 손으로 쓰는 것과 컴퓨터로 입력하는 건 차이가 많이 나요.

그래서 새로 만들기보다는 기존에 잘 만들어진 파일을 링크 걸어드립니다. 동화사라고 교과서도 만들고 문제집도 만드는 곳이니까 믿고 사용하셔도 돼요. 다른 사이트들은 회원가입을 해야하는데 이곳은 가입하지 않아도 파일을 바로 받을 수 있어서 이 곳 링크를 걸어요.

수학 요점 정리

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중1 수학 요점정리
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현제 교육과정에 없는 내용은 교과서나 문제집을 참고해서 꼭 추가해서 사용하세요.

참고로, "목록" 버튼을 누르면 수학뿐 아니라 과학이나 사회같은 다른 과목도 있으니까 필요하면 내려받아서 사용하시고요.

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네이버 검색어에 "1초 고민하는 수학 문제"라는 게 있어서 클릭해 봤더니, 재미난 기사들이 올라와 있네요.

어느 여학생이 학교에서는 어려운 수학문제도 척척 풀어내지만 마트에서 간단한 더하기는 잘하지 못하는 상황을 나타내는 그림을 기사로 만든 거였어요.

일부 신문에서는 미적분 문제를 풀었다고 나오지만 그림을 자세히 보면 이차방정식 문제였고, 근의 공식을 이용해서 푸는 과정을 담고 있어요.

제가 이 그림에서 주목한 건 문제를 푸는 방식이에요.

1초 고민하는 수학 문제

그림 속의 여학생이 문제를 푸는 과정이 조금 생소하더군요. 미국에서는 이런 식으로 문제를 푸는 가 봅니다. 한국에서와 방법이 다르네요.

그림에서 나오는 문제는 3x² + 4x - 9 = 0이에요. 이차방정식을 보고 근의 공식에 잘 대입했어요.

일단 분모가 2 × 3이라서 6인데, 그림에서는 8로 되어 있어요. 계산 실수로 보여지고요.

이 풀이에서 가장 눈에 띄는 부분은 ±를 제곱근의 근삿값을 이용해서 근호를 풀었다는 거예요.

≒ 10 × 1.114 = 11.14

근삿값을 이용하여 근호를 풀고 그 값을 다른 수들과 계산을 했어요.

우리는 근호안의 수가 제곱수가 아니면 근호를 풀지 않는데 말이죠. 이번에는 우리가 공부하는 방식대로 풀어보죠. 일차항의 계수가 짝수니까 짝수공식으로 풀어볼까요?

3x² + 4x - 9 = 0

미국에서의 수학 문제 풀이와 우리나라에서의 수학 문제 풀이에 차이가 있나보네요. 미국식이라면 제곱근표를 항상 가지고 있어야해서 오히려 불편할 것 같아요. 반대로 문제에서 제곱근의 근삿값을 알려줬다면 문제푸는 데 힌트가 될 수도 있으니까 더 좋을 것 같고요.

혹시 미국에서 학교 다니신 분 계시면 알려주세요.

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이름만 봐서는 나무의 줄기에서 잎이 펼쳐져 있는 모습을 상상할 수 있을 거예요. "참 잘했어요." 스티커 붙이던 포도송이와 비슷하다고 생각할 테지만 줄기와 잎 그림은 그림이라기보다는 표에 가까워요.

어떤 자료를 보고 줄기와 잎 그림을 그리는 방법과 줄기와 잎 그림을 보고 원하는 내용을 읽어내는 방법을 알아보죠.

줄기와 잎 그림

어떤 반 학생 10명의 키를 쟀더니 아래와 같아요.

155cm, 172cm, 164cm, 152cm, 168cm, 177cm, 163cm, 159cm, 172cm, 164cm

이 반 학생들의 키의 분포를 알아보기 쉽게 하려고 모양을 조금 바꿔봤어요.

이상하게 생긴 표가 하나 있죠? 이게 바로 줄기와 잎 그림이에요.

키가 150cm대, 160cm대, 170cm대 이렇게 할 때 앞의 두 자리 백의 자리, 십의 자리 숫자 15, 16, 17이 위 그림에서 왼쪽에 있는 줄기에 해당해요. 잎에 해당하는 숫자들은 일의 자리 숫자들이죠. 줄기 칸의 15와 같은 줄 잎 칸의 2가 나타내는 건 152cm이고, 줄기 칸의 15와 잎 칸의 5가 나타내는 건 155cm예요. 줄기 칸의 15와 잎 칸의 9가 나타내는 건 159cm죠.

줄기와 잎 그림에서 조합해낼 수 있는 키가 위에 적혀있는 키와 같은지 비교해보죠.

줄기 칸의 17에 보면 바로 옆 잎 칸에 2 2 7이라고 적혀있어요. 이 숫자들이 나타내는 키는 172cm, 172cm, 177cm라는 걸 알 수 있죠? 172cm는 두 번으로 겹치는데, 겹치는 것과 상관없이 모두 써줬어요. 줄기의 16에도 잎 칸에는 4가 두 번 적혀있어요.

줄기와 잎 그림을 보고 알 수 있는 건 뭘까요? 일단 줄기 15칸에는 잎에 숫자 3개가 적혀있어요. 150cm대 키가 3명이라는 걸 알 수 있죠. 160cm대는 4명, 170cm대도 3명이라는 걸 알 수 있어요. 전체는 10명이네요.

10명 학생 각자의 키를 구할 수 있어요. 163cm, 164cm, 164cm, … 이런 식으로요.

164cm보다 큰 학생의 수를 구할 수 있나요? 164cm니까 줄기에서 16을 찾고, 잎에서 4보다 큰 숫자를 찾으면 되겠죠? 8 한 개가 있으니까 1명이에요. 그리고 줄기에서 16보다 큰 17에 3명이 있으니까 164cm 보다 큰 학생의 수는 총 4명이에요.

줄기와 잎 그림을 보고 각각의 자료뿐 아니라 자료의 분포 상태도 금방 알아볼 수 있겠죠?

줄기와 잎 그림 그리는 방법

이번에는 줄기와 잎 그림을 직접 그려보죠.

1. 세로로 선을 긋고 왼쪽에 줄기의 숫자를 씁니다.
   이때, 잎 자리에는 일의 자리 숫자를 적으니까 줄기에는 일의 자리를 제외한 숫자를 크기 순서대로 씁니다.
2. 선의 오른쪽에 잎의 숫자를 쓰는데, 줄기의 십의 자리 숫자에 맞게 각 자료의 일의 자리 숫자만 가로로 쓰세요.
   일의 자리 숫자를 크기 순서대로 씁니다.
3. 제목을 적고 오른쪽에 (줄기 | 잎)의 설명을 쓰세요.

수학 점수에요. 92, 84, 88, 76, 96, 72, 92, 84, 68, 96

수학 점수가 68점부터 96점까지 있네요. 60점대부터 90점대까지 있다는 뜻이죠.

① 세로로 선을 긋고, 왼쪽 줄기에는 60점대의 숫자 6, 70점대의 숫자 7, 80점대의 숫자 8, 90점대의 숫자 9를 적어요.

② 잎에는 점수대별로 일의 자리 숫자를 쓰는데, 크기 순서대로 씁니다. 첫 번째 점수는 92점이니까 줄기 9칸의 잎에 2를 적으세요. 그다음 84점은 줄기 8칸의 잎에 4를 적고요. 88점은 줄기 8칸의 4옆에 8을 적어요. 남은 7개의 점수도 같은 방법으로 적으세요.

③ 마지막으로 수학 점수라는 제목을 적고, 오른쪽에 괄호를 열고 (6 | 8은 68점)이라고 써줍니다. 처음으로 조합할 수 있는 숫자를 보기로 들면 돼요.

A, B 두 반의 수학 점수를 줄기와 잎 그림으로 나타낸 것이다. 왼쪽은 A, 오른쪽은 B반일 때, 그림을 보고 물음에 답하여라.
(1) 가장 점수가 높은 학생의 점수는 몇 점이고, 어느 반에 속해있는가?
(2) A, B 반에서 80점 미만의 점수를 받은 학생은 몇 명씩 있는가?

줄기와 잎 그림인데, 이번에는 두 개를 하나로 합친 거예요. 가운데에 줄기가 있고, 양옆에 잎이 있죠? 왼쪽 잎은 A반의 점수, 오른쪽 잎은 B반의 점수네요.

(1) 가장 높은 점수를 받은 학생이 A반에서는 92점, B반에서는 96점이니까 양쪽 모두를 통틀어서 가장 높은 점수는 96점이고, B반 소속이에요.

(2)번 80점 미만의 학생은 줄기가 6, 7인 학생의 수를 구하면 되겠죠? A 반에는 줄기 7에 해당하는 학생이 3명, 6에 해당하는 학생은 0명이므로 총 3명이고요. B반에는 줄기 7에 해당하는 학생이 2명, 6에 해당하는 학생이 1명이니까 총 3명이네요.

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함수의 활용은 일차방정식의 활용과 비슷해요. 문제가 비슷한 게 아니라 문제를 푸는 순서가 비슷하다는 거죠.

차이가 있다면 일차방정식의 활용은 미지수가 x 하나인 것에 반해, 함수의 활용은 변수가 x, y 두 개라는 것이지요. 대신 함수는 관계식의 기본형태 두 가지가 주어져 있어서 그대로 이용하면 되기 때문에 오히려 쉬운 부분이 있어요.

그리고 함수의 활용에서는 일차방정식의 활용 2에서 사용했던 공식을 사용하기도 하니까 이 공식을 잘 외워두세요. 또 정비례와 반비례를 이용하여 함수의 관계식을 구하는 과정이 필수이므로 이 내용 또한 이해하고 있어야 합니다.

함수의 활용

함수의 활용 문제를 푸는 단계는 아래와 같아요.

1. 주어진 문제에서 변화하는 두 양을 x, y로 놓아요.
   함수에서 사용하는 문자 x, y는 변수에요. 문제에서 변하는 양을 찾아서 x, y로 놓아요.
2. x, y의 관계가 정비례, 반비례인지 확인하고 함수식을 구해요.
   정비례는 x가 2배, 3배, …가 될 때 y도 2배, 3배, …가 되는 관계이고 y = ax (a ≠ 0) 의 꼴이에요.
   반비례는 x가 2배, 3배, …가 될 때, y는 배, 배, …가 되는 관계로 (a ≠ 0) 의 꼴이에요.
3. 특정한 값을 대입하거나 그래프를 그려서 구하는 값을 찾으세요.
   ②에서 만든 함수식을 이용하여 구하는 값을 찾으세요.
4. 문제에서 원하는 답을 고르세요.
   함수식을 통해 구한 값 중에서 문제의 뜻에 맞는 답을 고릅니다. 예를 들어 거리나 사람 수 등은 양수를 선택하세요.

문제에 따라서 사용하는 함수의 기본꼴이 달라지기 때문에 어떤 함수식을 사용해야하는지 결정하는 단계인 ②번이 매우 중요해요.

함수의 활용 - 정비례

정비례는 x가 2배, 3배, …가 되면 y도 2배, 3배, …가 되는 걸 말해요. 이때 기본식은 y = ax (a ≠ 0) 의 꼴이에요. 정비례는 문제에서 바로 알 수 있는 경우도 있지만, 혹시 그렇지 않다면 비례식을 세울 수 있는지 보세요. 이때도 정비례 관계에요. 비례식을 세울 수 있을 때는 정비례의 기본꼴을 이용하지 않고 비례식을 풀면 곧바로 함수식을 구할 수 있어요.

한 상자에 10,000원인 사과가 있다. 사과 상자의 개수를 x, 사과의 가격을 y라고 할 때 x, y의 관계식을 구하고 사과 7상자를 사려면 얼마의 돈이 필요한지 구하여라.

1상자에 10,000원이면 2상자는 20,000원, 3상자는 30,000원이겠죠? x와 y가 정비례 관계에요.
y = ax의 꼴인데, 1상자가 10,000원이므로 x = 1, y = 10000을 대입하면
y = 10000x라는 관계식을 구할 수 있어요.

7 상자를 살 때의 가격을 물어봤으니 x = 7을 대입하면 y = 10000 × 7 = 70000(원)이네요.

1L의 기름으로 20km를 가는 자동차가 있다. 이 자동차에 xL의 기름을 채웠을 때 달릴 수 있는 거리를 ykm라고 한다면, 8L의 기름으로 자동차가 갈 수 있는 거리를 구하여라.

1L의 기름 : 20km의 거리 = xL : ykm라는 비례식을 세울 수 있네요. 이건 비례식을 바로 풀어버리죠. (내항의 곱) = (외항의 곱)인 건 알고 있죠?
y = 20x
여기에 문제에서 구하라고 한 기름이 8L일 때의 거리니까 y = 20 × 8 = 160(km)이에요.

함수의 활용 - 반비례

반비례는 x가 2배, 3배, …가 될 때, y는 배, 배, …가 되는 걸 말하는데, 이때 기본식은  (a ≠ 0) 의 꼴이에요. 반비례인지 확신이 서지 않을 때는 x, y의 곱이 일정한 값을 가지는지 보세요. xy가 일정한 값을 가지면 양변을 x로 나눠주세요. 반비례 함수의 기본꼴과 같아져요.

48개의 사탕이 있다. x명의 학생에게 사탕을 나누어주면 한 사람이 y개의 사탕을 받을 때, 여덟 명의 학생에게 사탕을 나누어 준다면 한 학생당 몇 개의 사탕을 받을 수 있는지 구하여라.

학생이 1명이라면 48개의 사탕을 다 받을 수 있죠? 그런데 학생이 2명이라면 한 명이 24개의 사탕을 가져요. 학생이 3명이라면 한 학생당 16개의 사탕을 받을 수 있어요. 즉 학생 수가 2배, 3배가 되면 한 학생이 받는 사탕의 수는 배, 배 되는 반비례 관계에 있어요.

사탕의 개수는 48개, 학생 수가 8명이라고 했으니 에 a = 48, x = 8을 대입해보죠.

한 사람당 6개씩 받을 수 있어요.

선영이는 총 300쪽인 책을 매일 같은 양씩 읽으려고 한다. 하루 x쪽씩 y일 동안 읽는다고 할 때 다음을 구하여라.
(1) x, y의 관계식을 구하여라.
(2) 하루 15쪽씩 읽는다고 할 때, 책을 다 읽으려면 며칠이 걸리는가?

(1) 하루에 책을 x쪽씩 y일 동안 읽는 책은 양은 xy에요. 그런데 이게 300쪽이죠. 따라서 xy = 300에서 양변을 x로 나눠주면 이 돼요.

(2) 하루 15쪽씩 읽는다고 했으니까 x = 15를 대입하면

20일 걸리네요.

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함수와 좌표평면에 대해서 알아봤어요. 이제 이 둘을 결합해보죠. 그게 바로 함수의 그래프에요.

함수별로 그래프를 그리는 방법과 특징이 달라요. 공통점과 차이점을 잘 이해하고 있어야 해요.

함수는 식으로 나타낼 수도 있고, 그래프로 나타낼 수도 있어요. 함수를 보고, 함수의 그래프를 그릴 수도 있어야 하고, 반대로 함수 그래프를 보고 함수식을 찾을 수도 있어야 해요.

이 글에서는 함수의 그래프가 뭔지, 함수 그래프는 어떻게 그리는 지, 함수별로 그래프는 어떻게 다른지를 비교해볼 거예요.

함수의 그래프

y = 2x라는 함수가 있을 때, (-3, -6), (-2, -4), (-1, -2), (0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6) 같은 순서쌍을 만들 수 있어요. 이 순서쌍들을 좌표평면에 나타내 보면 아래 그림처럼 되지요.

그런데 x가 정수일 때 뿐 아니라 유리수일 때도 순서쌍을 만들 수 있겠죠? 0.1, 0.11, 0.111, …, 0.2, 0.22, … 처럼요. 그러면 이런 x에 대응하는 y값들을 구해서 순서쌍을 만들고, 이 순서쌍을 좌표평면에 나타내면 점들이 모여서 선이 돼요. 이렇게 함수에서 만들 수 있는 순서쌍들을 좌표평면에 나타낸 것을 함수의 그래프라고 해요.

y = 2x의 함수에서 순서쌍을 만들어서 좌표평면에 나타내면 아래와 같은 그래프를 그릴 수 있어요.

x, y의 범위를 좁게 해서 함수의 그래프를 그려서 그렇지 실제로는 왼쪽 아래와 오른쪽 위로 계속 이어지는 그래프에요.

함수 y = ax (a ≠ 0)의 그래프

위에서 그렸던 y = 2x의 그래프가 바로 a = 2인 y = ax 형태의 그래프죠? 어떤 특징이 있나요? 일단 원점 O(0, 0)를 지나고 오른쪽 위로 향하는 직선이에요. 제1사분면과 제3사분면을 지나는 그래프네요.

이번에는 y = -2x의 그래프를 그려보죠. 마찬가지로 순서쌍을 만들고 그 순서쌍을 좌표평면에 찍어서 나타내요.

y = -2x의 그래프도 원점 O (0, 0)를 지나요. 그리고 오른쪽 아래로 향하는 직선이고, 제2사분면과 제4사분면을 지나네요.

함수 y = ax (a ≠0)의 그래프에서 x = 0이면 y = 0이니까 원점 O(0, 0)를 지나요. 그리고 a > 0이면 x와 y의 부호가 같죠? 그래서 제1사분면과 제3사분면을 지나는 거예요. 반대로 a < 0이면 x의 부호와 y의 부호가 반대라서 제2사분면과 제4사분면을 지나는 거죠.

함수 y = ax (a ≠ 0) 그래프 그리는 법

함수 y = ax (a ≠ 0)의 그래프는 원점을 지나는 직선이에요. 직선은 점 두 개만 있으면 그릴 수 있어요. y = ax의 그래프는 원점 O를 지나니까 원점이 아닌 다른 점의 좌표 하나만 더 알면 그릴 수 있다는 얘기예요.

y = 2x의 그래프를 예로 들면, 원점 (0, 0)과 (1, 2) 두 점을 연결해서 그리면 돼요. 굳이 x = 2, 3, 4, …  이런 점들의 순서쌍을 구할 필요가 없다는 뜻이죠. y = -2x도 원점 (0, 0)과 (1, -2) 두 점을 연결해서 그래프를 그릴 수 있어요.

함수 (a ≠ 0)의 그래프

이번에는 (a ≠ 0)의 함수의 그래프는 어떤 특징이 있는지 알아볼까요?

y =  그래프를 그려보죠.

먼저 순서쌍을 찾아보면 …, (-12, -1), (-6, -2), (-4, -3), (-3, -4), (-2, -6), (-1, -12), (1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1), …이 있네요. 물론 중간마다 x = 0.1, 0.11, …, 0.2, 0.22, … 같은 순서쌍도 찾을 수 있겠죠. 이런 점들을 좌표평면에 표시하면 아래처럼 돼요. 직선이 아니라 x축, y축에 가까워지면서 한없이 뻗어 나가는 곡선이 2개가 그려졌어요. 이 곡선은 제1사분면과 제3사분면을 지나네요.

y = -의 그래프도 그려보죠.

먼저 순서쌍을 찾으면 …, (-12, 1), (-6, 2), (-4, 3), (-3, 4), (-2, 6), (-1, 12), (1, -12), (2, -6), (3, -4), (4, -3), (6, -2), (12, -1), …이 있네요. 마찬가지로 정수가 아니라 유리수 순서쌍도 무수히 많을 거고요. 좌표평면에 점을 찍어봤더니 아래 그림처럼 그래프가 그려졌어요. x축, y축에 가까워지면서 한없이 뻗어 나가는 2개의 곡선인데, 곡선은 제2사분면과 제4사분면을 지나가요.

함수 (a ≠ 0)에서 분수의 분모인 x는 0이 될 수 없으니까 y축과 만나지 않아요. 또 a ≠ 0이므로 y ≠ 0이어서 x축과도 만나지 않죠. 대신 x축, y축에 한없이 가까워지지만 할 뿐이에요. x ≠ 0, y ≠ 0이니까 원점도 지나지 않죠. 모양도 직선이 아니라 곡선이에요. 그리고 a > 0이면 x와 y의 부호가 같으니까 제1사분면과 제3사분면을 지나요. 반대로 a < 0이면 x의 부호와 y의 부호가 반대라서 제2사분면과 제4사분면을 지나는 거죠.

(a ≠ 0)의 그래프

a > 0	a < 0
x축, y축에 한없이 가까워지는 한 쌍의 곡선
제1사분면, 제3사분면	제2사분면, 제4사분면

함수 (a ≠ 0)의 그래프 그리기

는 직선이 아니라 곡선이라서 가능하면 많은 순서쌍을 찾아야 해요. 그래서 그 순서쌍을 좌표평면에 나타내고, 곡선으로 연결하는 거죠. 기본적인 형태는 같아요. 지나는 점만 다르다고 생각하면 돼요.

몇 번 연습해보면 그릴 수 있어요.

다음에 그려진 함수의 그래프를 보고, 함수를 구하여라.

(1)은 제2사분면과 제3사분면을 지나는 직선이에요. y = ax의 그래프인데, a < 0인 그래프죠. 원점 O와 (1, -3)을 지나요. y = ax에 x = 1, y = -3을 대입하면 a를 구할 수 있어요.
y = ax
-3 = a × 1
a = -3

y = -3x의 그래프네요.

(2)는 제1사분면과 제3사분면을 지나는 곡선이에요. 의 그래프라는 얘기죠. 이 그래프는 (1, 5)를 지나네요. x = 1, y = 5를 대입해보죠.

의 그래프군요.

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수직선을 공부했었죠? 이 글의 내용은 수직선을 확장한 내용이에요. 그런데 그게 조금 많이 어렵습니다. 새로운 용어들과 그림이 많이 나오거든요.

어느 하나 중요하지 않은 용어가 없어요. 다음에 공부할 그래프는 물론, 2, 3학년 때도 계속 때도 사용하는 용어들이에요. 주의하고, 집중해서 잘 읽어보세요.

새로운 용어와 그림을 함께 기억하세요. 용어 따로 그림 따로가 아니에요. 문제를 읽고 그림으로 표현할 줄 알아야 하고, 그림을 보고 내용을 파악하려면 당연한 거겠죠?

순서쌍과 좌표

수직선이 뭔지 알고 있죠? 아래 그림처럼 수직선의 2라는 숫자에 점 A가 있다고 해보죠.

수직선의 2위에 점 A가 있다는 건 반대로 점 A에 2가 대응한다고 얘기할 수 있어요.

수직선 위의 한 점에 대응하는 수를 좌표라 하고 기호로는 P(a)라고 표시해요. 점 P가 수직선 위의 a라는 숫자에 있다는 뜻이에요. 만약에 점 A가 수직선의 2위에 있다고 한다면 A(2)라고 표시하고 A의 좌표는 2라고 하는 거예요.

좌표: 수직선 위의 한 점에 대응하는 수
P(a): 점 P의 좌표가 a

순서쌍은 한 쌍의 숫자를 순서대로 쓰는 걸 말해요. 한 쌍을 표시할 때는 괄호 안에 쓰고, 콤마(,)로 구분해요. 1, 2로 된 순서쌍은 (1, 2)로 쓰는 거예요.

순서쌍에서는 순서가 중요해요. (1, 2)와 (2, 1)은 다른 거예요.

좌표평면

수직선은 가로로 된 선이 하나만 있었어요. 그런데 가로로 된 수직선에 수직인 세로선(수직선)을 그어요. 이때 가로인 수직선을 x축, 세로인 수직선은 y축, x축과 y축을 합쳐서 좌표축이라고 하고 좌표축이 그려진 평면을 좌표평면이라고 해요. 또 두 수직선이 만나는 점을 원점 O라고 하고요.

수직선에는 0을 기준으로 오른쪽이 양수, 왼쪽이 음수였죠? 좌표평면에서는 x축은 점 O의 오른쪽이 양수, 왼쪽이 음수예요. y축은 점 O보다 위에 있으면 양수, 아래에 있으면 음수예요.

모눈종이나 바둑판을 생각해보세요.

수직선에는 점 P의 좌표를 P(a)라고 표시하는데, 좌표평면에서는 수직선이 2개니까 사용하는 숫자도 2개예요. 그래서 P(a, b)라고 표시해요. a는 점 P에서 x축에 수선을 내려서 만나는 점의 숫자로 x좌표라고 하고, b는 점 P에서 y축에 수선을 그어서 만나는 점의 숫자로 y좌표라고 해요.

좌표평면은 좌표축에 의해서 네 부분으로 나누어져요. 네 부분으로 나누어지니까 사분면이라고 하는데, 오른쪽 위에 있는 영역부터 반시계방향으로 제1사분면, 제2사분면, 제3사분면, 제4사분면이라고 불러요. 좌표축은 사분면을 나누는 기준일 뿐, 사분면에 포함되지는 않아요.

그림에서 사분면의 이름 옆에 괄호 안에 (+, +), (-, -) 이 표시는 사분면 위 점들 좌표의 부호예요. 제1사분면에 있는 점의 x좌표와 y좌표는 둘 다 양수니까 (+, +)로 표시한 거고, 제2사분면에 있는 점의 x좌표는 음수, y좌표는 양수라서 (-, +)로 표시한 겁니다.

어떤 점이 제1사분면에 있을 때, '제1사분면 위의 점이다' 이런 식으로 표현해요.

x축: 가로로 그어진 수직선
y축: 세로로 그어진 수직선
좌표축: x축, y축
좌표평면: x축과 y축이 그려진 평면
원점: x축과 y축이 만나는 점. O
P(x, y): 점 P의 좌표. x좌표, y좌표 순
사분면: 좌표평면이 좌표축으로 나누어진 네 영역, 제1사분면(+, +), 제2사분면(-, +), 제3사분면(-, -), 제4사분면(+, -)

다음 점들 중에서 제4사분면 위의 점은 무엇인가?
(1) A(2, 3)         (2) B(3, -2)
(3) C(-2, -3)      (4) D(-2, 3)

(1) A(2, 3)에서 x, y좌표의 부호가 둘 다 양수이므로 제1사분면 위의 점이네요.

(2) B(3, -2)에서 x좌표는 (+), y좌표는 (-)이므로 제4사분면 위의 점이네요.

(3) C(-2, -3)에서 x, y좌표 부호가 둘 다 음수이므로 제3사분면 위의 점이고요.

(4) D(-2, 3)에서 x좌표는 (-), y좌표는 (+)이므로 제2사분면 위의 점이네요.

따라서 제4분면 위의 점은 B입니다.

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두 변수 x y에 대하여 x가 정해지면 그에 따라 하나의 y가 정해질 때, y를 x의 함수라고 한다고 했어요. x가 정해지면 y가 하나만 결정되는데, 이때 x와 y의 관계에서 정비례, 반비례라는 용어를 사용해요.

정비례와 반비례는 평소에 많이 들어본 말일 거예요. 정비례는 단순히 하나가 커지면 다른 하나도 커지는 것, 반비례는 하나가 작아지면 다른 것도 작아지는 것 정도로 알고 있을 텐데, 수학에서는 그 의미가 조금 달라요.

이 글에는 정비례와 반비례의 정확한 의미를 이해하고 이걸 함수식으로 표현하는 방법까지 공부해볼 거예요. 또 정비례, 반비례가 아닌 경우도 알아볼 거고요.

함수의 관계식 - 정비례와 반비례

정비례

한 권에 1,000원 하는 공책을 x권 구입했을 때의 가격 y를 표로 나타내보죠.

x, y는 변수이고, 하나의 x에 하나의 y가 결정되니까 함수에요.

그런데 x가 1권에서 2권으로, 다시 3권으로 늘어날 때, y는 어떻게 변하나요? 공책의 권 수가 2배, 3배가 되면 내야 할 금액도 2배, 3배가 되죠? 이처럼 변수 x, y에서 x가 2배, 3배가 될 때 y도 2배, 3배가 되는 걸 정비례라고 해요.

함수가 정비례하는 경우에 y = ax (a ≠ 0)라는 관계가 성립해요. 이 경우에는 y = 1000x죠.

반비례

정비례와 반대인 경우를 볼까요?

넓이가 30cm²인 사각형을 만들려고 해요. 가로의 길이를 xcm, 세로의 길이를 ycm라고 할 때, x와 y의 관계를 알아보죠.

가로의 길이가 1cm → 2cm로 두 배가 되면 세로의 길이는 30cm → 15cm로 배가 되고, 가로의 길이가 1cm → 3cm로 3배가 되면 세로의 길이는 30cm → 10cm로 배가 되죠.

이처럼 x가 2배, 3배가 될 때, y는 배, 배가 되는 걸 반비례라고 해요.

함수가 반비례하는 경우에는 xy = a (a ≠ 0) 이라는 관계가 성립해요. 이 경우에는 xy = 30이죠.

정비례, 반비례가 아닌 경우

어떤 주머니에 빨간 공과 파란 공을 합쳐서 10개의 공이 들어있어요. 주머니 속에 들어있는 빨간 공의 개수를 x개, 파란 공의 개수를 y개라고 해보죠.

이때는 빨간 공의 개수가 1개 → 2개로 두 배가 되면 파란 공의 개수는 9개 → 8개가 되고, 빨간 공의 개수가 1개 → 3개로 3배가 되면 파란 공의 개수는 9개 → 7개가 돼요.

x가 2배, 3배가 될 때, y가 바뀌기는 하지만 몇 배씩 바뀌는 건 아니죠? 이런 경우에는 정비례도 아니고 반비례도 아닌 경우예요.

y가 x에 정비례하고, x = 10일 때, y = 20인 함수의 관계식을 구하여라.

y가 x에 정비례하면 함수의 관계식은 y = ax (a ≠ 0)이죠. 여기에 x = 10, y = 20를 대입해보죠.
20 = a × 10
a = 2

따라서 x와 y의 관계식은 y = 2x

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새로운 단원 함수에요. 다행스럽게도 2013년 교육과정 개편으로 함수에서 공부할 내용이 많이 줄어들었어요. 대신 함수는 1, 2, 3학년 모든 과정에서 계속해서 배우는 단원이에요. 내용이 줄었다고 해서 중요도가 줄어든 것은 아니라는 걸 명심하세요.

함수는 개념 정의가 상당히 어려운 부분이에요. 문제를 푸는 것과는 별개로 여러 번 읽어봐야 이해가 될 겁니다.

이 글에서는 함수의 정의와 함숫값의 뜻을 알아볼 거예요. 3년 동안 사용할 개념을 이 글에서 다루니까 제대로 잘 이해해야 합니다.

변수와 상수

"한 권에 1000원 하는 공책 x권을 샀다"고 했을 때, x는 1이 될 수도 있고, 2가 될 수도 있고 100이 될 수도 있죠. 이처럼 딱 정해진 값을 갖는 게 아니라 변하는 값을 변수라고 해요. 이런 변수들은 문자로 나타내기 때문에 변하는 값을 나타내는 문자를 변수라고 하기도 해요.

문자와 식에서 식에 문자를 사용하는 걸 공부했었죠? 거기서 사용했던 문자들이 모두 변수에요.

이와 반대로 1은 언제나 1이고 10은 언제나 10이에요. 어떤 경우라도 바뀌지 않고 그대로죠. 이처럼 변하지 않는 값을 상수라고 해요. 항, 상수항, 계수, 차수에서 상수항 들어봤죠? 숫자만 있는 항을 상수항이라고 한다고 했어요. 숫자만 있는 항은 바뀌지 않으니까 상수항인 거예요.

변수: 변하는 값
상수: 변하지 않는 값

함수의 정의

한 권에 1000원 하는 공책 x권을 샀을 때 내야 할 공책의 값을 y원이라고 한다면 y = 1000x에요.

공책의 권 수 x가 정해지면 그에 따라 내야 할 금액 y도 바뀌었네요. x와 y는 정해지지 않고 바뀌는 변수지요.

두 변수 x, y에 대하여 x가 정해지면 그에 따라 y의 값이 오직 하나로 결정될 때, y를 x의 함수라고 해요. 영어로는 Function이라고 해요. 무슨 말인지 잘 모르겠죠?

간단히 말해 위 표에서 x가 하나 정해지면 그에 따라서 y도 하나 정해지는데, 이걸 함수라고 하는 거예요.

여기서 중요한 건 하나의 x에 하나의 y가 정해져야 하는 거예요. 예를 들어서 공책을 한 권 샀는데, 1,000원 일 수도 있고 2,000원 일수도 있다면 이건 함수라고 할 수 없어요. 1권이라는 x에 1,000원, 2,000원이라는 두 개의 y가 있으니까요.

x가 바뀌는 데, y는 바뀌지 않아도 상관없어요. 공책을 한 권 사도 1,000원, 2권 사도 1,000원, 3권 사도 1,000원이어도 상관없다는 거죠. x 한 개에 y 하나가 결정되었잖아요. 이때는 그냥 y가 겹치는 것이거든요.

두 개의 그림이 있는데, 왼쪽에는 하나의 x에 하나의 y가 정해져서 함수라고 할 수 있어요. 오른쪽 그림에서는 y가 겹치긴 하지만 하나의 x에 하나의 y가 정해져 있으니까 함수에요.

위 그림의 1에서는 1,000과 2,000의 두 개의 y로 화살표가 이어져 있어요. 하나의 x에 두 개의 y가 정해졌으니까 함수가 아니에요.

위에서 x와 y는 y = 1000x라는 관계식으로 나타낼 수 있어요. 이 x와 y의 관계식을 함수식이라고 부르는데, 1000x라는 식이 x로 되어 있는 식이라서 Function의 F와 x를 결합해서 f(x)라고 해요.

따라서 함수를 식으로 표현할 때, 함수 y = 1000x 또는 f(x) = 1000x라고 하죠.

어떤 특정한 함수가 아니라 일반적인 함수를 나타낼 때는 y = f(x)라고 해요. 에프엑스라는 가수를 왜 함수그룹이라고 부르는지 알겠죠?

함수: 두 변수 x, y에 대하여 x가 정해지면 그에 따라 y의 값이 하나만 결정될 때, y를 x의 함수. y = f(x)

다음 중 함수가 아닌 것을 고르시오.
(1) x보다 큰 자연수 y
(2) 한 그릇에 5,000원 하는 자장면 x 그릇을 먹었을 때의 금액 y 원

두 변수 x, y에 대하여 x에 따라 y가 하나만 정해질 때 함수라고 한다고 했어요.

(1)번은 예를 들어 x = 2라고 하면 2보다 큰 자연수는 3, 4, 5, … 여러 개가 있죠? 하나가 아니에요. 따라서 (1)은 함수가 아니에요.

(2)번은 금액 y = 5000x의 관계가 있고, x 하나에 y가 하나만 정해지니까 함수라고 할 수 있어요.

함숫값

함수에서는 x에 따라서 y의 값이 하나만 결정된다고 했어요. x에 따라서 하나로 결정되는 그 y를 함숫값이라고 해요.

f(x) = 1000x에서
x = 1일 때, y = 1000이므로 x = 1일 때의 함숫값은 1000이죠. 이걸 식으로 쓰면 f(1) = 1000이 되죠.
x = 2일 때, y = 2000이므로 f(2) = 2000
x = 3일 때, y = 3000이므로 f(3) = 3000

쉽게 생각하세요. 우리 대입이라는 걸 공부했죠? 대신 넣는 거예요.
f(x) = 1000x에서
x = 1을 대입하면 x를 모두 1로 바꾸는 거예요. f(1) = 1000
x = 2를 대입하면 f(2) = 1000 × 2 = 2000
x = 3을 대입하면 f(3) = 1000 × 3 = 3000

여기서 1000, 2000, 3000이 x = 1, 2, 3일 때의 함숫값이에요.

함숫값: y = f(x)에서 x의 값에 따라 하나로 정해지는 y의 값
f(a): y = f(x)에서 x = a일 때의 함숫값

f(x) = ax + 4일 때, f(2) = 6이다. 다음을 구하여라.
(1) a는 얼마인가?
(2) f(4) - f(3)

(1) 에서 f(2) = 6이라는 말은 x = 2일 때, 함숫값이 6이라는 뜻이에요. 즉 f(x) = ax + 4에 x = 2를 대입하면 6이 나온다는 뜻이지요.
6 = 2 × a + 4
2 = 2a
a = 1

f(x) = x + 4 네요.

(2)번은 f(x) = x + 4이므로 x = 4, x = 3을 대입하면
f(4) - f(3) = 4 + 4 - (3 + 4) = 1

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인수분해 마지막 인수분해의 활용이에요. 인수분해 공식 다섯 개를 외우고 문제도 풀어봤는데, 이제는 인수분해를 이용해서 다른 계산을 편리하게 하는 방법을 알아볼 거예요.

인수분해 공식을 마지막으로 정리해보죠. 인수분해 공식 - 완전제곱식, 합차공식, 인수분해 공식 2 - 이차식

a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
a² - b² = (a + b)(a - b)
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
acx² + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)

인수분해의 활용

인수분해의 활용 - 수의 계산

2013² - 2012²을 구해봐요. 2013²를 계산기 없이 계산할 수 있을까요? 뭐 종이에 직접 계산해보면 구할 수는 있겠죠? 그런데 인수분해 공식을 활용하면 그런 귀찮은 과정도 계산기도 없이 계산할 수 있어요. 모양이 어떻게 생겼나요? (제곱 - 제곱) 꼴이잖아요. 이거 인수분해 공식에서 봤던 거죠? a² - b² = (a + b)(a - b)

2013² - 2012²
= (2013 + 2012)(2013 - 2012)
= 4025

실제로 계산기로 계산해 봐도 4025가 나와요. 계산기가 없으면 못 할 것 같았던 계산도 인수분해 공식을 활용했더니 계산할 수 있게 되었어요.

24 × 20 - 24 × 15를 해볼까요? 물론 값을 구해서 실제로 뺄셈을 하면 구할 수는 있겠죠? 하지만 인수분해 공식을 이용하면 더 쉽게 풀 수 있어요. 두 항에 모두 24라는 공통인수가 보이네요. 묶어보죠.
24 × 20 - 24 × 15
= 24 × (20 - 15)
= 24 × 5
= 120

인수분해 공식을 활용하면 훨씬 쉽죠?

인수분해를 활용한 수의 계산: 인수분해 공식을 사용하여 식을 간단히 하여 계산

인수분해의 활용 - 식의 값

이번에는 어떤 문자의 값을 알려주고, 그 문자가 들어있는 어떤 식을 계산한 결과를 계산해보죠.

x = 13일 때 x + 4 라는 식의 값은 x = 13을 대입해서 13 + 4 = 17로 구해요. 그러면 x = 13일 때 x² - 15x + 56을 구할 때도 x = 13을 대입해서 구해야 할까요?

x² - 15x + 56
= 13² - 15 × 13 + 56
= 169 - 196 + 56
= 30

x² - 15x + 56
= (x - 7)(x - 8)
= (13 - 7)(13 - 8)
= 30

x = 13을 바로 대입하는 것보다 식을 인수분해한 다음에 대입하는 것이 훨씬 쉽죠?

식의 값을 구할 때는 인수분해를 통해서 식을 간단히 한 다음에 문자의 값을 대입해서 푸세요. 이건 인수분해뿐 아니라 모든 식에서 사용하는 공통된 방법입니다.

일 때, x² - 8x + 10의 값을 구해보죠.

이번에도 마찬가지로 식을 먼저 간단하게 정리한 후에 x를 대입해야 해요. 그런데, x² - 8x + 10은 어떻게 해도 인수분해가 되지 않아요. 더는 간단하게 할 수 없다는 뜻이죠. 그렇다고 x값을 바로 대입하려면 계산이 너무 복잡해요. 이럴 때는 x를 변형합니다.

x에서 유리수 부분을 좌변으로 이항하고 양변을 제곱했더니 무리수 부분이 없어졌어요.

등식의 성질을 이용해서 좌변을 문제에서 요구하는 식으로 모양을 바꿀 수 있죠?
x² - 8x + 16 = 3
x² - 8x + 16 - 6 = 3 - 6
x² - 8x + 10 = -3

인수분해 공식을 활용하여 식의 값 구하기
식을 최대한 간단하게 정리 후 문자의 값을 대입
식이 간단하게 되지 않을 때는 문자의 값을 변형

x = 3 + , y = -4 - 일 때 다음을 구하여라.
(1) x² - y²
(2) x² - 6x + 9
(3) y² + 8y + 14

어떤 문자의 값이 주어지고, 해당 문자를 포함한 식의 값을 물어볼 때는 식을 간단히 해서 문자의 값을 대입하거나 문자의 값을 식과 같은 모양으로 변형해서 구해요.

(1) 인수분해 공식 - 합차공식을 이용해서 식을 간단히 할 수 있겠네요. 식을 간단히 한 후에 값을 대입해보죠.
x² - y²
= (x + y)(x - y)
= (3 + - 4 - ){3 + - (-4 - )}
= (-1)(7 + 2)
= -7 - 2

(2)도 인수분해 공식 - 완전제곱식을 이용해서 식을 간단히 할 수 있으니까 정리 후에 x를 대입하죠.
x² - 6x + 9
= (x - 3)²
= (3 +  - 3)²
= ()²
= 3

(3)은 인수분해 공식으로 간단히 정리되지 않아요. 그래서 y에 관한 식을 정리해서 문제와 똑같이 만들어줘야 해요.
y = -4 -
y + 4 = -
(y + 4)² = (-)²
y² + 8y + 16 = 3
y² + 8y + 16 - 2 = 3 - 2
y² + 8y + 14 = 1

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앞에서는 항의 개수가 3개 이하일 때를 해봤는데, 이제는 항의 개수가 4개 이상인 복잡한 식의 인수분해입니다.

항의 개수가 늘어나면 늘어난 만큼 식도 복잡해지고 계산 방법도 복잡해져요. 복잡한 식의 인수분해 1 - 공통인수로 묶기, 치환에서는 식의 모양을 바꾸서 인수분해를 했었는데, 이 글에서는 두 번의 인수분해 과정을 거쳐야 답이 나오는 경우에요.

그리고, 앞에서 공부했던 인수분해의 공식과 원리가 총 동원된 문제들이 나옵니다. 제법 어려운 문제들이니 틀리지 않게 주의해서 잘 보세요.

항이 4개 일 때

항이 네 개일 때, 모든 항에 공통인수가 있으면 공통인수로 묶으세요. 4개의 항에 공통인수가 없을 때는 다른 방법을 사용해야 해요.

2-2로 짝짓기

4개 모두에 해당하는 공통인수가 없다면 2개씩 짝을 짓고, 각 쌍을 공통인수로 묶어요. 각각을 공통인수로 묶어서 두 개의 항으로 만들면 다시 공통인수가 생기는데, 그때 다시 공통인수로 묶어주면 돼요.

xy - x - y + 1을 보죠. 항은 4개인데, 4개 항에 모두 공통으로 들어있는 인수가 없어요. 2개씩 묶어보죠.
xy - x - y + 1
= (xy - x) + (-y + 1)
= x(y - 1) - (y - 1)

앞 두 개의 항에는 x라는 공통인수가 있고, 뒤 두 개의 항에는 (-1)이라는 공통인수가 있어요. 각각을 따로 인수분해했더니 양쪽 모두에 (y - 1)이라는 항이 있네요. y - 1 = t로 치환해보죠.

= xt - t
= (x - 1)t
= (x - 1)(y - 1)

y - 1 = t이므로 마지막 줄에서 원래 값을 대입했더니 인수분해가 끝났어요. 계산에 익숙해지면 이 정도 식은 따로 치환하는 식을 넣지 않고도 바로 계산할 수 있을 거예요.

1. 4개의 항을 2개씩 2쌍으로 짝짓기
2. 각 쌍에서 공통인수를 찾아서 각각을 인수분해
3. 두 쌍에서 공통인수를 찾아서 한 번 더 인수분해

3-1로 짝짓기

x² - 6x + 9 - y²
= (x² - 6x) + 9 - y²
= x(x - 6) + (3 + y)(3 - y)

4개의 항이 있어서 앞의 두 개, 뒤의 두 개의 항으로 묶어서 해봤는데, 인수분해가 안 돼요. 방법이 틀렸다는 얘기예요. 이때는 2개씩 짝을 짓는 것 말고 다른 방법을 써야 해요.

앞의 3개와 뒤의 1개를 따로 짝을 지어보죠.

x² - 6x + 9 - y²
= (x² - 6x + 9) - y²
= (x - 3)² - y²
= (x - 3 + y)(x - 3 - y)
= (x + y - 3)(x - y - 3)

앞의 세 개와 뒤의 하나로 짝을 지었더니 인수분해가 되네요. 경우에 따라서는 앞의 한 개와 뒤의 3개를 짝 지어야 하는 경우도 있어요. 이런 경우는 대부분 한 개짜리가 제곱이고, 세 개짜리는 완전제곱식이며 이 둘은 (제곱 - 제곱)의 형태가 될 때가 많아요.

3 - 1로 할 건지, 1 - 3으로 할 건지는 일차항을 보면 쉽게 판단할 수 있어요. 예를 들어 x, y의 문자가 모두 들어있는 식에서 x의 일차항이 있으면 x², x, 상수항의 3개를 묶고, 남은 y항을 하나로 해요.

x² - 2x - 8 - y² 에서는 일차항이 -2x이므로 x², -2x, -8을 묶어요.
x² - y² + 2y + 8에서는 일차항이 2y이므로 -y², 2y, 8을 묶으세요.

1. 3 - 1 로 짝짓기
2. 3 개짜리 항을 완전제곱식으로 인수분해
3. 1개짜리 항과 ②의 완전제곱식을 합차공식으로 인수분해

항이 5개 이상일 때

항이 5개 이상인 경우는 많이 나오는 경우는 아닌데, 그래도 알아 두면 좋아요. 이때는 문자의 차수가 가장 낮은 한 문자를 선택해서 그 문자에 대해 차수가 높은 순에서 낮은 순서로 항들의 위치를 바꾼 다음에 인수분해를 합니다. 차수가 높은 순에서 낮은 순으로 쓰는 걸 내림차순으로 정리한다고 표현해요.

이때, 선택한 문자가 들어있지 않은 항은 모두 상수항 취급하세요. 예를 들어 y라는 문자를 선택했다면 x²항도 상수항이에요.

x² + xy - 5x - 2y + 6를 볼까요?

항이 5개, 문자는 x, y의 2개예요. 복잡하네요. x는 2차, y는 1차죠? 그렇다면 차수가 낮은 y를 선택하고 차수가 높은 것에서 낮은 순서대로 항의 위치를 바꿔요. 우선 y의 1차인 xy, -2y를 먼저 쓰고 나머지를 그 뒤에 쓰죠.

x² + xy - 5x - 2y + 6
= xy - 2y + x² - 5x + 6

순서를 바꾸고 보니까 앞의 두 항에는 y라는 공통인수가 들어있고, 뒤의 세 항은 인수분해가 되네요. 정리해보죠.
= y(x - 2) + (x - 2)(x - 3)

정리하고 보니까 (x - 2)라는 부분이 양쪽 모두에 들어있죠? x - 2 = t라고 치환하죠.
= yt + t(x - 3)
= t(y + x - 3)
= (x - 2)(y + x - 3)

한꺼번에 모아서 다시 써볼게요.

x² + xy - 5x - 2y + 6
= xy - 2y + x² - 5x + 6         ∵ y에 대해서 내림차순 정리
= y(x - 2) + (x - 2)(x - 3)    ∵ 공통인수로 묶기, 인수분해
= yt + t(x - 3)                    ∵ x - 2 = t로 치환
= t(y + x - 3)
= (x - 2)(y + x - 3)              ∵ t = x - 2 대입

복잡한 과정을 거쳐서 인수분해를 할 수 있었어요.

항이 5개 이상일 때: 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 내림차순으로 정리 후 인수분해

참고로 항이 4개인데, 2 - 2, 3 - 1로 묶이지 않을 때에도 한 문자에 관하여 내림차순으로 정리해보면 묶을 수 있는 경우가 있어요. 이 점도 기억해두세요.

다음을 인수분해 하여라.
(1) 3xy - 6y² - x + 2y
(2) 9x² - 4y² + 16y - 16
(3) x² + xy - x - 2y - 2

(1)은 네 개의 항으로 되어있어요. 네 항 모두에 들어있는 공통인수가 없기때문에 앞의 두 개와 뒤의 두 개를 따로 따로 인수분해해보죠.
3xy - 6y² - x + 2y
= 3y(x - 2y) - (x - 2y)
= (3y - 1)(x - 2y)

(2)는 앞의 두 개, 뒤의 두 개로 나누어도 공통인수가 없어요. 다른 방법을 해야한다는 뜻이에요. 3 - 1로 묶어보죠. 그런데, 뒤에 2, 3번째 항에 y라는 문자가 들어있으니까 앞의 하나와 뒤의 세 항으로 나누어 묶어보죠.
9x² - 4y² + 16y - 16
= (3x)² - 4(y² -4y + 4)
= (3x)² -4(y - 2)²
= (3x)² - {2(y - 2)}²
= {3x + 2(y - 2)}{3x - 2(y - 2)}
= (3x + 2y - 4)(3x - 2y + 4)

(3)번은 항이 다섯개나 있네요. 이 때는 차수가 낮은 한 문자를 선택해서 내림차순으로 정리를 해요. x는 이차, y는 일차이므로 y의 내림차순으로 정리해보죠.
x² + xy - x - 2y - 2
= xy - 2y + x² - x - 2
= (x - 2)y + (x - 2)(x + 1)
= (x - 2)(y + x + 1)

인수분해는 곱셈공식의 반대과정이니까 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식만 잘 외우고 있으면 반은 먹고 들어가는 단원이에요. 그렇다고 해서 인수분해 공식만 외우고 문제는 풀지 못하는 상황에 빠지면 안돼요. 공식을 외우는 건 계산을 쉽고 빠르게 하기 위해서니까요. 공식을 외우는 게 목적이 되어서는 안돼요.

이 글은 복잡한 식의 인수분해 방법 첫번째에요. 문제 자체에 공식을 바로 적용할 수 없으니 공식을 적용할 수 있도록 식의 모양을 바꾸는 방법을 공부할 겁니다. 처음 보면 복잡해보이지만 몇 가지 방법만 알면 기존에 외우고 있는 공식을 바로 써먹을 수 있으니까 너무 걱정하지 마세요.

복잡한 식의 인수분해

공통인수로 묶기

복잡한 식을 인수분해를 할 때 가장 먼저 해야할 일은 모든 항에 들어있는 공통인수로 묶는 것이에요. 일단 공통인수로 묶으면 남은 것들끼리 인수분해 공식을 이용해서 인수분해 할 수 있어요. 공통인수는 숫자일 수도 있고, 문자일 수도 있고, 숫자와 문자가 함께 있을 수도 있어요.

2x³y + 4x²y² + 2xy³을 해보죠. 모든 항에 2xy가 들어있어요. 2xy로 묶어보죠.

2x³y + 4x²y² + 2xy³
= 2xy(x² + 2xy + y²)
= 2xy(x + y)²                 ∵괄호안이 완전제곱식

2xy로 묶지않고 인수분해를 하려 했다면 할 수가 없었겠죠?

복잡한 식의 인수분해 1
공통인수로 묶기 → 인수분해 공식 사용

치환

치환은 바꾸는 걸 말해요. 식 안에 길이가 긴 내용을 짧은 다른 문자로 바꾸는 거죠. 치환은 2학년 곱셈공식 - 다항식 × 다항식을 공부할 때 이미 한 번 본 적이 있어요. 치환이라는 용어를 사용하지 않았을 뿐이에요.

a(a + b) - b(a + b)라는 식이 있다고 해보죠. 괄호를 전개해서 해볼까요?
a(a + b) - b(a + b)
= a² + ab - ab - b²
= a² - b²
= (a + b)(a - b)

복잡하죠? 문제에서 (a + b)라는 괄호로 묶어진 항을 t라는 문자로 바꿔보죠. (a + b) = t
a(a + b) - b(a + b)
= at - bt
= (a - b)t            ∵t는 공통인수
= (a - b)(a + b)    ∵a + b = t 이므로

두 번째 줄에서 (a + b) = t라고 놓으니까 두 항에 모두 t라는 공통인수가 들어있네요. 인수분해가 훨씬 쉬워졌죠? 그리고 t라는 문자에 원래 값인 (a + b)를 넣어줬더니 괄호를 전개해서 정리하고 인수분해한 것과 같죠?

치환을 하면 식의 길이도 짧아지고 차수도 낮아지는 장점이 있어서 계산할 때 많이 사용하는 방법이에요. 주의해야할 건 치환을 한 후에 답을 쓸 때는 대신 썼던 문자를 원래 값으로 바꿔줘야 한다는 거에요. 위에서도 마지막 줄에 t = (a + b)를 넣는 것까지 해야 계산이 끝나는 거에요. (a - b)t 라고 쓰면 틀립니다.

그리고 치환을 할 때 사용하는 문자는 t뿐 아니라 A, B 등 아무거나 상관없어요. 문제에 나와있지 않은 문자면 돼요.

(2a - b)² - 2(2a - b) - 8을 인수분해 해볼까요? 이 식도 마찬가지로 전개하지 않고 (2a - b) = t라고 치환해보죠.
(2a - b)² - 2(2a - b) - 8
= t² - 2t - 8
= (t - 4)(t + 2)
= (2a - b - 4)(2a - b + 2)

2a - b를 t라는 문자로 치환한 다음에 계산을 하고, 마지막에 t에 원래 값인 2a - b를 대입했더니 인수분해가 됐네요.

이번에는 (x + 1)² - (y - 1)²을 해보죠. 괄호로 묶어진 (x + 1) = A, (y - 1) = B라고 치환해보죠. 괄호 안의 내용이 서로 다르니까 다른 문자로 치환했어요.

(x + 1)² - (y - 1)²
= A² - B²
= (A + B)(A - B)
= {(x + 1) + (y - 1)}{(x + 1) - (y - 1)}
= (x + y)(x - y + 2)

복잡한 식의 인수분해 2 - 치환
식의 일부를 다른 문자로 바꾸어 계산 → 계산 후 바꾼 문자에 원래 값 대입
여러 항에 공통으로 들어있는 부분이나 괄호로 묶어진 곳을 치환

다음 식을 인수분해 하여라.
(1) a³b - 3a²b - 18ab
(2) (3a + 2)² + 4(3a + 2) + 3
(3) xy(x + 2)² - xy(y + 2)²

인수분해의 시작은 공통인수로 묶는 거에요. 공통인수로 묶은 후에 인수분해 공식을 사용해요. 공통인수로 묶어지지 않는다면 바로 인수분해 공식을 사용하거나 치환 등을 이용해서 인수분해 합니다.

(1) a³b - 3a²b - 18ab
ab(a² - 3a - 18)        ∵ ab가 공통인수
= ab(a - 6)(a + 3)

(2) (3a + 2)² + 4(3a + 2) + 3
= t² + 4t + 3                     ∵ 3a + 2 = t로 치환
= (t + 1)(t + 3)
= (3a + 2 + 1)(3a + 2 + 3)  ∵ 원래 값 대입. t = 3a + 2
= (3a + 3)(3a + 5)
= 3(a + 1)(3a + 5)            ∵ 3이 공통인수

(3) xy(x + 2)² - xy(y + 2)²
= xy{(x + 2)² - (y + 2)²}    ∵ xy가 공통인수
= xy(A² - B²)                  ∵ A, B로 치환
= xy(A + B)(A - B)
= xy{(x + 2) + (y + 2)}{(x + 2) - (y + 2)}
= xy(x + y + 4)(x - y)

곱셈공식은 다섯개가 있었어요. 인수분해 공식도 다섯개가 있어요. 인수분해 공식 - 완전제곱식, 합차공식에서 세 개 공부했으니까 남은 두 개를 해보죠. 곱셈공식에서도 4, 5번 공식이 좀 어려웠죠? 인수분해 공식도 4, 5번이 어려워요.

인수분해는 다음 단원인 이차방정식에서 꼭 해야하는 거라서 대충하고 넘어가면 안돼요. 그리고 고등학교 올라가면 또 나와요.

중학 과정에서 인수분해는 정수 범위 내에서 합니다. 아주 가끔 유리수가 나오기도 하는데, 그건 1년에 한 문제 볼까말까 하니까 신경 안써도 돼요.

인수분해 공식 - 이차항의 계수가 1일 때

인수분해 공식 네 번째는 이차항의 계수가 1이 아닐 때에요. 보통은 x에 관한 이차식이 나와요.

곱셈공식에서 계수가 1인 두 일차식의 곱셈은 (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab 였죠? 이거를 거꾸로 하는 거에요.

x² + 합x + 곱으로 되어 있는 꼴이지요. 여기서 할 일은 합해서 일차항의 계수, 곱해서 상수항이 나오는 두 수를 찾는 거에요.

x² + 3x + 2를 인수분해 해볼까요? 할 일이 뭐라고요? 더해서 3이 나오고 곱해서 2가 되는 수를 찾는 거에요. 대게 곱하서 상수항이 나오는 수를 먼저 찾아요. 곱해서 2가 나오는 두 수는 (1, 2), (-1, -2) 가 있지요? 이 두 개 중에 더해서 3이 되는 수는 (1, 2)에요.

x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

인수분해가 제대로 됐는 지 확인하고 싶다면, 인수분해 결과를 곱셈공식으로 전개해서 문제의 식이 나오는지 보면 돼요.

간단한 인수분해는 숫자를 직접 찾아서 할 수 있는데, 대부분 이차식의 인수분해를 할 때는 X자 방법을 사용해요.

1. 먼저 이차식을 쓰고
2. 이차항의 아래에 x를 세로로 두 번 써요. 곱해서 상수항이 나오는 두 수를 상수항 아래에 세로로 씁니다.
3. x와 상수항 아래의 숫자를 X 방향으로 곱해요.
4. 곱한 결과를 더해서 일차항이 나오는 지 확인합니다.
5. 일차항과 같다면 같은 줄에 있는 x와 숫자를 괄호로 묶어요.
   일차항과 다르다면 ②로 돌아가 곱해서 상수항이 나오는 다른 숫자를 쓰고 다시 반복합니다.
6. 괄호로 묶은 두 식을 곱셈으로 바꿔주면 인수분해가 끝납니다.

다음 식을 인수분해 하여라.
(1) x² + 6x + 8
(2) x² - 5x + 6

(1) x² + 6x + 8에서 곱해서 상수항 8이 되는 수는 (2, 4) (-2, -4), (1, 8), (-1, -8)이 있어요. 하나씩 해볼까요?

x를 세로로 두 번 쓰고, (2, 4)를 세로로 썼어요. 서로 X자 방향으로 곱했더니, 2x와 4x가 나왔는데, 이 둘을 더해서 6x가 됐죠? 더한 결과 6x는 일차항과 같아요. 같은 줄에 있는 x와 2를 괄호로 묶고, 다음 줄에 있는 x와 4를 괄호로 묶어서 (x + 2)(x + 4)가 됩니다.

x² + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)

(2) x² - 5x + 6에서 곱해서 상수항 6이 되는 수는 (2, 3), (-2, -3), (1, 6), (-1, -6)이 있어요.

x를 세로로 두 번 쓰고, (2, 3)를 세로로 썼어요. 서로 X자 방향으로 곱했더니, 2x와 3x가 나왔는데, 이 둘을 더해서 5x가 됐죠? 더한 결과 5x는 일차항과 다르죠? 일차항은 -5x에요.

다른 수를 대입해봐야 겠네요. (-2, -3)을 대입해보죠.

계산해봤더니 일차항과 같은 -5x가 나와요. 같은 줄에 있는 x와 -2를 묶어서 (x - 2), 다음 줄에 있는 x와 -3을 묶어서 (x - 3)을 구하고 이 둘을 곱해요.

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

인수분해 공식 - 이차항의 계수가 1이 아닐 때

이차항의 계수가 1이 아닐 때 사용하는 인수분해 공식은 많이 복잡해요. 곱셈공식에서도 복잡했잖아요. (ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd 였어요.

이걸 인수분해할 때도 위와 같은 X자 방법을 써요. 순서도 다 똑같아요. 대신에 곱해서 x²의 계수가 되는 두 수와 곱해서 상수항이 되는 두 수, 이렇게 총 4개의 수를 찾아야 해요.

2x² + 7x + 3을 인수분해 해보죠. 이차항의 계수가 2네요.

먼저 곱해서 이차항의 계수 2가 나오는 수는 (1, 2), (2, 1)이 있어요. (-1, -2), (-2, -1)도 있지만 여기서는 생략해도 됩니다. 상수항에서 부호를 바꾸면 결과가 같아지니까 이차항에서는 반대 부호를 해보지 않아도 돼요. 이거는 계산을 몇 번 해보면 자연스럽게 이해가 될 거에요.

곱해서 상수항 3이 되는 두 수는 (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1) 이 있어요.

이차항에는 (1, 2) 상수항에는 (1, 3)을 넣어서 X자 방법을 해보죠.

x × 3 = 3x, 2x × 1 = 2x. 이 둘을 더하면 5x가 되어서 일차항과 다르네요. 이건 답이 아니에요. 이번에는 이차항에 (1, 2), 상수항에는 (3, 1)을 넣어보죠.

x × 2 = 2x, 2x × 3 = 6x. 이 둘을 더한 게 7x가 되어 일차항과 같아요. 같은 줄에 있는 x와 3을 괄호로 묶어서 (x + 3), 아랫줄에 있는 2x와 1을 괄호로 묶어서 (2x + 1). 이 둘을 곱하면 답이 돼요.

x² + 7x + 3 = (x + 3)(2x + 1)

이차항의 계수가 1이 아닐 때는 경우의 수가 많이 나와요. 처음부터 바로 답이 나오는 경우가 많지는 않아요. 위 풀이에서는 두 번만에 답을 찾았지만 세 번, 네 번이 넘어가는 경우도 많이 나와요.

인수분해 공식 사용 팁

곱해서 상수항이 되는 두 수를 찾을 때 팁 한가지 알려드릴께요. 단, 위 X자 방법을 완전히 이해한 상태에서 보세요. 이해하지 않은 상태에서 보면 더 헷갈리니까요.

상수항의 부호와 일차항의 부호를 보고 경우의 수를 절반으로 줄이는 방법이에요. 이차항의 계수는 일단 보류하세요.

2x² + 7x + 3을 다시 볼까요? 곱해서 상수항 3이 되는 수는 (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1) 이렇게 4개가 있어요. 그런데 일차항이 +7x이므로 둘 다 양수인 (1, 3), (3, 1) 중 하나가 답이 되는 거에요. 2x² + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)

x² - 5x + 6을 보세요. 곱해서 상수항 6이 되는 수는 (2, 3), (-2, -3), (1, 6), (-1, -6)의 4개가 있어요. 그런데 일차항이 -5x 이므로 둘 다 음수인 (-2, -3), (-1, -6) 중 하나가 답이 되는 거죠. x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

2x² - 3x - 5를 볼까요? 곱해서 상수항 -5가 되는 수는 (-1, 5), (5, -1), (1, -5), (-5, 1)의 4개가 있어요. 그런데 일차항이 -3x로 음수니까 음수의 절댓값이 더 큰 (1, -5), (-5, 1) 중 답이 있어요. 2x² - 3x - 5 = (2x - 5)(x + 1)

다항식의 곱을 전개할 때는 곱셈공식을 사용하죠. 인수분해는 전개의 반대과정이라고 했어요. 따라서 인수분해를 공부하는 순서도 곱셈공식에서 공부했던 순서와 같아요.

인수분해 공식은 곱셈공식을 거꾸로 한 거니까 따로 외우지 않아도 돼요.

곱셈공식부터 정리해보죠. 총 다섯 개가 있는데, 이 글에서는 우선 완전제곱식과 합차공식의 세 가지만 볼게요.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²

인수분해 공식이라고 부르지는 않지만 인수분해할 때 가장 먼저 해야 하는 건 공통인수로 인수분해하는 거예요. 공식을 적용하기 전에 먼저 해야 합니다.

인수분해 공식 - 완전제곱식

완전제곱식이란

완전제곱식은 어떤 다항식을 두 번 곱하는 거예요. 숫자로 치면 제곱이랑 같아요.

완전제곱식은 어떤 식이 있고 그 전체가 제곱이어야 해요. (……………)²처럼 생겼어요. 앞에 숫자가 곱해져 있는 것도 완전제곱식이에요. 예를 들어 (x + a)²도 완전제곱식이고, 2(x + a)²도 완전제곱식이에요. 단 괄호 앞에 숫자가 아니라 문자이거나 제곱이 아닌 다른 식이 있으면 완전제곱식이라고 하지 않아요. x(x + a)²이나 (x + a)(x + b)²처럼 말이죠.

완전제곱식: 같은 다항식을 두 번 곱한 식, 또는 여기에 숫자를 곱한 식
(a + b)², k(a + b)²

어떤 식의 모양을 보고, 이게 완전제곱식의 전개식인지 아닌지를 판단하고, 완전제곱식으로 인수분해할 수 있어야 해요. 전개식을 보고 완전제곱식인지 아닌지 판단하는 방법을 알아보죠.

일단 전개식은 세 개의 항으로 되어 있어요. 두 개는 어떤 숫자나 문자의 제곱인 항인데, 이걸 A², B²이라고 쓸 수 있겠죠? 남은 한 개의 항은 제곱이 되는 a, b를 곱하고 거기에 또 2를 곱한 항이에요.

A² + 2 × A × B + B²

첫 번째 항은 a의 제곱, 세 번째 항은 b의 제곱, 가운데 항은 a와 b를 곱한 것의 두 배죠. 이런 모양이 바로 완전제곱식이에요. 가운데 항의 모양을 잘 기억하세요.

다음 식이 완전제곱식이 되도록 □에 알맞은 값을 구하여라.
(1) a² + □ + 36
(2) 4a² + 4ab + □

(1)의 모양을 조금 바꿔보죠.
a² + □ + 36
= a² + □ + 6²

□ = 2 × a × 6 = 12a

그런데, 36 = 6² = (-6)²이기도 하죠? 따라서 주어진 식은 a² + □ + (-6)²이라고 쓸 수도 있어요.

□ = 2 × a × (-6) = -12a

결국 □ = ±12a가 될 수 있어요. 가운데 항의 부호는 ± 가 될 수 있다는 걸 알아두세요.

(2)의 모양을 바꿔보죠.
4a² + 4ab + □
= (2a)² + 2 × 2a × b + □

□ = b²

여기는 제곱이니까 부호는 무조건 +에요.

완전제곱식으로 인수분해

일단 전개식이 완전제곱식이라는 걸 알았으면 완전제곱식으로 인수분해를 해야겠죠? 곱셈공식 - 완전제곱식을 거꾸로 하는 거니까 그 모양을 잘 생각해보죠.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

전개식에서 가운데 항의 부호가 완전제곱식의 가운데 항의 부호와 같다는 점만 주의하면 돼요. 전개식에서 각 항은 어떤 것의 제곱인지, 어떤 것을 곱했는지 파악하면 되겠죠?

a² ± 2ab + b² = (a ± b)²

다음 식을 다항식의 곱셈으로 나타내어라.
(1) a² + 4ab + 4b²
(2) 4a² + 12ab + 9b²
(3) 8a² + 8ab + 2b²

식을 다항식의 곱셈으로 나타내는 게 인수분해죠?

(1) 모양을 바꿔보면
a² + 4ab + 4b²
= a² + 2 × a × 2b + (2b)²
= (a + 2b)²

(2) 4a² + 12ab + 9b²
= (2a)² + 2 × 2a × 3b + (3b)²
= (2a + 3b)²

(3)은 모든 항이 2의 배수이므로 가장 먼저 공통인수로 인수분해를 해야 해요.
8a² + 8ab + 2b²
= 2(4a² + 4ab + b²)
= 2{(2a)² + 2 × 2a × b + b²}
= 2(2a + b)²

인수분해 공식 - 합차공식

곱셈공식에서 합차공식은 숫자, 문자는 같은데 가운데 부호만 다르게 해서 곱한 경우를 말하죠?
(a + b)(a - b) = a² - b²

인수분해는 거꾸로니까 (제곱 - 제곱)의 꼴 → 합과 차로 바꾸는 거예요. 이 공식을 사용해야 하는 경우를 찾는 건 쉽죠?

a² - b² = (a + b)(a - b)

다음을 인수분해하여라.
(1) 4a² - 9b²
(2) 3a² - 27b²
(3) a² + 4b²

제곱 - 제곱의 꼴일 때, 인수분해 공식을 적용할 수 있어요.

(1) 4a² - 9b²
= (2a)² - (3b)²
= (2a + 3b)(2a - 3b)

(2)는 각 항을 3으로 묶을 수 있으니까 먼저 3으로 묶은 다음에 인수분해 공식을 적용해야 해요.
3a² - 27b²
= 3(a² - 9b²)
= 3{a² - (3b)²}
= 3(a + 3b)(a - 3b)

(3)번은 (제곱 + 제곱)의 꼴이에요. 인수분해 공식을 적용할 수 없는 행태에요. 이건 함정으로 낸 문제인데, 더 이상 인수분해를 할 수 없어요.

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[중등수학/중2 수학] - 곱셈공식 - 합차공식 외

인수분해 어디서 들어본 것 같죠? 소인수분해 들어봤잖아요. 글자 하나만 다르죠? 그 원리나 용어의 뜻도 비슷해요. 소인수분해와 같은 점, 다른 점을 함께 공부하면 더 쉽게 이해할 수 있어요.

다항식의 곱셈에서 가장 기본이 되는 분배법칙과 그 분배법칙을 활용한 곱셈공식이 있어요. 인수분해는 다항식의 곱셈에서 했던 곱셈공식만 잘 외우고 있으면 반은 먹고 들어가는 단원이에요. 그러니까 이번에 곱셈공식을 잊고 있었다면 다시 한번 외우세요. 분배법칙, 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식

이 글에서는 인수분해와 인수의 뜻을 알아보고, 간단한 인수분해도 공부할거예요.

인수분해

약수와 인수

약수와 인수는 같은 것 같지만 서로 달라요.

어떤 수를 다른 수로 나누었을 때, 나머지가 0이면 나누는 수를 나눠지는 수의 약수라고 해요.

(나눠지는 수) ÷ (나누는 수) = (몫) + (나머지는 0)
(나눠지는 수) ÷ (약수) = (몫) + 0

반면에 인수는 어떤 수나 식들을 곱해서 다른 수나 식이 될 때 곱해지는 식 또는 수를 말해요.

(인수) × (인수) = (식 또는 수)

그러니까 약수는 나누기를 기준으로 하고, 인수는 곱하기를 기준으로 한다고 생각하면 쉬워요.

인수분해

소인수분해는 어떤 숫자를 소수인 인수 즉, 소인수들의 거듭제곱과 곱으로 나타내는 거죠? 숫자를 소인수들의 곱으로 분해하는 거잖아요. 인수분해는 어떤 다항식을 두 개 이상의 다항식 또는 수의 거듭제곱과 곱으로 나타내는 거예요. 소수뿐 아니라 다항식으로 분해라는 거라서 앞에 "소"자가 빠지고 그냥 인수분해예요.

소인수분해: 12 = 2² × 3
인수분해: x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

인수분해는 (하나의 다항식) -> (식의 곱)으로 표시하는 거예요. (식의 곱) → (하나의 다항식)으로 하는 반대과정을 생각해볼 수 있겠죠? 이 반대과정이 전개예요. 즉 인수분해와 전개는 서로 반대 과정인거죠.

다항식의 곱을 전개할 때 분배법칙, 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식을 이용해서 하죠. 전개와 인수분해가 반대과정이니까 인수분해 공식도 곱셈공식의 반대공식이에요.

인수 구하기

그러면 인수분해된 걸 보고 인수를 구하는 방법을 알아보죠.

x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

우변에서 곱해져 있는 것들이 바로 인수예요. (x + 1)과 (x + 2)가 인수죠. 그리고 이들을 곱한 게 또 인수입니다. 마지막으로 모든 수의 약수에 1이 포함되듯이 모든 식의 인수로도 1이 포함돼요.

인수 1개: (x + 1), (x + 2)
인수 2개를 곱한 것: (x + 1)(x + 2)
모든 식의 인수: 1

총 4개의 인수를 구할 수 있어요.

소인수분해를 이용하여 약수 개수 구하기에서 각 소수의 지수에 1씩 더해서 곱하면 약수의 개수만 바로 구하는 방법이 있었죠?

소인수분해 → a^m × bⁿ → (m + 1) × (n + 1)

12 = 2² × 3 → 약수의 개수는 (2 + 1)(1 + 1) = 6

인수분해에서도 같은 방법으로 인수의 개수를 구할 수 있어요.

x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
→ 인수 (x + 1)의 지수는 1, 인수 (x + 2)의 지수가 1
→ (1 + 1)(1 + 1) = 4

인수: ① 인수분해가 된 상태에서 괄호로 묶인 것, 괄호 밖의 숫자와 문자
        ② ①의 인수들을 서로 곱한 것
        ③ 모든 식의 인수 1
인수의 개수 = 각 인수의 (지수 + 1)의 곱

2x² + 6x + 4가 2(x + 1)(x + 2)로 인수분해될 때, 2x² + 6x + 4의 인수를 모두 구하여라.

인수분해가 이미 다 되어있네요. 인수분해가 된 상태에서 괄호 쳐진 각각의 것들이 모두 인수예요. 이때, 괄호 밖에 있는 것들은 숫자, 문자 모두 하나의 인수예요. 각 인수를 서로 곱한 게 인수고 마지막으로 1도 인수고요.

1개짜리 인수: 2, (x + 1), (x + 2)
2개를 곱한 인수: 2(x + 1), 2(x + 2), (x + 1)(x + 2)
3개를 곱한 인수: 2(x + 1)(x + 2)
모든 수의 인수: 1

총 8개의 인수가 있네요.

인수가 8개 맞는지 확인해보죠. 2의 지수 1, (x + 1)의 지수 1, (x + 2)의 지수 1이므로 (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8이네요. 8개가 맞네요.

공통인수로 인수분해

이제 직접 인수분해를 해볼까요? 인수분해를 할 때, 가장 먼저 하는 게 공통인수로 묶는 거예요. 이건 분배법칙을 거꾸로 하면 돼요

여러 개의 항도 인수로 되어 있겠죠? 그중에서 서로 똑같은 인수가 있을 때, 그걸 공통인수라고 하고 분배법칙을 이용해서 공통인수로 묶어요. 이때 공통인수는 1은 제외해요. 숫자는 최대공약수를 사용하고, 문자와 식은 차수가 가장 높은 걸 공통인수로 사용합니다.

공통인수: 모든 항에 들어있는 인수.
              1은 제외. 숫자는 최대공약수, 문자와 식은 차수가 높은 것
공통인수로 인수분해: 각 항을 공통인수로 묶고, 공통인수로 나눈 몫은 괄호로
                              ma + mb = m(a + b)

x² + 3x을 볼까요? x²은 x와 x²을 인수로 가져요. 3x는 3과 x가 인수죠? 공통으로 들어있는 인수는 x네요. x²에서 x로 나누면 x예요. 3x를 x로 나누면 3이고요. x라는 공통인수로 나누고, 몫을 그대로 써주면 돼요.
x² + 3x = x(x + 3)

12a + 16a²를 공통인수로 인수분해해보죠. 숫자는 최대공약수를 사용하니까 12와 16의 최대공약수 4이고 공통으로 들어있는 문자는 a예요. 그러니까 공통인수는 4a입니다. 12a를 4a로 나누면 3이죠? 16a²에서 4a로 나누면 4a고요.
12a + 16a² = 4a(3 + 4a)

다음 식을 인수분해하여라.
(1) x² - 3x
(2) 4a² + 8a
(3) 2xy + 3yz

공통인수로 묶어서 인수분해를 하는데, 공통인수는 각 항에 들어있는 인수 중 숫자는 최대공약수, 문자와 식은 차수가 가장 높은 걸 찾아요.

(1) 공통인수는 x네요. x로 묶고, 나머지는 괄호 안에 써주면
x² - 3x = x(x - 3)

(2) 공통인수는 숫자는 4, 문자는 a예요.
4a² + 8a = 4a(a + 2)

(3) 숫자는 최대공약수가 1이니까 제외하고요. 문자는 둘 다 y가 들어있어요.
2xy + 3yz = y(2x + 3z)