원의 접선과 할선 사이의 비례 관계, 할선과 접선의 성질

원의 할선과 접선, 접점에서 공부웠던 접선과 할선이 또 나와요. 물론 원의 접선의 길이를 구할 때도 했고요. 접선은 원과 한 점에서 만나는 직선이고, 할선은 원과 두 점에서 만나는 직선이에요. 할선은 현을 연장한 선이기도 하지요.

이 글에서는 원의 접선과 할선 사이의 비례 관계에 대해서 알아볼 거예요. 할선과 접선이 한 점에서 만나서 교점이 생기면 교점과 접점, 현의 양 끝점 사이의 거리에 특별한 관계가 있거든요.

원과 비례와 아주 비슷하므로 원과 비례에 대해서 잘 이해하고 있으면 내용을 이해하기 쉬울 거예요.

할선과 접선의 성질

원 위의 한 점 T를 지나는 접선과 현 AB를 연장한 할선이 한 점 P에서 만날 때, 교점에서 접점까지의 거리의 제곱이 교점에서 현의 양 끝점까지의 거리의 곱과 같아요.

그림으로 외우세요.

왜 그런지 증명해보죠.

원 위의 접점 T와 현의 양 끝점 A, B를 선분으로 연결하면 삼각형이 세 개가 생겨요. △PAT, △ABT와 큰 삼각형 △PTB에요.

여기서는 △PAT와 큰 삼각형 △PTB 두 개를 볼게요.

∠APT는 공통이에요.
∠ATP = ∠TBP (접선과 현이 이루는 각 - 호 AT가 포함된 각과 호 AT에 대한 원주각)

두 각의 크기가 같으니까 두 삼각형은 AA 닮음이에요. △PAT ∽ △PTB

닮은 도형의 성질에서 닮은 도형은 대응변의 길이의 비가 같으므로 가 되죠.

정리하면 가 돼요.

증명이 조금 어렵다면 이렇게 생각해보세요.

원과 비례에서 였어요. 여기서 가 점점 아래로 내려가면 점 C와 점 D가 한 점 T에서 만나게 되겠죠? 가 되므로, 의 우변이 이 돼요.

다음 그림에서 가 원의 할선일 때, 원의 접선 의 길이를 구하여라.

할선과 접선의 교점에서 접점까지의 거리의 제곱은 교점에서 현의 양 끝점까지의 거리의 곱과 같아요.

x² = 5 × (5 + 5)
x² = 50
x = (cm)

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