인수분해 마지막 인수분해의 활용이에요. 인수분해 공식 다섯 개를 외우고 문제도 풀어봤는데, 이제는 인수분해를 이용해서 다른 계산을 편리하게 하는 방법을 알아볼 거예요.
인수분해 공식을 마지막으로 정리해보죠. 인수분해 공식 - 완전제곱식, 합차공식, 인수분해 공식 2 - 이차식
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)
인수분해의 활용
인수분해의 활용 - 수의 계산
20132 - 20122을 구해봐요. 20132를 계산기 없이 계산할 수 있을까요? 뭐 종이에 직접 계산해보면 구할 수는 있겠죠? 그런데 인수분해 공식을 활용하면 그런 귀찮은 과정도 계산기도 없이 계산할 수 있어요. 모양이 어떻게 생겼나요? (제곱 - 제곱) 꼴이잖아요. 이거 인수분해 공식에서 봤던 거죠? a2 - b2 = (a + b)(a - b)
20132 - 20122
= (2013 + 2012)(2013 - 2012)
= 4025
실제로 계산기로 계산해 봐도 4025가 나와요. 계산기가 없으면 못 할 것 같았던 계산도 인수분해 공식을 활용했더니 계산할 수 있게 되었어요.
24 × 20 - 24 × 15를 해볼까요? 물론 값을 구해서 실제로 뺄셈을 하면 구할 수는 있겠죠? 하지만 인수분해 공식을 이용하면 더 쉽게 풀 수 있어요. 두 항에 모두 24라는 공통인수가 보이네요. 묶어보죠.
24 × 20 - 24 × 15
= 24 × (20 - 15)
= 24 × 5
= 120
인수분해 공식을 활용하면 훨씬 쉽죠?
인수분해를 활용한 수의 계산: 인수분해 공식을 사용하여 식을 간단히 하여 계산
인수분해의 활용 - 식의 값
이번에는 어떤 문자의 값을 알려주고, 그 문자가 들어있는 어떤 식을 계산한 결과를 계산해보죠.
x = 13일 때 x + 4 라는 식의 값은 x = 13을 대입해서 13 + 4 = 17로 구해요. 그러면 x = 13일 때 x2 - 15x + 56을 구할 때도 x = 13을 대입해서 구해야 할까요?
x2 - 15x + 56
= 132 - 15 × 13 + 56
= 169 - 196 + 56
= 30
x2 - 15x + 56
= (x - 7)(x - 8)
= (13 - 7)(13 - 8)
= 30
x = 13을 바로 대입하는 것보다 식을 인수분해한 다음에 대입하는 것이 훨씬 쉽죠?
식의 값을 구할 때는 인수분해를 통해서 식을 간단히 한 다음에 문자의 값을 대입해서 푸세요. 이건 인수분해뿐 아니라 모든 식에서 사용하는 공통된 방법입니다.
일 때, x2 - 8x + 10의 값을 구해보죠.
이번에도 마찬가지로 식을 먼저 간단하게 정리한 후에 x를 대입해야 해요. 그런데, x2 - 8x + 10은 어떻게 해도 인수분해가 되지 않아요. 더는 간단하게 할 수 없다는 뜻이죠. 그렇다고 x값을 바로 대입하려면 계산이 너무 복잡해요. 이럴 때는 x를 변형합니다.
x에서 유리수 부분을 좌변으로 이항하고 양변을 제곱했더니 무리수 부분이 없어졌어요.
등식의 성질을 이용해서 좌변을 문제에서 요구하는 식으로 모양을 바꿀 수 있죠?
x2 - 8x + 16 = 3
x2 - 8x + 16 - 6 = 3 - 6
x2 - 8x + 10 = -3
인수분해 공식을 활용하여 식의 값 구하기
식을 최대한 간단하게 정리 후 문자의 값을 대입
식이 간단하게 되지 않을 때는 문자의 값을 변형
x = 3 + , y = -4 -
일 때 다음을 구하여라.
(1) x2 - y2
(2) x2 - 6x + 9
(3) y2 + 8y + 14
어떤 문자의 값이 주어지고, 해당 문자를 포함한 식의 값을 물어볼 때는 식을 간단히 해서 문자의 값을 대입하거나 문자의 값을 식과 같은 모양으로 변형해서 구해요.
(1) 인수분해 공식 - 합차공식을 이용해서 식을 간단히 할 수 있겠네요. 식을 간단히 한 후에 값을 대입해보죠.
x2 - y2
= (x + y)(x - y)
= (3 + - 4 -
){3 +
- (-4 -
)}
= (-1)(7 + 2)
= -7 - 2
(2)도 인수분해 공식 - 완전제곱식을 이용해서 식을 간단히 할 수 있으니까 정리 후에 x를 대입하죠.
x2 - 6x + 9
= (x - 3)2
= (3 + - 3)2
= ()2
= 3
(3)은 인수분해 공식으로 간단히 정리되지 않아요. 그래서 y에 관한 식을 정리해서 문제와 똑같이 만들어줘야 해요.
y = -4 -
y + 4 = -
(y + 4)2 = (-)2
y2 + 8y + 16 = 3
y2 + 8y + 16 - 2 = 3 - 2
y2 + 8y + 14 = 1
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인수분해, 공통인수로 인수분해
인수분해 공식 - 완전제곱식, 합차공식
인수분해 공식 두 번째
인수분해 다시보니 감회가 새롭네요 ㅋ
옛날에 중학교 다닐 당시에는 공부가 그렇게 싫더니
이제와서 생각해보면 그 시절이 행복했던 것 같습니다 ㅋ
그러게요. 고등학교때는 공부에 지쳤을 때니까, 중학교 때가 가장 좋은 시절이 아니었나 싶어요.
비밀댓글입니다
인수분해는 그렇게 돼요. 그리고 인수분해한 다음에 식을 대입하면 문제를 풀 수 있지요. 그런데, 그렇게 하면 계산이 복잡하니까 다른 방법으로도 풀 수 있다는 걸 보여주는 거예요.
안녕하세요
저는수학설명이어렵거나할때가끔오는편인데
그럴때마다쉽게설명해주셔서이해가잘되는거같아요감사합니다
포스팅잘보고가요
덕분에시험점수잘나왔어요^^
매번감사드립니다
시험 점수 잘 나왔으면 한 턱 쏴야 되는 거 아닌가요? ㅎㅎ
혹시 이거 중3것 맞나요?
네, 중3 과정 맞아요.
그럼 25제곱-2x 25x5x5제곱은요?
인수분해 공식 - 완전제곱식(http://mathbang.net/270)을 참고하세요.
안녕하세요 y제곱+8y+15는 이차항의 계수가 1인 식의 인수분해로 됩니다. (y+3)(y+5)로요. 풀이에서는 인수분해가 안된다고 했지만 실제로는 인수분해가 되는 식입니다.
아 제가 잘못 봤습니다. 인수분해로 구하면 힘들다 했지만. 인수분해해서 풀어보면 합차공식에 의해 의외로 쉽게 답인 2가 나오더군요. 물론 y값을 변형하는 방법도 간단하긴한데. 둘다 풀이가 간편한 예시이었던거 같습니다.
인수분해가 되네요. ㅠ
앞에 인수분해해서 문제 푸는 건 해봤으니까 다른 방법으로 풀려고 했던 건데, 새로운 방법이 아니라도 풀 수 있는 거네요.
그래서 인수분해가 안되도록 문제를 바꾸겠습니다. ㅎㅎ
저기 마지막 예제 1번문제 그냥 x제곱-y제곱에다가 대입하면 근호 없애서 답 나오지 않나요?
궁금합니다
대입해서 구해도 되죠.
다만, 이 글의 목적은 바로 대입해서 계산하는 것보다 인수분해를 이용해서 식을 간단히 한 후에 대입하면 계산이 더 쉽다는 거예요.
x^2-8x+16=3
=x^2-8x+16-6=3-6 에서
왜 6을 빼는거예요?
16을 없애려면 16을 빼거나 인수분해 해서
(x-4)^2=3 이렇게 해도 되지 않나요?
그리고 (x-3)^2 가 왜 (3+루트3-3)^2가 되죠?
(x-3)^2는 x^2-6x+9 = (3+루트3)^2-6(3+루트3)+9 = (9+3)-(18-6루트3)+9 = 12-18-6루트3+9 = 12-18+9-6루트3 = 15-6루트3 아닌가요?
마지막으로 y^2+8y+16=3 여기까진 알겠는데 2를 왜 빼는지 모르겠어요.(첫번째 질문과 같은맥락 이예요..)
1,3
구하려고 하는 게 x, y값이 아니에요. 문제에서 뭘 구하라고 했는지 잘 보세요.
2. 곱셈공식을 전개하고 정리하는데 오류가 있습니다. 다시 계산해보세요.
이렇게 긴 식에 값을 그대로 대입해서 풀면 오류가 생기고 틀리니까, 그러게 하지 말고, 간단하게 정리한 후에 대입하는 것이 좋다는 것이 본문의 내용입니다.
아이 수학문제 풀이할 때 큰 도움을 받고 있습니다. 다음과 같은 문제는 어떻게 풀면 좋을지 알려주시면 감사하겠습니다.
(1-1/2제곱)(1-1/3제곱)(1-1/4제곱)ᆢ (1-1/100제곱)
10제곱-20제곱+30제곱-40제곱+ᆢ+90제곱-100제곱
생각에 생각을 거듭해서 풀었는데 정답이 맞는지 확인부탁드려요.
1. 101/200
2. -5500
쌤,제곱근이 너무 햇갈려서 그러는데요ㅜㅜ
근호앞에 마이너스 부호가 있으면 제곱을해도 마이너스 부호가 된다고 적혀 있던데;;
-(루트3)^2는 3이 되나요?
만약 괄호가 없는 경우,
마이너스 루트 3의 제곱은 마이너스3이 되나요?
기초가 너무 없어서 ㅜㅜ
전체 수의 부호를 보고 판단해요.
- (루트3)^2 = -3
(- 루트3)^2 = 3
- (루트 3)^2 은 전체 수가 음수잖아요. 그렇니까 -3이고, (- 루트 3)^2은 전체 수가 양수니까 3이에요.
제곱근의 성질 참고해주세요.
https://mathbang.net/255