제곱근의 사칙연산 첫번째에요. 사칙연산에서는 보통 덧셈과 뺄셈을 먼저하는데, 여기서는 곱셈과 나눗셈을 먼저할께요. 왜냐고요? 더 쉬우니까요.
제곱근의 곱셈과 나눗셈은 제곱과 제곱근의 관계를 잘 알고 있다면 이해하기 쉬워요. 계산은 더 쉽고요. 규칙이라고 하기에도 좀 민망하죠.
또, 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 할 수 있어요. 따라서 곱셈만 할 줄 알면 나눗셈은 그냥 덤으로 할 수 있게돼요.
블로그에 쓰려다보니 기호가 너무 많아져서 복잡하네요. 예제는 생략하도록 할께요. 교과서의 예제 문제쯤은 그냥 간단히 풀 수 있을 거예요.
제곱근의 곱셈
제곱근끼리의 곱셈
은 얼마일까요? 숫자만 곱해서
이면 좋겠지요? 실제로 얼마인지 해볼까요?
을 제곱해보죠.
이죠. 제곱근의 뜻에 따르면 제곱과 제곱근은 서로 반대의 의미이므로
은 2 × 3의 양의 제곱근이에요.
그런데 2 × 3 = 6으로 6의 양의 제곱근은 이에요. 결국
=
이 되는 거죠.
제곱근의 곱셈은 숫자끼리 곱하고 제곱근 기호를 씌워주면 돼요.
정수와 제곱근의 곱셈
제곱근과 정수의 곱은 더 쉬워요.곱셈기호는 생략할 수 있어요. 그래서 그냥 생략해서 쓰면 돼요. 2 × =
이번에는 풀어서 계산해보죠.
이 되는 걸 알 수 있죠? 즉, 근호 앞의 정수는 제곱해서 근호안에 넣고, 원래 근호 안에 있던 숫자와 곱해주면 되는 거지요. 반대로 근호 안에 제곱인 수가 곱해져 있다면 근호 앞으로 빼낼 수 있어요.
제곱근의 곱셈
이번에는 조금 더 복잡한 거에요.를 해보죠.
근호 앞의 정수는 정수끼리, 제곱근은 제곱근끼리 곱하는 걸 알 수 있죠?
위 세 가지를 정리해보죠.
제곱근의 나눗셈
기본적으로 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 할 수 있으니까 곱셈에서 했던 세 가지 성질이 똑같이 적용됩니다.
를 해보죠. 마찬가지로 제곱을 합니다.
제곱과 제곱근의 관계에 따라서 의 양의 제곱근으로
가 돼요. 제곱근의 나눗셈은 근호 안의 숫자끼리 나누고 근호를 씌워주면 되는 거죠.
근호 앞의 분수는 제곱을 해서 근호 안에 넣고, 반대로 근호 안의 분수의 제곱을 근호 밖으로 뺄 수도 있죠.
근호 앞에 정수가 있다면 정수끼리 나누고, 제곱근끼리 나눌 수 있어요.
이해가 안갔었는데 정말 감사합니다!!
숫자끼리 곱하고 나눈다라는 것만 이해하시면 돼죠. ㅎㅎ
유도과정을 꼼꼼히 가르쳐주셔서 정말 감사합니다!
그런데 제가 푸는 문제집에서는 제곱근의 사칙연산이 성립하기
위해서는 연산에 쓰이는 수가 무리수가 아닌, 유리수여야 된다고
적혀 있었는데, 무리수라도 사칙연산이 가능하지 않을까요??
지금 하고 있는 게 무리수의 사칙연산이에요.
아, 네....글쿤요...............제 추측이 틀렸나 봐요ㅎㅎ
그 문제집에서 본문의 1.제곱근의 곱셈 노란 박스 안의 정리
딱 서술해 놓고 a,b가 양수고 m,n이 유리수여야 된다고 조건을
달아 놓았는데 무리수면 안 되는 이유가 있나요?
m, n이 무리수면 안될 이유는 없어요.
하지만 m, n이 있는 곳에서 설명하는 건 제곱근 앞에 숫자가 있을 때 숫자끼리 곱하고 제곱근끼리 곱한다는 거예요. m, n이 무리수라면 m, n, root(a), root(b)가 모두 무리수가 되어 위 내용을 제대로 설명할 수가 없으니까 그런 조건을 달아 놓은 걸 겁니다.
아, 쌤 죄송여ㅎ 하나 더 질문할게여..
오늘 따라 폭풍 질문이네요ㅋㅋ
참고서가 너무 얇아서 많은 정보를 담을 수 없었나 봐요ㅠ
여기 질문해서 유도 과정을 알아내는 방법 밖엔 저한테 수가 없네요..
이해해 주세요..
제곱근의 곱셈 내용에서 요점정리 노란박스의 첫번째 정리 있잖아요..
루트 a, 루트 b 나오는 거요. 그 식을 반대로 증명할 수도 있나요?
된다면 정리 좀..
양변이 같다는 등식인데 반대로 어떻게 증명을 하나요? 등식에서 좌우변을 바꾼다고 증명이 달라지지는 않아요.
√a√b=√ab라는 공식도
(√a√b)²=ab
√a√b=√ab 이렇게 증명을 해서 발견한 거잖아요.
그렇다면 이렇게 위 공식을 반대로 뒤집은 식인 √ab=√a√b
도 증명할 수 있나요?
증명할 수는 있죠. 그런데 그럴 필요가 없어요.
A = B라는 걸 증명했다면 굳이 좌우변을 바꿔서 B = A라는 걸 증명할 필요가 없죠. 둘이 똑같은 거니까요.
혼합계산에서 √xy ÷ ★/√z는 어떻게 계산하나요?
★/√z 를 유리화 해도 자연수가 되질 않습니다..
유리화는 분모만 유리화하는 거지 수 자체가 자연수로 바뀌는 건 아닙니다. 분자는 무리수가 될 수도 있어요.
나눗셈 계산에 특별한 방법이 있는 건 아닙니다. 그냥 무리수 부분을 마치 하나의 문자처럼 취급해서 계산하는 거지요.
역수를 취해서 곱해도 좋고요.
선생님 제가 질문이 있어서 길게 쓰고 있었는데 쓰는중에 이해가 되었어요 감사합니다^^ ㅋㅋㅋ
원래 그래요.
질문을 하려면 다른 사람이 알아들을 수 있게 정리해서 해야하는데, 그 과정에서 엉켜있던 내용들이 정리되면서 이해가 되는 거죠. ㅋㅋㅋ
정말 감사합니다~!
덕에 도움 많이 됐어요
다른 도움도 드릴 게 많으니까 자주 찾아주세요.
근데 그럼 x√y÷√a/b는 어떻게 구해요?
근호 바깥에 있는 것끼리, 근호 안에 있는 것끼리 계산한 다음에, 근호 안에 제곱이 생기면 근호 밖으로 꺼내요.
x√(ay/b)
근데 √a√b=√ab가 성립을 안할 때도 있나요?
고등과정이긴 한데, 음수의 제곱근의 성질에 있어요.
https://mathbang.net/308
루트a * 루트b가 왜 루트ab가 되는지 이해가 잘 안 됐었는데 이걸 보니까 너무 간단한 거였네요! 인강들 찾아봐도 안 나오던데 감사합니다 ㅎㅎ!
앞으로는 여기서 먼저 보시고 그 다음에 인강을 봐주세요. ㅋ
-루트8×루트2를 계산하면 -루트16이 나오는데 그걸 -4로 나티낼 수 있나요?
네, 그렇게 할 수 있어요.
저 궁금한게 있는데요 루트 75=루트5 곱하기 루트 5곱하기 루트 3인데
그런데 왜 5는 없어지지 않는 거예요?
루트5❌루트 5 ❌루트 3인디
루트5 x 루트5 = 5
루트75 = 5루트3 이에요.