앞에서는 항의 개수가 3개 이하일 때를 해봤는데, 이제는 항의 개수가 4개 이상인 복잡한 식의 인수분해입니다.
항의 개수가 늘어나면 늘어난 만큼 식도 복잡해지고 계산 방법도 복잡해져요. 복잡한 식의 인수분해 1 - 공통인수로 묶기, 치환에서는 식의 모양을 바꾸서 인수분해를 했었는데, 이 글에서는 두 번의 인수분해 과정을 거쳐야 답이 나오는 경우에요.
그리고, 앞에서 공부했던 인수분해의 공식과 원리가 총 동원된 문제들이 나옵니다. 제법 어려운 문제들이니 틀리지 않게 주의해서 잘 보세요.
항이 4개 일 때
항이 네 개일 때, 모든 항에 공통인수가 있으면 공통인수로 묶으세요. 4개의 항에 공통인수가 없을 때는 다른 방법을 사용해야 해요.
2-2로 짝짓기
4개 모두에 해당하는 공통인수가 없다면 2개씩 짝을 짓고, 각 쌍을 공통인수로 묶어요. 각각을 공통인수로 묶어서 두 개의 항으로 만들면 다시 공통인수가 생기는데, 그때 다시 공통인수로 묶어주면 돼요.
xy - x - y + 1을 보죠. 항은 4개인데, 4개 항에 모두 공통으로 들어있는 인수가 없어요. 2개씩 묶어보죠.
xy - x - y + 1
= (xy - x) + (-y + 1)
= x(y - 1) - (y - 1)
앞 두 개의 항에는 x라는 공통인수가 있고, 뒤 두 개의 항에는 (-1)이라는 공통인수가 있어요. 각각을 따로 인수분해했더니 양쪽 모두에 (y - 1)이라는 항이 있네요. y - 1 = t로 치환해보죠.
= xt - t
= (x - 1)t
= (x - 1)(y - 1)
y - 1 = t이므로 마지막 줄에서 원래 값을 대입했더니 인수분해가 끝났어요. 계산에 익숙해지면 이 정도 식은 따로 치환하는 식을 넣지 않고도 바로 계산할 수 있을 거예요.
- 4개의 항을 2개씩 2쌍으로 짝짓기
- 각 쌍에서 공통인수를 찾아서 각각을 인수분해
- 두 쌍에서 공통인수를 찾아서 한 번 더 인수분해
3-1로 짝짓기
x2 - 6x + 9 - y2
= (x2 - 6x) + 9 - y2
= x(x - 6) + (3 + y)(3 - y)
4개의 항이 있어서 앞의 두 개, 뒤의 두 개의 항으로 묶어서 해봤는데, 인수분해가 안 돼요. 방법이 틀렸다는 얘기예요. 이때는 2개씩 짝을 짓는 것 말고 다른 방법을 써야 해요.
앞의 3개와 뒤의 1개를 따로 짝을 지어보죠.
x2 - 6x + 9 - y2
= (x2 - 6x + 9) - y2
= (x - 3)2 - y2
= (x - 3 + y)(x - 3 - y)
= (x + y - 3)(x - y - 3)
앞의 세 개와 뒤의 하나로 짝을 지었더니 인수분해가 되네요. 경우에 따라서는 앞의 한 개와 뒤의 3개를 짝 지어야 하는 경우도 있어요. 이런 경우는 대부분 한 개짜리가 제곱이고, 세 개짜리는 완전제곱식이며 이 둘은 (제곱 - 제곱)의 형태가 될 때가 많아요.
3 - 1로 할 건지, 1 - 3으로 할 건지는 일차항을 보면 쉽게 판단할 수 있어요. 예를 들어 x, y의 문자가 모두 들어있는 식에서 x의 일차항이 있으면 x2, x, 상수항의 3개를 묶고, 남은 y항을 하나로 해요.
x2 - 2x - 8 - y2 에서는 일차항이 -2x이므로 x2, -2x, -8을 묶어요.
x2 - y2 + 2y + 8에서는 일차항이 2y이므로 -y2, 2y, 8을 묶으세요.
- 3 - 1 로 짝짓기
- 3 개짜리 항을 완전제곱식으로 인수분해
- 1개짜리 항과 ②의 완전제곱식을 합차공식으로 인수분해
항이 5개 이상일 때
항이 5개 이상인 경우는 많이 나오는 경우는 아닌데, 그래도 알아 두면 좋아요. 이때는 문자의 차수가 가장 낮은 한 문자를 선택해서 그 문자에 대해 차수가 높은 순에서 낮은 순서로 항들의 위치를 바꾼 다음에 인수분해를 합니다. 차수가 높은 순에서 낮은 순으로 쓰는 걸 내림차순으로 정리한다고 표현해요.
이때, 선택한 문자가 들어있지 않은 항은 모두 상수항 취급하세요. 예를 들어 y라는 문자를 선택했다면 x2항도 상수항이에요.
x2 + xy - 5x - 2y + 6를 볼까요?
항이 5개, 문자는 x, y의 2개예요. 복잡하네요. x는 2차, y는 1차죠? 그렇다면 차수가 낮은 y를 선택하고 차수가 높은 것에서 낮은 순서대로 항의 위치를 바꿔요. 우선 y의 1차인 xy, -2y를 먼저 쓰고 나머지를 그 뒤에 쓰죠.
x2 + xy - 5x - 2y + 6
= xy - 2y + x2 - 5x + 6
순서를 바꾸고 보니까 앞의 두 항에는 y라는 공통인수가 들어있고, 뒤의 세 항은 인수분해가 되네요. 정리해보죠.
= y(x - 2) + (x - 2)(x - 3)
정리하고 보니까 (x - 2)라는 부분이 양쪽 모두에 들어있죠? x - 2 = t라고 치환하죠.
= yt + t(x - 3)
= t(y + x - 3)
= (x - 2)(y + x - 3)
한꺼번에 모아서 다시 써볼게요.
x2 + xy - 5x - 2y + 6
= xy - 2y + x2 - 5x + 6 ∵ y에 대해서 내림차순 정리
= y(x - 2) + (x - 2)(x - 3) ∵ 공통인수로 묶기, 인수분해
= yt + t(x - 3) ∵ x - 2 = t로 치환
= t(y + x - 3)
= (x - 2)(y + x - 3) ∵ t = x - 2 대입
복잡한 과정을 거쳐서 인수분해를 할 수 있었어요.
항이 5개 이상일 때: 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 내림차순으로 정리 후 인수분해
참고로 항이 4개인데, 2 - 2, 3 - 1로 묶이지 않을 때에도 한 문자에 관하여 내림차순으로 정리해보면 묶을 수 있는 경우가 있어요. 이 점도 기억해두세요.
다음을 인수분해 하여라.
(1) 3xy - 6y2 - x + 2y
(2) 9x2 - 4y2 + 16y - 16
(3) x2 + xy - x - 2y - 2
(1)은 네 개의 항으로 되어있어요. 네 항 모두에 들어있는 공통인수가 없기때문에 앞의 두 개와 뒤의 두 개를 따로 따로 인수분해해보죠.
3xy - 6y2 - x + 2y
= 3y(x - 2y) - (x - 2y)
= (3y - 1)(x - 2y)
(2)는 앞의 두 개, 뒤의 두 개로 나누어도 공통인수가 없어요. 다른 방법을 해야한다는 뜻이에요. 3 - 1로 묶어보죠. 그런데, 뒤에 2, 3번째 항에 y라는 문자가 들어있으니까 앞의 하나와 뒤의 세 항으로 나누어 묶어보죠.
9x2 - 4y2 + 16y - 16
= (3x)2 - 4(y2 -4y + 4)
= (3x)2 -4(y - 2)2
= (3x)2 - {2(y - 2)}2
= {3x + 2(y - 2)}{3x - 2(y - 2)}
= (3x + 2y - 4)(3x - 2y + 4)
(3)번은 항이 다섯개나 있네요. 이 때는 차수가 낮은 한 문자를 선택해서 내림차순으로 정리를 해요. x는 이차, y는 일차이므로 y의 내림차순으로 정리해보죠.
x2 + xy - x - 2y - 2
= xy - 2y + x2 - x - 2
= (x - 2)y + (x - 2)(x + 1)
= (x - 2)(y + x + 1)
선생님! 본문에서 항이 5개 이상일때 인수분해 하는방법에서요 '지수가 가장 낮은 문자를 하나 골라서 내림차순으로 정리'하라고 하셨잖아요 그런데 여기서 지수를 말씀하시는건가요 차수를 말씀하시는건가요?? 오타인가요??
그리고 또 갑자기 지수하고 차수가 헷갈려졌어요..
이 내용에서는 지수, 차수 둘 다 같은 의미입니다.
선생님! 그럼 지수, 차수라는 말만 딱 놓고 보면 주로 쓰이는 곳의 차이인가요?
제 생각에는 지수는 대부분 단항식, 차수는 다항식 안에서 주로 쓰이는것 같은데요.
감사합니다.^^
x^2+xy-6y^2-3x+11y-4 이거 인수분해 어떻게하나요? 내림차순으로 정리해야 하는것 같은데 풀기가 어려워서요 ㅠㅠ
복잡한 식의 인수분해(고1과정, http://mathbang.net/320)의 마지막 문제를 참고해서 풀어보세요.
x^2-4xy+3y^2-6x+2y-16
=
x^2-4xy-6x+3y^2+2y-16
=
x^2+x(-4y-6)+(3y+8)(y -2)
=
(x-3y-8)(x-y+2) 가 된다는데 잘 이해가 안가요.
고1 과정 복잡한 식의 인수분해(http://mathbang.net/320) 마지막 예제를 참고하세요. 조금 어렵습니다.
마지막에 있는 9x제곱 - 4y제곱 + 16y -16 을 인수분해하는 문제 설명에서
(3x)제곱 - 4(y제곱 - 4y + 4)이 되는게 아니라 (3x)제곱 - 4(y제곱+ 4y - 4)
아닌가요?
-4로 묶었으니까 맞죠.
내림차순으로 정리할때 x와y둘다 일차식이면 뭐부터해야돼죠?
차수가 같으면 둘 중 아무거나 골라서 하면 돼요. 상관없어요.
비밀댓글입니다
2y가 맞네요.
일차항은 말 그대로 x, y 문자의 차수가 1차인 항을 말해요. 특별한 걸 없어요.
비밀댓글입니다
(x - 2)로 묶은 거예요.
하 .. 인수분해가 지금까지 배웠던 것 중에 제일 어려운 것 같아요
쉬운 것부터 공부하고 점점 어려워지는 거죠.
지금은 처음이라 어렵겠지만 문제 몇 개 풀어보고 감만 잡으면 굉장히 쉬운게 인수분해에요.
x^+xy+5x-2y^+10y는 어떻게 하나요
xy항이 있을 때는 x 이차항, xy항, y이차항의 세 항을 하나로 묶어서 인수분해 하고, 나머지 부분을 공통인수로 묶어보면 답을 구할 수 있어요.
3xy-6y^2-x+2y
=3y(x-2y)-(x-2y)
-(x-2y) 가 이해가 안돼요.
-(x+2y) 니까 -x-2y 가 되야하는게 아닌가요?
아니면 3y(x-2y)(-x+2y) 아닌가요 두개의 항으로 묶으면?
공통인수인 x - 2y를 만들기 위해, 앞의 두 항은 3y로, 뒤의 두 항은 -1로 묶은 거예요.
왜 xy(x-y)^2 = xy(x+y)^2-3xy 인지 알려줄 수 있나여?ㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜ
양변이 서로 달라요. 같지 않아요.
혹시 저기 그 완전제곱식으로 만든다는게 이해가 안가서요;;;; 어떻게 2로 묶어내도 안나오는데
아 아닙니다 그냥 9를 더하고 뒤에 빼주면 되는거였네요(3제곱해서 y랑 같이 묶은다음에)그래서 (x-1)전체제곱+9-y제곱이 나왔는데 맞나요??
본문 중 어느 부분을 얘기하시는지 모르겠네요.
a^2+3a(b+c)+2(b+c)^2은 어떻게 인수분해하나요?
(b + c)를 통째로 하나의 문자 t라고 생각하고 인수분해를 해보세요.
a^2 + 3a(b + c) + 2(b + c)^2
= a^2 + 3at + 2t^2
= (a + t)(a + 2t)
잖아요.
그런데 원래 b + c = t이므로 원래 자리에 넣어주면
a^2 + 3a(b + c) + 2(b + c)^2
= a^2 + 3at + 2t^2
= (a + t)(a + 2t)
= (a + b + c)(a + 2b + 2c)
좀 더 자세한 건 복잡한 식의 인수분해에서 치환 설명을 참고해주세요.
https://mathbang.net/320
글 감사합니다 ㅜㅜ 질문이 있는데 여러 문자의 차수가 다른 경우에 왜 '차수가 가장 낮은 문자'에 대해 내림차순으로 정리하나요?? 그게 인수분해가 편한 이유가 뭔가요?
차수가 3차면 (이차식) x (일차식) 또는 (일차식) x (일차식) x (일차식) 이렇게 인수분해가 되잖아요? 이차식이 있거나 일차식이 3개죠.
그런데, 차수가 2차면 (일차식) x (일차식)으로 인수분해가 돼요. 일차식이 2개고요.
식의 차수가 낮고 식의 개수가 적으면 편하잖아요.
죄송해요,, 이해가 안 가요ㅠㅠ
1. 어떤 문자로 정리해도 같은 식이면 결국엔 똑같이 인수분해되지 않나요? 근데 왜 더 편한 거예요??
2. 이해가 안 가면 그냥 여러 항일 때 낮은 차수를 가진 문자로 하는 게 편하다 정도만 알고 있어도 수능에 지장없을까요,..ㅠㅠㅠ
결과는 같은데, 중간 과정이 더 쉬워요.
중간에 식이 하나 더 적거나 차수가 낮으니까 계산 과정이 덜 복잡하다는 뜻이에요.
2x^2 - 5xy - 3y^2 + x + 4y - 1은 어떻게 인수분해 해야하나요??
조금 어려운 문제네요.
한 문자에 대해서 내림차순으로 정리해야하는데, x, y가 모두 2차니까 아무거나 하나 골라서 내림차순으로 정리를 하고요.
선택하지 않은 문자로 이루어진 세 항이 인수분해가 돼요. 그걸 인수분해를 하고요.
선택된 문자의 일차항을 이용해서 전체를 인수분해 해야 해요.
x를 선택해서 내림차순으로 정리하고, x의 일차항의 계수는 묶었고, 나머지 세 항은 인수분해를 했어요.
2x^2 - 5xy - 3y^2 + x + 4y - 1
= 2x^2 - 5xy + x - 3y^2 + 4y - 1
= 2x^2 - (5y - 1)x - (3y^2 - 4y + 1)
= 2x^2 - (5y - 1)x - (3y - 1)(y - 1)
여기까지는 이해돼죠? 이제부터가 조금 어려운데요.
이차항의 계수 2와 상수항 -(3y - 1)(y - 1)을 이용해서 일차항의 계수 -(5y - 1)이 나오게 인수분해 공식 5번 X자 방식의 인수분해를 해야 해요.
(3y - 1)과 (y - 1)을 각각의 항으로 생각하고 어디에 (-)를 붙여야 -(5y - 1)이라는 계수가 나올지 해보면
{2x + (y - 1)}{x - (3y - 1)}
= (2x + y - 1)(x - 3y + 1)
답을 구할 수 있어요.
고1 복잡한 식의 인수분해 마지막 예제의 풀이와 그림을 참고해주세요.
https://mathbang.net/320
내림차순 이해 안되서 문제 나올때마다 못풀었는데 수학숙제하는데 도움이 많이 되었어요^^ 이해잘되는 글 올려주셔서 감사합니다:) 항상 잘 찾아보고 있어요!
a*(b-c)^5+b*(c-a)^5+c* (a-b)^5는 어떡해 하나요??
3-1로 묶어줄때
Y 제곱 아닌가요?
식에 오류가 있는거 같습니당
고쳤어요. ㅠ
마지막 2번째 문제에서 (3x)² -4(y - 2)²를 어떻게 (3x)² -{2(y - 2)}²로 만드는 건가요??
4가 2^2이니까
전체적으로는 (제곱) - (제곱)꼴이잖아요.
아하 그렇군요 답변 해주셔서 감사합니다