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일차방정식의 풀이에서 일차방정식의 해를 구하는 기본적인 방법을 알아봤어요. 이 글에서는 조금 더 복잡한 일차방정식의 풀이를 해볼 거예요. 방법은 똑같은데, 식이 조금 더 어렵게 나와요.

식이 복잡하고 어렵다고 해도 이항과 등식의 성질을 이용한 풀이라는 기본 원리는 똑같아요. 복잡한 식을 가능한 한 쉬운 식으로 모양을 바꾸면 다음에 우리가 알고 있는 방법으로 풀 수 있어요.

따라서 이 글에서는 공부할 내용은 복잡한 일차방정식을 덜 복잡한 일차방정식으로 바꾸는 방법이에요.

복잡한 일차방정식의 풀이

괄호가 있을 때

유리수의 사칙연산 혼합계산에서 거듭제곱과 괄호를 먼저 계산해야 한다고 했었죠? 괄호가 있는 일차방정식에서도 마찬가지로 괄호를 먼저 계산해야 해요. 거듭제곱은 안 나오니까 제외하고요. 괄호는 대부분이 분배법칙으로 풀어야 하는 경우에요. 분배법칙으로 괄호 푸는 법 알고 있죠?

2(4x + 2) = 6x + 2
8x + 4 = 6x + 2            분배법칙으로 괄호 풀기
8x - 6x = +2 - 4            x는 좌변, 상수항은 우변으로 이항
2x = -2                         계산
x = -1                           x의 계수로 양변 나누기

계수가 분수일 때

계수가 분수면 계산하기가 복잡하죠. 대신 계수를 정수로 바꿔서 계산하면 계산이 편해져요. 계수를 정수로 바꾸려면 분수의 분모를 없애줘야 하는데, 분모의 최소공배수를 이용해요. 모든 분모의 최소공배수를 방정식의 양변에 곱해서 분모와 최소공배수를 약분시켜 정수로 바꿔주는 거죠.

계수가 소수일 때

계수가 소수일 때도 분수일 때처럼 계수를 정수로 바꿔서 해요. 대신 이때는 10, 100, 1000, … 등 10의 거듭제곱을 곱해요. 계수가 0.1이면 10을, 계수가 0.01이면 100을 곱하고, 여러 소수가 섞여 있을 때는 소수점 이하 자리가 가장 많은 계수를 기준으로 10의 거듭제곱을 곱해요.

0.2x - 0.14 = 0.5x + 0.16
100(0.2x - 0.14) = 100(0.5x + 0.16)    상수항이 소수점이하 두 자리이므로 양변에 100을 곱.
20x - 14 = 50x + 16                            분배법칙으로 괄호 풀기
20x - 50x = 16 + 14                             x는 좌변, 상수항은 우변으로 이항
-30x = 30                                             동류항 계산
x = -1                                                   x의 계수로 양변을 나눔

비례식일 때

방정식이 비례식으로 나왔을 때는 (내항의 곱) = (외항의 곱)이라는 비례식의 성질을 이용해요. 내항의 곱과 외항의 곱을 이용하면 일반적으로 볼 수 있는 방정식으로 모양이 바뀝니다.

(x - 1) : 2 = (2x + 1) : 3
3(x - 1) = 2(2x + 1)          (내항의 곱) = (외항의 곱)으로 변형
3x - 3 = 4x + 2                 분배법칙을 이용하여 괄호 전개
3x - 4x = 2 + 3                 x는 좌변, 상수항은 우변으로 이항
-x = 5                              동류항 계산
x = -5                               x의 계수로 양변을 나눠줌

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사실 이제까지 해온 모든 과정은 이 글의 내용을 위해서 공부한 것이라고 해도 과언이 아니에요. 이 단원의 핵심이 바로 오늘 공부할 내용입니다.

일차방정식의 뜻과 풀이는 한 단원에서 제일 중요한 것뿐 아니라, 중1 수학에서 핵심 중의 핵심인 내용입니다. 매우 중요하죠.

설명과 원리는 비교적 간단하니까 문제 푸는 연습을 많이 하세요. 암산까지는 아니더라도 막힘없이 문제를 푸는 수준까지는 되어야 합니다.

이항

등식의 성질에서 등식의 양변에 같은 수를 더하거나 같은 수를 빼도 등식은 성립한다고 했어요. 그리고 이 등식의 성질을 이용해서 미지수 x의 값을 구했죠.

2x + 3 = 9에서 좌변의 3을 없애주려고 양변에서 3을 빼줬어요.
2x + 3 - 3 = 9 - 3

여기서 우변은 그대로 두고, 좌변만 계산을 해보면 3 - 3은 0이 되니까 2x만 남죠.
2x = 9 - 3

처음 식 2x + 3 = 9와 두 번째 식 2x = 9 - 3을 비교해볼까요?

다른 건 다 그대로인데, 좌변에 + 3이 없어지고, 우변에 - 3이 생겼죠? 좌변에 있던 상수항은 없어지고, 우변에는 상수항과 부호가 반대인 새로운 상수항이 생겼어요.

이걸 원래 좌변에 있던 항의 부호를 반대로 바꿔서 우변으로 옮기는 것으로 생각하게 된 거죠. 이렇게 함으로써 좌변에서 상수항을 계산했던 과정을 생략할 수 있거든요.

이처럼 등식의 성질을 이용해서 등식의 한 변에 있는 항을 부호를 바꾸어 등호의 반대쪽으로 옮기는 것을 이항이라고 해요. 이건 좌변에 있는 걸 부호를 바꾸어 우변으로 옮길 수도 있고, 우변에 있는 걸 부호를 반대로 바꿔서 좌변에 써 줄 수 있어요. 상수항만 되는 게 아니라 모든 항이 가능해요.

3 = x - 4에서 우변의 - 4를 좌변으로 옮기면서 부호를 반대로 바꿔주면
3 + 4 = x가 되지요.

3x - 2 = 6 - x라는 식이 있을 때, x가 있는 항을 좌변으로, 상수항을 우변으로 이항하면
3x + x = 6 + 2가 돼요.

일차방정식의 뜻

일차방정식은 일단 이름에서 방정식이라는 걸 알 수 있어요. 그리고 차수가 1이라는 것도 알 수 있죠. 일차방정식은 차수가 1인 방정식을 말해요.

식 자체만 봐서는 일차방정식인지 아닌지 알 수 없어요. 일차방정식인지 판단하기 전에 모든 항을 좌변으로 이항해서 동류항끼리 계산을 해야 해요. 계산한 뒤에 좌변이 일차식이 되는지를 봐야 알 수 있어요. 일차방정식은 (일차식) = 0의 형태거든요.

2x + 3 = 5의 모든 항을 좌변으로 이항해서 정리해보죠.
2x + 3 - 5 = 0
2x - 2 = 0

이 식은 미지수 x의 차수가 1인 일차방정식이 맞네요.

2(x + 3) = 6 + 2x의 모든 항을 좌변으로 이항시켜 보죠.
2(x + 3) - 6 - 2x = 0
2x + 6 - 6 - 2x = 0
0 = 0

모든 항을 좌변으로 이항해서 정리했는데, 미지수 x가 없어요. 그래서 차수가 0이 되었죠. 2(x + 3) = 6 + 2x를 봤을 때, x의 차수가 1이었는데, 정리를 해보니까 x가 없어졌어요. 그냥 봤을 때는 일차방정식처럼 보이지만 실제는 아니라는 거죠. 따라서 일차방정식인지 아닌지를 알아볼 때는 이항과 동류항 정리를 꼭 해봐야 합니다.

다음 중 일차방정식을 모두 고르시오.
(1) 2(x + 3) = -2x + 3
(2) 2(x + 3) = 2x + 3
(3) x² + x - 1 = x² - x - 1
(4) x² + x - 1 = -x² - x - 1

일차방정식인지 아닌지 알아볼 때는 모든 항을 좌변으로 이항해서 정리한 식이 일차식인지 보는 거예요.

(1) 2(x + 3) = -2x + 3의 모든 항을 이항시켜보죠.
2(x + 3) + 2x - 3 = 0
2x + 6 + 2x - 3 = 0
4x + 3 = 0

좌변이 x에 관한 일차식이므로 일차방정식이 맞네요.

(2) 2(x + 3) = 2x + 3
2(x + 3) - 2x - 3 = 0
2x + 6 - 2x - 3 = 0
3 = 0

일단 3과 0은 같지 않으니까 틀린 등식인데다가 좌변에 문자가 없이 상수항만 있으니 차수가 0이 되어 일차식도 아니고, 방정식도 아닌 식이네요.

(3) x² + x - 1 = x² - x - 1
x² + x - 1 - x² + x + 1
2x = 0

좌변이 x에 관한 일차식이므로 일차방정식이군요.

(4) x² + x - 1 = -x² - x - 1
x² + x - 1 + x² + x + 1 = 0
2x² + 2x = 0

최고차항의 차수가 2이므로 이차방정식입니다.

보기에서 (1)과 (3)이 일차방정식입니다.

일차방정식의 풀이

일차방정식의 풀이는 기본적으로 이항과 등식의 성질을 이용해요. 등식의 성질을 이용한 방정식의 풀이에서 x = (숫자)꼴로 만들어서 해를 구했어요.

여기서도 마찬가지예요. x = (숫자) 꼴로 만들어요.

1. x가 포함된 모든 항은 좌변으로, x가 없는 항(상수항)은 모두 우변으로 이항
2. 각 변을 정리하여 ax = (숫자)꼴로
3. x의 계수 a로 양변을 나눈다.

다음 방정식을 풀어라.
(1) 2x + 4 = 3x - 5
(2) 5 + 3x = x + 7

방정식을 푼다는 말은 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값, 해를 구하라는 얘기예요. 방정식을 풀 때는 좌변에는 x가 있는 항, 우변에는 상수항이 오도록 이항하고, 동류항을 계산한 다음 x의 계수로 나눠주는 거죠.

(1) 2x + 4 = 3x - 5
2x - 3x = -5 - 4
-x = -9
x = 9

(2) 5 + 3x = x + 7
3x - x = 7 - 5
2x = 2
x = 1

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방정식과 항등식, 등식의 뜻에서 등식과 방정식, 항등식에 대해서 공부했어요.

이제는 등식의 성질을 공부할 거예요. 등식의 특징이 있는데, 이 특징을 잘 이용하면 방정식의 해를 쉽게 구할 수 있거든요. 앞으로 배울 단원이 일차방정식인 걸 고려하면 이 등식의 성질은 앞으로 계속해서 사용할 아주 중요한 성질이라는 알 수 있겠죠?

그렇다고 성질을 공식처럼 외울 필요는 없어요. 그 의미를 제대로 파악하고 실제 식에서 사용할 수 있으면 돼요.

등식의 성질

등식에는 아주 중요한 성질이 있어요. 이 성질은 꼭 알고 있어야 합니다.

참인 등식은 등호(=) 양쪽에 있는 좌변과 우변이 같아요.

2 + 3 = 5는 참인 등식이죠. 이 등식의 양변에 4를 더해볼까요?
2 + 3 + 4 = 5 + 4

양변에 똑같이 4를 더하면, 좌변, 우변의 값은 9로 달라지지만, 양쪽 모두 9니까 서로 같은 건 그대로죠. 만약에 양변에 똑같이 4를 뺀다면 어떨까요? 값은 1이 되지만 양변 모두 1이니까 양변이 같은 건 그대로 에요.

즉, 참인 등식에서 양변에 같은 수를 더하거나 빼더라도 그 등식은 계속 참인 거죠.

양변에 같은 수를 더하거나 뺄 때뿐 아니라 같은 수를 곱하거나 나눌 때도 똑같아요. 이걸 등식의 성질이라고 해요.

등식의 성질

1. 등식의 양변에 같은 수를 더해도 등식은 성립한다.
   a = b이면 a + c = b + c
2. 등식의 양변에서 같은 수를 빼도 등식은 성립한다.
   a = b이면 a - c = b - c
3. 등식의 양변에 같은 수를 곱해도 등식은 성립한다.
   a = b이면 ac = bc
4. 등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.
   a = b이면 a ÷ c = b ÷ c (c ≠ 0)

한 가지 주의할 건 양변을 같은 수로 나눌 때 0으로 나누는 건 안 되요. 나눗셈은 분수로 바꿀 수 있는데, 분모가 0인 분수는 없으니까 0으로 나누는 경우는 없어요. 문제에서 "등식의 양변을 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다."라는 말이 나오면 틀린 거예요.

등식의 성질을 이용한 일차방정식의 풀이

등식의 성질이 왜 중요하면 방정식을 풀 때 이용하기 때문이에요.

방정식의 해를 구할 때, x = 1, 2, 3, …처럼 숫자를 하나씩 넣으면서 구할 수는 없어요. 해가 1, 2, 3안에 있으면 괜찮지만 100일 수도 있고, -1일 수도 있잖아요. 혹은 일 수도 있고요.

이때, 등식의 성질을 이용하면 방정식의 해를 조금 더 쉽게 구할 수 있어요.

4x + 2 = -10이라는 방정식이 있다고 해보죠. x = (숫자) 꼴로 나타내면 미지수 x의 값을 구할 수 있죠? 이 미지수 x의 값이 방정식의 해고요. 방정식의 좌변에 x만 남도록 식의 모양을 바꿔보죠.

4x + 2 = -10에서 좌변에서 일단 2를 없애보죠. 2를 없애려면 2를 빼면 되는데, 좌변에서 2를 빼면, 우변에도 똑같이 2를 빼줘야 등식이 성립해요.
4x + 2 = -10
4x + 2 - 2 = -10 - 2        (등식의 양변에서 똑같은 수를 빼도 등식은 성립한다.)
4x = -12

이제 좌변에 4x만 남았네요. 4x는 원래는 4 × x로 곱셈기호가 생략된 거예요. 4로 나눠주면 x만 남겠죠? 좌변을 4로 나누면 우변도 4로 나눠줘야 등식이 성립해요.
4x = -12
4x ÷ 4 = -12 ÷ 4           (등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.)
x = -3

해를 구했어요.

등식의 성질을 이용한 방정식의 풀이
x = (숫자) 꼴로 방정식의 모양을 바꾼다.
x가 없는 항을 먼저 정리하고, 마지막에 x의 계수로 양변을 나눈다.

등식의 성질을 이용하여 다음 방정식을 풀어라.
(1) -3x + 2 = 8
(2) 5x - 5 = 30

x = (숫자) 꼴로 방정식의 모양을 바꾸는데, 이때 등식의 성질을 이용해요.

(1)에서 먼저 2를 없앤 다음에, x에 곱해져 있는 (-3)을 없애야겠네요.
-3x + 2 = 8
-3x + 2 - 2 = 8 - 2
-3x = 6
-3x ÷ (-3) = 6 ÷ (-3)
x = -2

(2) 5x - 5 = 30
5x - 5 + 5 = 30 + 5
5x = 35
5x ÷ 5 = 35 ÷ 5
x = 7

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이번 글은 아주아주 중요합니다. 앞으로 배울 수학에서 가장 기본이 되는 식을 배울 거거든요. 여기서 공부할 방정식은 앞으로 배울 부등식, 함수 등 모든 식의 기본이 되는 식이에요.

다만 한가지 다행인 건 우리가 이제까지 알게 모르게 해왔던 것 과정이라는 거지요. 이름을 몰랐을 뿐이고, 그 정확한 정의를 몰랐을 뿐이에요.

방정식과 항등식은 비슷해 보이지만 다른 식이에요. 둘을 구별할 수 있도록 차이를 잘 비교해보세요.

등식

2 + 3을 계산해보세요. 2 + 3 = 5 이렇게 계산할 거예요.

위 계산에서 = 라는 기호를 사용했어요. 등호라고 부르는 이 기호는 = 양쪽이 서로 같다는 뜻이에요.

등식은 등호(=)의 양쪽이 서로 같음을 나타내는 식이에요. 등호의 왼쪽을 좌변, 오른쪽은 우변이라고 부르고, 좌변과 우변을 통틀어 양변이라고 불러요.

식에 등호가 있으면 식이 맞든 틀리든 상관없이 등식이라고 해요. 식이 맞으면 참인 등식, 틀리면 거짓인 등식이라고 해요.

2 + 3 = 6이라는 식이 있어요. 좌변과 우변이 다른데, 등호를 써서 같다고 했으니 잘못된 식이죠? 이게 바로 거짓인 등식이에요.

방정식과 항등식

방정식

문자와 식에서 문자를 사용해서 식을 세울 수 있다고 공부했어요. 문자를 왜 쓰나요? 모르는 어떤 수를 □라고 쓰는 대신 문자로 썼었죠? 이 모르는 수를 미지수라고 합니다. 미지수는 보통 x를 쓰지만 정해진 건 아니니까 아무 문자나 사용해도 상관없어요.

예전 같으면 "□ + 3 = 5에서 □는 2입니다." 했다면 이제는 "x + 3 = 5에서 x = 2입니다."로 바뀐 것뿐이에요.

방정식은 미지수가 있어서, 그 미지수에 따라 식이 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식이에요. 등호와 미지수가 같이 있어야 해요.

x + 3 = 5에서
x가 1이면 좌변은 4, 우변은 5여서 이 식은 거짓이에요.
x가 2면 좌변과 우변이 모두 5로 같지요. 이때 식은 참이에요.
x가 3이면 좌변이 6, 우변은 5여서 거짓이 되지요.

미지수 x에 따라서 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하니까 x + 3 = 5는 방정식이라고 할 수 있는 거지요.

방정식이 참이 될 때의 미지수를 방정식의 해 또는 방정식의 근이라고 해요. x + 3 = 5에서는 x가 2일 때, 식이 참이었으니 이 방정식의 해는 2에요.

문제의 답을 구하는 걸 문제를 푼다고 하지요? 방정식에서 해를 찾는 걸 방정식을 푼다고 해요.

방정식: 미지수에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식
방정식의 해: 방정식을 참이 되게 하는 미지수. 방정식의 근
방정식을 푼다: 방정식의 해를 구하는 것.

항등식

항등식은 미지수에 어떤 수를 대입해도 참이 되는 등식이에요. 항상 참인 등식이죠.

x + 1 = 1 + x라는 식에서
x = 1이면 좌변과 우변이 모두 2로 같아요. 참이죠.
x = 2이면 좌변과 우변 모두 3으로 같아요. 역시 참이에요.

x + 1 = 1 + x는 x에 어떤 값을 넣어도 참이 돼요. 항등식이죠.

방정식과 항등식 구별 

x + 1 = 1 + x을 보세요. 좌변 x + 1은 덧셈에 대한 교환법칙에 의해서 1 + x와 같죠. 결국, 좌변과 우변이 모두 1 + x에요. 양변이 서로 같으니까 항등식인 거죠.

x + x = 2x라는 식도 한 번 볼까요. 좌변을 동류항 덧셈을 해보면 2x가 돼요. 이건 우변인 2x와 같은 식이죠. 그래서 이 등식은 항등식이 되는 거예요.

x + 3 = 5라는 등식에서 좌변은 식을 더는 바꿀 수 없죠? 그 상태에서 좌변과 우변의 식이 달라요. 그래서 이 등식은 항등식이 아니라 방정식인 거예요.

다음 중 방정식과 항등식을 모두 고르시오.
(1) 2x + 3 = 3 + 2x
(2) 2x - 1 < 5
(3) 2x - x = x
(4) 3 + 5 = 8
(5) 2x - 4 = 6

방정식은 미지수가 있어서 미지수에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식이에요. 항등식은 항상 참인 등식으로 좌변과 우변이 같은 식으로 되어 있어요.

(1) 2x + 3 = 3 + 2x은 좌변의 2x + 3을 교환법칙에 따라 자리를 바꾸면 3 + 2x가 되어 우변과 같은 식이 되므로 항등식이에요.

(2) 2x - 1 < 5은 등호가 아니라 부등호가 있어서 등식이 아니에요.

(3) 2x - x = x에서 좌변 2x - x를 동류항 계산해보면 x가 되어 우변과 같으므로 이 식은 항등식이네요.

(4) 3 + 5 = 8은 미지수가 없네요. 미지수가 없으니까 방정식도 아니고 항등식도 아닌 그냥 등식입니다.

(5) 2x - 4 = 6은 미지수 x가 있지만, 좌변과 우변이 서로 다르고 x = 5일 때만 참이 되는 방정식이네요.

따라서 방정식은 (5)이고, 항등식은 (1), (3) 입니다.

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공부하는 게 하나씩 늘어나고 있네요.

왜냐하면, 이 단원이 앞으로 배울 수학에서 아주 기본이 되는 중요한 단원이에요. 앞으로 여러 가지 식을 공부할 텐데, 가장 기본이 되는 식을 배우는 과정이라서 용어도 많고, 지루한 내용이 계속되는 거예요.

하지만 기본이 되느니만큼 제대로만 해놓는다면 앞으로의 과정도 계속 헤쳐나갈 수 있는 거지요.

일차식의 곱셈과 나눗셈을 먼저 했는데, 이 글에서는 일차식의 덧셈과 뺄셈을 합니다. 그리고 동류항이라는 새로운 용어도 배울 거고요.

곱셈과 나눗셈보다는 조금 어려운 내용이니 주의해서 잘 보세요.

동류항, 동류항의 계산

동류항

동류항은 종류가 같은 항이라는 뜻이에요. 어떤 종류가 같다는 말일까요?

하나의 항에는 계수도 있고, 문자도 있고, 차수도 있어요. 동류항은 문자와 차수가 서로 같은 항을 말해요. 계수는 달라도 상관없어요.

2a²이라는 항이 있어요. 이 항에는 문자 a가 있고, 차수는 2에요. 3a²이라는 항도 문자 a가 있고, 차수가 2죠. 2a²과 3a²은 문자가 a로 같고, 차수도 2로 같아요. 그래서 이 두 항은 동류항이 되는 거죠.

4a라는 항은 문자가 a가 있어요. 하지만 차수가 1이라서 2a²과 동류항이 아니에요.

5b²을 보죠. 문자는 b고, 차수는 2에요. 2a²과 차수는 2로 같지만, 문자가 다르니까 동류항이라고 할 수 없어요.

6a²b를 보죠. 문자는 a와 b가 있어요. a의 차수는 2이고, b의 차수는 1이죠. 2a²는 차수가 2인 문자 a가 있어요. 6a²b에도 차수가 2인 문자 a가 있어서 둘은 동류항처럼 보이지만 b라는 문자가 있어서 동류항이 될 수 없어요.

동류항의 덧셈과 뺄셈

덧셈과 뺄셈은 동류항끼리만 할 수 있어요. 동류항이 아닌 것끼리는 덧셈과 뺄셈을 하지 못합니다. 그러니까 계산을 할 때, 서로 동류항인지 잘 찾아내야 해요.

2a + 3a을 구해볼까요?

되게 복잡하죠. 간단하게 하는 방법을 알아볼까요?

단항식과 수의 곱셈과 나눗셈에서 단항식에 수를 곱할 때, 숫자끼리 곱하고 문자는 뒤에 붙여줬어요. 동류항의 계산에서도 같아요. 동류항의 계산에서도 숫자끼리 계산하고, 문자는 뒤에 그대로 붙여주면 돼요.

2a + 3a = (2 + 3)a = 5a 으로 간단하게 끝나죠?

뺄셈도 마찬가지예요. 5b - 2b = (5 - 2)b = 3b에요.

2a² + 2a는 어떨까요? 두 항은 문자가 a로 같지만, 차수가 다르죠? 그래서 동류항이 아니에요. 동류항이 아니면 덧셈을 할 수 없어요. 그냥 그대로 둬야 해요.

동류항: 문자와 차수가 서로 같은 항
동류항의 계산: 숫자끼리 계산하고 문자는 그대로

다음을 간단히 하여라.
(1) 4a + 2a + 3a
(2) 5a + 3 + 3a - 4

덧셈과 뺄셈에서는 동류항을 찾는 게 제일 먼저 해야 할 일이에요. 동류항을 찾아서 그 계수끼리 연산을 하는 거지요.

(1)은 모든 항이 문자가 a이고, 차수가 1이에요. 세 항이 모두 동류항이죠.
4a + 2a + 3a = (4 + 2 + 3)a = 9a

(2) 항이 네 개인데, 5a와 3a가 동류항이고, 3와 -4가 상수항으로 동류항이에요. 따로따로 계산해야 해요.
5a + 3 + 3a - 4 = (5 + 3)a + (3 - 4) = 8a - 1

일차식의 덧셈과 뺄셈

일차식의 덧셈과 뺄셈에도 동류항 계산을 그대로 사용하면 돼요. 대신 항의 수가 늘어나고 조금 어려워졌어요.

괄호가 있는 경우

괄호가 있는 경우에는 분배법칙을 이용하는 전개해야 해요. 분배법칙으로 괄호를 전개한 다음 동류항끼리 모아서 따로 계산하는 거죠.

3(2a + 4) + 2(a - 1)
= 6a + 12 + 2a - 2     분배법칙을 이용하여 괄호를 전개
= 6a + 2a + 12 - 2     동류항끼리 모으기
= 8a + 10                  계산

분배법칙을 할 때 괄호 앞의 숫자를 괄호 안의 모든 항과 곱해줘야 해요. 첫 번째 항에만 곱해주는 실수를 하지 마세요.

3(2a + 4) = 6a + 4   (X)
3(2a + 4) = 6a + 12  (O)

그리고 괄호 앞에 숫자가 없이 부호(+, -)만 있다면 1이 생략된 거로 생각하면 됩니다.

-(2a + 1) = (-1) × (2a + 1) = -2a - 1

분수꼴의 일차식의 덧셈과 뺄셈

분수꼴로 되어 있을 때는 통분을 해야 해요.

통분을 할 때 원래 있던 분자에 괄호를 치세요. 괄호를 이용하지 않으면 분자의 첫 번째 항에만 곱을 해주는 실수를 하게 되거든요. 위 예제의 두 번째 줄의 분자에 3(a + 1) 가 아니라 3a + 1로 쓰게 되면 결과가 달라지겠죠?

일차식의 덧셈과 뺄셈
괄호가 있는 계산: 분배법칙으로 전개한 후, 동류항끼리 묶어서 계산
분수꼴: 통분을 해야 하며, 이때 괄호를 이용

다음을 간단히 하여라.
(1) 3(a + 1) + 2(a - 2)
(2)

(1) 일차식의 덧셈과 뺄셈에서는 분배법칙을 이용해서 괄호를 전개한 후 동류항끼리 모아서 따로 계산합니다.
3(a + 1) + 2(a - 2)
= 3a + 3 + 2a - 4
= 3a + 2a + 3 - 4
= 5a - 1

(2) 분수꼴에서는 통분을 해야 하는데, 이때 원래 있던 분자에는 괄호를 꼭 치세요.

이 문제에서는 두 가지가 중요해요. 통분할 때 분자에 괄호를 쳐주는 것도 중요하지만 분수 앞의  (-)를 처리하는 것도 중요하죠. 분수 앞에 (-)도 역시 분배법칙을 이용해서 분자 전체에 곱해줘야 하는 (-)입니다.

두 번째 줄의 오른쪽 분수의 분자에서 -b - 3이라고 실수하지 말고, 괄호를 쳐서 -(b - 3)으로 쓰도록 하세요.

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이제까지 용어에 대해 공부했다면 앞으로는 본격적으로 계산을 공부할 거예요.

그 첫 번째로 단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈에 대해서 공부할 겁니다. 다항식 중에서는 일차식만 다룹니다.

정수와 유리수에서는 덧셈과 뺄셈을 먼저 했는데, 여기는 순서가 좀 다르죠. 아주 쉬운 곱하기만 배울 거거든요. 어려운 곱하기는 중2 수학에서 배울 거예요.

단항식과 단항식을 곱하는 게 아니라 단항식과 숫자를 곱하는 것만 할 거니까 겁먹지 말고, 앞에서 공부했던 용어들에 대해서 잘 기억하세요.

단항식과 수의 곱셈과 나눗셈

2a × 3을 해볼까요? 2a × 3에서 2a에는 곱셈기호가 생략되어 있으니까 이걸 원래대로 살려보죠.
2a × 3
= 2 × a × 3      생략된 곱셈기호를 다시.
= 2 × 3 × a      곱셈에 대한 교환법칙
= 6 × a
= 6a                곱셈기호 생략

위 과정을 간단하게 정리해보면, 단항식과 숫자의 곱에서는 단항식의 계수와 숫자를 곱해주고 단항식 문자는 그대로 써주면 되는 걸 알 수 있어요.

단항식에서 숫자를 나누는 것도 단항식에 숫자를 곱하는 것과 같아요. 숫자끼리 계산하고 문자는 그대로 써주는 거죠.

6b ÷ 3 = (6 ÷ 3)b = 2b

수의 계산이 복잡한 경우에는 유리수의 나눗셈처럼 ÷를 ×로 바꾸고, 역수를 이용해서 계산해도 결과는 같아요.

다음을 계산하여라.
(1) 3a² × 5
(2) 10b ÷

단항식과 숫자를 곱하거나 나눌 때는 숫자끼리 계산한 거에 문자를 그대로 붙여주면 돼요.

(1) 3a² × 5 = (3 × 5)a² = 15a²

(2) 10b ÷ 은 분수꼴이니까 곱하기로 바꿔서 해보죠.

10b ÷  = 10b × 2 = (10 × 2)b = 20b

일차식과 수의 곱셈과 나눗셈

일차식과 숫자의 곱셈에서는 분배법칙을 이용해요. 사실은 항이 두 개 이상인 모든 다항식에서 분배법칙을 이용하지만, 중1 수학에서는 일차식만 공부하니까 일차식과 숫자의 곱이라고 이름을 붙였습니다.

분배법칙은 아래처럼 하죠.

분배법칙을 이용해서 일차식의 곱셈을 해보죠.

(2a + 4) × 3
= (2a × 3) + (4 × 3)          분배법칙
= (2 × 3)a + 12                 단항식과 숫자의 곱
= 6a + 12

3(2a + 4)처럼 곱셈기호가 생략된 경우도 있어요. 이때는 위치만 바뀌었을 뿐 모든 게 위와 같아요.

3(2a + 4)
= (3 × 2a) + (3 × 4)
= (3 × 2)a + 12
= 6a + 12

곱셈에 대한 교환법칙이 성립하니까 숫자를 일차식의 앞에 곱하든 뒤에 곱하든 계산 결과가 같은 거죠.

나눗셈도 마찬가지로 분배법칙을 이용해서 계산합니다.

(6a - 3) ÷ (-3)
= {6a ÷ (-3)} - {3 ÷ (-3)}    분배법칙
= {6 ÷ (-3)}a - (-1)             단항식과 숫자의 나누기
= -2a + 1

다음을 계산하여라.
(1) -(5a - 3)
(2) (-4a + 6b - 8) ÷ 2

항이 두 개 이상인 일차식과 숫자의 곱셈, 나눗셈에서는 일단 분배법칙을 이용해서 전개한 다음에 단항식의 계산을 이용해요.

(1)에서 괄호 앞에 -만 있는데, 이건 곱셈기호를 생략하면서 1도 함께 생략한 거예요. 원래는 (-1) × (5a - 3)인 거죠.
-(5a - 3)
= (-1) × 5a - {(-1) × 3}
= {(-1) × 5}a - (-3)
= -5a + 3

(2)에는 괄호 안에 항이 세 개 있는데요. 항이 두 개든 세 개든 천 개든 상관없어요. 일단 분배법칙을 해야 합니다.
(-4a + 6b - 8) ÷ 2
= (-4a ÷ 2) + (6b ÷ 2) - (8 ÷ 2)
= -2a + 3b - 4

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이 글도 이 단원에서 사용할 용어들에 대한 뜻을 설명하는 글이에요. 용어의 뜻을 모르면 문제를 파악하지도 못하고, 식을 제대로 이해할 수 없어요.

공식처럼 달달 외울 필요는 없지만 그래도 각 용어가 무엇을 뜻하는지는 정확히 알아야 해요. 용어를 공부하는 건 다른 내용을 공부하는 것보다 지루하고 어려울 수 있지만 가장 기본이 되는 만큼 한 번에 제대로 해야 합니다.

문자와 식, 대입에서 공부했던 내용과 이 글에서 공부할 내용을 모두 알고 있어야 이후의 과정을 공부할 수 있어요.

항, 상수항, 계수

항은 숫자 또는 문자의 곱으로 이루어진 식을 말해요. 숫자와 문자를 곱한 것, 문자와 문자를 곱한 것이죠. 숫자와 숫자를 곱한 건 숫자니까 당연히 항이고요. 문자만 있는 건 문자와 1을 곱한 거로 볼 수 있으니까 이것도 항이에요.

숫자, 문자, 숫자와 문자를 곱한 것, 문자끼리 곱한 것이 되겠네요.
3, a, 3a, a²

상수항은 항 중에서 숫자만 있는 항을 말해요. 3, -7처럼 그냥 일반적인 숫자를 상수항이라고 생각하면 쉬워요.

계수는 숫자와 문자의 곱에서 숫자를 말해요. 숫자와 문자의 곱에서는 곱셈기호를 생략하는데, 이때 문자 앞에 쓰여 있는 숫자라고 생각하면 쉬워요. 3a는 숫자 3과 문자 a가 곱해진 거잖아요. 여기서 숫자 3을 계수라고 합니다. 참고로 a는 1 × a이므로 계수는 1이에요.

위 그림에서 항과 계수, 상수항을 찾아보죠.

4x² + 2y - 3이에요.

항은 곱하기로 이루어진 걸 말하니까 4와 x 두 개가 곱해진 4x²이하나의 항이에요. 2와 y가 곱해진 2y도 하나의 항이고요. -3도 하나의 항인데, 숫자만 있으니까 상수항이에요. 그냥 3이 아니라 -3이에요. 주의하세요.

사실은 +4x², +2y도 +부호가 붙어있는데, + 부호는 생략할 수 있으니까 생략한 거예요. -는 생략할 수 없어서 -3처럼 써줘야 하죠.

계수는 문자의 앞에 곱해진 수를 말해요. 4x² 앞에는 4가 있으니까 4가 계수, 2y 앞에는 2가 있으니까 2가 계수네요. 문자가 곱해져있진 않지만 상수항도 계수에 포함되므로 -3도 계수예요.

단항식과 다항식

다항식에서 "다"는 多예요. 항이 많이 있는 식이라는 뜻이죠. 많다고 해서 진짜로 많은 게 아니고요, 1개 이상만 있으면 돼요. 항이 1개 있어도, 2개 있어도, 100개 있어도 다항식이에요

4x², 4x² + 2y, 4x² + 2y - 3, -3, …

단항식은 다항식 중에서 항이 1개만 있는 걸 말해요.

4x², 2y, -3

다항식은 항이 1개 이상이고, 단항식은 항이 1개여야만 하니까 단항식은 다항식에 포함돼요.

차수와 일차식

차수는 문자가 곱해진 횟수를 말해요.

4x² + 2y - 3

4x²에서 x는 두 번 곱해졌죠? 그래서 차수는 2예요. 2y에서는 y가 한 번 곱해졌어요. 그래서 차수는 1이죠. -3은 문자가 곱해진 게 없어요. 그래서 차수가 0이에요. 상수항은 차수가 항상 0이에요.

항의 차수가 1이면 일차항, 2면 이차항, 3이면 삼차항이라고 해요.

차수는 문자의 거듭제곱에서 지수와 같아요.

항에서의 차수는 위 방법으로 구하는데, 다항식에서 차수는 어떻게 구할까요?

다항식에서 문자가 곱해진 개수가 다를 수 있어요. 예를 들어서 2x² + 3x + 1이라는 다항식이 있다고 해보죠. 2x²의 차수는 2, 3x의 차수는 1, 1의 차수는 0이에요. 일단 각 항의 차수는 구했어요. 다항식 전체의 차수를 구할 때는 차수가 가장 높은 항(최고차항)의 차수를 말하면 돼요. 여기서는 2x²의 차수가 2로 가장 높으니까 다항식 2x² + 3x + 1의 차수는 2인 거죠.

최고차항의 차수가 1인 다항식을 일차식, 최고차항의 차수가 2인 다항식을 이차식이라고 해요. 2x² + 3x + 1은 차수가 2니까 이차식이죠.

다시 4x² + 2y - 3으로 돌아와서요.

이 다항식은 x를 기준으로 하면 차수가 2인데, y를 기준으로 하면 차수가 1이죠? 이처럼 곱해진 문자가 다를 때는 어떤 문자를 기준으로 할 것인지 정확하게 얘기를 한 다음에 차수를 말해줘야 해요.

어떻게 하느냐면 "x에 대한 이차식" 또는 "y에 대한 일차식"이라고 말이죠.

다항식 4x² + 2x - 3y + 2에서 항, 상수항, 계수, 차수를 구하여라.

일단 항으로 나눠보죠. 4x², 2x, -3y, 2의 네 개 항으로 되어 있는 다항식이네요.

상수는 숫자만 있는 항이니까 2가 상수항이고요.

각 항의 차수를 보죠. 4x²는 2, 2x는 1, -3y는 1, 상수항 2는 0이죠.

계수는 문자 앞에 곱해진 숫자를 말하죠? 4x²의 계수는 4, 2x의 계수는 2, -3y의 계수는 -3이네요. 상수항 2도 있군요.

다항식의 차수는 차수가 가장 높은 항을 말하는데, 이보다 먼저 기준이 되는 문자를 정해야 해요. x에 대해서는 4x²의 2가 가장 높으니까 x에 대한 이차식이고요. y에 대해서는 -3y의 1이 가장 높으니까 y에 대한 일차식이에요.

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아직은 새로운 단원을 시작하기에 앞서 이 단원에서 사용할 기본적인 것들을 공부하는 단계입니다. 정확하게 이해를 해야 이 단원을 잘 이해할 수 있어요.

대입이라는 용어는 매우 자주 사용하는 용어라서 그 의미를 정확히 알고 있어야 해요. 식의 값의 뜻은 이름 그대로예요. 용어가 중요한 것도 아니고, 의미도 별거 없어요. 그냥 알고 넘어가면 되는 거예요.

어려운 내용은 아니지만, 연습이 좀 필요한 과정입니다. 교과서의 예제 문제를 꼭 풀어보세요.

대입

대입은 문자가 있는 식에서 문자 대신에 숫자를 넣는 거예요. 조금 더 쉽게 말하면 문자를 숫자로 바꾸는 거고요. 무작정 바꾸면 안 되고 문자와 숫자가 같을 때에만 가능해요.

축구에서 선수교체를 하면 경기를 하고 있던 선수는 빠지고, 벤치에 있던 선수가 대신 들어가죠? 대입도 마찬가지로 식에 원래 있던 걸 빼고 그 자리에 뺀 것과 같은 걸 넣는 거예요.

x = 2이고, x + 3이라는 식이 있다고 해보죠. x + 3이라는 식에 x = 2를 대입해볼까요? x가 2와 같으니까 x + 3이라는 식에서 x는 빼고, 그 자리에 2를 넣어도 식은 바뀌지 않죠? x + 3 = 2 + 3 = 5가 되겠죠.

하나만 더 해볼까요?

y = 5일 때, y - 3을 구해보죠. y - 3이라는 식에 y = 5을 대입하면 y는 없어지고 그 자리에 5가 들어가요. y - 3 = 5 - 3이 되어서 결국은 2가 돼요.

식의 값

문자에 수를 대입해서 식을 계산한 값을 식의 값이라고 해요. 위에서는 2가 바로 식의 값이 되는 거죠.

식의 값을 구하는 순서를 알아볼까요?

식을 간단히 하기 위해서 곱셈기호와 나눗셈기호의 생략한 식이라면 곱셈기호와 나눗셈기호를 다시 살려줘야 해요. 문자와 숫자사이, 문자와 문자 사이에서만 곱셈기호를 생략한다고 했잖아요. 지금 우리는 문자를 숫자로 바꿀 거예요. 그러면 숫자들끼리의 곱이라서 곱셈기호를 생략할 수 없게 돼요.

곱셈기호를 다시 살렸으면 문자를 지우고, 그 자리에 문자와 크기가 같은 숫자를 넣으세요.

x = 2일 때, 2x + 1을 구해보죠. 2x는 곱셈기호가 생략되어 있어요. 다시 써줘야 해요.

x = -2라면 어떨까요? 다른 건 같아요. 대신 음수니까 다른 기호와 헷갈리지 않도록 괄호를 쳐주는 게 다르죠.

x =  일 때 를 구해볼까요? 식에 x를 대입하면 이라는 이상한 식이 돼버리죠? 이럴 때는 분수를 나눗셈으로 바꿔서 대입해요.

식의 값 구하는 방법
생략한 곱셈, 나눗셈 기호를 다시 되살린다.
음수를 대입할 때는 괄호 사용.
분수는 나눗셈으로 바꿔서

a = 2, b = -3일 때 다음 식의 값을 구하여라.
(1) 2a + 3b
(2) a² + b³
(3)

(1)번에는 곱셈기호가 생략되어 있으니까 살려줘야겠네요. 또 b가 음수이므로 대입할 때 괄호를 사용해야 하고요.
2a + 3b
= 2 × a + 3 × b
= 2 × 2 + 3 × (-3)
= 4 + (-9)
= -5

(2) 거듭제곱일 때도 마찬가지로 음수에는 괄호를 쳐주세요.
a² + b³
= 2² + (-3)³
= 4 + (-27)
= -23

(3) 분수일 때는 나눗셈으로 바꿔서 해요. 하지만 이 문제에서는 바로 대입해도 상관없어요. 바로 대입해도 식의 모양이 이상해지지 않거든요.

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곱셈기호(×)를 생략해서 식을 간단히 하는 방법이에요.

수학에서는 숫자와 식을 간단히 하는 게 매우 중요해요. 말로 풀어쓰면 길어지는 걸 수학기호로 간단하게 나타내기도 하죠.

기호를 쓰는 것마저도 길어진다면 그 기호마저도 생략할 수 있어요. 단, 기호를 생략하더라도 그 의미는 파악할 수 있어야 하겠죠?

이 글에서는 곱셈기호를 생략할 수 있는 경우와 생략하는 방법을 알아볼 거예요. 이 원칙에 맞게 곱셈기호를 생략해야만 다른 사람들도 곱셈기호가 생략되었음을 알고, 원래 의미를 알 수 있어요.

곱셈기호의 생략

여러 가지 기호 중에서 곱셈기호를 생략하는 방법입니다. 덧셈기호와 뺄셈기호는 생략하지 않아요. 곱셈기호만 생략해야 헷갈리지 않겠죠?

생략한다는 말은 그냥 지워버리는 거예요. 곱셈식에서 곱하기 기호를 지우고 나머지만 붙여서 쓰는 겁니다.

곱셈기호를 생략할 수 있는 조건이 있어요.

• 문자와 숫자 사이에 있는 곱셈 기호
• 문자와 문자 사이에 있는 곱셈 기호

두 가지 경우에만 곱셈기호를 생략합니다. 숫자와 숫자 사이의 곱셈에서는 곱셈기호의 모양을 바꿀 수는 있지만, 곱셈기호는 생략하지 않아요.

곱셈기호를 생략하는 방법을 잘 알아두세요. 앞으로 나오는 모든 문제에서 곱셈기호를 쓰지 않아요. 그런 문제를 볼 때 이 생략 방법을 알아야 어디에 곱셈기호가 생략되었는지를 알고 문제를 풀 수 있겠죠?

• 숫자는 앞에, 문자는 뒤에
  a × 2라는 식에서 곱셈기호를 생략하면 a2가 되죠? 그런데 문자와 숫자의 곱에서는 숫자를 앞에 쓰고, 문자를 뒤에 써요. a2가 아니라 2a라고 써요.
• 문자끼리의 곱은 알파벳 순서대로
  b × a = ba인데, 알파벳 순서대로 ab라고 써요. a × c × b = acb가 아니라 abc로 쓰고요.
• 1은 생략
  1 × a = 1a죠. 여기서 1은 곱하나 마나죠. 1은 없어도 상관없으니까 1도 생략합니다. 거듭제곱에서 지수가 1일 때는 쓰지 않았잖아요. 따라서 1a가 아니라 그냥 a라고 써요.
   
  단, (-1) × a처럼 1에 (-) 부호가 붙어있으면 (-)는 그냥 두고 1만 생략해요. (-1) × a = -a
   
  0.1, 0.01처럼 소수나 11처럼 자릿수가 다른 1이 있으면 1은 생략하지 않아요. 1이 포함되어 있긴 하지만 곱하면 값이 달라지잖아요.
  0.1 × a = 0.1a, 11 × a = 11a예요.
• 같은 문자끼리 곱할 때는 거듭제곱
  a × a에서 곱셈기호를 생략하면 aa가 될 것 같죠? 하지만 거듭제곱에서 공부했던 것처럼 같은 문자를 곱할 때는 지수를 이용해서 표현하기로 했어요.
• 괄호와 숫자의 곱은 숫자를 앞으로
  (a + b) × 3에서 괄호를 하나의 문자로 보고, 숫자를 괄호 앞에 써요. 3(a + b)

곱셈기호를 생략할 때, 그냥 기호만 지우는 게 아니라 그 위치를 위처럼 바꿔줘요. 이렇게 위치를 바꿀 수 있는 건 곱셈에 대해서 교환법칙이 성립하기 때문이에요.

나눗셈 기호의 생략

나눗셈은 기본적으로 곱셈으로 바꿀 수 있죠? 어떻게요? 역수를 이용해서요.

b의 역수를 취한 다음 a를 분자인 1에 곱했어요. 분자에서 1은 생략할 수 있으니까 결국 남는 건 a죠. 분모는 b고요.

앞으로는 이 과정을 거칠 필요없이 나눠지는 수는 분자, 나누는 수는 분모로 바로 쓸 수 있겠죠?

다음 식을 곱셈기호를 생략하여 나타내어라.
(1) a × 2
(2) a × b × c
(3) a × 2 × a
(4) (a + b) × (-1)

(1) 문자와 숫자의 곱에서는 숫자는 앞에 문자는 뒤에 써요. a × 2 = a2 = 2a

(2) 문자끼리의 곱에서는 알파벳 순서대로 쓰죠. a × b × c = abc

(3) 문자와 숫자의 곱이니까 숫자를 앞에 쓰는데, 똑같은 문자가 2번 곱해져 있네요. 거듭제곱을 이용해야겠죠? a × 2 × a = 2aa = 2a²

(4) 괄호와 숫자의 곱에서 숫자는 앞에, 괄호는 뒤에요. 그런데 숫자 1을 곱했을 때는 생략이 가능하죠. 부호는 그대로 둬야하고요. (a + b) × (-1) = (a + b)(-1) = (-1)(a + b) = -(a + b)

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이제까지 숫자에 대해서 배웠다면 이제부터는 식에 대해서 공부할 거예요. 문자를 이용하여 식을 간단하고, 이해하기 쉽게 작성하는 방법을 공부할 겁니다.

초등학교 때 했던 내용이 조금 더 세련돼졌다고나 할까요? 전에는 그냥 사용했던 걸 조금 더 예쁘고 체계적으로 공부하는 것뿐이에요.

그리고 앞으로 수학에서 가장 많이 사용하는 공식 중의 하나를 알려드릴게요. 어떤 일이 있어도 꼭 외워야 하는 공식이니까 잘 봐 두세요.

문자와 식

초등학교 때는 "3과 어떤 수를 더했더니 5가 되었다"를 식으로 바꾸면 3 + □ = 5라고 했지요?

중학교에서는 □ 대신에 문자를 쓰는데, 대부분은 영어 알파벳을 써요. 어떤 알파벳을 쓸 건지는 문제에서 가르쳐주는데, 혹시 문제에서 가르쳐주지 않았다면 아무거나 써도 상관없어요.

문자를 사용하는 예를 들어볼까요?

한 개 1,000원 하는 공책을 a권 샀을 때 총금액을 구해보죠.
한 개 1,000원 하는 공책을 한 권 사면 (1000 × 1) 원 이에요.
한 개 1,000원 하는 공책을 두 권 사면 (1000 × 2) 원
한 개 1,000원 하는 공책을 세 권 사면 (1000 × 3) 원
한 개 1,000원 하는 공책을 네 권 사면 (1000 × 4) 원
한 개 1,000원 하는 공책을 a 권 사면 (1000 × a) 원이 되겠죠?

지금 여러분의 나이는 14살이죠?
1년 뒤에는 (14 + 1) 살이에요.
2년 뒤에는 (14 + 2) 살
3년 뒤에는 (14 + 3) 살
4년 뒤에는 (14 + 4) 살
b년 뒤에는 (14 + b) 살이 됩니다.

식에 문자를 사용할 때는 문자가 나타내는 게 무엇인지 정확하게 알아야 해요. 개수인지 가격인지 말이죠. 첫 번째에는 공책의 개수였고, 두 번째는 몇 년 뒤가 되는지를 나타냈어요.

문자를 이용해서 식을 세우는 다른 방법을 하나 더 해볼까요? 문자의 자리에 그냥 아무 수나 하나 넣어보세요. 그리고 숫자들을 이용해서 식을 세운 다음에 아무렇게나 넣은 숫자 자리에 문자를 넣으면 돼요.

"한 개 1,000원인 공책을 a권 사면 얼마일까?"라는 문장을 식으로 바꾼다고 치죠. a 자리에 아무 숫자나 넣어보세요. 5를 넣어보죠. 그럼 "한 개 1,000원인 공책을 5권 사면 얼마일까?"으로 바뀌겠죠? 공책의 총 가격은 1000 × 5가 돼요. 이제 아무렇게나 넣은 5와 a를 바꾸면 답은 (1000 × a) 원 이 되는 거죠.

숫자를 하나씩 키워가면서 규칙을 찾아도 좋고, 아무런 숫자를 하나 넣어서 바꿔도 좋고 두 방법 중에서 편한 방법을 골라서 사용하세요.

다음 문장을 문자를 포함한 식으로 나타내어라.
(1) 500원 짜리 a개와 100원짜리 b개의 총 금액
(2) 한 개 c원인 과자를 5개 샀을 때의 총 금액

(1)번 500원짜리가 1개 있으면 (500 × 1) 원
500원짜리가 2개 있으면 (500 × 2) 원
500원짜리가 3개 있으면 (500 × 3) 원
500원짜리가 a개 있으면 (500 × a) 원

100원짜리가 b개 있으니까 같은 방법으로 (100 × b) 원
500원짜리와 100원짜리의 총 금액은 (500 × a + 100 × b) 원

(2) 문자 c 자리에 100이라는 숫자를 넣어보죠. 그럼 문제는 "한 개 100원인 과자를 5개 샀을 때 총 금액" 이 돼요. (100 × 5) 원 이죠.
임의로 넣었던 숫자 100을 원래 문자 c로 바꾸면 답은 (c × 5) 원이 돼요.

거리, 속력, 시간에 관한 공식

거리, 시간, 속력에 관한 문제는 수학에서는 빼놓지 않고 나오는 문제에요. 앞으로 배울 수학의 거의 모든 단원에서 사용하는 공식이에요. 수학뿐 아니라 과학 시간에도 배우는 내용이죠.

그래서 거리, 속력, 시간 구하는 공식을 꼭 외워야 해요.

왼쪽에 있는 그림을 기억하세요. 가로로 그어져 있는 선을 분수에서 사용하는 그 가로선이라고 생각하면 되겠죠.

이 유형에서 주의해야 할 건 단위에요. 단위가 시간인지 분인지 km인지 m 인지 꼭 확인하셔야 해요.

농도에 관한 문제

농도에 관한 문제 역시 빠지지 않고 나오는 문제입니다. 어쩔 수 없지만 공식을 외워야 하고요.

농도에 관한 문제에서도 g과 kg의 단위에 주의하세요.

공식에서는 소금물을 썼는데, 설탕물 같은 다른 곳에서도 농도를 구할 때 사용하는 공식이에요.

다음 문장을 문자를 포함한 식으로 나타내어라.
(1) 시속 60km로 달리는 자동차가 a 시간 동안 이동한 거리
(2) b% 농도의 소금물 200g에 들어있는 소금의 양

(1) 거리 = 속력 × 시간이에요.
속력이 시속 60km고, a시간 동안 이동했으니까 이동 거리 = 60 × a (km)

(2) 소금의 양 = 농도 ÷ 100 × 소금물의 양
소금의 양 = b ÷ 100 × 200 = b × 2 (g)

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유리수의 사칙연산 마지막 유리수의 곱셈과 나눗셈이에요.

유리수는 정수의 내용과 같아요. 이 글에서는 정수의 곱셈, 나눗셈과 다른 게 딱 하나 있어요. 바로 나눗셈에서 사용하는 역수인데요. 그것만 빼면 나머지는 완전히 같습니다. 연산법칙이 성립하는 것도 마찬가지고요.

정수의 곱셈, 곱셈에 대한 교환법칙, 결합법칙, 정수의 나눗셈, 정수의 사칙연산 혼합계산

정수와 유리수의 공통점과 차이점을 잘 기억하세요.

유리수의 곱셈과 나눗셈

유리수의 계산에서 부호를 정하는 게 제일 중요하죠. 부호는 음수의 거듭제곱의 지수와 음수의 개수에 따라 달라져요. 양수의 거듭제곱은 무조건 +로, 양수가 몇 개가 있던지 무조건 +에요. 음수만 영향을 준다는 걸 기억하세요.

부호를 결정했으면 그 숫자도 결정해야겠죠? 곱셈에서는 숫자(절댓값)를 곱하면 돼요. 나눗셈에서도 그냥 숫자끼리 나누기를 하면 돼요

다른 방법도 있어요. 뺄셈을 덧셈으로 바꾸는 것처럼 나눗셈을 곱셈으로 바꿔서 계산하는 거죠. 나눗셈을 곱셈으로 바꿀 때는 역수라는 걸 이용해요. 어떤 두 수를 곱했을 때 1이 되는 수를 서로 역수라고 하는 건 알고 있지요? 간단히 말해 분수의 분자와 분모를 서로 바꾸는 거잖아요. 단, 0은 역수가 없어요.

나눗셈에서는 ÷를 ×로 바꾸고 나누는 수를 역수로 바꾸는데, 이때 나누는 수의 부호는 바꾸지 않아요.

이것 하나만 주의하면 돼요.

역수로 바꾸면서 나눗셈이 곱셈으로 되었으니까 곱셈하는 방법 그대로 계산하면 돼요.

정수의 덧셈과 곱셈에서는 교환법칙과 결합법칙이 성립하죠? 정수의 뺄셈과 나눗셈에서는 성립하지 않고요. 마찬가지로 유리수의 덧셈과 곱셈에서는 교환법칙과 결합법칙이 성립하지만, 뺄셈과 나눗셈에서는 성립하지 않아요.

다음을 계산하여라.

역수를 이용해서 나눗셈을 곱셈으로 바꿔서 계산해보죠.

유리수의 사칙연산, 혼합계산

덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 등이 섞여 있는 계산식에서 먼저 계산해야 할 것과 나중에 해야 할 것이 있어요. 정수의 사칙연산에서의 순서와 같아요.

1. 괄호. ( ) → { } → [ ]
2. 거듭제곱
3. ×, ÷
4. +, -
5. 앞에서부터 차례대로

다음을 계산하여라.

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유리수의 사칙연산에 대해서 공부해보죠. 첫 번째 유리수의 덧셈과 뺄셈이에요.

유리수, 유리수의 분류에서 얘기했지만, 유리수 단원은 거의 모든 내용이 정수와 겹쳐요. 유리수의 덧셈과 뺄셈은 정수의 덧셈과 뺄셈과 완전히 같아요. 숫자만 정수에서 유리수로 바뀐 것뿐이에요.

정수의 덧셈과 덧셈에 대한 교환법칙, 분배법칙, 정수의 뺄셈, 정수의 덧셈과 뺄셈 혼합계산

원리도 같고, 계산 방법도 같으니 간단하게 정리만 하고 넘어가죠.

유리수의 덧셈

정수의 덧셈을 두 가지 경우로 나눴어요. 첫 번째는 부호가 같을 때죠. 부호가 같을 때는 공통부호를 그대로 쓰고, 숫자는 두 수의 절댓값을 더해줬죠. 부호가 다를 때는 절댓값이 큰 수의 부호를 적고, 숫자는 두 수의 절댓값의 차를 적었어요.

유리수에서도 똑같아요. 다만 유리수는 분수가 나오는 경우가 많으므로 통분을 해야 절댓값의 크기를 비교할 수 있어요.

다음을 계산하여라.

분수가 나왔으니까 통분해야 돼요. 그리고 부호가 같으면 공통부호에 절댓값의 합, 부호가 다르면 절댓값이 큰 수의 부호에 절댓값의 차를 적는 거지요.

유리수의 덧셈에서도 덧셈에 대한 교환법칙, 결합법칙이 성립해요. 유리수의 뺄셈에서는 둘 다 성립하지 않고요.

유리수의 뺄셈

정수의 뺄셈에서는 뺄셈을 덧셈으로 바꿨죠? (-)를 (+) 바꾸고 (-) 바로 뒤에 있는 정수의 부호를 반대로 바꿔줬었어요.

유리수의 뺄셈도 마찬가지예요. 같은 방법으로 유리수의 뺄셈을 덧셈으로 바꾸어 유리수의 덧셈을 계산하는 거지요.

다음을 계산하여라.

유리수의 뺄셈에서 첫 번째는 뺄셈을 덧셈으로 바꾸는 거예요. 그다음 위에서 했던 덧셈의 방법 그대로 계산하는 겁니다.

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수직선, 절댓값 이런 용어는 정수의 절댓값과 수직선에서 공부한 것들이죠. 유리수에서의 절댓값과 수직선도 정수에서 같은 특징이 있어요. 유리수의 대소관계도 정수의 대소관계와 똑같아요.

절댓값과 수직선, 절댓값의 성질, 정수의 대소관계

이 글에서 배울 내용은 모두 정수에서 했던 내용과 완전히 같아요. 단지 숫자만 정수에서 유리수로 바뀐 것뿐이에요.

거저먹는 거라고 할 수 있는 내용이죠. 정수에서 공부했던 내용을 복습한다 생각하면 될 것 같네요.

수직선과 절댓값

수직선

수직선은 직선을 긋고 직선 위의 점들과 숫자를 대응시킨 걸 말해요. 수직선에 0을 찍고 그 오른쪽에는 양의 유리수를, 왼쪽에는 음의 유리수를 적는 거지요. 정수에서의 수직선과 다른 점은 정수뿐 아니라 정수 아닌 유리수도 있다는 것 정도예요. 이나 , 1.5, -3.2 같은 수들도 수직선 위에 나타낼 수 있는 거죠.

절댓값

절댓값은 수직선 위의 점들이 원점으로부터 거리가 얼마나 떨어져 있느냐를 말해요. 절댓값은 | |를 써서 나타내는데, 유리수에서 부호 떼고 숫자만 적으면 됩니다.

, |1.5| = 1.5 , |-3.2| = 3.2

절댓값은 거리므로 양의 유리수에요. 그런데 0의 절댓값은 0이죠. 따라서 유리수의 절댓값은 0보다 크거나 같아요. 또 원점에서 멀어질수록 거리가 멀어지니까 절댓값도 커지죠. 절댓값이 같은 수는 양의 유리수, 음의 유리수 2개가 있어요.

유리수의 크기 비교, 유리수의 대소관계

숫자는 기본적으로 수직선에서 오른쪽에 있을수록 더 커요. 이게 제일 중요합니다.

유리수는 양의 유리수, 0, 음의 유리수가 있어요. 일단 숫자의 크기를 비교할 필요없이 부호만 보면 음의 유리수 < 0 < 양의 유리수에요.

부호가 같을 때는 절댓값의 크기를 비교해야 해요. 양의 유리수는 절댓값이 크면 더 크고, 음의 유리수는 절댓값이 더 크면 작아요.

유리수의 대소관계
음의 유리수 < 0 < 양의 유리수
양의 유리수는 절댓값이 클수록 크다.
음의 유리수는 절댓값이 작을수록 크다

다만 절댓값이 분수일 때가 있어요. 분수는 크기비교를 할 때 분모를 통분해서 비교하죠? 아니면 소수로 바꿔서 비교해도 되고요. 숫자에 맞게 편한 방법을 골라서 비교하세요.

다음 유리수를 작은 것부터 순서대로 나열하여라.

음의 유리수 < 0 < 양의 유리수 순이에요.
음의 유리수는 -0.7, 이 있네요.

양의 유리수는 가 있고요.

 = -0.75이므로 -0.7보다 절댓값이 커요. 음의 유리수에서는 절댓값이 크면 작으므로  < -0.7이 되네요.

가 있는데, 이 둘은 통분해서 크기를 비교해보죠. 네요.

정리해보면,

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정수를 다 공부했어요.

이제 또 새로운 수를 배울 거예요. 유리수라는 건데, 중학교 1, 2학년 수학에서 수라고 말하면 대부분 유리수를 말하는 거예요. 그러니까 이 글을 집중해서 보세요.

이 유리수는 정수의 연장선이라고 생각하면 돼요. 따라서 유리수라는 수의 개념만 잘 이해하면 나머지는 비교적 쉬워요. 정수의 연장선인 만큼 그 성질, 사칙연산과 연산에서 성립하는 법칙 등이 정수와 같아요.

유리수를 분류하는 여러 가지 방법도 알아볼 거예요.

유리수의 뜻

유리수는 분수꼴로 나타낼 수 있는 수를 말해요. 분수에서 분자와 분모는 정수면 되고요. 꼭 자연수일 필요는 없어요. 단 분모는 0이면 안 돼요. 분모가 0인 분수는 없으니까요.

유리수는 분수꼴로 나타낼 수 있는 수에요. 수의 모양을 분수꼴로 바꿀 수 있으면 다 유리수인 거죠. 유리수와 분수를 같은 것으로 착각하는 데 절대로 그러면 안 돼요. 유리수 ≠ 분수

정수나 소수도 얼마든지 분수 모양으로 바꿀 수 있어요.

유리수는 정수, 분수, 소수 등 이제까지 우리가 봐왔던 모든 수를 통틀어 놓은 거예요. 그러니까 완전히 새로 배우는 수는 아니에요.

정수에 양의 정수, 0, 음의 정수가 있는 것처럼 유리수도 양의 유리수, 0, 음의 유리수로 되어 있어요.

양의 정수는 (+) 부호를 생략해서 쓰는 것처럼 양의 유리수도 (+) 부호를 생략해서 쓸 수 있어요. 음의 유리수의 (-) 부호는 생략할 수 없고요.

유리수의 분류

위에서는 부호에 따라서 유리수를 나눴죠? 다른 방법으로 구분하기도 하는데요.

유리수의 대표적인 수가 바로 정수잖아요. 정수와 정수가 아닌 유리수로 나누는 거예요. 정수가 아닌 유리수에는 분수, 소수 이런 것들이 포함돼요.

아래 그림을 잘 기억하세요.

는 약분을 하면 2가 되죠? 생긴 모양은 정수가 아니라 분수라서 정수가 아닌 유리수라고 생각하기 쉽지만, 약분을 하면 2가 되기 때문에 는 정수라고 해야 해요. 분수로 되어 있는 경우라도 꼭 약분을 해서 기약분수로 만든 다음에 판단해야 합니다.

다음 수를 정수와 정수 아닌 유리수로 구분하여라.

는 약분을 하면 -3이에요. 음의 정수죠. 나머지는 보면 금방 알 수 있네요.

정수: +1, 0,
정수 아닌 유리수:

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연산할 때 많이 사용하는 분배법칙이에요. 분배법칙의 뜻이 뭔지, 어떤 특징이 있는지 알아볼 거예요.

계산식에 분배법칙을 적용하는 걸 전개한다고 하는데, 분배법칙에서 제일 중요한 게 바로 식을 어떻게 전개하느냐에요. 이 점을 가장 중점적으로 보세요. 그리고 이름이 법칙이죠. 그러니까 당연히 공식처럼 외워야 해요.

또, 정수의 덧셈과 정수의 곱셈에서 공부했던 교환법칙, 결합법칙과 어떻게 다른지도 알고 있어야 해요.

분배법칙

사각형의 넓이는 (가로) × (세로)에요. 위 그림에서 왼쪽의 분홍색 사각형의 넓이는 a × c죠. 오른쪽 하늘색 사각형의 넓이는 b × c에요.

큰 사각형의 전체 넓이는 (a + b) × c잖아요. 그런데 전체 사각형은 분홍색, 하늘색 사각형으로 되어 있으니까 두 사각형의 넓이의 합과 같아요.

(a + b) × c = a × c + b × c

여기에서 얻은 공식이 바로 분배법칙이에요. 괄호 안에 a + b를 두 부분으로 나눠서 각각에 c를 곱해줘도 계산 결과가 같아요.

(6 + 9) × 3 = 15 × 3 = 45
(6 + 9) × 3 = (6 × 3) + (9 × 3) = 18 + 27 = 45

(6 + 9) ÷ 3 = 15 ÷ 3 = 5
(6 + 9) ÷ 3 = (6 ÷ 3) + (9 ÷ 3) = 2 + 3 = 5

왼쪽에 있는 식을 오른쪽 식으로 모양을 바꾸는 걸 전개한다고 하는데요, 전개 방법을 잘 이해해야 해요.

1. 괄호 안의 앞쪽에 있는 수 a와 괄호 바깥에 있는 수 c를 곱하고
2. 괄호 안의 뒤쪽에 있는 수 b와 괄호 바깥쪽에 있는 수 c를 곱해요.
3. 마지막으로 ①, ②를 더해요. 원래 괄호 안에 두 수 a, b를 더하는 것이었으니까요.

(a + b) × c = a × c + b × c
c × (a + b) = c × a + c × b

그리고 곱셈에 대해서는 교환법칙이 성립하죠? 위 두 식에서 (a + b)를 하나의 숫자라고 생각하면 (a + b) × c = c × (a + b)가 돼요. 결국, 네 가지가 모두 같아요.

다음을 계산하여라.
(1) (20 + 36) ÷ 4
(2) 5 × (40 – 15)
(3) 56 × 13 + 44 × 13

분배법칙은 괄호 안의 수를 하나 꺼내서 괄호 밖의 수와 계산한 다음, 괄호 안에서 다른 수를 꺼내서 괄호 밖의 수와 계산하죠. 그리고 이것들을 다시 모으는 거예요.

(20 + 36) ÷ 4 = 56 ÷ 4 = 14처럼 계산할 수도 있어요. 하지만 분배법칙을 이용해서 계산해보죠.
(20 + 36) ÷ 4 = (20 ÷ 4) + (36 ÷ 4) = 5 + 9 = 14

(2) 5 × (40 - 15) = (5 × 40) - (5 × 15) = 200 - 75 = 125

(3)번은 분배법칙을 거꾸로 하는 거예요. a × c + b × c = (a + b) × c
13이 공통으로 곱해져 있으니까 56 × 13 + 44 × 13 = (56 + 44) × 13 = 100 × 13 = 1300이 되는 거죠. 그냥 계산하는 것보다 분배법칙을 이용하니 계산이 훨씬 간단해졌죠?

교환법칙, 결합법칙, 분배법칙

교환법칙은 간단히 말해서 연산 기호 양쪽의 수의 자리를 바꿔서 계산해도 계산 결과가 같은 성질이에요. 정수와 유리수의 덧셈과 곱셈에서 성립하죠.

결합법칙은 세 수 이상의 연산에서 연산의 순서를 바꿔도 계산 결과가 같다는 거고요. 연산의 순서는 괄호를 이용해서 나타내었죠. 정수와 유리수의 덧셈과 곱셈에서 성립해요.

분배법칙은 괄호 안의 수들을 따로 나눠서 괄호 밖의 수와 연산을 하더라도 결과가 같은 거예요.

세 정수 a, b, c에 대하여
교환법칙: a + b = b + a, a × b = b × a
결합법칙: (a + b) + c = a + (b + c), (a × b) × c = a × (b × c)
분배법칙: (a + b) × c = a × c + b × c

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