앞에서는 항의 개수가 3개 이하일 때를 해봤는데, 이제는 항의 개수가 4개 이상인 복잡한 식의 인수분해입니다.
항의 개수가 늘어나면 늘어난 만큼 식도 복잡해지고 계산 방법도 복잡해져요. 복잡한 식의 인수분해 1 - 공통인수로 묶기, 치환에서는 식의 모양을 바꾸서 인수분해를 했었는데, 이 글에서는 두 번의 인수분해 과정을 거쳐야 답이 나오는 경우에요.
그리고, 앞에서 공부했던 인수분해의 공식과 원리가 총 동원된 문제들이 나옵니다. 제법 어려운 문제들이니 틀리지 않게 주의해서 잘 보세요.
항이 4개 일 때
항이 네 개일 때, 모든 항에 공통인수가 있으면 공통인수로 묶으세요. 4개의 항에 공통인수가 없을 때는 다른 방법을 사용해야 해요.
2-2로 짝짓기
4개 모두에 해당하는 공통인수가 없다면 2개씩 짝을 짓고, 각 쌍을 공통인수로 묶어요. 각각을 공통인수로 묶어서 두 개의 항으로 만들면 다시 공통인수가 생기는데, 그때 다시 공통인수로 묶어주면 돼요.
xy - x - y + 1을 보죠. 항은 4개인데, 4개 항에 모두 공통으로 들어있는 인수가 없어요. 2개씩 묶어보죠.
xy - x - y + 1
= (xy - x) + (-y + 1)
= x(y - 1) - (y - 1)
앞 두 개의 항에는 x라는 공통인수가 있고, 뒤 두 개의 항에는 (-1)이라는 공통인수가 있어요. 각각을 따로 인수분해했더니 양쪽 모두에 (y - 1)이라는 항이 있네요. y - 1 = t로 치환해보죠.
= xt - t
= (x - 1)t
= (x - 1)(y - 1)
y - 1 = t이므로 마지막 줄에서 원래 값을 대입했더니 인수분해가 끝났어요. 계산에 익숙해지면 이 정도 식은 따로 치환하는 식을 넣지 않고도 바로 계산할 수 있을 거예요.
- 4개의 항을 2개씩 2쌍으로 짝짓기
- 각 쌍에서 공통인수를 찾아서 각각을 인수분해
- 두 쌍에서 공통인수를 찾아서 한 번 더 인수분해
3-1로 짝짓기
x2 - 6x + 9 - y2
= (x2 - 6x) + 9 - y2
= x(x - 6) + (3 + y)(3 - y)
4개의 항이 있어서 앞의 두 개, 뒤의 두 개의 항으로 묶어서 해봤는데, 인수분해가 안 돼요. 방법이 틀렸다는 얘기예요. 이때는 2개씩 짝을 짓는 것 말고 다른 방법을 써야 해요.
앞의 3개와 뒤의 1개를 따로 짝을 지어보죠.
x2 - 6x + 9 - y2
= (x2 - 6x + 9) - y2
= (x - 3)2 - y2
= (x - 3 + y)(x - 3 - y)
= (x + y - 3)(x - y - 3)
앞의 세 개와 뒤의 하나로 짝을 지었더니 인수분해가 되네요. 경우에 따라서는 앞의 한 개와 뒤의 3개를 짝 지어야 하는 경우도 있어요. 이런 경우는 대부분 한 개짜리가 제곱이고, 세 개짜리는 완전제곱식이며 이 둘은 (제곱 - 제곱)의 형태가 될 때가 많아요.
3 - 1로 할 건지, 1 - 3으로 할 건지는 일차항을 보면 쉽게 판단할 수 있어요. 예를 들어 x, y의 문자가 모두 들어있는 식에서 x의 일차항이 있으면 x2, x, 상수항의 3개를 묶고, 남은 y항을 하나로 해요.
x2 - 2x - 8 - y2 에서는 일차항이 -2x이므로 x2, -2x, -8을 묶어요.
x2 - y2 + 2y + 8에서는 일차항이 2y이므로 -y2, 2y, 8을 묶으세요.
- 3 - 1 로 짝짓기
- 3 개짜리 항을 완전제곱식으로 인수분해
- 1개짜리 항과 ②의 완전제곱식을 합차공식으로 인수분해
항이 5개 이상일 때
항이 5개 이상인 경우는 많이 나오는 경우는 아닌데, 그래도 알아 두면 좋아요. 이때는 문자의 차수가 가장 낮은 한 문자를 선택해서 그 문자에 대해 차수가 높은 순에서 낮은 순서로 항들의 위치를 바꾼 다음에 인수분해를 합니다. 차수가 높은 순에서 낮은 순으로 쓰는 걸 내림차순으로 정리한다고 표현해요.
이때, 선택한 문자가 들어있지 않은 항은 모두 상수항 취급하세요. 예를 들어 y라는 문자를 선택했다면 x2항도 상수항이에요.
x2 + xy - 5x - 2y + 6를 볼까요?
항이 5개, 문자는 x, y의 2개예요. 복잡하네요. x는 2차, y는 1차죠? 그렇다면 차수가 낮은 y를 선택하고 차수가 높은 것에서 낮은 순서대로 항의 위치를 바꿔요. 우선 y의 1차인 xy, -2y를 먼저 쓰고 나머지를 그 뒤에 쓰죠.
x2 + xy - 5x - 2y + 6
= xy - 2y + x2 - 5x + 6
순서를 바꾸고 보니까 앞의 두 항에는 y라는 공통인수가 들어있고, 뒤의 세 항은 인수분해가 되네요. 정리해보죠.
= y(x - 2) + (x - 2)(x - 3)
정리하고 보니까 (x - 2)라는 부분이 양쪽 모두에 들어있죠? x - 2 = t라고 치환하죠.
= yt + t(x - 3)
= t(y + x - 3)
= (x - 2)(y + x - 3)
한꺼번에 모아서 다시 써볼게요.
x2 + xy - 5x - 2y + 6
= xy - 2y + x2 - 5x + 6 ∵ y에 대해서 내림차순 정리
= y(x - 2) + (x - 2)(x - 3) ∵ 공통인수로 묶기, 인수분해
= yt + t(x - 3) ∵ x - 2 = t로 치환
= t(y + x - 3)
= (x - 2)(y + x - 3) ∵ t = x - 2 대입
복잡한 과정을 거쳐서 인수분해를 할 수 있었어요.
항이 5개 이상일 때: 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 내림차순으로 정리 후 인수분해
참고로 항이 4개인데, 2 - 2, 3 - 1로 묶이지 않을 때에도 한 문자에 관하여 내림차순으로 정리해보면 묶을 수 있는 경우가 있어요. 이 점도 기억해두세요.
다음을 인수분해 하여라.
(1) 3xy - 6y2 - x + 2y
(2) 9x2 - 4y2 + 16y - 16
(3) x2 + xy - x - 2y - 2
(1)은 네 개의 항으로 되어있어요. 네 항 모두에 들어있는 공통인수가 없기때문에 앞의 두 개와 뒤의 두 개를 따로 따로 인수분해해보죠.
3xy - 6y2 - x + 2y
= 3y(x - 2y) - (x - 2y)
= (3y - 1)(x - 2y)
(2)는 앞의 두 개, 뒤의 두 개로 나누어도 공통인수가 없어요. 다른 방법을 해야한다는 뜻이에요. 3 - 1로 묶어보죠. 그런데, 뒤에 2, 3번째 항에 y라는 문자가 들어있으니까 앞의 하나와 뒤의 세 항으로 나누어 묶어보죠.
9x2 - 4y2 + 16y - 16
= (3x)2 - 4(y2 -4y + 4)
= (3x)2 -4(y - 2)2
= (3x)2 - {2(y - 2)}2
= {3x + 2(y - 2)}{3x - 2(y - 2)}
= (3x + 2y - 4)(3x - 2y + 4)
(3)번은 항이 다섯개나 있네요. 이 때는 차수가 낮은 한 문자를 선택해서 내림차순으로 정리를 해요. x는 이차, y는 일차이므로 y의 내림차순으로 정리해보죠.
x2 + xy - x - 2y - 2
= xy - 2y + x2 - x - 2
= (x - 2)y + (x - 2)(x + 1)
= (x - 2)(y + x + 1)
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