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이번에는 최대공약수에 대해서 더 알아볼 거예요.

이제까지는 최대공약수를 구할 때 일단 약수를 모두 구해놓고 그중에서 가장 큰 걸 찾았잖아요. 약수를 모두 구해야 하는 아주 귀찮은 방법이죠. 약수를 다 찾지 못했거나 공약수를 잘 골라내지 못하면 틀리게 되는 방법이기도 하고요.

공약수와 최대공약수를 구할 때 아주 편리한 방법이 있어요. 이 방법을 이용하면 귀찮은 과정도 줄어들고, 공약수를 빼먹을 확률도 줄어들죠.

최대공약수의 성질과 최대공약수를 구하는 방법에 대해서 알아보죠.

최대공약수

최대공약수의 뜻과 성질

공약수는 두 개 이상의 자연수의 공통된 약수에요. 이 공약수 중에서 가장 큰 공약수를 바로 최대공약수라고 하지요.

최대공약수를 알면 공약수를 쉽게 구할 수 있어요. 최대공약수의 약수가 공약수거든요. 최대공약수를 먼저 구하고 그다음 최대공약수의 약수를 구하는 방법을 알아보죠.

예를 들어 12와 18의 최대공약수를 알아볼까요?
12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12
18의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18

두 수의 공약수는 1, 2, 3, 6이고 이 중 가장 큰 공약수, 최대공약수가 6이에요. 그런데 이 6의 약수가 바로 1, 2, 3, 6이지요. 이 네 숫자는 12와 18의 공약수와 같아요. 어떤 두 수의 공약수는 두 수의 최대공약수의 약수와 같다는 걸 알 수 있어요.

이제까지는 약수를 구하고, 공약수를 찾은 다음 최대공약수를 찾았죠. 지금부터는 반대로 최대공약수를 먼저 찾고, 최대공약수의 약수를 구해서 공약수를 찾아요.

최대공약수에서 또 하나 알아야 할 건 서로소에요. 두 수의 공약수가 1밖에 없을 때 이 두 수를 서로소라고 합니다. 이때는 공약수가 1밖에 없으니까 최대공약수가 1이라고도 표현하지요.

최대공약수: 공약수 중 가장 큰 공약수
최대공약수의 약수 = 공약수
서로소: 공약수가 1뿐인 2개 이상의 자연수, 최대공약수가 1

최대공약수 구하는 방법

최대공약수를 구하는 방법은 두 가지가 있어요. 하나는 공약수로 나누는 거고, 다른 하나는 지수를 이용하는 거예요.

최대공약수 구하는 방법 첫 번째 - 공약수로 나누기

소인수분해 어떻게 했나요? 수를 쓰고, 소수가 나올 때까지 소수로 계속 나눴잖아요. 최대공약수를 구할 때도 이와 비슷하게 해요. 나뉘는 수가 2개 이상이라는 게 다르죠. 나누는 수는 꼭 공약수여야만 하는 게 제일 중요해요.

바로 이 나누는 수들의 곱이 최대공약수입니다.

60과 48의 최대공약수를 구해보죠.

60과 48의 공약수인 2로 두 수를 나눴더니 30, 24가 됐어요. 다시 2로 나누니까 15, 12가 됐고요. 15와 12의 공약수인 3으로 나눴더니 5, 4가 됐어요. 5와 4는 공약수가 1밖에 없는 서로소에요. 더는 나눌 수가 없으니 멈추세요.

왼쪽에 쓰여 있는 나누는 수가 2, 2, 3인데요. 이 세 수를 곱한 2 × 2 × 3 = 2² × 3 = 12가 60과 48의 최대공약수에요.

한 가지 좋은 건 소인수분해와 달리 나누는 수는 소수가 아니어도 상관없어요.

60과 48의 공약수 중 6을 이용했더니 계산이 조금 더 짧아졌죠? 마찬가지로 공약수는 왼쪽에 있는 나누는 수의 곱이므로 6 × 2 = 12에요. 소수로 나누지 않아도 최대공약수는 똑같죠?

최대공약수 구하는 방법 두 번째 - 지수이용

두 번째는 지수를 이용하는 방법이에요. 지수를 이용할 거니까 소인수분해해서 지수가 나오게 수를 바꿔야 해요.

60과 48의 최대공약수를 지수를 이용하여 구해보죠.

일단 두 수를 지수가 있는 꼴로 바꾸려면 소인수분해를 해야 해요. 60 = 2² × 3 × 5, 48 = 2⁴ × 3이죠.

이제는 소수별로 비교해 볼게요.

2라는 소수는 60과 48 모두에 들어있어요. 60에는 2²이고 48에는 2⁴이에요. 60에 있는 2의 지수가 더 작네요.
3이라는 소수도 60과 48 모두에 들어있어요. 지수는 둘 다 1이고요.
5는 60에만 있고, 48에는 없어요.

최대공약수는 두 수에 공통인 소수 중에서 지수가 더 작은 걸 써요. 2는 양쪽 모두에 들어있는데 이 중 2²이 지수가 더 작죠. 3도 양쪽 모두에 들어있는데 지수가 같으니까 그냥 3으로 하면 되겠네요. 5는 60에는 들어있지만 48에는 없으니까 빼고요. 최종적으로 60과 48의 최대공약수는 2² × 3이에요.

첫 번째 공약수로 나누는 방법은 숫자를 그대로 준 경우에 사용해요. 두 수를 소인수분해해서 지수를 이용하는 건 번거롭잖아요. 두 번째 지수를 이용한 방법은 숫자가 이미 소인수분해가 되어 있을 때 사용해요.

최대공약수 구하는 방법
공약수로 나누기 - 서로소가 나올 때까지 공약수로 나누고, 나온 공약수를 모두 곱함. 수가 그냥 나왔을 때 사용
지수 이용 - 공통된 소수 중 지수가 낮은 수들의 곱. 소인수분해된 형태로 나왔을 때 사용

다음의 두 수의 최대공약수를 구하여라.
(1) 72, 126      (2) 2² × 5³ × 7, 2³ × 7²

(1)번은 그냥 두 수가 나와 있으니까 공약수로 나눠서 구해보죠.

최대공약수는 왼쪽에 있는 공약수들의 곱이므로 2 × 3²

(2)번은 소인수분해가 이미 되어 있으니까 지수를 이용하는 방법으로 구하는 게 더 쉽겠네요.
2라는 소수는 양쪽 모두에 들어있는데, 2²와 2³중 지수가 작은 건 2²
5는 한쪽에만 들어있으니까 건너뛰고요
7은 양쪽 모두에 있는데, 7과 7²이니까 지수가 작은 7을 골라야겠네요.
결국 두 수의 최대공약수는 2² × 7이에요.

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초등학교에서는 약수를 구할 때, 곱하기를 이용해서 구했어요. 중학생이니까 조금 더 세련된 방법으로 약수를 구해야겠죠?

약수를 구하는 것뿐 아니라 약수의 개수를 구하는 방법도 공부할 거예요. 약수를 모두 구하지 않고도 약수의 개수를 구하는 방법이요.

두 가지 모두 소인수분해를 통해서 구하는 거예요. 소인수분해를 한 후에 거듭제곱으로 나타내는데, 거듭제곱과 약수와의 관계를 잘 이해해야 해요.

소인수분해를 이용하여 약수 구하기

72의 약수를 구해보죠. 72 = 1 × 72 = 2 × 36 = 3 × 24 = 4 × 18 = 6 × 12 = 8 × 9

72의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72이고, 12개네요.

그런데 만약에 72가 아니라 100이 넘어가는 수라면 하나씩 찾기가 너무 어렵겠죠? 이럴 때 소인수분해를 이용하면 약수를 쉽게 구할 수 있어요.

일단 72를 소인수분해하면 2³ × 3²이 나와요.

72는 2³과 3²이 곱해진 걸 알 수 있어요. 2³의 약수를 따로 구하고, 3²의 약수를 따로 구해서 각각을 서로 곱해주면 72의 약수가 되는 거예요. 2³의 약수는 직접 계산할 필요없이 지수를 이용해서 구할 수 있어요.

거듭제곱으로 된 수의 약수는 지수를 하나씩 늘려가면서 구할 수 있어요. 예를 들어 2¹⁰⁰의 약수는 2, 2², 2³, 2⁴, … 이렇게 쭉 나가다가 2⁹⁹, 2¹⁰⁰이 되는 거죠. 그리고 모든 수의 약수인 1도 함께 써주면 돼요.

2³의 약수는 1, 2, 2², 2³이에요.

3²의 약수는 뭘까요? 일단 1을 쓰고, 3, 3²이에요.

1, 2, 2², 2³과 1, 3, 3²을 각각 곱하면 돼요. 표를 이용해서 곱해보죠.

표를 잘 보면 곱하기를 이용해서 구했던 약수들과 똑같죠? 처음이라 이 방법이 복잡해 보일 수 있지만 어느 정도 숙달만 되면 곱하기를 이용해서 구하는 것보다 더 정확하고 빨리 약수를 구할 수 있어요.

소인수분해를 이용해서 약수 구하기
주어진 수를 소인수분해 → 거듭제곱의 약수를 모두 구하여 서로 곱한다.

135의 약수를 모두 구하여라.

먼저 135를 소인수분해부터 해야겠죠?

135 = 5 × 3 × 3 × 3 = 3³ × 5

135의 약수는 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135네요.

이번에는 150의 약수를 구해볼까요? 150을 소인수분해하면 150 = 2 × 3 × 5²이죠.

소인수가 3개인데, 이때는 먼저 소인수 2, 3의 약수를 이용해서 150의 약수를 구하고, 이렇게 구한 약수와 남은 소인수 5의 약수들을 곱해서 150의 약수를 구해요.

2와 3을 이용해서 약수를 구했더니 위 표처럼 나왔네요. 이 표에서 구한 약수 1, 2, 3, 6과 소인수 5의 약수 1, 5, 5²을 각각 곱해서 150의 약수를 구해보죠.

150의 약수는 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150으로 총 12개네요.

소인수분해를 이용하여 약수 개수 구하기

이번에는 약수를 구하는 게 아니라 약수의 개수만 구하는 거예요.

물론 약수를 모두 구하면 약수의 개수도 알 수 있죠. 하지만 약수를 구하지 않고도 약수의 개수를 구할 수 있어요.

위 예제의 표를 보세요. 135의 약수의 개수는 8개에요. 표의 칸 수가 몇 개인가요? 8개죠. 바로 이걸 이용해서 약수의 개수를 구하는 거예요.

135 = 3³ × 5에요. 3³의 약수의 개수는 1, 3, 3², 3³이므로 4개, 5의 약수의 개수는 1, 5이므로 2개죠. 각각의 약수의 개수인 4와 2를 곱하면 8이고 이게 바로 135의 약수의 개수에요.

소인수분해를 이용해서 약수의 개수를 구하는 방법은 지수를 이용하는 거에요.

거듭제곱으로 된 수의 약수는 지수를 하나씩 늘려가면서 구한다고 했어요. 3³의 약수는 3, 3², 3³과 모든 수의 약수 1을 해서 4개죠. 그럼 약수의 개수는 지수의 개수보다 1개 더 많죠? 바로 이걸 이용하는 거지요.

135 = 3³ × 5에서 3의 지수 3에 1을 더하고, 5의 지수 1에 1을 더해요. (3 + 1) × (1 + 1) = 8

72 = 2³ × 3²이에요. 약수의 개수는 2의 지수 3에 1을 더한 것과 3의 지수 2에 1을 더해서 곱한 (3 + 1) × (2 + 1) = 12(개)가 되는 거죠.

소인수분해를 이용해서 약수 개수 구하기: 각 소인수의 지수에 1을 더해서 서로 곱함
소인수분해 → a^m × bⁿ → (m + 1) × (n + 1)

다음 수의 약수의 개수를 구하여라.
(1) 36         (2) 2³ × 3 × 5²

(1)번 36을 소인수분해하면 2² × 3²이 나오네요. 약수의 개수는 각 소인수의 지수에 + 1해서 곱하는 거니까 (2 + 1) × (2 + 1) = 9(개)에요.

(2)번은 소인수분해를 한 게 3개의 소인수로 되어 있어요. 소인수의 개수가 2개든 3개든 상관없어요. 각 소인수의 지수에 + 1 해서 곱해주는 건 똑같아요. 소인수 3에는 지수가 안 쓰여 있는데 이건 지수가 1이란 걸 말하죠? (3 + 1) × (1 + 1) × (2 + 1) = 24(개)

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소인수분해는 이름 그대로 어떤 자연수를 소인수로 분해하는 거예요. 소인수분해를 이용하면 약수를 구하기도 쉽고, 약수의 개수를 구하기도 아주 쉬워요. 그리고 최대공약수와 최소공배수를 구하기도 쉽고요.

이 글에서는 소인수가 뭔지 어떻게 소인수로 나누는지 알아볼 거예요. 나눗셈을 응용해서 소인수분해를 하는데, 일반적인 나눗셈과 살짝 달라요. 오히려 더 쉬울 수도 있어요.

이 글에서 나오는 수는 모두 자연수예요.

소인수분해

약수와 인수, 소인수

나눗셈은 이렇게 표현할 수 있죠?

(나눠지는 수) ÷ (나누는 수) = (몫) + (나머지)

여기서 나머지가 0일 때 (나누는 수)를 (나눠지는 수)의 약수라고 해요.

12 ÷ 1 = 12,   12 ÷ 12 = 1
12 ÷ 2 = 6,   12 ÷ 6 = 2
12 ÷ 3 = 4,   12 ÷ 4 = 3

12를 1이나 12로 나누면 나머지가 0이잖아요. 그래서 1과 12는 12의 약수예요. 2, 3, 4, 6도 마찬가지고요.

인수는 어떤 수나 식을 곱하기만으로 표현했을 때 곱해지는 각각의 것들을 말해요.

1 × 12 = 12
2 × 6 = 12
3 × 4 = 12

12는 1과 12의 곱으로 표현할 수 있죠? 다른 거 없이 곱하기만 했잖아요. 이때, 1과 12가 12의 인수예요. 2, 3, 4, 6도 12의 인수고요.

그러니까 약수는 나눗셈을, 인수는 곱셈을 기준으로 한다고 생각하면 쉬워요.

12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12고 12의 인수는 1, 2, 3, 4, 6, 12죠? 약수와 인수는 의미는 다르지만 실제 값을 구해보면 같다는 걸 알 수 있어요

인수 중에서 소수인 것들을 소인수라고 해요. 소수인 인수죠. 12의 인수 중 소수는 2, 3이니까 소인수는 2, 3이에요.

다음 수의 인수 중 소인수를 모두 구하여라.
(1) 10       (2) 25

(1) 10의 인수 1, 2, 5, 10에서 소수는 2, 5이므로 소인수는 2, 5

(2) 5의 인수 1, 5, 25 에서 소수는 5뿐이므로 소인수는 5

소인수분해

소인수분해는 자연수를 소인수들의 곱으로 표현하는 걸 말해요. 그렇다고 해서 12의 소인수는 2, 3이니까 2 × 3 이렇게 쓰면 안 돼요.

소인수분해는 합성수가 없어질 때까지 계속해서 소수들의 곱으로 바꾸면 돼요

60을 소인수분해보죠.

60 = 2 × 30
    = 2 × 2 × 15            (∵ 30 = 2 × 15)
    = 2 × 2 × 3 × 5        (∵ 15 = 3 × 5)
    = 22 × 3 × 5            (∵ 2가 두 번 곱해져 있으므로 거듭제곱으로)

1. 60은 2 × 30으로 나타낼 수 있죠?
2. 소수인 2는 그대로 두고, 합성수 30을 2 × 15로 나타냈어요.
3. 소수들의 곱인 2 × 2는 그대로 두고, 합성수 15를 3 × 5로 나타냈어요.
4. 합성수가 없어서 소인수분해가 끝났는데, 2가 2번 곱해져있어서 거듭제곱으로 나타냈어요.

아래 그림처럼 할 수도 있어요.

곱하기가 아닌 나누기를 이용하는 방법도 있어요. 합성수를 몫이 소수가 나올 때까지 계속 소수로 나누는 거지요.

1. 합성수 60을 가장 작은 소수 2로 나눠요.
2. 몫 30은 합성수니까 또 소수 2로 나눠요.
3. 몫 15는 합성수지만 2로 나누어지지 않아서 다음으로 큰 소수인 3으로 나눠요.
4. 15를 3으로 나눴더니 몫이 5가 나왔죠? 5는 소수이므로 여기서 끝

왼쪽에 있는 세 수 2, 2, 3과 마지막 나온 몫 5가 모두 소인수예요

60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5

어떤 방법으로 해도 결과는 같아요.

81로 한 번 더 해보죠.

81 = 3 × 27
    = 3 × 3 × 9
    = 3 × 3 × 3 × 3
    = 3⁴

소인수분해 하는 법
합성수가 없어질 때까지 계속해서 소수들의 곱으로 나타낸다.
몫이 소수가 나올 때까지 계속해서 소수로 나눈다.

다음을 소인수분해하여라.
(1) 135       (2) 36

(1)은 아래처럼 나와요.

135 = 3 × 45
   = 3 × 3 × 15
   = 3 × 3 × 3 × 5
   = 3³ × 5

윗쪽에서는 3을 먼저, 아랫쪽에서는 5를 먼저 계산했지만, 3과 5 모두 소수라서 어떤 걸 먼저 계산해도 상관없어요.

135 = 3³ × 5

(2) 36은 한 번 해보죠.

36 = 2 × 18
  = 2 × 2 × 9
  = 2 × 2 × 3 × 3
  = 2² × 3²

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지금까지 우리가 알고 있는 수는 1, 2, 3, 4 같은 자연수, ½, ¼같은 분수, 0.1, 0.01 같은 소수예요.

이 글에서는 새로운 수의 개념을 공부할 거예요. 위 세 가지 수가 아닌 다른 수를 공부하는 게 아니고, 짝수와 홀수처럼 자연수를 어떤 특징에 의해서 구별하는 거예요.

뒤에 이어질 내용에서 사용할 수와 단어의 개념이니까 잘 이해하고 있어야 해요. 이 글에서 설명하는 단어의 뜻을 모르면 다음 단원으로 넘어갈 수 없어요.

소수와 합성수가 뭔지 알아보죠.

소수와 합성수

소수가 뭐죠? 1의 자리보다 작은 자릿수를 가진 수들 예를 들면 0.1, 0.01처럼 소수점이 있는 수를 소수라고 하죠? 여기서 공부하는 소수는 다른 소수예요.

여기서 다루는 소수와 합성수는 모두 자연수예요. 분수나 우리가 기존에 알고 있는 소수는 다루지 않아요. 문제나 설명에서 따로 얘기하지 않더라도 모두 자연수입니다.

소수

1은 약수가 몇 개 있나요? 1은 약수가 1 하나밖에 없어요.
2는 1, 2
3은 1, 3
4는 1, 2, 4
5는 1, 5
6은 1, 2, 3, 6

2, 3, 5처럼 약수가 1과 자기 자신만 있는 자연수를 소수라고 해요. 약수가 1하고 자기 자신 밖에 없으니 약수의 개수가 2개죠? 그래서 소수를 약수가 2개밖에 없는 자연수라고 말하기도 해요. 또는 1과 자기 자신으로만 나누어떨어지는 수라고도 하고요. 표현은 다르지만 결국 다 같은 얘기예요.

2를 뺀 나머지 소수는 모두 홀수예요. 2가 아닌 짝수는 적어도 1과 2, 자기 자신은 무조건 약수로 갖으니까 소수가 될 수 없어요. 2를 제외한 소수가 모두 홀수라고 해서 모든 홀수가 다 소수인 건 아니에요. 9는 홀수지만 1, 3, 9라는 세 약수를 갖고 있어서 소수가 아니에요.

• 2를 뺀 나머지 소수는 모두 홀수 → ○
• 모든 홀수는 소수 → ×

소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … 등이 있어요.

합성수

합성수는 약수의 개수가 3개 이상인 자연수예요. 4는 약수가 1, 2, 4로 세 개고요, 6은 1, 2, 3, 6으로 네 개예요. 두 수는 약수의 개수가 3개 이상이니까 합성수죠.

합성수를 다른 말로 1보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수라고도 해요. 1은 약수가 1개고, 소수는 약수가 2개니까 결국 약수가 1, 2개가 아닌 수라는 뜻이죠.

2가 아닌 모든 짝수도 합성수예요. 짝수는 최소한 1, 2, 자기 자신의 세 수를 약수로 갖거든요. 홀수는 숫자마다 다르고요.

합성수는 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, … 등이 있어요.

그러면 1은 뭘까요? 약수의 개수가 2개면 소수, 3개 이상이면 합성수인데, 1은 약수의 개수가 1개잖아요. 그래서 1은 소수도 아니고 합성수도 아니에요. 그냥 1이에요.

자연수를 종류별로 나눈다면 1, 소수, 합성수의 세 가지로 나눌 수 있겠죠?

1: 소수도 합성수도 아님
소수: 약수의 개수가 2개인 자연수, 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 자연수
합성수: 약수의 개수가 3개 이상인 자연수, 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 자연수

다음 수를 소수와 합성수로 나누어라.
1, 2, 9, 11, 24, 36, 40, 57, 63, 71

소수와 합성수를 구분할 때는 약수의 개수를 세면 돼요. 약수가 2개면 소수, 3개 이상이면 합성수니까요. 대신 약수를 모두 구할 필요는 없어요. 3개까지만 구하고 그 이상은 구하지 않아도 돼요. 또 2보다 큰 짝수는 약수의 개수를 구할 필요도 없이 무조건 합성수예요.

1은 약수의 개수가 1개라서 소수도 아니고 합성수도 아니에요.
2는 약수가 1, 2로 두 개뿐이니까 소수고요.
9는 약수가 1, 3, 9로 세 개여서 합성수네요.
11은 약수가 1, 11로 2개여서 소수네요.
24, 36, 40은 2보다 큰 짝수니까 약수의 개수를 구할 필요없이 합성수고요.
57은 1, 57, 3, 19로 약수의 개수가 4개여서 합성수예요.
63은 1, 63, 7, 9, … 약수를 벌써 네 개나 찾았어요. 약수를 더 찾을 필요없이 합성수네요.
71은 1, 71뿐이라서 소수고요.

1
소수: 2, 11, 71
합성수: 9, 24, 36, 40, 57, 63

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2를 네 번 더하면 2 + 2 + 2 + 2고 이걸 곱하기 기호를 쓰면 2 × 4로 쓸 수 있어요. 곱하기는 똑같은 수를 여러 번 더하는 걸 간단히 표현할 수 있지요.

2 + 2 = 2 × 2
2 + 2 + 2 = 2 × 3
2 + 2 + 2 + 2 = 2 × 4

그러면 2를 네 번 곱한다고 생각해보죠. 2 × 2 × 2 × 2예요. 이것도 간단하게 표현할 방법이 있으면 좋겠죠? 물론 쉽게 쓰는 방법이 있어요.

이 글에서는 곱하기를 여러 번 했을 때 좀 더 쉽고 간단하게 표시하는 방법인 거듭제곱에 대해서 공부할 거예요.

거듭제곱

거듭제곱

우선, 2를 4번 곱한 걸 부르는 이름이 있겠죠? 똑같은 수나 문자를 여러 번 곱한 걸 거듭제곱이라고 해요. 3을 3번 곱하거나 4를 10번 곱하는 것도 거듭제곱이라고 하지요.

2 × 2 = 2²
2 × 2 × 2 = 2³
2 × 2 × 2 × 2 = 2⁴

위 단락의 마지막 줄 오른쪽을 보면 4는 2보다 조금 더 위에 작게 썼지요? 거듭제곱은 이렇게 표현합니다.

(곱하는 수)는 보통 크기로 쓰고, (곱한 횟수)는 (곱하는 수)의 오른쪽 위에 작게 써요.

거듭제곱: 같은 수나 문자를 거듭하여 곱한 것
같은 수를 여러 번 더하기 → (더하는 수) × (더한 횟수)
같은 수를 여러 번 곱하기 → (곱하는 수)^{(곱한 횟수)}

만약에 3을 5번 곱하면 3 × 3 × 3 × 3 × 3이죠. 이걸 거듭제곱으로 써보면 3이 곱하는 수고, 5가 곱한 횟수니까 3⁵으로 쓸 수 있는 거예요.

숫자를 여러 번 곱한 것뿐 아니라 문자를 여러 번 곱한 것도 표시할 수 있어요. a라는 문자를 10번 곱해볼까요? 여기서 곱하는 문자는 a이고, 곱한 횟수는 10이니까 a¹⁰이라고 쓸 수 있어요.

거듭제곱으로 표시했을 때 아래에 있는 (곱한 숫자)를 밑이라고 부르고, 오른쪽 위에 있는 (곱한 횟수)를 지수라고 불러요.

(곱하는 수)^{(곱한 횟수)} → 밑^지수

위 그림에서는 밑이 2고 지수가 4죠.

3⁵에서는 밑이 3이고, 지수가 5예요.

2⁴은 2의 4제곱이라고 읽어요. 3¹⁰은 3의 10제곱이라고 읽고요. 그리고 5², 6²처럼 2제곱은 5의 2제곱, 6의 2제곱이 아니라 2를 빼고 그냥 5의 제곱, 6의 제곱이라고 읽어요.

다음을 거듭제곱으로 나타내어라.
(1) 5 × 5 × 5 × 5
(2) 10 × 10 × 10 × 10 × 10

(1)번은 5를 4번 곱했으니까 5⁴이고, (2)번은 10을 5번 곱했으니까 10⁵이에요.

분수와 소수의 거듭제곱

분수와 소수의 거듭제곱에서는 괄호를 사용해요.

예를 들어서 로 쓰면 마치 분자인 2만 3번 곱하고 분모 5는 곱하지 않은 거라고 오해할 수 있어요. 그래서 괄호로 묶어서 으로 써야 합니다.

소수도 마찬가지예요. 0.1 × 0.1 × 0.1 = 0.1³으로 쓸 수 있어요. 소수에서는 괄호를 쓰지 않아도 틀린 건 아니에요. 하지만 괄호를 쳐주면 식이 조금 더 명확해지죠. 0.1³으로 쓰지 말고, (0.1)³으로 쓰도록 버릇을 들이세요.

여러 수의 거듭제곱

하나의 수만 여러 번 곱한 게 아니라 여러 수가 여러 번 곱해져 있는 경우를 볼까요? 여러 수가 섞여 있을 때는 같은 수끼리만 거듭제곱으로 표시해요. 서로 다른 숫자끼리는 거듭제곱으로 표현할 수 없어요. 거듭제곱은 같은 수나 문자를 거듭 곱한 것을 말하니까 당연한 얘기죠.

3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5에서 3이 곱해진 부분과 5가 곱해진 부분을 나눠보죠. 그러면 3을 4번 곱한 부분과 5를 2번 곱한 부분으로 나눌 수 있죠? 각각을 거듭제곱으로 표현해서 3⁴ × 5²으로 쓸 수 있어요.

주의해야 해요. 3과 5가 곱해져 있다고 3⁵ 이렇게 쓰면 안 돼요.

a × a × a × b × b = a³ × b²으로 쓸 수 있지요.

다음을 거듭제곱으로 나타내어라.
(1) 4 × 4 × 4 × 4 × 10 × 10 × 10
(2)

(1)번은 4가 4번, 10이 3번 곱해져 있으니까 4⁴ × 10³

(2)번은 가 3번, 0.5가 2번 곱해져 있으니까 

중3 수학 마지막입니다. ㅎㅎ 지긋지긋한 수학 끝났다고 좋아할 수만은 없어요. 이제부터는 고등학생이니까요. 그냥 중학 수학 계속하는 게 나을지도……… 중3 수학 마지막은 비교적 쉬운 내용을 할거예요.

두 원에서 접선과 할선의 비례관계는 원의 접선과 할선 사이의 비례 관계의 내용을 재탕합니다. 하나의 원에서 사용하던 걸 두 원에서 사용하는 거지요. 원과 비례, 원과 비례 증명, 두 원에서 원과 비례에서 했던 것처럼요.

각각의 원에서 접선과 할선의 비례관계를 적용한 다음에 두 개를 하나로 합치는 과정만 거치면 돼요.

두 원에서 접선과 할선의 비례관계

절대 어렵지 않아요. 그림이 약간 달라졌을 뿐이에요.

두 개의 할선과 하나의 접선

두 원이 외접할 때에요. 이때는 공통접선은 하나고 할선이 두 개 있어요.

증명은 쉬워요.

먼저 왼쪽의 작은 원의 접선과 할선만 볼게요. 여기서는 원의 접선과 할선 사이의 비례 관계에 따라 가 성립해요.

오른쪽 큰 원의 접선과 할선을 보죠. 여기서도 가 성립하죠.

두 식의 좌변이 같으므로 두 식을 하나로 합치면 가 돼요.

다음 그림을 보고 x를 구하여라.

두 원이 접할 때 할선과 접선 사이에는 가 성립하므로 식에 대입하면
5 × (5 + 4) = 4 × x
4x = 45
x = (cm)

두 개의 접선과 하나의 할선

이번에는 두 원이 두 점에서 만날 때에요. 접선이 두 개고, 할선은 하나에요. 이때 두 접선의 길이는 같아요.

먼저 왼쪽의 작은 원의 접선과 할선만 볼게요. 여기서는 원의 접선과 할선 사이의 비례 관계에 따라 가 성립해요.

오른쪽 큰 원의 접선과 할선을 보죠. 여기서도 가 성립하죠.

두 식의 우변이 같으므로 두 식을 하나로 합치면 이 되는데, 와 는 길이로 둘 다 양수니까 이 돼요.

다음 그림을 보고 의 길이를 구하여라.

길이가 나와 있으니까  = x로 정하고 접선과 할선의 비례관계를 이용해서 식을 세워서 구해야겠죠. 하지만 너무 복잡해져요. 훨씬 쉬운 방법이 있으니 그걸 이용해보자고요.

두 원에서 할선과 접선의 관계에 따라 에요. 이므로  = ½ × 10 = 5(cm)

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원의 할선과 접선, 접점에서 공부웠던 접선과 할선이 또 나와요. 물론 원의 접선의 길이를 구할 때도 했고요. 접선은 원과 한 점에서 만나는 직선이고, 할선은 원과 두 점에서 만나는 직선이에요. 할선은 현을 연장한 선이기도 하지요.

이 글에서는 원의 접선과 할선 사이의 비례 관계에 대해서 알아볼 거예요. 할선과 접선이 한 점에서 만나서 교점이 생기면 교점과 접점, 현의 양 끝점 사이의 거리에 특별한 관계가 있거든요.

원과 비례와 아주 비슷하므로 원과 비례에 대해서 잘 이해하고 있으면 내용을 이해하기 쉬울 거예요.

할선과 접선의 성질

원 위의 한 점 T를 지나는 접선과 현 AB를 연장한 할선이 한 점 P에서 만날 때, 교점에서 접점까지의 거리의 제곱이 교점에서 현의 양 끝점까지의 거리의 곱과 같아요.

그림으로 외우세요.

왜 그런지 증명해보죠.

원 위의 접점 T와 현의 양 끝점 A, B를 선분으로 연결하면 삼각형이 세 개가 생겨요. △PAT, △ABT와 큰 삼각형 △PTB에요.

여기서는 △PAT와 큰 삼각형 △PTB 두 개를 볼게요.

∠APT는 공통이에요.
∠ATP = ∠TBP (접선과 현이 이루는 각 - 호 AT가 포함된 각과 호 AT에 대한 원주각)

두 각의 크기가 같으니까 두 삼각형은 AA 닮음이에요. △PAT ∽ △PTB

닮은 도형의 성질에서 닮은 도형은 대응변의 길이의 비가 같으므로 가 되죠.

정리하면 가 돼요.

증명이 조금 어렵다면 이렇게 생각해보세요.

원과 비례에서 였어요. 여기서 가 점점 아래로 내려가면 점 C와 점 D가 한 점 T에서 만나게 되겠죠? 가 되므로, 의 우변이 이 돼요.

다음 그림에서 가 원의 할선일 때, 원의 접선 의 길이를 구하여라.

할선과 접선의 교점에서 접점까지의 거리의 제곱은 교점에서 현의 양 끝점까지의 거리의 곱과 같아요.

x² = 5 × (5 + 5)
x² = 50
x = (cm)

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네 점이 한 원 위에 있을 조건은 전에 한 번 공부했어요. 네 점이 한 원 위에 있을 조건에서 원주각과 대각의 합, 내대각을 이용한 조건을 공부했었죠.

이 글에서 할 건 했던 게 또 나오는 게 아니라 새로운 방법을 공부하는 거에요. 정확히 말해서 새로운 방법이라고 하는 것도 맞는 건 아니에요. 이미 배운 것이죠.

이미 배웠던 걸 네 점이 한 원 위에 있을 조건에 적용하는 것뿐이에요. 바로 원과 비례를 이용해서 네 점이 한 원 위에 있는지 알아볼 수 있어요. 그러니까 원과 비례에 대해서 알고 있어야겠죠?

네 점이 한 원 위에 있을 조건

원과 비례에서 두 가지를 공부했죠?

하나는 원의 두 현의 교점에서 각 현의 양쪽 끝점까지의 거리의 곱이 서로 같다는 것이었고요. 다른 하나는 현의 연장선(할선)의 교점에서 현의 양 끝점까지의 거리의 곱이 같다는 거였어요.

네 점이 한 원 위에 있을 조건 두 번째의 핵심은 바로 네 점이 현의 양 끝점이 되는 거예요.

네 점을 두 대각선으로 잇고 그 교점을 이용

아래 그림을 보세요.

네 점이 있는데, 대각선으로 이었더니 교점이 생겼죠? 원만 없다 뿐이지 원과 비례에서 했던 공식을 그대로 적용할 수 있어요.

왜 그럴까요? 원만 그려보면 간단히 알 수 있어요.

네 점이 원 위에 있으니까 네 점을 지나는 원을 그려보세요. 그러면 네 점은 현의 양 끝점이 되고, 교점이 있는 그림으로 바뀌었어요. 이건 원과 비례에서 봤던 그림과 완전히 같은 그림이에요.

이 유형의 문제를 풀 때는 원을 그려서 풀어야 해요. 원이 있으면 훨씬 유리하거든요.

다음 그림에서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있을 때 x를 구하여라.

네 점을 선분으로 이었을 때 교점에서 각 꼭짓점까지의 거리의 곱이 같으므로 식을 세워보면
4 × x = 3 × 7
x = (cm)

네 점을 두 선분으로 잇고 그 연장선의 교점을 이용

이번에는네 점을 두 개의 선분으로 잇고, 그 연장선의 교점이 나와 있을 때에요.

마찬가지로 네 점이 원 위에 있으니까 네 점을 지나는 원을 그려보자고요.

원과 비례 두 번째에서 봤던 그림과 똑같죠?

똑같은 그림인데, 원이 그려져 있으면 원과 비례, 원이 빠져있으면 네 점이 한 원 위에 있을 조건이에요.

다음 그림에서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있고, 와 의 연장선의 교점이 점 P일 때, x를 구하여라.

연장선의 교점에서 각 꼭짓점까지의 거리의 곱이 같으므로 식을 세워보면,
(9 + 3) × 3 = (5 + x) × x
36 = 5x + x²
x² + 5x - 36 = 0
(x + 9)(x - 4) = 0
x = 4 (x > 0)

네 점이 한 원 위에 있을 조건 총정리

네 점이 한 원 위에 있을 조건을 두 가지 공부했어요. 원 위에 있는 네 점을 선으로 연결하면 사각형이 되잖아요. 따라서 사각형이 원에 내접할 조건과 같다고 할 수도 있어요. 전에 공부했던 두 가지와 이 글에서 공부한 한 가지를 한 번에 정리해보죠.

• 네 점을 선분으로 연결하고 교점과 네 점 사이의 거리가 나와 있으면 원과 비례 이용합니다.
• 네 점과 이웃한 두 각의 크기가 나와 있으면 네 점이 한 원 위에 있을 조건을 이용.
  두 점을 선분으로 잇고, 선분을 이루는 두 점과 나머지 한 점으로 각을 만들어서 두 각의 크기가 서로 같을 때 - 원주각 이용
• 사각형이 그려져 있고, 대각의 크기나 외각의 크기가 나와 있으면 사각형이 원에 내접하기 위한 조건을 이용
  한 쌍의 대각의 합 = 180°
  한 외각 = 내대각

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원과 비례 두 번째로 두 원에서 원과 비례에요. 앞서 원과 비례, 원과 비례 증명에서는 하나의 원에서 원과 비례에 대해서 알아봤고 증명도 해봤어요. 이 글에서는 원이 하나가 아니라 두 개예요. 다른 건 없어요.

앞의 내용을 잘 이해했다면 이 글에서 할 내용은 정말 쉽게 이해할 수 있어요. 원이 한 개 있을 때의 내용을 두 번 적용하면 되는 거니까요. 서로 다른 두 원에서 각각 원과 비례를 적용한 다음에 그 둘을 잘 연결하기만 하면 됩니다.

총 세 가지 경우가 나오는데 결과는 같아요. 그림에 어떤 차이가 있는지만 잘 확인하세요.

두 원에서 원과 비례

원과 비례, 원과 비례 증명에서 원에서 두 현이 접할 때, 접점에서 한 현의 양쪽 끝까지의 거리의 곱은 접점에서 다른 현의 양 끝점까지의 거리의 곱과 같다고 했지요? 그림이 바로 떠올라야 해요.

두 원에서 원과 비례는 위 내용을 바탕으로 해서, 두 원에 포함되는 공통현과 각 원의 현 또는 할선이 한 점에서 만날 때 그 거리의 관계를 식으로 나타낸 거예요.

총 세 가지 경우가 있는데, 첫 번째는 두 원의 현이 하나의 직선일 때에요.

왼쪽의 작은 원을 보세요. 작은 원에는 와 의 두 현이 한 점 P에서 만나요. 여기 원과 비례의 공식을 집어넣어 보죠.

 ……… (1)

오른쪽의 큰 원은 와 두 현이 한 점 P에서 만나죠.

……… (2)

(1)과 (2)에 같은 부분이 있으므로 하나로 정리해보면

두 번째는 각 원의 서로 다른 두 현과 공통현이 원 안에서 만날 때고, 세 번째는 두 원의 할선과 공통현의 연장선이 원 밖의 한 점에서 만날 때에요.

첫 번째와 그림만 다를 뿐 증명하는 방법이 똑같아요. 작은 원과 큰 원에 따로 원과 비례 공식을 적용하고 같은 부분을 하나로 합치는 거지요.

여기서 중요한 게 라는 공통현이에요. 가 양쪽 원에 모두 들어있어서 두 원을 연결해주는 역할을 해요.

내용이 어렵지 않으니까 예제는 생략해도 되겠죠?

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제목에 나와 있듯이 원에서 비례식을 이용하는 거에요. 원의 현, 할선 등의 길이를 비례식을 이용해서 구하는 거지요.

설명은 되게 복잡한데요, 실제 결론을 보면 어렵지는 않아요. 이런 과정을 거쳐서 결론을 얻었구나 하고 바로 이해할 수 있죠. 하지만 이해한 결론을 실제 주어진 문제에 적용하기가 약간 까다로워요. 그림에 선이 여러 개인데다 길이도 여러 개 나오거든요.

원과 비례에서는 결론을 공식이 아닌 그림으로 외워야해요. 그림을 짚어가면서 "여기 여기 곱한 값과 여기 여기 곱한 값이 같다." 처럼요. 그래야 문제에서 주어진 선과 길이를 우리가 외우고 있는 그림에 맞게 변형할 수 있어요.

원과 비례

원과 비례에서 사용하는 비례식의 기본이 되는 건 닮음비에요. 매번 닮음비를 이용하는 게 아니라 공식을 유도하는 과정에서 닮음비를 이용합니다.

두 현과 교점

원에 현을 두 개 그었을 때, 교점이 생기죠. 그 교점에서 현에 이르는 거리를 곱한 값들이 서로 같다는 걸 알 수 있어요.

언제나처럼 그림으로 외우세요. 먼저 현을 하나 고르고, 그 현에서 교점 P에서 출발해서 현의 양쪽으로 거리의 곱을 구하고, 다른 현에서도 점 P에서 양쪽으로 거리의 곱을 구하면 두 값이 서로 같아요.

왜 그런지 증명해 보죠.

와 를 그으면 삼각형 두 개가 생겨요.

△PAC와 △PDB에서
∠PAC = ∠PDB (호 CB의 원주각)
∠PCA = ∠PBD (호 AD의 원주각)

두 각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이죠. △PAC ∽ △PDB

닮은 도형에서는 대응변의 길이의 비가 같으므로

다음 그림에서 가 원의 중심 O를 지날 때 x를 구하여라.

가 지름이므로 반지름은 5cm죠.

에서
4 × x = (5 - 2) × 7
4x = 21
x = (cm)

원에서 현의 교점 사이에는 대각선 방향의 길이를 그냥 곱한 것이 같고, 피타고라스 정리의 활용 - 사각형에서는 대각선에 이르는 거리의 제곱의 합이 서로 같아요. 헷갈리면 안 돼요.

 +  =  +

두 할선과 교점

이번에는 원의 할선의 교점과 거리의 관계에요.

역시 마찬가지로 할선 하나를 선택하여 교점 P에서 출발해서 현의 양 끝점까지의 거리를 곱한 값과 다른 할선에서 점 P에서 양 끝점까지의 거리를 곱한 값이 같아요.

와 를 그어 두 개의 삼각형을 만들어요. 이때 □ACDB는 원에 내접하는 사각형이에요.

△PDB와 △PAC에서
∠PDB = ∠PAC (□ACDB에서 외각과 내대각)
∠PBD = ∠PCA (□ACDB에서 외각과 내대각)

두 각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이죠. △PAC ∽ △PDB

닮은 도형에서는 대응변의 길이의 비가 같으므로

다음 그림을 보고 x를 구하여라.

에서
(3 + 9) × 3 = x × 4
4x = 36
x = 9(cm)

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이번에는 원이 두 개일 때, 두 원의 접선과 현이 이루는 각에 대해서 알아볼 거예요.

두 원과 접선의 관계부터 따져보죠. 두 원의 위치관계는 총 여섯 가지가 있어요. 여기서 다룰 내용은 그중에서도 내접과 외접 두 경우입니다. 접선은 두 원의 접점을 지나는 공통접선이에요. 두 원의 접점이 아닌 다른 곳을 지나는 접선은 다루지 않아요.

두 원과 접선의 세 도형이 한 점에서 만날 때, 접선과 현이 이루는 각의 특징에 대해서 알아보죠. 도형을 많이 그리기 때문에 조금 복잡할 수 있어요. 주의해서 잘 보세요.

두 원에서 접선과 현이 이루는 각

두 원이 외접할 때

두 원이 외접할 때, 접점을 지나는 접선과 현이 이루는 각들을 표시한 그림이에요.

위 그림에서 총 세 가지를 알 수 있어요. 첫 번째는 크기가 같은 각들이에요. 각의 수가 많은데 헷갈리지 않도록 주의하세요. 그다음은 평행한 직선이고, 세 번째는 닮은 삼각형이에요. 크기가 같은 각들의 위치만 정확히 알면 되는데요. 혹시 외우기가 어려우면 두 번째, 세 번째 내용을 이용해서 찾을 수도 있어요.

위 세 가지를 증명해보죠. 공통접선, 현이 만나서 생기는 각에 번호를 붙여봤어요.

가운데 복잡한 부분에서 크기가 같은 각들을 찾아보죠.

② = ⑤ (와 가 만나서 생기는 맞꼭지각) ………(1)
① = ④ (와 가 만나서 생기는 맞꼭지각) ………(2)
③ = ⑥ (와 가 만나서 생기는 맞꼭지각) ………(3)

이번에는 접선과 현이 이루는 각에 의해 크기가 같아지는 각을 찾아볼까요?

① = ⑧ (호 AT를 포함하고 있는 각과 호 AT에 대한 원주각) ………(4)
③ = ⑦ (호 BT를 포함하고 있는 각과 호 BT에 대한 원주각) ………(5)
④ = ⑨ (호 CT를 포함하고 있는 각과 호 CT에 대한 원주각) ………(6)
⑥ = ⑩ (호 DT를 포함하고 있는 각과 호 DT에 대한 원주각) ………(7)

(1)에 의해 ② = ⑤
(2)와 (4), (6)에 의해서 ① = ④ = ⑧ = ⑨
(3)과 (5), (7)에 의해서 ③ = ⑥ = ⑦ = ⑩

크기가 같은 모든 각을 찾았어요.

와 의 두 선분과 가 만나서 생기는 엇각 ⑦과 ⑩이 같아요. 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행선이 되므로 가 됩니다. (평행선의 성질)

마지막으로 중요한 건 아닌데 그래도 알고 넘어가면 좋은 것 하나 추가 하자면요. △TAB와 △TCD에서 두 쌍의 대응각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이에요. △TAB ∽ △TCD

다음 그림을 보고, x°, y°의 값을 구하여라.

△TCD에서 삼각형 내각의 합 = 180°이므로 ∠TDC = 180° - (67.5° + 45°) = 67.5°

이므로 평행선에서 엇각에 의해 ∠TAB = ∠TCD에서 x° = 45°. ∠TBA = ∠TDC에서 y° = 67.5°

두 원이 내접할 때

두 원이 내접할 때, 두 원의 접점을 지나는 접선과 원의 현이 이루는 각이에요. 여기서도 역시 크기가 같은 각들의 위치가 중요해요. 두 원이 외접할 때보다는 각의 개수도 적고 위치도 알기 쉽게 되어 있네요.

그리고 평행한 현이 있다는 것과 닮은 삼각형이 있다는 것도 알 수 있어요.

접선과 현이 이루는 각에 번호를 매겼어요.

여기는 맞꼭지각이 없으니 접선과 현이 이루는 각에 의해 크기가 같아지는 각부터 찾아보죠.

① = ⑥ (호 AT를 포함하고 있는 각과 호 AT에 대한 원주각) ………(1)
② = ⑤ (호 BT를 포함하고 있는 각과 호 BT에 대한 원주각) ………(2)
① = ④ (호 CT를 포함하고 있는 각과 호 CT에 대한 원주각) ………(3)
② = ③ (호 DT를 포함하고 있는 각과 호 DT에 대한 원주각) ………(4)

(1), (3)에 의해서 ① = ④ = ⑥
(2), (4)에 의해서 ② = ③ = ⑤

총 여섯 개의 각 중에서 크기가 같은 각이 세 개씩 있네요.

와 의 두 선분과 가 만나서 생기는 동위각 ③과 ⑤가 같아요. 동위각의 크기가 같으면 두 직선은 평행선이 되므로 가 됩니다. (평행선의 성질)

△TAB와 △TCD에서 두 쌍의 대응각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이지요. △TAB ∽ △TCD

다음 그림을 보고, x, y의 값을 구하여라.

이므로 평행선에서 동위각에 의해 ∠TDC = ∠TBA, 즉 ∠x = ∠y죠.

접선과 현이 이루는 각에 의해 ∠PTA = ∠x이므로 x = y = 67.5(°)

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접선이 다시 나왔네요. 접선은 원과 한 점에서 만나는 직선이고, 만나는 한 점을 접점이라고 하죠. (원의 접선, 원의 접선의 길이)

이 글에서는 내용을 정리하기는 하겠지만 이게 글만 읽어서는 무슨 소리인지 이해하기가 힘들 거에요. 그 단어 하나하나를 그림에서 짚어가면서 이해해야 무슨 말인지 알아들을 수 있으니까 천천히 읽고 따라오세요.

접선과 현이 이루는 각은 원주각을 이용해서 구할 수 있어요. 어떤 방법으로 원주각을 이용해서 구하는지 알아보죠.

접선과 현이 이루는 각

원에 접선을 그으면 접점이 생겨요. 그 접점에서 원 위의 다른 한 점에 현을 그으면 현과 접선 사이에 각이 생기겠죠? 이 각은 현의 양 끝점(접점과 원 위의 한 점)으로 이루어진 호에 대한 원주각과 같아요.

말로 하면 어렵죠? 그림을 보세요.

원의 접선과 접점을 지나는 현이 이루는 각
 = 각에 포함된 호의 원주각

원의 접선은 직선 AP, 접점은 점 A, 접점을 지나는 현은 현 AB이고, 이들이 이루는 각은 ∠BAP에요. ∠BAP 안에 호 AB가 들어있죠? ∠BAP와 호 AB에 대한 원주각이 같다는 얘기예요.

윗글을 잘 읽으면서 어떤 각과 어떤 각이 같은지 이해해야 해요. 그냥 읽어보면 뭐랑 뭐가 같다는 말인지 금방 알아듣기가 어렵거든요. 두세 번 계속해서 읽어보세요.

접선과 현이 이루는 각이 예각, 둔각, 직각일 때 세 경우로 나눠서 증명해보죠.

접선과 현이 이루는 각이 예각일 때

접선과 현이 이루는 각(∠BAP)가 예각일 때에요.

원의 중심 O와 점 A를 지나는 현을 그려보죠. 이 현은 지름이에요. 그리고 이 현의 끝점 D에서 원주각이 있는 점 C에 현을 하나 더 그어요.

∠DAP를 보세요. ∠DAP는 두 개의 각으로 이루어졌어요.
∠DAP = ∠DAB + ∠BAP

원의 접선에서 반지름은 원의 접선과 수직이라고 했어요.
∠DAP = ∠DAB + ∠BAP = 90° ... ①

∠ACD를 볼까요? ∠ACD는 두 개의 각으로 이루어졌죠?
∠ACD = ∠ACB + ∠BCD

∠ACD는 원주각의 성질에 따라 지름의 원주각이므로 90°에요.
∠ACD = ∠ACB + ∠BCD = 90° ... ②

①, ②의 두 각이 모두 90°로 같아요. 식을 바꿔 쓰면 아래처럼 되겠죠?

∠DAB + ∠BAP = ∠ACB + ∠BCD = 90°
∴ ∠BAP = ∠ACB   (∵ ∠DAB = ∠BCD, 호 BD의 원주각)

접선과 현이 이루는 각이 둔각일 때

이번에는 접선과 현이 이루는 각(∠BAP)이 둔각일 때에요. 이때도 마찬가지로 원의 중심 O와 접점 A를 지나는 현, 지름을 그어요. 그리고 지름의 반대쪽 점 D에서 원주각이 있는 점 C에 현을 그어요.

∠BAP를 보세요. ∠BAP는 두 개의 각으로 이루어졌어요.
∠BAP = ∠BAD + ∠DAP

원의 접선에서 반지름은 원의 접선과 수직이라고 했어요.
∠DAP = 90°

두 식을 정리하면 ∠BAP = ∠BAD + 90° ... ①

호 AB에 대한 원주각인 ∠ACB를 볼까요? ∠ACB는 두 개의 각으로 이루어졌죠?
∠ACB = ∠ACD + ∠BCD

∠ACD는 원주각의 성질에 따라 지름의 원주각이므로 90°에요.
∠ACD = 90°

두 식을 정리하면 ∠ACB = ∠BCD + 90° ... ②

①의 ∠BAD와 ②의 ∠BCD는 호 BD의 원주각으로 그 크기가 같아요. 따라서 ①, ②식을 정리하면 ∠BAP = ∠ACB임을 알 수 있어요.

접선과 현이 이루는 각이 직각일 때

이번에는 접선과 현이 이루는 각(∠BAP)이 직각일 때에요.

원의 접선에 본 것처럼 접선과 현이 이루는 ∠BAP = 90°라는 말은 현에 반지름이 포함되어 있다는 말이에요. 즉 현 AB가 지름이므로 원주각의 성질에 따라 호 AB의 원주각 ∠ACB = 90°라서 두 각은 크기가 같죠.

∠BAP = ∠ACB = 90°

결국, 접선과 현이 만나서 생기는 각이 예각이든 직각이든 둔각이든 상관없이 각에 포함된 호에 대한 원주각의 크기와 같다는 것을 알 수 있어요.

다음 그림을 보고 x°, y°의 값을 구하여라.

원주각의 성질에서 지름의 원주각은 90°라고 했어요. 따라서 호 BC의 원주각인 ∠BAC = 90°에요. 삼각형 내각의 합에 따라서 ∠ACB = 180° - (22.5° + 90°) = 67.5°가 됩니다.

원의 접선과 접점을 지나는 현이 이루는 각은 각에 포함되는 호의 원주각과 같아요.

∠BAP는 호 AB를 포함하고 있으므로 호 AB의 원주각과 같아요. x° = 67.5°

∠y는 호 AC를 포함하고 있으므로 호 AC의 원주각 22.5°가 됩니다.

두 접선과 현이 이루는 각

원 밖의 한 점에서는 원에 두 개의 접선을 그을 수 있어요. 점 P에서 원에 접선을 긋고 접점을 점 A, 점 B라고 하고, 호 AB의 원주각을 ∠ACB라고 해보죠.

원의 접선과 접점을 지나는 현이 이루는 각은 각에 포함되는 호의 원주각과 같죠. 접선과 현이 만나서 생기는 ∠BAP는 호 AB를 포함하고 있으므로 호 AB의 원주각인 ∠ACB와 크기가 같아요. 또, ∠ABP도 호 AB를 포함하고 있으므로 호 AB의 원주각인 ∠ACB와 크기가 같고요.

∠BAP = ∠ACB = ∠ABP

두 각의 크기가 같은 건 다른 방법으로도 알 수 있어요.

원의 접선에서 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다고 했으니까 △PAB는 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형은 두 밑각의 크기가 같으므로 ∠BAP = ∠ABP이죠.

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사각형이 원에 내접하기 위한 조건

원에 내접하는 사각형의 성질을 두 가지 공부했어요. 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°라는 것과 한 외각의 크기와 내대각의 크기가 같다는 거지요. 그러면서 이 두 가지 성질의 역이 성립한다고 했죠? 바로 이 성질의 역이 사각형이 원에 내접하기 위한 조건이에요. 따라서 사각형이 원에 내접하기 위한 조건은 따로 공부할 게 없어요.

한가지 추가해야 할 게 있는데 그것도 이미 공부한 내용이에요. 네 점이 한 원 위에 있을 조건이죠.

이 글은 새로운 걸 공부한다기보다는 이전에 공부했던 걸 한 번 더 정리하고 넘어간다고 생각하세요.

사각형이 원에 내접하기 위한 조건

사각형의 네 점이 원 위에 있을 때

사각형은 각이 네 개 또는 점이 네 개인 도형이죠? 사각형이 원에 내접한다는 말을 다르게 하면, 네 꼭짓점이 한 원 위에 있다고 얘기할 수 있겠죠?

네 점이 한 원 위에 있을 조건은 이미 공부했잖아요. 바로 그 조건을 만족시키는 네 점을 연결하면 원에 내접하는 사각형을 그릴 수 있어요.

네 점이 한 원 위에 있을 조건을 다시 한 번 정리해 보죠.

네 점 A, B, C, D가 한 원위에 있을 조건
점 C, 점 D가 에 대하여 같은 쪽에 있고
∠ACB = ∠ADB 일 때

한 쌍의 대각의 크기의 합은 180°

원에 내접하는 사각형의 성질 첫 번째에요. 한 쌍의 대각의 합이 180°라는 거죠.

한 외각의 크기와 내대각의 크기가 같다.

원에 내접하는 사각형의 성질 두 번째에요.

항상 원에 내접하는 사각형

원에 내접하는 사각형은 위에서 말한 특별한 조건을 갖춰야만 해요. 사각형 중에서 위의 조건을 항상 만족시키는 사각형들이 있어요. 바로 정사각형, 직사각형, 등변사다리꼴이에요.

정사각형과 직사각형은 네 내각의 크기가 모두 90°에요. 따라서 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°이므로 원에 내접하는 사각형이죠.

등변사다리꼴은 두 밑각의 크기가 같고, 위에 있는 각의 크기도 서로 같아요. 위에 있는 각의 크기를 a, 밑각의 크기를 b라고 한다면 내각의 크기의 합은 2a + 2b = 360°에서 a + b = 180°가 되죠. 즉 등변사다리꼴도 대각의 크기의 합이 180°로 항상 원에 내접하는 사각형이에요.

사각형이 원에 내접하는지 확인하기
네 점이 한 원 위에 있는지 확인 - 한 변을 기준으로 하여 같은 쪽에 있는 두 각의 크기가 같은지 확인
한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°인지 확인
한 외각과 내대각의 크기가 같은지 확인

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사각형에는 외접원이나 내접원이 항상 있는 게 아니라서 사각형의 외접원, 내접원이라는 표현은 잘 쓰지 않아요. 대신 원에 내접하는 사각형, 원에 외접하는 사각형 이렇게 쓰죠.

원의 외접사각형의 성질에서는 대변의 길이의 합이 같다는 걸 공부했어요. 그리고 그 역도 성립한다고 했죠. 이 글에서 공부할 원에 내접하는 사각형의 성질도 그 역이 성립하니까 잘 알아두면 좋아요.

원에 내접하는 사각형의 성질은 다음에 공부할 사각형이 원에 내접하기 위한 조건과 똑같으니까 여기서 잘 해놓으면 다음 글은 식은 죽 먹기에요.

원에 내접하는 사각형의 성질

한 쌍의 대각의 크기의 합은 180°

원에 내접하는 사각형은 그 모양에 상관없이 한 쌍의 대각의 합은 항상 180°예요.

원의 중심 O에서 점 B와 점 D에 반지름을 그어볼까요?

그런 다음 호BCD를 보세요. 이 호에 대한 원주각은 ∠A예요. 원주각과 중심각의 크기에 따라 중심각 ∠BOD = 2∠A가 되겠죠?

호BAD에 대한 원주각은 ∠C예요. 마찬가지로 중심각 ∠BOD = 2∠C고요. ∠A의 중심각과 똑같은 ∠BOD지만 방향이 반대죠?

두 중심각을 더하면 360°가 돼요. 2∠A + 2∠C = 360°
∠A + ∠C = 180°

점 O에서 점 A와 점 C에 반지름을 그어서 같은 방법을 이용하면 ∠B + ∠D = 180°가 되는 것도 알 수 있어요.

한 외각의 크기와 내대각의 크기가 같다.

삼각형에서는 (한 외각의 크기) = (다른 두 내각의 크기)의 합이었는데, 원에 내접하는 사각형에서도 비슷한 성질이 있어요.

여기서는 한 외각의 크기가 다른 내각의 크기의 합과 같은 게 아니라 내각의 대각의 크기와 같아요. 내각의 대각이라서 그 외각의 내대각이라고 합니다. 헷갈리기 쉬운데 대내각이 아니라 내대각이에요.

∠DCE를 한 외각이라고 하면, ∠DCB는 내각이죠. 그리고 ∠DCB의 대각인 ∠A가 내대각이에요.

∠A + ∠DCB = 180°   (∵ 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°) ……… ①
∠DCB + ∠DCE = 180°   (∵ 평각) ……… ②

① - ② 하면
∠A - ∠DCE = 0
∠A = ∠DCE

한 외각과 그 내대각의 크기가 같음을 알 수 있어요.

원에 내접하는 사각형의 성질
한 쌍의 대각의 크기의 합 = 180°
한 외각의 크기 = 내대각의 크기

다음 그림을 보고 x° + y°를 구하여라.

원에 내접하는 성질을 이용한 문제에요. 첫 번째 성질은 한 쌍의 대각의 크기의 합은 180°라는 것, 두 번째는 한 외각과 그 내대각의 크기가 같다는 거지요.

∠B + ∠D = 180°에서 ∠B = 90°이므로 ∠D = y° = 90°

∠DCB를 기준으로 외각인 ∠DCE와 내대각인 ∠A가 같으므로 x° = 70°

x° + y° = 90° + 70° = 160°

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세 점은 무조건 같은 원 위에 있어요. 세 점을 연결해서 삼각형을 그리면 이 삼각형의 외접원을 그릴 수 있잖아요. 따라서 세 점은 바로 이 외접원 위에 있는 거죠.

사각형도 그럴까요? 사각형에서는 외접원을 그리지 못하는 경우도 있어요. 원의 외접사각형에서 사각형의 내접원을 항상 그릴 수 있는 게 아닌 것처럼요.

사각형의 외접원에 대해서는 뒤에서 더 자세히 공부할 테지만 그 전단계로 네 점이 한 원 위에 있을 수 있는 조건이 무엇인지 알아보죠. 네 점이 원 위에 있다면 그 원은 네 점을 연결해서 그린 사각형의 외접원이 될 테니까요.

네 점이 한 원 위에 있을 조건

네 점이 한 원 위에 있으려면 어떤 조건이 필요할까요?

두 가지 조건을 동시에 만족해야 해요.

첫 번째는 네 점 중 두 점이 다른 두 점을 연결한 직선에 대해 같은 쪽에 있어야 해요. 위 그림에서 에 대해서 점 C와 점 D가 모두 직선보다 위에 있죠?

두 번째는 위와 같은 상태에서 직선을 이루는 두 점과 다른 두 점으로 이루어진 각의 크기가 같아야 해요. ∠ACB = ∠ADB

첫 번째 조건은 원의 일부인 호와 원주각을 만들기 위한 과정이에요.

두 번째 조건은 호AB의 원주각이 될 수 있는지를 보는 거예요. 원주각의 성질에서 원주각의 위치와 관계없이 크기가 같다고 했으니까 호AB의 원주각인 ∠ACB와 크기가 같은 다른 각이 있다면 이 각 역시 호AB의 원주각이 될 수 있는 거죠. 원주각은 원 위에 있는 각이니까 결국 점 D도 점 C와 같은 원 위에 있다는 뜻이에요.

네 점 A, B, C, D가 한 원위에 있을 조건
점 C, 점 D가 에 대하여 같은 쪽에 있고
∠ACB = ∠ADB 일 때

다음 그림에서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있을 때 x를 구하여라.

원래 문제에서는 원을 그려주지 않지만 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으니까 원을 그렸어요.

네 점이 원 위에 있으니까 호BC에 대하여 원주각이 두 개 있죠? 원주각의 성질에서 같은 호에 대해서 원주각의 위치와 상관없이 원주각의 크기는 같다고 했으니까 ∠BAC = ∠BDC = 45°가 됩니다.

(삼각형 외각의 크기) = (다른 두 내각의 합)이므로 오른쪽의 작은 삼각형 △CDE에서 112.5° = 45° + x°
x = 67.5°

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