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소수는 소수점 앞의 정수부분과 소수점 뒤의 소수부분으로 이루어져 있어요. 일반적인 유리수라면 소수점을 기준으로 해서 간단하게 구별할 수 있지만 무리수는 딱 떨어지는 숫자가 아니라 순환하지 않는 무한소수예요. 소수부분이 끝도 없이 계속되니까 그냥 0.xxx라는 숫자로 표현하기에는 정확하지 않아요.

이 글에서는 유리수처럼 무리수의 정수부분과 소수부분을 나누는 방법과 소수부분의 정확한 값을 구하는 방법을 공부할 거예요. 정수부분만 잘 구하면 소수부분 구하는 건 쉬워요.

무리수의 정수부분과 소수부분

는 1보다는 크고, 2보다는 작아요. 1 < < 2

제곱근의 값을 구하면 ≒ 1.414 인데, 1 + 0.414로도 쓸 수 있죠? 여기서 소수점 앞의 1을 정수부분, 소수점 뒤의 0.414를 소수부분이라고 해요.

처럼 제곱근의 값을 알고 있을 때는 그 값을 이용해서 구할 수도 있지만, 제곱근의 값을 모를 때는 제곱근의 대소 관계를 통해서도 구할 수 있어요.

이므로  의 정수부분은 2

이므로 의 정수부분은 3

무리수가 하나만 있을 때는 정수부분을 구할 수 있겠죠? 그리고  + 2처럼 무리수와 다른 수의 합, 차일 때는 일단 무리수의 정수부분만 구하고 거기에 유리수를 더해주면 됩니다.

2 <  < 3 에서 모든 변에 +2를 해주는 거죠. 부등식의 성질에 따르면 똑같은 수를 더해줘도 부등호의 방향은 바뀌지 않아요.

2 + 2 <  + 2 < 3 + 2
4 < + 2 < 5

따라서  + 2의 정수부분은 4

정수부분을 구하고 나면 소수부분을 구해야 하는데,  ≒ 1.414에서 소수부분 0.414는 정확한 값이 아니라 대략적인 값이죠? 정확한 값을 구하는 다른 방법이 있어요.

(무리수) = (정수부분).(소수부분)으로 되어 있지요? 이건 (정수부분) + (소수부분)이라고 쓸 수 있어요. 이 식에서 (정수부분)을 이항하면 우변에 소수부분만 남아요. (소수부분) = (무리수) - (정수부분). 정수부분은 위에서 구했으니까 바로 대입할 수 있겠죠?

무리수 = 정수부분 + 소수부분    (0 ≤ 소수부분 < 1)
정수부분은 제곱근의 대소 관계를 이용
소수부분 = 무리수 - 정수부분

다음 무리수의 정수부분과 소수부분을 구하시요.
(1) 5 + 
(2)  - 3

무리수의 정수부분은 제곱근의 대소 관계를 이용해서 구해요. 소수부분 = 무리수 - 정수부분을 이용해서 구하고요.

(1) 일단 만 따로 떼서 크기를 구하고 거기에 +5를 해서 정수부분을 구해요.
2 < < 3
5 + 2 < 5 + < 5 + 3
7 < 5 + < 8

정수부분은 7이네요.

소수부분 = 무리수 - 정수부분 = (5 +) - 7 = - 2

(2)에서는 만 먼저 보죠.
1 < < 2
1 - 3 < - 3 < 2 - 3
-2 < - 3 < -1

 - 3이 -2와 -1 사이에 있으니까 소수로 표현해보면 -1.xxx죠? 그럼 정수부분은 –1이에요. 소수부분은 –0.xxx겠네요.

소수부분 = 무리수 - 정수부분
= ( - 3) - (-1)
=- 2

무리수 = 정수부분 + 소수부분 = -1 + ( - 2)

그런데, ≒ 1.732 이니까  - 2 ≒ 1.732 - 2 = -0.268죠. 소수부분은 0이상, 1미만으로 표시하기로 했어요. 음수로 나왔으니까 값을 보정해줘야겠죠? 어떻게 하냐면 음수인 소수부분에 +1을, 정수부분에 -1을 해주는 거예요. 소수부분에 +1, 정수부분에 –1을 했으니까 전체적인 값은 변화가 없어요.

-1 + ( - 2)
= -1 - 1 + ( - 2 + 1)
= -2 + ( - 1)

정수부분 = -2, 소수부분 =  - 1이 답이에요.

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제곱근을 표시할 때 근호를 써서 표시하는데, 이 값은 우리가 아는 십진법의 숫자가 아니라서 사용하는데 불편해요. 그래서 일반적으로 우리가 아는 소수 모양의 숫자로 구하고 싶을 때가 있어요. 그런데 제곱근 중에는 순환하지 않는 무한소수, 즉 무리수가 있어서 딱 떨어지는 소수로 쓰지 못할 때가 많아서 정확한 값이 아니라 대략적인 값으로 표시해요. 이 값을 제곱근의 값이라고 합니다.

이 글에서는 제곱근의 값을 미리 구해서 정리해 놓은 제곱근표라는 게 있는데, 이걸 보는 방법과 이 표를 이용해서 다른 제곱근의 값을 구하는 방법을 알아볼거예요.

제곱근의 근삿값

실수의 대소관계할 때, 몇 가지 제곱근은 그 값을 알아두면 좋다고 했어요. 제일 많이 사용하는 것 3개는 외워두세요.

이 세 가지 외에 다른 제곱근의 값을 어떻게 구하는 지 알아보죠.

제곱근표에서 근삿값을 읽는 법

여러분들 가지고 있는 교과서 제일 뒤를 보세요. 제곱근표는 게 나와요. 거기에 보면 숫자들이 엄청나게 많이 쓰여 있지요? 바로 제곱근의 값을 미리 구해서 표로 만들어놓은 거예요.

그럼 표에 나오는 숫자들을 외워야 할까요? 그거 다 외우려면 머리가 좋아야겠죠? 그런데 그거 다 외우는 사람은 머리가 좋은 게 아니라 머리가 아주 멍청한 사람이에요. 외울 필요가 없는 걸 외우는 거니까요.

저 표를 보는 방법만 알고 있으면 돼요. 필요한 값이 있으면 표에서 찾아서 쓰면 되죠.

제곱근표의 가로줄에는 0 ~ 9까지, 세로줄에는 1.0 ~ 99의 숫자가 있고, 그 안에는 엄청나게 많은 소수들이 쓰여 있어요.

예를 들어, 의 값을 제곱근표에서 구해보죠. 5.73에서 일의 자리와 소수점 아래 첫 번째 자리인 5.7은 세로에서, 소수점 아래 두 번째 자리인 3은 가로에서 찾아서 둘이 만나는 곳의 숫자를 읽는 거예요. 2.394네요

위 그림에는 없지만 같은 건 세로줄 88, 가로줄 7이 만나는 곳의 숫자가 그 값이에요.

위 제곱근표를 보고 다음을 구하여라.

(1) 5.62에서 일의 자리와 소수점 아래 첫 번째 자리는 5,6이고 소수점 아래 두 번째 자리는 2이므로 표에서 둘이 만나는 곳의 숫자는 2.371

(2) 5……5 = 5.50에서 일의 자리와 소수점 아래 첫 번째 자리는 5.5고, 소수점 아래 두 번째 자리는 0이므로 표에서 둘이 만나는 곳의 숫자는 2.345

제곱근표에 없는 제곱근의 값

제곱근표의 가로축에는 0 ~ 9까지, 세로축에는 1.0 ~ 99의 숫자가 쓰여 있어요. 그러니까 제곱근표로 제곱근을 구할 수 있는 수는 1.00 ~ 99.9까지 에요. 그러면 이 범위 바깥에 있는 숫자의 제곱근의 값은 어떻게 구할까요?

제곱근의 성질, 제곱수의 근호풀기를 이용해서 구해요. 제곱근 안의 숫자를 제곱근표에 나와 있는 숫자와 10의 거듭제곱의 곱으로 표시해서, 10의 거듭제곱을 근호 밖으로 꺼내는 거예요. 특히, 10의 거듭제곱을 근호 밖으로 꺼내야 하니까 10의 지수가 짝수여야 해요.

의 값을 구해보죠. 제곱근표에는 120.00은 없으니까 제곱근표를 읽어서는 구할 수 없어요. 대신 120의 숫자를 일의 자리와 소수점 이하 두 자리를 가진 수로 바꿔요.
120 = 1.20  × 10²

에서 1.20의 값은 제곱근표에 나와 있으니까 거기에 10을 곱해서 120의 제곱근의 값을 구할 수 있어요.

을 해볼까요? 이 되겠네요.

숫자가 99.0보다 크면 10의 거듭제곱을, 1보다 작으면 의 거듭제곱을 곱해요.

일 때, 다음을 구하여라.

근호 안의 숫자를 소수와 10의 거듭제곱으로 바꿔서 10의 거듭제곱을 근호 밖으로 꺼내야 해요.

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제곱근의 곱셈과 나눗셈에 이어 제곱근의 사칙연산 두 번째 제곱근의 덧셈과 뺄셈이에요.

일차방정식에서 공부했던 동류항이라는 거 기억하죠? 제곱근의 덧셈과 뺄셈의 기본적인 원리는 동류항의 계산과 비슷해요. 이걸 살짝 응용하면 돼요. 동류항 계산은 할 수 있잖아요.

덧셈, 뺄셈만 바로 하면 참 쉬운데, 앞에서 봤던 분모의 유리화, 제곱근 풀기 등의 과정이 복잡하게 들어있어요. 이런 과정들을 먼저 거친 이후에야 덧셈, 뺄셈할 수 있도록 식의 모양이 바뀌어요. 그러니까 이들도 소홀히 해서는 안 돼요.

또, 제곱근에서도 분배법칙이 성립하는지도 알아보죠.

제곱근의 덧셈과 뺄셈

제곱근의 곱셈과 나눗셈에서는 근호 안의 숫자끼리 곱하거나 나누면 됐어요. 제곱근의 덧셈과 뺄셈에서도 숫자끼리 더하거나 빼면 될까요? 가 되면 좋겠죠? 1 <  = 1.414로 가 1보다 커요. 를 2개 더하면 2보다 크니까 위 계산법은 틀렸어요. 단순히 숫자만 더해서는 결과를 알 수 없다는 거죠.

똑같은 수 2개를 더하니까 곱셈으로 바꿔서 계산할 수 있죠?

다른 걸 한번 해보죠.

곱셈을 덧셈으로 바꾼 다음에, 덧셈을 곱셈으로 바꿨어요. 처음과 끝만 보면 인데, 앞의 숫자만 더해주고, 제곱근 부분은 바뀐 게 없어요.

동류항의 덧셈과 뺄셈에서 문자와 차수가 같은 항을 동류항이라고 하고, 이 동류항끼리만 덧셈, 뺄셈할 수 있다고 했어요. 이와 비슷하게 제곱근의 덧셈과 뺄셈에서는 제곱근을 하나의 문자로 취급해버리세요.

제곱근을 문자 취급하고, 제곱근 앞의 정수를 계수 취급하면 위 그림처럼 간단히 계산할 수 있어요.

은 어떻게 계산할까요? 제곱근을 문자 취급하면, 서로 다른 제곱근이므로 2a + 3b라는 식으로 생각할 수 있겠죠? 이 식에서는 문자가 다르니까 더는 계산할 수가 없지요. 제곱근의 계산에서도 제곱근이 다르면 계산을 할 수가 없어요. 제곱근의 덧셈과 뺄셈에서는 제곱근 부분이 같은 항끼리만 덧셈, 뺄셈할 수 있어요. 는 더는 계산할 수 없어요.

다음을 간단히 하여라.

제곱근의 덧셈과 뺄셈에서는 제곱근을 문자 취급해서 마치 동류항 계산하는 것처럼 계산하면 됩니다.

(2)에서는 제곱근 부분이 같은 항만 덧셈, 뺄셈을 할 수 있어요.

(3)은 얼핏 보면 근호 안의 숫자가 다르니까 계산할 수 없는 것처럼 보이죠. 그런데 근호 안에 제곱인 수가 있으면 제곱근의 성질을 이용해서 제곱인 수를 꺼낼 수 있어요. 제곱인 수를 꺼낸 다음에 근호 안에 남는 숫자를 비교해야 해요.

(4)는 뒤에 있는 항의 분모에 제곱근이 있네요. 이때는 분모의 유리화를 한 다음에 계산합니다.

제곱근의 분배법칙

제곱근에서도 분배법칙이 성립해요. 분배법칙은 어디에서나 다 성립합니다.

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제곱근의 나눗셈을 하다보면 필연적으로 나오는 게 분수에요. 분수에서 분모에 제곱근이 들어있을 때 제곱근을 처리하는 방법을 분모의 유리화라고 하고 이 글에서는 그 방법을 알아볼 거예요.

분모의 유리화는 분모에 제곱근이 하나만 있을 때와 두 개의 제곱근의 합/차로 되어 있을 때의 두 가지가 있어요. 두 가지에서 사용하는 방법을 다 알아야합니다.

분모의 유리화는 분수꼴의 제곱근 계산에서 필수 과정으로 유리수의 덧셈과 뺄셈에서 분모를 통분하고 약분하는 것처럼 아주 기본적인 과정이에요. 이걸 못하면 제곱근의 덧셈과 뺄셈은 못한다고 봐야죠. 꼭 이해하고 넘어가야 해요.

분모의 유리화

분모가 근호를 포함한 무리수일 때, 분모를 유리수로 바꾸는 걸 분모의 유리화라고 해요. 일반적인 분수를 더하거나 뺄 때 분모를 통분해서 계산하죠? 그런데 분모가 무리수라면 통분하기가 어려워요. 그래서 분모를 유리수로 바꾸고, 그 다음에 통분해서 계산을 하는 거죠.

분모에 근호를 포함한 분수는 무리수에요. 무리수인 분수에서 분모가 유리화됐다고 해서 분수가 유리수가 되는 건 아니에요. 분수는 그대로 무리수고, 분모만 유리수가 되는 거예요.

분모의 유리화에서 분자는 아무런 영향을 미치지 않아요. 분자가 유리수든 무리수든 1이든 아니든 상관없어요. 전혀 고려하지 마세요.

이라는 분수가 있다고 해보죠. 분모가 근호를 포함한 무리수에요. 제곱근을 유리수로 바꾸는 가장 쉬운 작업은 제곱하는 거예요. 이 때도 제곱을 합니다.  전체를 제곱해서 하면 안돼요. 이니까요.

분모를 제곱하는 거예요. 통분할 때, 분모에 어떤 수를 곱해주면 같은 수를 분자에도 곱해주죠? 분모는 제곱, 분모에 곱해지는 수를 분자에도 곱해주는 거예요.

분자, 분모에 분모인 를 똑같이 곱해주고 계산을 했더니 분모가 유리수 2가 되었어요. 이게 분모의 유리화에요.

을 한 번 볼까요? 분모가 제곱근이므로 분자, 분모에 을 곱해주면 되겠죠?

이게 끝이 아니에요. 제곱근의 곱셈과 나눗셈에서 근호안에 제곱인 수가 있으면 근호 앞으로 꺼내는 걸 했어요. 요. 이렇게 2를 꺼내놓으면 분모 8과 약분이 되죠? 약분까지 끝내야 계산이 끝나는 거에요.

분자의 근호 안에 제곱인 수가 있어서 꺼냈는데, 이걸 분모에 있을 때 미리 꺼내면 어떻게 되는 지 해보죠.

분모에 정수와 제곱근이 곱해져있을 때는 제곱근만 곱해주면 돼요. 정수는 이미 유리수니까 유리화할 필요가 없잖아요. 계산이 조금 더 간단해 졌죠? 순서를 잘 기억하세요.

제일 마지막 과정에서 약분을 했는데, 두 번째 줄에 보면 분자의 3과 분모의 6을 약분할 수 있어요. 약분은 계산 중에 아무데서나 해도 상관없어요.

분모의 유리화: 분모에 근호를 포함한 수가 들어있을 때, 분자, 분모에 같은 수를 곱해서 분모를 유리수로 만드는 것
분모가 제곱근: 분모와 같은 수를 분자, 분모에 곱
분모가 정수와 제곱근의 곱: 분모의 제곱근 부분을 분자, 분모에 곱

분모가 무리수의 합과 차로 되어있을 때

분모가 두 무리수의 합과 차로 되어 있을 때는 방법이 조금 달라져요.

을 해보죠. 위에서는 분모를 유리화하기 위해서 분모를 제곱한다고 했어요. 분모만 따로 떼서 제곱을 해보죠. 제곱이니까 곱셈공식 - 완전제곱식을 이용해야 해요.

분모의 유리화는 분모의 제곱근을 없애려고 하는 건데, 없어지지 않았죠? 그래서 이 때는 분모를 제곱해도 소용이 없다는 걸 알 수 있어요. 완전제곱식이 아니라 곱셈공식의 합차공식을 이용해볼까요?

합차공식을 이용했더니 분모가 유리수가 되었죠? 합차공식은 숫자는 같지만 둘 사이의 부호만 다른 걸 곱하는 공식이에요.

정리해보죠. 분모에서 제곱근은 그대로 두고, 부호만 반대인 수를 분자, 분모에 곱해요.

다음 분수의 분모를 유리화하여라.

(1)은 분모에 제곱근이 하나만 있네요. 분모와 같은 수를 분자, 분모에 곱해서 유리화를 하죠.

(2)도 분모에 제곱근 하나만 있으니 이걸 분자, 분모에 곱해주면 되겠네요. 

마지막에 3이 약분이 되네요. 분수니까 약분까지 하셔야 해요.

(3) 분모의 근호 안에 제곱인 수가 들어있으니까 이걸 근호 앞으로 꺼내고, 근호 안의 숫자만 분자, 분모에 곱해줘요. 

두 번째에서 세 번째로 갈 때 근호 앞의 2와 분자의 2를 약분했어요. 약분을 미리하면 계산이 편리해져요.

(4) 분모에 근호를 포함한 수가 2개 있어요. 이럴 때는 부호를 반대로 해서 분자, 분모에 곱해야 하죠. 

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제곱근의 사칙연산 첫번째에요. 사칙연산에서는 보통 덧셈과 뺄셈을 먼저하는데, 여기서는 곱셈과 나눗셈을 먼저할께요. 왜냐고요? 더 쉬우니까요.

제곱근의 곱셈과 나눗셈은 제곱과 제곱근의 관계를 잘 알고 있다면 이해하기 쉬워요. 계산은 더 쉽고요. 규칙이라고 하기에도 좀 민망하죠.

또, 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 할 수 있어요. 따라서 곱셈만 할 줄 알면 나눗셈은 그냥 덤으로 할 수 있게돼요.

블로그에 쓰려다보니 기호가 너무 많아져서 복잡하네요. 예제는 생략하도록 할께요. 교과서의 예제 문제쯤은 그냥 간단히 풀 수 있을 거예요.

제곱근의 곱셈

제곱근끼리의 곱셈

은 얼마일까요? 숫자만 곱해서 이면 좋겠지요? 실제로 얼마인지 해볼까요?

을 제곱해보죠.

이죠. 제곱근의 뜻에 따르면 제곱과 제곱근은 서로 반대의 의미이므로 은 2 × 3의 양의 제곱근이에요.

그런데 2 × 3 = 6으로 6의 양의 제곱근은 이에요. 결국  = 이 되는 거죠.

제곱근의 곱셈은 숫자끼리 곱하고 제곱근 기호를 씌워주면 돼요.

정수와 제곱근의 곱셈

제곱근과 정수의 곱은 더 쉬워요.곱셈기호는 생략할 수 있어요. 그래서 그냥 생략해서 쓰면 돼요.  2 × =

이번에는 풀어서 계산해보죠.

이 되는 걸 알 수 있죠? 즉, 근호 앞의 정수는 제곱해서 근호안에 넣고, 원래 근호 안에 있던 숫자와 곱해주면 되는 거지요. 반대로 근호 안에 제곱인 수가 곱해져 있다면 근호 앞으로 빼낼 수 있어요.

제곱근의 곱셈

이번에는 조금 더 복잡한 거에요.를 해보죠.

근호 앞의 정수는 정수끼리, 제곱근은 제곱근끼리 곱하는 걸 알 수 있죠?

위 세 가지를 정리해보죠.

제곱근의 나눗셈

기본적으로 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 할 수 있으니까 곱셈에서 했던 세 가지 성질이 똑같이 적용됩니다.

를 해보죠. 마찬가지로 제곱을 합니다. 

제곱과 제곱근의 관계에 따라서 의 양의 제곱근으로 가 돼요. 제곱근의 나눗셈은 근호 안의 숫자끼리 나누고 근호를 씌워주면 되는 거죠.

근호 앞의 분수는 제곱을 해서 근호 안에 넣고, 반대로 근호 안의 분수의 제곱을 근호 밖으로 뺄 수도 있죠.

근호 앞에 정수가 있다면 정수끼리 나누고, 제곱근끼리 나눌 수 있어요. 

실수라는 수를 알아봈으니까 두 실수중에 어떤 것이 더 큰지 알수도 있어야겠죠? 기본적으로 실수 = 유리수 + 무리수이므로 실수의 대소관계 = 유리수의 대소관계 + 무리수의 대소관계에요. 여기까지는 알고있죠?

거기에 새로운 걸 하나 추가할꺼에요. 새로운 방법이긴 하지만 그게 별로 어렵지는 않아요. 아주 간단히 뺄셈을 하면 되거든요.

어떻게 하면 뺄셈으로 실수의 대소관계를 알 수 있는 지와 뺄셈으로 안될 때는 또 어떤 방법을 이용하는지도 공부해보죠. 참고로 뺄셈으로 할 수는 있는데, 현재 단계에서는 뺄셈 자체가 안되는 경우가 있어서 다른 방법을 사용하는 거에요.

실수의 대소관계

실수의 대소관계는 유리수의 대소관계 + 제곱근의 대소관계에요.

실수의 대소관계에서 제일 먼저 해야할 일은 부호를 비교하는 거예요. 음수 < 0 < 양수의 순서죠. 숫자를 볼 필요도 없이 부호만 가지고도 대소를 알 수 있어요.

만약에 부호가 양수라면 숫자가 큰 게 커요. 무리수라면 근호안의 숫자가 큰 게 크죠. 부호가 모두 음수라면 숫자가 작은 게 크죠. 무리수는 근호안의 숫자가 작은 음수가 더 커요.

이게 우리가 알고 있는 수의 크기 비교죠.

이번에는 다른 방식으로 접근해 볼꺼에요.

a, b가 실수일 때
a - b > 0 이면 a > b
a - b = 0 이면 a = b
a - b < 0 이면 a < b

간단한 내용이에요. a - b > 0 은 부등호가 있는 부등식이잖아요. -b를 이항하면 a > b가 되죠?  반대로 a > b에서 b를 좌변으로 이항하며 a - b > 0이 되고요. 둘이 왜 같은 뜻인지 알겠죠?

두 수의 차를 이용해서 실수의 대소관계를 알아볼 수 있어요. 어떤 두 수가 있다면 한 수에서 다른 수를 빼서 결과의 부호를 보는 거죠. 결과가 양수이면 앞의 수가 크고, 0이면 둘이 같고, 음수이면 뒤의 수가 더 커요.

5와 3이 있어요. 5 - 3 > 0이므로 앞에 있는 5가 뒤에 있는 3보다 큰 걸 알 수 있지요. 5와 8에서는 5 - 8 < 0이므로 뒤에 있는 8이 더 크죠.

제곱근의 근삿값을 이용하는 방법도 있어요. 다른 근삿값은 상관없지만 가장 많이 사용하는 아래 세 가지 경우는 외워두는 게 편리해요. 

1 + 와 의 크기를 비교해볼까요? 차를 이용하면 (1 + ) - 이 되는데 이거는 0보다 큰 지 작은 지 알 수가 없어요. 이 때 근삿값을 이용하세요.
1 +  ≒ 1 + 1.414 = 2. 414
 ≒ 2.236
따라서 1 + 가 더 크네요.

한 실수에서 다른 실수를 뺏을 때, 실수의 유리수 부분이 없어지거나 무리수 부분(제곱근)이 없어질 때는 차를 이용하면 좋고, 그렇지 않은 경우에는 근삿값을 대입해서 대소관계를 알아보는 게 좋아요. 제곱근의 뺄셈은 나중에 공부할 텐데, 그 때까지 덮어두죠.

실수의 대소관계
실수의 부호를 보고 판단
두 실수의 차의 부호를 이용
제곱근의 근삿값을 대입

다음 괄호 안에 알맞는 부등호를 넣어라.
(1) 3 - (  )   - 3
(2) 2 +  (  )  + 2
(3) 5 (  ) 3 +

실수의 대소관계를 파악할 때 첫번째는 두 실수의 부호를 먼저 살펴보는 거에요. 두 번째는 한 실수에서 다른 실수를 빼서 그 결과의 부호를 보고 실수의 대소관계를 알 수 있어요. 결과가 양수이면 앞에 게 큰 거, 결과가 음수이면 뒤에 것이 큰 거에요. 세번째는 근삿값을 직접 대입해서 그 결과를 보고 알 수도 있고요.

(1)번은 두 실수를 빼도 유리수 부분이 없어지지않으니까 대신 근삿값을 대입해보죠.

3 -  ≒ 3 - 1.732 = 1.268
 - 3 ≒ 1.732 - 3 = -1.268

3 -  >  - 3

(2)번은 차를 이용해보죠.

2 + - ( + 2)
= 2 +  -  - 2
=  -
≒ 1.732 - 1.414
= 0.318 > 0

따라서 2 + >  + 2

(3)번도 빼보죠.

5 - (3 + )
= 5 - 3 -
= 2 -
≒ 2 - 1.414
= 0.586 > 0

따라서 5 > 3 +

무리수, 실수라는 새로운 수를 공부했으니 이걸 수직선 위에 나타내 볼까요?

유리수는 수직선위에 나타내기 쉬웠는데, 무리수는 그 값을 정확하게 모르니까 수직선 위에 나타내기가 좀 어려워요. 제곱근의 성질을 이용할 수 있는 정사각형을 그려서 수직선 위에 나타냅니다.

수직선과 유리수, 무리수, 실수의 관계도 알아볼 거예요. 유리수, 무리수, 실수의 성질이 비슷하니까 잘 구별해야 해요. 유리수의 성질과 무리수의 성질은 같고, 실수는 이 둘의 성질을 모두 가지고 있어요.

무리수를 수직선 위에 나타내기

유리수는 수직선을 긋고 그 위에 나타낼 수 있어요. (유리수와 수직선) 무리수도 수직선 위에 나타낼 수 있는데 그 방법을 알아보죠.

수직선 위에 한 칸의 길이가 1인 모눈종이가 있다고 생각해보세요.

그림에서 파란색 사각형은 정사각형이에요. 이 정사각형의 넓이를 구해보죠.
파란 정사각형의 넓이 = (점선으로 그려진 정사각형의 넓이) - (작은 삼각형 4개의 넓이) = 4 - 4(½ × 1 × 1) = 2

정사각형의 넓이가 2이므로 한 변의 길이는 에요.

점 O를 중심으로 하고 작은 정사각형 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려서 수직선과 만나는 점을 점 P, 점 Q라고 하죠. 원의 반지름이므로  = 에요.

점 P의 좌표는 점 O에서의 거리니까 겠죠? 점 Q의 좌표도 역시 같은 거리에 있는데 수직선 위에서 원점 O보다 왼쪽에 있으니 -에요.

수직선 위에 정사각형을 그리고, 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원과 수직선과의 교점을 이용해서 무리수를 수직선 위에 그릴 수 있어요.

다음 그림에서 점 P와 점 Q의 좌표를 구하여라. (모눈 한 칸은 길이가 1인 정사각형)

점 P와 점 Q는 점 O를 중심으로 하고 를 반지름으로 하는 원과 수직선의 교점이에요. 

분홍색 정사각형의 넓이를 구해야 의 길이를 구할 수 있죠?
분홍색 정사각형의 넓이 = (점선으로 그린 사각형의 넓이) - (작은 삼각형 4개의 넓이) = 9 - 4(½ × 2 × 1) = 5

점 P는 점 O에서 만큼 오른쪽에 있는 점이에요. 주의해야 할 건 점 O가 원점이 아니라는 거예요. 점 O가 1위의 점 이므로 점 P는 1 + 에요. 점 Q는 점 O에서 왼쪽으로 만큼 있는 점이므로 점 Q의 좌표는 1 - 에요.

실수와 수직선

모든 유리수는 수직선 위에 점으로 나타낼 수 있어요. 이 말은 유리수는 수직선 위의 한 점과 대응한다는 뜻이에요. 또 유리수 사이에는 무수히 많은 유리수가 있지요. 0과 1 사이에는 0.5, 0.55, 0,555 …… 등 무수히 많은 유리수가 있죠?

무리수도 유리수처럼 수직선 위에 점으로 나타낼 수 있어요. 무리수도 수직선 위의 한 점과 대응하는 거죠. 무리수 사이에도 무수히 많은 무리수가 있어요.

유리수와 무리수를 합치면 실수니까 실수는 유리수와 무리수의 성질을 모두 가지고 있어요. 위 두 가지를 합치면 실수는 수직선 위의 한 점과 대응하고, 두 실수 사이에는 무수히 많은 실수가 있다는 걸 알 수 있어요. 그 외에 유리수, 무리수는 없는 실수만 가지고 있는 성질이 하나 잇는데, 실수에 대응하는 무수히 많은 점으로 수직선을 완전히 메울 수 있어요. 유리수나 무리수만으로는 수직선을 완전히 메울 수 없어요.

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중등수학 개념설명, 예제 문제 및 풀이 포함
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오늘 공부할 건 매우 중요한 내용이에요. 수학의 기본이 되는 수의 체계에 대한 내용이거든요.

이제까지 알고 있던 모든 수 자연수, 정수, 유리수, 유한소수, 무한소수, 순환소수에 더해서 무리수라는 새로운 이름의 수를 공부할 거예요. 무리수는 새로운 수가 아니라 이미 알고 있는 수에요. 다만 어떤 수를 무리수라고 하는지 몰랐을 뿐이에요.

또 실수라는 것도 공부할 건데, 이게 앞으로 수학 시간에 계속 사용할 거니까 잘 알고 있어야 해요.

이 글에서는 각 수의 뜻과 특징, 서로를 구별하는 방법, 수의 관계를 이해해야 합니다.

무리수와 실수

이제까지 공부했던 수의 체계를 정리해볼까요? 일단 1, 2, 3, …… 같은 자연수가 있어요. 자연수(양의 정수)와 0, 자연수에 (-) 부호를 붙인 음의 정수로 나눠지는 정수도 있고요. 분수 꼴로 나타낼 수 있는 유리수도 있지요. 자연수는 정수에 포함되고, 정수는 유리수에 포함돼요. 결국, 자연수는 유리수에 포함되는 거죠.

유한소수와 무한소수도 공부했어요. 무한소수는 순환하는 무한소수(순환소수)와 순환하지 않는 무한소수로 나눌 수 있었죠? 유한소수와 순환소수는 분수로 나타낼 수 있으니 유리수에요. 그러니까 유한소수와 순환소수는 유리수에 속해요.

그럼 분수 꼴로 나타낼 수 없는 순환하지 않는 무한소수는 어떤 수에 속할까요? 바로 무리수에 속해요.

무리수는 유리수가 아닌 수예요. 유리수는 분수로 나타낼 수 있는 수니까 그 반대인 무리수는 분수로 나타낼 수 없는 수예요. 순환하지 않는 무한소수 중 가장 대표적인 게 뭐죠? 바로 π죠. 그 외에도 처럼 근호가 씌워진 수를 무리수라고 할 수 있어요. 단 처럼 근호를 없앨 수 있는 수는 유리수에요. 이름만 처음 들었다 뿐이지 이미 다 알고 있는 수들이죠?

유리수와 무리수의 뜻을 잘 생각해보세요. 유리수는 분수로 나타낼 수 있는 수고, 무리수는 분수로 나타낼 수 없는 수에요. 그렇다면 유리수이면서 무리수인 수는 없겠죠? 또 유리수도 아니고 무리수도 아닌 수도 없을 거고요. 따라서 모든 수는 유리수와 무리수로 나눌 수 있는데 이 두 가지를 합쳐서 실수라고 합니다. 실수는 실제 수를 말하고 영어로는 Real Number라고 해요.

앞으로 특별한 언급 없이 그냥 수라고 한다면 모두 실수라고 생각하면 돼요.

무리수: 유리수가 아닌 수
         꼴의 분수로 나타낼 수 없는 수
          순환하지 않는 무한소수, π
          근호를 못 없애는 제곱근
실수: 유리수 + 무리수

그림에서 가장 주의깊게 봐야할 건 무한소수에요. 무한소수 중 순환소수는 유리수고, 순환하지 않는 무한소수는 무리수에요.

아래는 위 그림을 벤다이어그램으로 나타낸 건데, 꼭 기억하세요. 수의 체계를 아주 잘 나타내고 있어서 문제에서 자주 나오는 그림이거든요. 이 글에서는 이 그림하나만 기억하면 돼요.

다음 설명 중 틀린 것을 모두 고르시오.
(1) 유리수와 무리수를 합하면 실수가 된다.
(2) 정수는 무리수에 속한다.
(3) 정수는 자연수에 속한다.
(4) 유리수가 아니면 무리수이다.
(5) 유리수면서 동시에 무리수인 수는 없다.

위의 그림을 잘 보세요. 자연수는 정수에 속하고, 정수는 유리수에 속해요. 그러니까 자연수는 유리수에 속하죠. 또, 유리수와 무리수 모두 실수에 속하고요. 유리수와 무리수를 합하면 실수가 되네요.

(1) 유리수와 무리수를 합하면 실수가 되므로 맞아요.
(2) 정수는 무리수에 속하는 게 아니라 유리수에 속하니까 틀렸어요.
(3) 자연수가 정수에 속하니까 거꾸로 됐네요. 틀렸어요.
(4) 유리수가 아니면 무리수에요. 반대로 무리수가 아니면 유리수지요.
(5) 유리수이면서 무리수인 수는 없으므로 맞아요. 반대로 유리수도 아니고 무리수도 아닌 수는 없어요.

따라서 틀린 건 (2), (3)입니다.

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제곱근의 뜻과 표현, 성질을 알아봤어요.

이번 글에서는 제곱근의 크기를 비교하는 걸 해볼꺼에요. 제곱근끼리의 크기비교도 해볼꺼고요. 제곱근과 제곱근이 아닌 수와의 크기 비교도 해볼꺼에요.

제곱근도 하나의 수이므로 대소비교를 하는데, 기존에 해봤던 정수의 대소관계나 유리수의 대소관계의 성질과 별로 다르지 않아요. 정수와 유리수는 음수, 0, 양수의 세 수로 나눌 수 있었어요. 음수는 숫자가 작을수록 크고, 양수는 숫자가 클수록 크죠? 이것만 기억하고 있으면 돼요.

제곱근의 대소관계

넓이가 3cm², 5cm², 7cm²인 정사각형이 세 개가 있어요. 정사각형의 넓이는 한 변의 길이를 제곱해서 구하니까 정사각형 한 변의 길이는 각각 에요.

정사각형 한 변의 길이의 순서는 넓이의 순서와 같죠? 따라서 작은 것부터 순서대로 쓰면 에요.

정수의 대소관계나 유리수의 대소관계에서 수직선에서 오른쪽에 있을수록 크기가 크다고 했죠? 제곱근도 마찬가지로 수직선으로 나타냈을 때 오른쪽에 있을수록 크기가 더 커요. 음수, 0, 양수의 순서죠.

정수, 유리수에서 대소비교할 때 양수는 숫자가 크면 크고, 음수는 숫자가 작아야 크잖아요. 제곱근의 대소관계에서는 그냥 숫자가 아니라 근호 안의 숫자의 크기를 가지고 얘기해요.

제곱근이 양수일 때는 근호 안의 숫자가 클수록 크고
제곱근이 음수일 때는 근호 안의 숫자가 작을수록 커요.

제곱근과 유리수의 대소관계

제곱근끼리의 대소비교는 근호 밖의 부호(음수, 0, 양수)와 근호안의 숫자 크기를 비교하면 알 수 있어요. 그러면 제곱근과 유리수의 크기 비교는 어떻게 할까요? 유리수는 근호가 없어서 바로 비교할 수가 없잖아요.

제곱근의 근호를 없앨 수 있으면 근호를 없애서 유리수와 비교하면 되는데, 제곱근을 없애고싶다고 없앨 수 있는 건 아니에요.

그래서 반대로 유리수를 근호안에 넣어서 제곱근으로 모양을 바꾼 다음 비교를 해요. 근호 밖의 유리수를 제곱해서 근호 안으로 넣는 거죠. 이렇게 하면 모두 제곱근이 되고, 위에서 했던 것처럼 근호 안의 숫자의 크기를 비교해서 제곱근과 유리수의 크기를 비교할 수 있어요.

다음을 크기가 작은 순서대로 나열하여라.

몇 개는 정수로 되어있네요. 정수로 되어있는 건 근호 안에 넣어줘야 해요. 근호 안에 넣어줄 때는 숫자를 제곱해서 넣어야 하죠.

정수든 유리수든 제곱근이든 대소비교를 할 때 가장 먼저 해야할 건 부호에 따라서 크기를 나누는 거예요. 음수, 0, 양수로 나눠볼까요?

음수는 근호 안의 숫자가 큰 게 작아요. 양수는 근호 안의 숫자가 큰 게 크지요. 16 < 5, ½ < 3 < 4 이므로

순서대로 배열했으니까 처음 문제에서 줬던 숫자로 다시 써보면

을 만족하는 자연수 x를 모두 구하여라.

2, 3이 근호 밖에 있으니까 근호 안에 넣어서 크기를 비교해야 해요.

따라서 x가 될 수 있는 자연수는 5, 6, 7, 8 네 개네요.

이런 문제를 조금 더 쉽게 풀기 위해서는 2, 3을 근호 안에 넣는 것도 좋지만 각 항을 모두 제곱해버리는 게 좋아요. 각 항을 제곱하면 4 < x < 9가 바로 나오지요?

제곱근의 뜻과 표현에서 새로운 용어와 새로운 기호를 공부했어요. 의미가 헷갈리니까 잘 이해할 수 있도록 하시고요.

이 글에서는 제곱근의 성질과 근호를 없애는 방법에 대해서 공부할 거예요. 제곱근의 성질을 알아야만 제곱근 기호(근호)를 없앨 수 있어요. 그러니까 처음부터 차분히 잘 따라오세요.

무작정 근호를 없애려고 하면 안 돼요. 원리와 방법이 어렵지 않으니까 잘 읽어보면 쉽게 계산할 수 있어요. 근호를 없애는 건 나중에 제곱근의 사칙연산할 때 아주 중요하니까 연습을 많이 해두세요.

제곱근의 성질

제곱근과 제곱은 서로 반대의 의미를 지녀요.

어떤 수의 제곱근을 제곱하면 원래 수가 돼요. 4의 제곱근은 ±2인데 이걸 제곱하면 2² = (-2)² = 4가 되잖아요.

이때 어떤 수는 제곱근을 구할 수 있는 수니까 양수거나 0이에요. 제곱근의 뜻과 표현에서 음수의 제곱근은 생각하지 않는다고 했었죠?

반대의 경우를 생각해보죠.

어떤 양수를 제곱해서 근호를 씌우면 원래 수가 돼요. 2² = 4에 근호를 씌우면 잖아요.

어떤 음수를 제곱해도 같은지 해볼까요? (-2)를 제곱해서 근호를 씌워보면 (-2)² = 4고, 에요. 원래 수와 다르네요.

근호를 씌우는 건 그냥 제곱근을 구하는 게 아니라 양의 제곱근을 구하는 거예요. 그러니까 결과는 무조건 양수로 나올 수밖에 없어요. 음수를 제곱해서 양의 제곱근을 구하니까 원래 수와 부호가 다른 건 당연하지요.

근호를 씌운다 = 양의 제곱근을 구한다.
근호를 씌운다 ≠ 제곱근을 구한다

정리해보면 어떤 수를 제곱해서 근호를 씌웠을 때, 어떤 수가 양수면 원래 수 그대로, 어떤 수가 음수면 원래 수에서 부호만 바뀐 수가 나와요.

근호 풀기

근호 안에 어떤 수의 제곱이 있을 때를 보죠. 위 제곱근의 성질을 이용하면 근호와 제곱을 지울 수 있어요. 마치 약분하는 것처럼요.

일단 제곱과 근호를 지우고 나면 숫자는 그대로 쓰니까 상관없어요. 문제는 부호에요. 부호는 위의 성질을 이용해서 구하는데 이게 정말 헷갈리거든요.

하나만 기억하세요. 근호 앞의 부호와 같게 만들어 주면 돼요. 근호 앞에 부호가 (+) 또는 생략이면 근호를 없앤 결과도 (+), 근호 앞의 부호가 (-)면 근호를 없앤 결과도 (-)에요.

위에서 a > 0일 때 에서 근호 앞의 부호가 생략되어 있으므로 는 양수예요. 그래서 근호를 없앤 결과도 양수인 a가 되는 거고요.

b < 0일 때 의 근호 앞에도 부호가 생략되어 있으므로 는 양수예요. 근호를 없앤 결과도 양수가 되어야 하는데, b < 0이니까 -b가 되는 거예요.

근호 안에 어떤 수의 제곱이 있을 때 근호 풀기 → 숫자는 그대로, 부호는 근호 앞의 부호

다음을 간단히 하여라.

근호 안에 제곱인 수가 있을 때 일단 숫자는 그대로 쓰고, 근호 앞의 부호가 양수이면 결과도 양수, 근호 앞의 부호가 음수이면 결과도 음수에요.

(1) 근호 앞의 부호가 양수네요. 25 = 5²이므로 

(2) 근호 앞의 부호가 음수네요.

(3) 근호 앞의 부호가 양수예요.

(4) 근호 앞의 부호가 음수예요.

다음을 간단히 하여라.

각 항을 하나씩 따라 떼서 생각하면 쉬워요.

(1)에서는 두 항 모두 근호 앞의 부호가 양수네요.

(2)에서는 근호 앞의 부호가 하나는 양수, 하나는 음수네요.

3학년 첫단원이네요. 첫시간부터 정말 중요한 걸 배울거에요. 제곱근이라는 용어와 이를 나타내는 새로운 기호죠. 이 기호는 1학기 내내 사용할 거에요.

제곱근이라는 용어는 언뜻 이해한 것 같기도 한데, 막상 문제를 풀려고 하면 이해가 안되는 참 이상한 내용이에요. 숫자가 앞에 있는 지 제곱근이라는 단어가 앞에 있는 지에 따라서 뜻이 달라지는데, 이게 참 헷갈리거든요.

언제나 그렇듯 첫시간에 공부하는 개념 정리가 잘 되어있어야 다음 내용으로 넘어갈 수 있으니까 정독해서 잘 이해하셔야 해요.

제곱근의 뜻

1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25.....에요.
(-1)² = 1, (-2)² = 4, (-3)² = 9, (-4)² = 16, (-5)² = 25고요.

이걸 거듭제곱이라고 하죠? 이번에는 거꾸로 생각해볼까요? 어떤 수 a를 제곱했더니 9가 됐어요. 그럼 a는 얼마일까요? 위에서 보면 a = 3 또는 a = -3이에요. 제곱해서 16이 되는 수는 4, -4고요.

이처럼 제곱해서 a가 되는 수를 a의 제곱근이라고 해요. 제곱해서 9가 되는 수는 9의 제곱근, 제곱해서 16이 되는 수는 16의 제곱근이요.

위의 경우에서 보면 하나의 수에 대해서 절댓값은 같고 부호가 다른 제곱근이 2개씩 있어요. 양수인 제곱근을 양의 제곱근, 음수인 제곱근을 음의 제곱근이라고 해요. 3은 9의 양의 제곱근, -3은 9의 음의 제곱근이 되는 거지요. 4는 16의 양의 제곱근이고, -4는 16의 음의 제곱근이에요.

0은 제곱근이 몇 개일까요? 제곱해서 0이 되는 수는 0밖에 없어요. 그런데 0은 부호가 없지요. 따라서 0의 제곱근은 그냥 0이에요. 이 때는 다른 경우와 달리 제곱근이 하나밖에 없어요.

이번에는 제곱해서 -9가 되는 수를 찾아볼까요? 제곱해서 -9가 되는 수가 뭐가 있나요? -3이면 될까요? -3을 제곱하면 9가 되는데요. 어떤 수를 제곱하면 0이거나 양수가 되지 음수가 될 수는 없어요. 따라서 음수의 제곱근은 생각하지 마세요.

제곱근: 제곱의 반대
a의 제곱근: 제곱해서 a가 되는 수, a ≥ 0
a > 0 이면 양의 제곱근, 음의 제곱근 2개. 양의 제곱근과 음의 제곱근은 절댓값 같고 부호 반대.
a = 0 이면 제곱근은 0 하나
a < 0 이면 생각하지 않음.

다음 수의 제곱근을 구하여라.
(1) 25      (2)  (-3)²
(3) 0.01    (4)

제곱근은 양의 제곱근, 음의 제곱근 2개가 있는데, 이 둘은 절댓값이 같고 부호만 반대에요.

(1) 25의 제곱근은 5, -5

(2) 거듭제곱이 있는데, 이럴 때는 계산을 모두 한 결과에서 제곱근을 구해요. (-3)² = 9 이므로 9의 제곱근은 3, -3

(3) 0.01의 제곱근은 0.1, -0.1

(4) 분수도 다르지 않아요. 의 제곱근은

제곱근의 표현

수학은 말을 기호로 나타내야 해요. 따라서 제곱근도 기호로 나타내죠. 제곱근을 나타낼 때는 근호()를 사용하고 제곱근 또는 루트라고 읽어요.

근호 안에 들어가는 a는 제곱이 된 수니까 무조건 0보다 크거나 같아야 해요.

제곱근은 양의 제곱근, 음의 제곱근이 있잖아요. 그래서 양의 제곱근 앞에는 +를, 음의 제곱근 앞에는 -를 붙이는데, 양수에서 +는 생략하죠? 그래서 양의 제곱근 앞의 +로 생략해요. 결국 음의 제곱근에만 -만 붙여요.

a의 양의 제곱근 =
a의 음의 제곱근 =

a의 양의 제곱근과 음의 제곱근을 한번에 라고 쓰기도 하는데, "플러스 마이너스 루트 a"라고 읽어요.

어떤 수의 제곱근을 나타낼 때는 루트를 씌워주는데, 부호도 꼭 함께 써줘야 해요. 9의 제곱근을 나타내라고 하면 로만 쓰기 쉬운데, 그러면 안돼요. 9 제곱근은 양의 제곱근, 음의 제곱근 2개가 있으니까 처럼 부호와 함께 써줘야 합니다.

부호없이 그냥 쓴 는 제곱근 a(루트 a)에요. a의 양의 제곱근도 같은 모양이죠? 문제에 제곱근 a와 a의 양의 제곱근이라는 표현이 나오는데, 결국 같은 거니까 헷갈리지 마세요.

 = 제곱근 a = a의 양의 제곱근

이 둘보다 더 헷갈리는 게 바로 제곱근 a와 a의 제곱근이라는 표현인데 잘 구별하세요.
제곱근 a: a에 루트 기호를 씌운 것 = = a의 양의 제곱근
a의 제곱근: 제곱해서 a가 되는 수 = = a의 양의 제곱근과 음의 제곱근

다음을 구하여라.
(1) 5의 제곱근
(2) 제곱근 5

a의 제곱근과 제곱근 a의 차이를 제대로 이해하고 있어야 풀 수 있는 문제에요.

(1) 5의 제곱근은 제곱해서 5가 되는 수로 양수와 음수 2개가 있어요.

(2) 제곱근 5는 5에 제곱근 기호를 씌운 것으로 5의 양의 제곱근과 같지요.

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곰셈공식의 변형은 곱셈공식과 등식의 변형을 하나로 합친 내용이에요.

곱셈공식은 다섯 가지가 있었는데, 모두 외우고 있죠? 필수공식이니까 반드시 외워야 해요. 그리고 등식의 변형에서 가장 기본이 되는 건 이항이었어요. 이 두 가지만 잘 알고 있으면 이번 글은 비교적 쉽게 넘어갈 수 있는 내용이에요.

곱셈공식의 모양을 바꾸면 새로운 공식이 나오는데, 외우면 좋아요. 하지만 헷갈려서 외우기가 어렵다면 외우지 않아도 돼요. 단 원리는 꼭 이해해야 하고, 곱셈공식을 변형할 수 있어야 해요.

곱셈공식의 변형

곱셈공식의 변형 - 제곱의 합

곱셈공식(완전제곱식, 합차공식 외)은 총 다섯 가지가 있었는데, 그중 완전제곱식 두 가지 있었죠?

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

이 두 공식의 우변에서 2ab를 이항해서 모양을 바꿀 거예요.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)² - 2ab = a² + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a - b)² + 2ab = a² + b²

첫 번째 곱셈공식은 두 수의 합(a + b), 두 수의 곱(ab), 각각을 제곱한 것의 합(a² + b²)으로 이루어져 있어요. 두 번째 곱셈공식은 두 수의 차(a - b), 두 수의 곱(ab), 각각을 제곱한 것의 합(a² + b²)으로 되어 있고요. 그러니까 두 수의 합/차, 곱, 제곱한 것의 합 중 두 가지를 알면 나머지 하나를 구할 수 있는 거죠. 두 수가 무엇인지는 구할 필요가 없어요.

a² + b² = (a + b)² - 2ab
           = (a - b)² + 2ab

곱셈공식의 변형 공식은 외우면 좋아요. 하지만 외워지지 않는다면 굳이 외우지 말고, 변형하는 방법만 알아두세요. 문제 푸는 데 전혀 지장이 없으니까요.

변형된 곱셈공식을 이용해서 문제를 풀 때는 문제에서 구하라고 하는 것과 문제에서 주어진 것들이 들어있는 공식을 사용해야 해요. x + y를 구하라고 하는 문제에서 엉뚱하게 (x - y)가 들어있는 공식을 사용해서는 안 되겠죠?

어떤 두 수 x, y의 합이 5이고, 곱이 10일 때 x² + y²을 구하여라.

합과 곱을 주고 제곱한 것의 합을 구하는 문제예요. 세 가지가 들어있는 공식은 (a + b)² = a²+ 2ab + b²이네요. 각 자리에 수를 대입해볼까요?

5² = x² + 20 + y²
x² + y² = 25 - 20
x² + y² = 5

곱셈공식의 변형 - 합의 제곱, 차의 제곱

변형된 곱셈 공식을 보면 둘 다 좌변이 a² + b²예요. 그러니까 두 공식의 우변을 서로 같다고 놓을 수도 있겠죠? 그런 다음 2ab를 이항해보죠.

(a + b)² - 2ab = (a - b)² + 2ab
(a + b)² = (a - b)² + 4ab
(a - b)² = (a + b)² - 4ab

합의 제곱, 차의 제곱, 두 수의 곱 중 두 가지를 알면 나머지를 구할 수 있는 공식이에요. 두 수가 어떤 수인지 몰라도 상관없는 거죠. 두 수의 합이 아니라 합의 제곱, 두 수의 차가 아니라 차의 제곱이라는 걸 주의하세요.

새로운 공식들이 만들어졌어요. 외우면 좋겠지만 외우지 못하겠다면 변형하는 방법을 잘 이해하면 돼요.

x + y = 4, x² + y² = 10일 때 다음을 구하여라.
(1) xy
(2) (x - y)²

두 수의 합과 제곱의 합이 주어졌어요. 두 가지가 들어있는 공식은 (x + y)² = x² + 2xy + y²이에요. 여기서 모르는 xy를 구할 수 있어요.

(1) 4² = 10 + 2xy
2xy = 6
xy = 3

(2)는 차의 제곱을 구하라고 했어요. 차의 제곱이 들어있는 공식은 (x - y)² = x² - 2xy + y²이죠. 대입하면
(x - y)² = 10 - 2 × 3
(x - y)² = 10 - 6
(x - y)² = 4

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1학년 때 해봤던 대입도 다시 공부할 거니까 기억나지 않는다면 대입, 식의 값을 얼른 읽어보고 오세요.

이 글에서는 한 문자에 대하여와 한 문자에 대한 식을 공부할 건데, ~ 대하여와 ~ 대한 식이라는 글자에 따라 의미가 엄청나게 달라지니까 잘 구별해야 합니다.

등식의 변형을 잘 이용하면 거리, 속력, 시간처럼 같은 내용으로 이루어진 모양이 비슷한 공식도 쉽게 외울 수 있어서 상당히 도움이 많이 되는 내용이에요.

등식의 변형

식의 대입

1학년 때 대입과 식의 값을 공부했어요. 대입은 대신 넣는 거고, 식의 값은 문자에 특정한 값을 대입해서 얻은 결과를 말해요. a = 3을 a + 2에 대입하면 3 + 2 = 5라는 식의 값을 얻었죠?

여기서 공부할 대입은 식의 문자에 일정한 값을 대입하는데, 대입하는 값이 숫자가 아니라 다항식이에요.

x = 3a + 5를 2x + 3에 대입해보죠. 대입하면 x를 3a + 5로 바꾸는 거예요.

2x + 3
= 2(3a + 5) + 3      ∵ 식의 대입
= 6a + 10 + 3         ∵ 분배법칙
= 6a + 13             ∵ 식의 값

식을 대입할 때는 괄호를 꼭 넣어야 해요. 만약 위의 계산 과정에서 괄호를 넣지 않는다면 어떻게 될까요?

2x + 3
= 2 × 3a + 5 + 3
= 6a + 8

괄호를 있을 때와 괄호가 없을 때의 식의 값이 달라지죠? 괄호를 넣지 않으면 답을 틀리게 돼요.

한 문자에 대하여

"한 문자에 대하여"와 "한 문자에 관하여"는 같은 말이라는 걸 미리 얘기해 둘께요.

일차방정식을 풀 때 좌변에는 x가 있는 항, 우변에는 상수항이 오도록 이항했죠? 그리고 마지막에 x의 계수로 양변을 나눠줬어요. 이렇게 하는 걸 문자 x에 대하여 푼다고 해요.

x에 대하여 푼다는 건 좌변에는 x만 남기고 그 이외의 문자와 숫자들은 모두 우변으로 이항하는 거예요. 만약에 y에 대하여 푼다고 한다면 y가 있는 항을 좌변, 그 외의 항을 우변으로 이항하는 거고요.

x에 대하여 푼다. → x = (x가 없는 항) + 상수항
y에 대하여 푼다. → y = (y가 없는 항) + 상수항

이때 좌변에 있는 문자의 계수는 1이 되어야 해요. 또 정해진 문자를 제외한 모든 문자는 숫자 취급해요.
2x = 4y + 2 (X)
x = 2y + 1 (O)

첫 번째는 x의 계수가 2라서 틀린 거고, 세 번째는 x의 계수가 y라서 틀렸어요. 양변을 각각 2와 y로 나눠준 두 번째, 네 번째 식이 맞아요.

한 문자에 대하여 풀 때는 등식의 성질을 이용해요.

1. 해당 문자가 들어있는 항은 좌변으로, 나머지 항은 모두 우변으로 이항
2. 해당 문자의 계수로 양변을 나눈다.

x + 2y - 4 = 10을 x에 대하여 풀어보죠. x가 있는 항만 좌변, x가 없는 항은 우변으로 이항해요.

x + 2y - 4 = 10
x = -2y + 4 + 10
x = -2y + 14

다음 식을 a에 대하여 풀어라.
(1) 3a - 2b = 6a + b - 3
(2) 2(a + 3b) - 3(2a - b) = b + 8

a에 대하여 풀라고 했으니 a = (a가 없는 항)의 꼴이 되어야 해요.

(1) 3a - 2b = 6a + b - 3
3a - 6a = b - 3 + 2b
-3a = 3b - 3
a = -b + 1

(2)는 괄호가 있으니 분배법칙으로 먼저 괄호를 풀어야 해요.
2(a + 3b) - 3(2a - b) = b + 8
2a + 6b - 6a + 3b = b + 8
-4a + 9b = b + 8
-4a = b + 8 - 9b
-4a = -8b + 8
a = 2b - 2

윗변의 길이가 a, 밑변의 길이가 b, 높이가 h인 사다리꼴의 넓이를 S라고 할 때, a, b, h, S의 관계식을 높이 h에 대하여 풀어라.

높이 h에 대하여 풀면 h = (……………)의 꼴이니까 h는 좌변으로, h가 아닌 다른 문자는 모두 우변으로 보내야 해요. 넓이 식을 써보면 문자가 계수처럼 되어있는데, 여기서 h가 아닌 문자는 모두 숫자 취급해서 처리합니다.

참고로 는 좌변에 S만 있으니까 S에 대하여 풀어서 나타낸 거예요.

거리, 속력, 시간에 관한 공식은 세 가지가 있어요. 세 개를 외우는 건 정말 헷갈려요. 이럴 때는 공식을 하나만 외우세요. 거리를 s, 시간을 t, 속력을 v라고 할게요.

만 외웠다고 해보죠.

그럼 거리 s는 어떻게 구하나요? 위 식을 s에 대하여 풀면 돼요. 위 식의 양변에 t를 곱해보면 vt = s가 되네요.

이번에는 시간 t를 구해보죠. t에 대하여 풀면 되겠죠? vt = s에서 양변을 v로 나눠주면 t = s ÷ v가 돼요.

이뿐만 아니라 소금물의 농도 구하는 공식도 둘 중 하나만 외우면 같은 방법으로 다른 값을 구하는 공식을 만들어 낼 수 있어요. 헷갈리는 공식도 다 외우면 좋지만, 굳이 헷갈리면서까지 외우기보다는 하나만 완전히 외우고 나머지는 이런 방법으로 구할 수 있다는 것도 알아두세요.

한 문자에 대한 식

"한 문자에 대한"과 "한 문자에 관한"은 같은 말이에요.

한 문자에 대한 식은 어떤 식을 해당 문자와 상수항만으로 표현하는 걸 말해요. 그러니까 주어진 문자를 제외한 문자를 모두 없애야 하는 거죠.

없애려고 하는 문자에 식을 대입하면 해당 문자는 없어지잖아요. 이걸 이용하는 거예요. y를 없애려면 y = (………) 식을 y자리에 대입하는 거죠.

x + y = 3일 때, 2x + 3y + 6을 x에 대한 식으로 나타낸다고 해보죠. 순서를 잘 보세요.

1. x + y = 3을 y에 대하여 풀어서 정리
   y = - x + 3
2. ①식을 2x + 3y + 6에 대입
   2x + 3(-x + 3) + 6
3. ②식을 전개하여 정리
   2x + 3(-x + 3) + 6
   = 2x - 3x + 9 + 6
   = -x + 15

한 문자에 대한 식의 문제에서는 식이 2개 이상 나와요. 한 문자로 나타낼 식과 다른 문자를 제외할 수 있도록 대입할 수 있는 식이요.

x - y = 6일 때 다음을 구하여라.
(1) 2x + 3y + 7을 x에 대한 식으로 나타내어라.
(2) 2x + 3y + 7을 y에 대한 식으로 나타내어라.

어떤 식을 한 문자에 대한 식으로 나타내려면 주어진 문자가 아닌 문자는 모두 없애야 해요. 이때 없앨 문자에 대하여 식을 정리해서 대입합니다.

(1)에서는 x에 대한 식이므로 x와 상수항만 남기고 y를 지워야 해요. 주어진 식을 y에 대하여 풀어서 대입해야겠네요.
x - y = 6
-y = -x + 6
y = x - 6

2x + 3y + 7
= 2x + 3(x - 6) + 7
= 2x + 3x - 18 + 7
= 5x - 11

(2)에서는 y에 대한 식이므로 y와 상수항만 남기고 x를 지워야 해요. 주어진 식을 x에 대하여 풀어서 대입해야겠군요.
x - y = 6
x = y + 6

2x + 3y + 7
= 2(y + 6) + 3y + 7
= 2y + 12 + 3y + 7
= 5y + 19

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곱셈공식 두 번째예요. 곱셈공식 - 완전제곱식에서 완전제곱식의 형태인 공식을 두 개 공부했어요.

이 글에서 공부할 곱셈공식은 조금 더 어려워요. 하지만 공식이 만들어지는 원리는 분배법칙으로 모두 같아요. 만들어지는 원리를 잘 이해하고, 그림을 통해서 한 번 더 확인해보면 공식을 외우는 데 도움이 될 거예요.

공식을 외우는 이유는 계산과정을 조금 더 쉽고 빨리하기 위해서예요. 그런데 공식을 외우라고 하면 공식은 잘 외우지만, 실제 계산에서 적용하지 못하는 학생들이 있어요. 단순히 외우지만 말고 실제 문제에서 바로바로 적용할 수 있도록 연습을 많이 하세요.

곱셈공식

곱셈공식 (3) - 합차공식

세 번째 곱셈공식은 합차공식이라는 이름으로 불러요. 왜 합차공식이냐면 두 항을 더한 것과 뺀 것을 곱하거든요.

(a + b)(a - b)는 a와 b를 한 번은 더하고, 한 번은 빼서 곱하는 거죠. 전개해서 정리해볼까요?

(a + b)(a - b)
= a(a - b) + b(a - b)
= a² - ab + ba - b²
= a² - b²

(a + b)(a - b) = a² - b²

앞의 항을 제곱한 것에서 뒤의 항을 제곱한 것을 빼주는 거예요.

그림으로 확인해보죠.

한 변의 길이가 a인 정사각형에서 가로는 b만큼 늘려주고, 세로는 b만큼 줄이면 가로 길이는 (a + b), 세로 길이는 (a - b)예요. 넓이는 (a + b)(a - b)죠. 이게 가운데 그림이에요.

가운데 그림의 오른쪽에 있는 작은 사각형을 밑으로 돌리면 세 번째 그림처럼 돼요. 흰 사각형의 가로 길이는 a - (a - b) = b죠.

색칠한 부분의 넓이 = 전체 사각형의 넓이 - 흰 사각형
(a + b)(a - b) = a² - b²

합차공식은 두 개의 항을 한 번은 더하고, 한 번은 뺀 것을 곱할 때만 씁니다. (a + b)(a - c)는 +, -가 있지만 두 번째 항이 b와 c로 달라서 합차공식을 사용해서는 안 돼요.

(a + b)(a - c) ≠ a² - b²
(b + c)(d - c) ≠ b² - c²

다음을 간단히 하여라.
(1) (3a + b)(3a - b)
(2) (2a + 3b)(2a - 3b)
(3) (5a - 2b)(5a + 2b)

합차공식은 앞의 항을 제곱한 것에서 뒤의 항을 제곱한 것을 빼면 돼요.

(1) (3a + b)(3a - b)
= (3a)² - b²
= 9a² - b²

(2) (2a + 3b)(2a - 3b)
= (2a)² - (3b)²
= 4a² - 9b²

(3)은 두 항의 뺄셈이 앞에 있고, 덧셈이 뒤에 있죠. 곱셈에서는 교환법칙이 성립하니까 순서는 상관없어요.
(5a - 2b)(5a + 2b)
= (5a)² - (2b)²
= 25a² - 4b²

곱셈공식 (4) - x의 계수가 1일 때

이번 곱셈공식은 x가 있는 일차식 두 개를 곱하는 공식이에요. 이때 두 일차식의 x의 계수가 1이에요.

(x + a)(x + b)를 전개해서 정리해보죠. 여기서 a, b는 상수항이에요.

(x + a)(x + b)
= x(x + b) + a(x + b)
= x² + bx + ax + ab
= x² + (a + b)x + ab

세 번째 줄의 ax와 bx가 x가 있는 동류항이라서 서로 더해줬어요.

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

x는 제곱해주고, 두 상수항을 더한 것에 x붙여주고, 두 상수항을 곱한 것을 더해줘요.

역시 그림으로 확인해보죠.

가로가 (x + a)이고, 세로가 (x + b)인 사각형이에요.

전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 합
(x + a)(x + b) = x² + bx + ax + ab
                    = x² + (a + b)x + ab

다음을 간단히 하여라.
(1) (x + 2)(x + 3)
(2) (x + 3)(x - 5)
(3) (x - 2)(x - 3)

계수가 1인 두 일차식의 곱은 x는 제곱, 두 상수항의 합에 x를 붙여주고, 상수항의 곱을 더해주는 거예요.

(1) (x + 2)(x + 3)
= x² + (2 + 3)x + 2 × 3
= x² + 5x + 6

(2) (x + 3)(x - 5)
= x² + {3 + (- 5)}x + 3 × (-5)
= x² - 2x - 15

(3) (x - 2)(x - 3)
= x² + {(-2) + (-3)}x + (-2) × (-3)
= x² - 5x + 6

곱셈공식 (5) - x의 계수가 1이 아닐 때

이번 게 제일 어려운 곱셈공식이에요. 이번에도 일차식 두 개를 곱하는데 일차항의 계수가 1이 아니에요.

(ax + b)(cx + d)에서 a, c는 일차항의 계수이고, b, d는 상수항이에요.

(ax + b)(cx + d)
= ax(cx + d) + b(cx + d)
= acx² + adx + bcx + bd
= acx² + (ad + bc)x + bd

(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd

복잡하죠? 동류항이 있어서 더해주는 과정이 있어요.

그림을 보죠.

가로가 (ax + b)이고, 세로가 (cx + d)인 사각형이에요.

전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 합
(ax + b)(cx + d) = acx² + adx + bcx + bd
                       = acx² + (ad + bc)x + bd

다음을 간단히 하여라.
(1) (2x + 3)(3x + 1)
(2) (3x - 1)(2x + 1)
(3) (2x - 1)(4x + 3)

(1) (2x + 3)(3x + 1)
= 2x × 3x + (2 × 1 + 3 × 3)x + 3 × 1
= 6x² + 11x + 3

(2) (3x - 1)(2x + 1)
= 3x × 2x + {3 × 1 + (-1) × 2}x + (-1) × 1
= 6x² + x - 1

(3) (2x - 1)(4x + 3)
= 2x × 4x + {2 × 3 + (-1) × 4}x + (-1) × 3
= 8x² + 2x - 3

곱셈공식 - 완전제곱식에서 2개, 이 글에서 3개 해서 총 5개의 곱셈공식을 공부했어요. 무조건 외워야 합니다.

1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. (a + b)(a - b) = a² - b²
4. (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
5. (ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd

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