무리수, 실수라는 새로운 수를 공부했으니 이걸 수직선 위에 나타내 볼까요?
유리수는 수직선위에 나타내기 쉬웠는데, 무리수는 그 값을 정확하게 모르니까 수직선 위에 나타내기가 좀 어려워요. 제곱근의 성질을 이용할 수 있는 정사각형을 그려서 수직선 위에 나타냅니다.
수직선과 유리수, 무리수, 실수의 관계도 알아볼 거예요. 유리수, 무리수, 실수의 성질이 비슷하니까 잘 구별해야 해요. 유리수의 성질과 무리수의 성질은 같고, 실수는 이 둘의 성질을 모두 가지고 있어요.
무리수를 수직선 위에 나타내기
유리수는 수직선을 긋고 그 위에 나타낼 수 있어요. (유리수와 수직선) 무리수도 수직선 위에 나타낼 수 있는데 그 방법을 알아보죠.
수직선 위에 한 칸의 길이가 1인 모눈종이가 있다고 생각해보세요.
그림에서 파란색 사각형은 정사각형이에요. 이 정사각형의 넓이를 구해보죠.
파란 정사각형의 넓이 = (점선으로 그려진 정사각형의 넓이) - (작은 삼각형 4개의 넓이) = 4 - 4(½ × 1 × 1) = 2
정사각형의 넓이가 2이므로 한 변의 길이는 에요.
점 O를 중심으로 하고 작은 정사각형 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려서 수직선과 만나는 점을 점 P, 점 Q라고 하죠. 원의 반지름이므로 =
에요.
점 P의 좌표는 점 O에서의 거리니까 겠죠? 점 Q의 좌표도 역시 같은 거리에 있는데 수직선 위에서 원점 O보다 왼쪽에 있으니 -
에요.
수직선 위에 정사각형을 그리고, 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원과 수직선과의 교점을 이용해서 무리수를 수직선 위에 그릴 수 있어요.
다음 그림에서 점 P와 점 Q의 좌표를 구하여라. (모눈 한 칸은 길이가 1인 정사각형)
점 P와 점 Q는 점 O를 중심으로 하고 를 반지름으로 하는 원과 수직선의 교점이에요.
분홍색 정사각형의 넓이를 구해야 의 길이를 구할 수 있죠?
분홍색 정사각형의 넓이 = (점선으로 그린 사각형의 넓이) - (작은 삼각형 4개의 넓이) = 9 - 4(½ × 2 × 1) = 5
점 P는 점 O에서 만큼 오른쪽에 있는 점이에요. 주의해야 할 건 점 O가 원점이 아니라는 거예요. 점 O가 1위의 점 이므로 점 P는 1 +
에요. 점 Q는 점 O에서 왼쪽으로
만큼 있는 점이므로 점 Q의 좌표는 1 -
에요.
실수와 수직선
모든 유리수는 수직선 위에 점으로 나타낼 수 있어요. 이 말은 유리수는 수직선 위의 한 점과 대응한다는 뜻이에요. 또 유리수 사이에는 무수히 많은 유리수가 있지요. 0과 1 사이에는 0.5, 0.55, 0,555 …… 등 무수히 많은 유리수가 있죠?
무리수도 유리수처럼 수직선 위에 점으로 나타낼 수 있어요. 무리수도 수직선 위의 한 점과 대응하는 거죠. 무리수 사이에도 무수히 많은 무리수가 있어요.
유리수와 무리수를 합치면 실수니까 실수는 유리수와 무리수의 성질을 모두 가지고 있어요. 위 두 가지를 합치면 실수는 수직선 위의 한 점과 대응하고, 두 실수 사이에는 무수히 많은 실수가 있다는 걸 알 수 있어요. 그 외에 유리수, 무리수는 없는 실수만 가지고 있는 성질이 하나 잇는데, 실수에 대응하는 무수히 많은 점으로 수직선을 완전히 메울 수 있어요. 유리수나 무리수만으로는 수직선을 완전히 메울 수 없어요.
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한눈에보기 편하니 좋네여 ㅎ
그림 그리는 게 힘들긴 했지만 칭찬해주시니 보람을 느끼네요. 댓글 고맙습니다.
넘감사해서 할표현이 ㅜ 이거만 한달동안고생하다 내일시험이어서 최후의수단으로 이곳들렷는데 너무조아요ㅜ
시험 아닐 때라도 자주 오세요.
왜 1+루트값이나오는게 저런식으로나오는지이해못하던걸 알아갑니다
수직선의 좌표를 잘 읽어보면 답이 있었죠?
비밀댓글입니다
네..ㅎㅎ
삼각형OAP넓이는 어떻게구하나요?
글을봤는데도이해가안되네요.. ㅜ
삼각형OAP 넓이가 왜 4가 나오나요?
이분의 일 곱하기 4 아닌가요?
OAP 한 개가 아니라 네 개의 넓이에요.
비밀댓글입니다
설명 아주 잘하시네요
이해가 빠르게 되네요^^
너무 감사해요^^ 이해가 정말 잘되네여
근데 질문 한가지만 해도 될까요ㅠㅠ
1)유리수와 유리수 사이에는 무수히 많은 무리수가 있다.
2)무리수와 무리수 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다.
이 두문장도 맞는말인가요?
네, 그 말도 맞아요.
이런 글 올려주셔서 감사합니다^^ 근데 실수와 수직선에 있는 '1과 2 사이에는~' 에서 0.5, 0.55, 0.555 ...가 아니라 1.5, 1.55, 1.555 ... 아닌가요?
오타입니다. ㅎㅎ
제곱근을 수직선에 나타낼 수 있으면
세젭곱근,네젭곱근,다섯제곱근.. 등도 수직선에 나타낼 수 있나요?
만약 나타낼 수 있다면 어떻게 하죠?
수직선은 모든 실수와 대응하니까 세제곱근, 네제곱근 등이 실수라면 당연히 수직선 위에 나타낼 수 있죠.
왜 회색 정사각형의 넓이를 구할때 전체 사각형에서 반원의 넓이를 빼주나요?
그림을 잘 보세요. 반원의 넓이를 빼주는 게 아니라 큰 사각형에서 작은 삼각형 4개의 넓이를 빼주는 거예요.
그러면 식이 (점선으로 그려진 정사각형의 넓이) - (삼각형OAP 4 개의 넓이)가 아닌거 아니에요?
P는 반원과 수직선의 교점이니까 삼각형 OAP가 아니라 그냥 삼각형인데, 잘 못 써있네요. 수정했습니다.
잘못된 설명을 이해하려고 애썼었어요...그래도 수정되었으니 다행이에요..!!
제대로 썼어야하는데, 죄송해요.
와 정말 이해 안 되는거있을 때마다 들어오는데 교과서보다 설명이 친절해서 이해가 안 되던게 이해가 되었네요. 감사합니다. ㅠㅠ
이해 안될 때만 오시지 말고, 그냥 계속 와주세요. ㅎㅎ
정사각형의 넓이=2, 한변의 길이가 루트 2 하고 하는데
이게 왜, 어떻게 이렇게 되는건지 이해가 안가요!
정사각형의 넓이는 한 변의 제곱이니까요. 반대로 생각하면 넓이가 2인 사각형의 한 변의 길이는 루트 2죠.
무리수인 루트2는 1.414... (순환하지않는 무한소수) 인데 딱 점으로 찍을 수 있는 이유는 무엇인지 여쭈어 보아도 될까요...?
모든 실수는 수직선과 대응하므로 점으로 찍을 수 있어요. 무한소수도 실수니까 가능하고요.
비밀댓글입니다
유리수도 무리수도 다 있어요.
왼쪽으로 간건 -1루트5
라고 안하고요?
오른쪽은 +1루트5라고 하는데요?
양쪽 모두 출발점이 O(1)이니까요.
궁금한 내용을 그림으로 알려주셔서 감사합니다~ 혹시 기하학을 이용하지 않고도 무리수를 수직선에 나타낼 수 있는 방법은 없는지 궁금합니다~
파이나 e와 같은 무리수도 수직선 상에 대응할 수 있나요?
실수는 모두 수직선에 대응할 수 있어요.