두 원에서 접선과 할선의 비례관계

중3 수학 마지막입니다. ㅎㅎ 지긋지긋한 수학 끝났다고 좋아할 수만은 없어요. 이제부터는 고등학생이니까요. 그냥 중학 수학 계속하는 게 나을지도……… 중3 수학 마지막은 비교적 쉬운 내용을 할거예요.

두 원에서 접선과 할선의 비례관계는 원의 접선과 할선 사이의 비례 관계의 내용을 재탕합니다. 하나의 원에서 사용하던 걸 두 원에서 사용하는 거지요. 원과 비례, 원과 비례 증명, 두 원에서 원과 비례에서 했던 것처럼요.

각각의 원에서 접선과 할선의 비례관계를 적용한 다음에 두 개를 하나로 합치는 과정만 거치면 돼요.

절대 어렵지 않아요. 그림이 약간 달라졌을 뿐이에요.

두 원이 외접할 때에요. 이때는 공통접선은 하나고 할선이 두 개 있어요.

증명은 쉬워요.

먼저 왼쪽의 작은 원의 접선과 할선만 볼게요. 여기서는 원의 접선과 할선 사이의 비례 관계에 따라 가 성립해요.

오른쪽 큰 원의 접선과 할선을 보죠. 여기서도 가 성립하죠.

두 식의 좌변이 같으므로 두 식을 하나로 합치면 가 돼요.

다음 그림을 보고 x를 구하여라.

두 원이 접할 때 할선과 접선 사이에는 가 성립하므로 식에 대입하면
5 × (5 + 4) = 4 × x
4x = 45
x = (cm)

이번에는 두 원이 두 점에서 만날 때에요. 접선이 두 개고, 할선은 하나에요. 이때 두 접선의 길이는 같아요.

먼저 왼쪽의 작은 원의 접선과 할선만 볼게요. 여기서는 원의 접선과 할선 사이의 비례 관계에 따라 가 성립해요.

오른쪽 큰 원의 접선과 할선을 보죠. 여기서도 가 성립하죠.

두 식의 우변이 같으므로 두 식을 하나로 합치면 이 되는데, 와 는 길이로 둘 다 양수니까 이 돼요.

다음 그림을 보고 의 길이를 구하여라.

길이가 나와 있으니까 = x로 정하고 접선과 할선의 비례관계를 이용해서 식을 세워서 구해야겠죠. 하지만 너무 복잡해져요. 훨씬 쉬운 방법이 있으니 그걸 이용해보자고요.

두 원에서 할선과 접선의 관계에 따라 에요. 이므로 = ½ × 10 = 5(cm)

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