'지수법칙' 태그의 글 목록

지수부등식, 지수부등식의 풀이
1

2014.04.08
지수법칙 - 실수 지수, 정수 지수, 유리수 지수 비교
4

2014.04.02
지수의 확장 - 유리수 지수, 지수법칙
24

2014.04.01
지수의 확장 - 음의 지수, 정수 지수
11

2014.03.29
지수법칙 - 나눗셈, 괄호, 분수
39

2013.01.01
지수법칙 - 곱셈, 거듭제곱
77

2012.12.31
중2 수학 목차
191

2012.05.20

이차함수의 그래프와 이차부등식의 풀이에서 그래프를 그려보면 이차부등식의 해를 구하는 과정을 조금 더 쉽게 이해할 수 있었어요. 지수함수의 그래프를 그리고, 지수함수 그래프의 특징을 잘 이해한다면 지수부등식의 성질을 이해하는 데 많은 도움이 됩니다.

원래 방정식과 부등식은 사촌이죠? 그러니까 지수부등식과 지수방정식은 뜻은 물론 풀이방법도 서로 비슷해요. 지수부등식이 가지는 몇 가지 특징이 있는데 이걸 지수방정식의 풀이방법과 잘 조합한 게 지수부등식의 풀이 방법이에요.

지수부등식

지수방정식은 지수에 미지수가 있는 방정식이죠. 그럼 지수부등식은요? 지수에 미지수가 있는 부등식이에요. 방정식의 등호(=)가 부등식에서는 부등호(>, ≥, <, ≤)로 바뀐 것뿐이고요.

이차함수의 그래프와 이차부등식의 해에서 이차함수의 그래프를 이용해서 이차부등식을 푸는 방법을 알아봤지요? 지수부등식에서도 지수함수의 그래프를 이용해서 풀면 훨씬 더 쉬워요.

먼저 지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프의 특징을 간단하게 되짚어보죠.

지수함수 y = a^x(a > 0, a ≠ 1)의 그래프
정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 양수의 집합
(0, 1), (1, a)를 지난다.
x축이 점근선
a > 1일 때, x가 증가하면 y도 증가
0 < a < 1일 때, x가 증가하면 y는 감소
y = a^x의 그래프와 의 그래프는 y축에 대하여 대칭

치역이 양수의 집합이니까 임의의 실수 x에 대하여 a^x > 0이에요.

a > 1일 때의 그래프를 볼까요? 지수 x가 증가하면 결과 y도 증가해요.

지수함수의 그래프 - a > 1일 때

지수함수 y = a^x (a > 1)의 그래프는 증가함수니까 두 지수가 있을 때 밑이 같으면 더 큰 수가 지수도 커요. a^x₁ < a^x₂이면 x₁ < x₂. 지수부등식의 부등호의 방향과 지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향이 같아요.

0 < a < 1일 때의 그래프는 지수 x가 증가하면 결과 y는 감소해요.

지수함수의 그래프 - 0 < a < 1일 때

지수함수 y = a^x (0 < a < 1)의 그래프는 감소함수니까 두 지수가 있을 때 밑이 같으면 더 큰 수의 지수가 작아요. a^x₁ < a^x₂이면 x₁ > x₂. 지수부등식의 부등호의 방향과 지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향이 반대예요.

정리해보죠.

임의의 실수 x에 대하여 a^x > 0
a > 1일 때
- a^x₁ < a^x₂ ⇔ x₁ < x₂
- (지수부등식의 부등호의 방향) = (지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)
0 < a < 1일 때
- a^x₁ < a^x₂ ⇔ x₁ > x₂
- (지수부등식의 부등호의 방향)과 (지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)이 반대

지수부등식을 풀 때는 밑을 같게 한 다음 위 성질을 이용해서 풀어요.

다음 지수부등식을 풀어라.
(1)
(2)

지수부등식에서 밑이 1보다 클 때는 지수부등식의 부등호의 방향과 지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향이 같아요. 밑이 0보다 크고 1보다 작으면 지수부등식의 부등호의 방향과 지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향이 반대고요.

(1) 우변의 무리수를 지수를 이용해서 나타내보죠.

밑이 2로 1보다 크니까 부등호의 방향이 같아요.

(2)

밑이 서로 다르니까 같게 해줘야겠네요.

밑이 0보다 크고 1보다 작으니까 부등호의 방향이 반대예요.

-x + 2 < 2x - 4
3x > 6
x > 2

이제는 항이 3개인 지수부등식을 풀어보죠. 항이 3개인 지수방정식은 어떻게 풀었나요? 지수방정식의 모양을 바꾼 후에 a^x = t로 치환해서 풀었죠? 지수부등식에서도 똑같이 치환해서 풀어요.

4 × 3^{x + 1} - 9^x - 27 > 0의 해를 구하여라.

4 × 3^{x + 1} - 9^x - 27 > 0
4 × 3^x × 3 - (3²)^x - 27> 0
-(3^x)² + 12 × 3^x - 27 > 0
(3^x)² - 12 × 3^x + 27< 0
t² - 12t + 27< 0 (∵ 3^x = t로 치환)
(t - 9)(t - 3) < 0
3 < t < 9
3 < 3^x < 9 (∵ t = 3^x)
3¹ < 3^x < 3²
1 < x < 2

밑 3이 1보다 크니까 방향은 그대로 두고 풀었더니 1 < x < 2가 나오네요.

정리해볼까요

지수부등식: 지수에 미지수가 있는 부등식

임의의 실수 x에 대하여 a^x > 0
a > 1일 때
- a^x₁ < a^x₂ ⇔ x₁ < x₂
- (지수부등식의 부등호의 방향) = (지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)
0 < a < 1일 때
- a^x₁ < a^x₂ ⇔ x₁ > x₂
- (지수부등식의 부등호의 방향)과 (지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)이 반대

지수방정식, 지수방정식의 풀이

<< 수학 1 목차 >>

로그의 뜻

그리드형

지수법칙 마지막 지수가 실수일 때예요. 사실 지수법칙은 별거 없어요. 중학교 때 공부했던 지수법칙과 똑같아요. 단지 지수의 종류가 달라지는 것뿐이에요.

그렇다고 결과만 알아서는 안 되겠죠. 지수의 종류가 달라져도 어떻게 해서 지수법칙이 성립하는지도 알고 있어야 해요.

끝으로 이제까지 공부했던 지수법칙에서 지수의 종류에 따라 조건들이 어떻게 달라지는지도 비교해보죠.

지수법칙 - 실수 지수

이제 지수가 실수일 때를 알아보죠. 지수가 유리수일 때는 지수의 확장 - 유리수 지수에서 알아봤으니까 지수가 무리수일 때만 알아보면 되겠죠?

지수가 무리수인 을 구해볼까요?

= 1.414… 예요. 에 가까워지는 유리수 1, 1.4, 1.41, 1.414, …가 3의 지수라고 해보죠.

3¹, 3^1.4, 3^1.41, 3^1.414, …처럼 될 텐데 이 값들은 일정한 값이 가까워지는데 이 일정할 값을 로 정의할 수 있어요.

이처럼 지수가 무리수일 때도 a^x을 정의할 수 있죠.

지수의 확장 - 유리수 지수, 지수법칙에서 밑이 양수고, 지수가 유리수일 때 지수법칙이 성립했어요. 여기서는 밑이 양수이고 지수가 실수일 때의 지수법칙이 성립해요.

a > 0, b > 0이고 x, y가 실수일 때
a^xa^y = a^{x + y}
a^x ÷ a^y = a^{x - y}
(a^x)^y = a^xy
(ab)^x = a^xb^x

다음을 간단히 하여라.
(1)
(2)
(3)

지수법칙을 그대로 적용하면 돼요.

지수법칙 - 지수가 실수일 때 예제 풀이 1

지수법칙 - 지수가 실수일 때 풀이 2

지수법칙 - 지수가 실수일 때 예제 풀이 3

지수법칙 비교

이제까지 지수법칙에서 지수가 정수일 때, 유리수일 때, 실수일 때를 공부했어요. 지수법칙 자체만 보면 계산 방식은 같아요. 밑이 같고 곱하기면 지수끼리 합, 밑이 같고 나누기면 지수끼리 차, 거듭제곱은 지수끼리 곱이죠.

하지만 지수의 종류에 따라 밑이 달라요. 그 차이를 비교해보죠. 외워야 하는 건 아닌데 그래도 알아두세요.

왜 이런 조건들이 붙는지는 지수의 확장 - 음의 지수, 정수 지수, 지수의 확장 - 유리수 지수, 지수법칙에 나와 있어요.

지수법칙 - 지수와 밑의 조건
지수의 조건	밑 a, b의 조건
지수 m, n이 자연수일 때
지수 m, n이 정수일 때	a ≠ 0, b ≠ 0
지수 r, s가 유리수일 때	a > 0, b > 0
지수 x, y가 실수일 때	a > 0, b > 0

정리해볼까요

지수법칙 - a > 0, b > 0이고 x, y가 실수일 때

^x

^y

^{x + y}

a^x ÷ a^y = a^{x - y}
(a^x)^y = a^xy
(ab)^x = a^xb^x

지수의 확장 - 유리수 지수

<< 수학 2 목차 >>

지수방정식과 풀이

그리드형

중학교 2학년 때 공부했던 지수법칙은 지수가 자연수였지요? 지수의 확장 - 음의 지수, 정수 지수에서는 지수가 정수일 때의 지수법칙을 알아봤고요.

지수의 체계가 한 단계씩 확장되고 있죠? 이제는 지수가 유리수일 때를 알아볼 거예요. 지수가 유리수일 때도 지수법칙이 성립하는지 그리고 그때 지수의 조건은 무엇인지에 대해서 알아보죠.

단순히 지수법칙만 외우면 되는 게 아니라 어떤 경우에 지수법칙이 성립하는지도 알아두세요. 그리고 거듭제곱근과 어떤 관계가 있는지도 알아야 해요.

지수의 확장 - 유리수 지수

지수의 확장 - 정수 지수에서 공부했던 지수법칙 중에서 (a^m)ⁿ = a^mn가 있었어요. a ≠ 0이고, m, n은 정수죠.

이번에 유리수 p, q에 대해서도 (a^p)^q = a^pq가 성립하는지 알아볼까요?

정수 m, n에 대하여 p = , q = n을 대입해보죠.

을 n 제곱했더니 a^m이 되었어요. 반대로 말하면 은 a^m의 n 제곱근이라는 얘기죠.

모양을 보세요. a의 지수 에서 분자인 m은 제곱이 되고, 분모인 n은 제곱근이 되었어요.

실수인 거듭제곱근에서 제곱근호 안이 0보다 작고 n이 짝수일 때 실수인 거듭제곱근은 없다고 했어요. 따라서 여기서는 실수인 거듭제곱근이 나올 수 있게 a > 0인 경우만 다뤄요. a = 0이면 그냥 0이니까 굳이 다룰 필요가 없고요.

n이 제곱근의 의미를 가지려면 n ≥ 2인 정수여야 해요.

정리해보죠.

유리수인 지수
a > 0이고, m, n(≥ 0)이 정수일 때

유리수인 지수가 있다는 걸 알아봤으니 지수법칙이 성립하는지도 알아보죠. 이게 복잡하고 기니까 하나씩 주의해서 잘 보세요.

정수 m, n , p, q (n, q ≥ 2)에 대하여 라고 해보죠.

유리수가 지수일 때 지수법칙 1 증명

첫 줄과 마지막 줄만 보면 a^ra^s = a^{r + s}예요.

지수가 유리수라서 유도 과정이 복잡해서 그렇지 그냥 밑이 같고 곱하기이면 지수끼리 더한다는 원래의 지수법칙에 지나지 않아요.

이외에도 우리가 알고 있던 지수법칙이 모두 성립해요.

지수가 유리수일 때 지수법칙
a > 0, b > 0이고 r, s가 유리수일 때
a^ra^s = a^{r + s}
a^r ÷ a^s = a^{r - s}
(a^r)^s = a^rs
(ab)^r = a^rb^r

다음을 간단히 하여라.
(1)
(2)

지수가 유리수일 때의 지수법칙도 별반 다를 게 없어요. 그냥 지수끼리 더하고 빼고, 곱하면 되죠.

유리수가 지수일 때 지수법칙 예제 1 풀이

유리수가 지수일 때 지수법칙 예제 2 풀이

정리해볼까요

지수가 유리수일 때 지수법칙

a > 0, b > 0이고 r, s가 유리수일 때
a^ra^s = a^{r + s}
a^r ÷ a^s = a^{r - s}
(a^r)^s = a^rs
(ab)^r = a^rb^r

지수의 확장 - 정수 지수

<< 수학 1 목차 >>

지수의 확장 - 실수 지수

그리드형

중학교 2학년 때 공부했던 지수법칙 다 기억하고 있죠? 지수가 자연수일 때 성립하는 법칙이었죠.

이 글에서는 중학교 때 공부했던 지수법칙을 조금 더 확장해보죠. 지수가 0이나 음의 정수일 때는 어떻게 되는지 알아볼 거예요.

지수가 양의 정수(자연수)에서 정수 전체로 넓혀지지만, 지수법칙의 방법이 달라지거나 새로운 법칙이 나오는 게 아니니까 생각보다 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

공식으로 외우는 건 어려울 수 있어도 실제 계산을 해보면 훨씬 더 쉽다는 걸 느낄 거예요.

지수의 확장 - 정수 지수

중학교 때 공부했던 지수법칙부터 정리해보죠. 지수법칙 1 - 곱셈, 거듭제곱, 지수법칙 2 - 나눗셈, 괄호, 분수

m, n이 자연수일 때

a^m × aⁿ = a^{m + n}

(a^m)ⁿ = a^mn = (aⁿ)^m

(ab)^m = a^mb^m

지수 m, n이 자연수일 때였어요. 이제는 m, n이 자연수가 아니라 0이거나 음의 정수일 때는 어떻게 바뀌는지 알아볼 거예요.

지수법칙 첫 번째 a^m × aⁿ = a^{m + n}에서 a ≠ 0이고 m = 0이라고 해보죠.

a⁰ × aⁿ = a^{0 + n} = aⁿ

양변을 aⁿ로 나눠볼까요?

a⁰ × aⁿ = aⁿ
a⁰ = 1 (∵ 양변 ÷ aⁿ)

a ≠ 0일 때, a⁰ = 1이라는 걸 알 수 있어요.

이번에는 m = -n일 때를 보죠.

a^m × aⁿ = a^-n × aⁿ = a^{-n + n} = a⁰ = 1

이번에도 양변을 aⁿ로 나눠요.

a^-n × aⁿ = 1
a^-n = (∵ 양변 ÷ aⁿ)

a ≠ 0이고, n이 양의 정수일 때
a⁰ = 1, a^-n =

0은 0이고 -n은 음의 정수죠? 그러니까 이제부터는 지수가 양의 정수(자연수)뿐 아니라 0, 음의 정수일 때도 지수법칙을 활용할 수 있어요.

0이 아닌 수의 0제곱은 1이에요. 계산할 때 지수가 음의 정수면 숫자는 역수로 바꾸고 지수는 양의 정수로 바꿔서 하면 쉬워요. a^-n =

(-1)⁰ = 1, 2⁰ = 1,

지금까지는 a^m ÷ aⁿ에서 나눗셈 기호 앞, 뒤에 있는 수에서 어느 쪽이 지수가 더 크냐 작으냐를 따져서 계산했잖아요. 앞으로는 그럴 필요가 없어요.

a^m ÷ aⁿ = a^{m - n}로 바로 계산해서 지수에 맞게 값을 고쳐주면 되는 거예요.

지수가 자연수일 때, 0일 때, 음수일 때를 한 번에 합쳐서 지수가 정수일 때로 정리해보죠.

a ≠ 0, b ≠ 0이고, m, n이 정수일 때
a^maⁿ = a^{m + n}
a^m ÷ aⁿ = a^{m - n}
(a^m)ⁿ = a^mn
(ab)^m = a^mb^m

참고로 a = 0이고 지수 m이 자연수인 경우인 0², 0³등은 정의할 수 있어요. 0 × 0 = 0, 0 × 0 × 0 = 0이죠. 하지만 지수 m이 0이거나 음수인 경우인 0⁰, 0^-1, 0^-2 등은 정의하지 않아요. 네이버캐스트 - 0의 0제곱은?

다음을 간단히 하여라.
(1) (a²)³ × a⁴ ÷ a^-5
(2) (a²b^-3)⁴

(1) (a²)³ × a⁴ ÷ a^-5
= a⁶ × a⁴ ÷ a^-5
= a^{6 + 4 - (-5)}
= a¹⁵

(2) (a²b^-3)⁴
= (a²)⁴(b^-3)⁴
= a⁸b^-12
=

정리해볼까요

지수의 확장 - 지수가 정수일 때

a ≠ 0, b ≠ 0이고, m, n이 정수일 때
a^maⁿ = a^{m + n}
a^m ÷ aⁿ = a^{m - n}
(a^m)ⁿ = a^mn
(ab)^m = a^mb^m

거듭제곱근의 성질

<< 수학 1 목차 >>

지수의 확장 - 유리수 지수, 실수 지수

그리드형

지수법칙 두 가지를 공부했었죠? 밑이 같은 거듭제곱의 곱일 때는 밑을 그대로 써주고 지수는 더해주는 거였고요. 거듭제곱의 거듭제곱에서는 밑은 그대로 쓰고, 지수를 곱해주는 거였어요.

지수법칙 두 번째는 나눗셈과 괄호가 있을 때의 거듭제곱이에요.

나눗셈에서는 지수의 크기가 중요해요. 지수의 크기에 따라 계산 방법이 달라지거든요. 괄호가 있을 때는 분수든 아니든 상관없이 공통된 특징이 있으니 이건 쉽게 이해할 거예요.

지수법칙

2⁵ ÷ 2³을 해볼까요? 지수를 풀어서 계산(약분)한 다음, 다시 거듭제곱으로 나타내보죠.

지수만 보면 5 - 3 = 2가 되죠. 밑이 같은 거듭제곱의 나눗셈은 밑은 그대로 쓰고, 지수만 빼면 돼요. 여기까지는 지수법칙 첫 번째에서 했던 밑이 같은 거듭제곱의 곱과 비슷해요. 밑이 다르거나 나눗셈이 아니면 쓸 수 없다는 것까지 같지요.

이번에는 2⁵ ÷ 2⁵을 해보죠.

위처럼 밑은 그대로 쓰고, 지수의 차를 구해보면 2⁵ ÷ 2⁵ = 2^{5 - 5} = 2⁰이 되겠지요? 여기에서 2⁰ = 1이라는 걸 알 수 있어요. 지수가 같으면 나누기의 결과로 지수는 0이 되고, 밑이 2든 3이든 상관없이 모든 수의 0 제곱은 1이에요.

이번에는 2³ ÷ 2⁵를 해볼까요?

밑이 같고 지수의 나눗셈이니까 밑은 그대로 쓰고, 지수끼리 빼면 2³ ÷ 2⁵ = 2^{3 - 5} = 2^-2이 돼요. 지수가 -2인데, (-)는 분수라는 걸 말해요. 지수가 2인 분수꼴이라는 뜻이죠. 나누는 수의 지수가 클 때는 분수로 쓰되, 지수는 큰 것에서 작은 걸 빼주는 거지요.

위 세 경우에서 보듯이 거듭제곱의 나눗셈은 나누어지는 수와 나누는 수의 지수 크기에 따라 계산 방법이 살짝 달라져요.

a ≠ 0이고, m, n이 자연수일 때
지수법칙 - 나눗셈

다음을 간단히 하여라.
(1) a⁶ ÷ a²
(2) b⁵ ÷ b³ ÷ b²
(3) c³ ÷ c⁷

밑이 같은 거듭제곱의 나눗셈에서는 나누어지는 수와 나누는 수의 지수 중 어디가 큰지에 따라 달라져요. 나누어지는 수의 지수가 크면 밑은 그대로 쓰고 지수의 차, 같으면 1, 나누어지는 수의 지수가 더 작으면 분수 형태예요.

(1) 나누어지는 수의 지수가 나누는 수의 지수보다 크네요.

a⁶ ÷ a²
= a^{6 - 2}
= a⁴

(2)에서는 항이 3개지만 밑이 같으면 한꺼번에 계산할 수 있어요.
b⁵ ÷ b³ ÷ b²
= b^{5 - 3 - 2}
= b⁰
= 1

(3)은 나눠지는 수의 지수가 더 작으니까 분수로 나오겠지요.

괄호가 있을 때 지수법칙

이번에는 여러 개의 문자나 수를 한꺼번에 거듭제곱할 때 어떻게 되는지 알아보죠.

(ab)³을 볼까요? ab를 3번 곱한 건데, 원래 a × b에서 곱셈기호가 생략된 거죠.

(ab)³
= (a × b)³         곱셈기호 살리기
= (a × b) × (a × b) × (a × b)
= (a × a × a) × (b × b ×b )     곱셈에 대한 교환법칙
= a³ × b³
= a³b³                                      곱셈기호 생략

첫 줄과 끝줄만 보면, (ab)³ = a³b³로 괄호 안에 있는 것들을 각각 세제곱한 것과 같아요.

분수의 거듭제곱도 분자, 분모를 각각 거듭제곱한 것과 같죠.

위 두 가지를 정리해 보면, 괄호로 묶여있는 걸 거듭제곱하면 괄호 안에 있는 것들을 각각 거듭제곱한 것과 같다는 걸 알 수 있어요.

b ≠ 0이고, m이 자연수일 때
지수법칙 - 괄호

다음을 간단히 하여라.

괄호 안에 있는 건 분수든 아니든 상관없이 각각을 거듭제곱해줘야 해요.

(1) (a³b²)²
= (a³)²(b²)²
= a^{3 × 2}b^{2 × 2}
= a⁶b⁴

(2)에서 (-a) = (-1) × a에요.
(-a)⁴ × (-b)³
= (-1)⁴a⁴ × (-1)³b³
= a⁴ × (-b³)
= -a⁴b³

정리해볼까요

a ≠ 0이고, m, n이 자연수일 때, a^m ÷ aⁿ

a^{m - n} (m > n)
1 (m = n)

b ≠ 0이고, m은 자연수일 때

(ab)^m = a^mb^m

지수법칙

<< 중2 수학 목차 >>

단항식의 곱셈과 나눗셈

그리드형

1학년 때 거듭제곱의 뜻, 거듭제곱으로 나타내기를 공부했었죠? 내용이 기억나나요? 똑같은 수를 여러 번 곱할 때, 거듭제곱을 이용해서 나타낸다고 했지요? 거듭제곱에서 곱해지는 수를 보통 크기로 쓰고, 곱하는 횟수는 오른쪽 위에 작게 쓰기로 했어요. 이때, 아래에 있는 걸 밑, 오른쪽 위에 작게 쓰여진 걸 지수라고 했지요.

지수법칙에서 지수는 바로 거듭제곱에서의 지수를 말해요.

지수법칙은 거듭제곱에서 지수를 계산하는 법칙인데, 얼마나 중요하면 이름이 공식도 아니고 법칙이겠어요. 꼭 외워야겠죠?

지수법칙

지수법칙 1 - 거듭제곱의 곱

2³ × 2⁵을 계산해볼까요? 거듭제곱으로 쓰여있는 걸 곱하기로 풀어서 계산한 다음 다시 거듭제곱으로 써 보죠.

2³ × 2⁵
= (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2 × 2)
= 2⁸

가운데 지수를 풀어쓴 부분을 제외하면 2³ × 2⁵ = 2⁸이 돼요. 지수만 보죠. 두 지수 3과 5를 더하면 8이죠? 이게 지수법칙의 첫 번째 입니다. 밑이 같은 두 거듭제곱의 곱은 밑은 그대로 쓰고 지수만 서로 더해주는 거죠.

위 지수법칙이 성립하려면 조건이 있어요. 밑이 같아야 하고, 두 거듭제곱이 곱셈이어야 해요. 밑이 다르거나 곱셈이 아니면 성립하지 않아요.

밑은 같지만, 곱셈이 아니라 덧셈인 경우를 보죠.

2³ + 2⁵
= (2 × 2 × 2) + (2 × 2 × 2 × 2 × 2)
= 8 + 32
= 40
= 2³ × 5

2⁸ = 256 ≠ 2³ + 2⁵에요.

곱셈이지만 밑이 다르면 어떻게 되는지 볼까요?

2³ × 3²
= (2 × 2 × 2) × (3 × 3)
= 8 × 9
= 72

2³ × 3²에서 지수는 더하라고 했으니까 3 + 2 = 5이고, 밑은 그대로인데, 2와 3 두 개 중 어떤 걸 쓸까 고민하다가 2 × 3 = 6이니까 6으로 해서 6⁵으로 쓰는 경우가 많이 있어요. 이렇게 하면 절대로 안 돼요.

다시 정리할게요. 첫 번째 지수법칙이 성립하려면 밑이 같고, 거듭제곱의 곱셈이어야 해요.

다음을 간단히 하여라.
(1) (-1)² × (-1)³
(2) a² × a³ × a⁴
(3) a³ × b² × a⁵ × b⁴

밑이 같은 거듭제곱의 곱셈은 밑은 그대로 쓰고, 지수만 더해주는 거예요.

(1) (-1)² × (-1)³= (-1)^{2 + 3}= (-1)⁵= -1

(2)는 항이 세 개인데, 세 개 다 밑이 같고 곱셈이므로 지수법칙을 한꺼번에 적용할 수 있어요.
a² × a³ × a⁴= a^{2 + 3 + 4}= a⁹

(3)은 밑이 a와 b가 섞여 있죠? a, b를 따로 계산해야 해요.
a³ × b² × a⁵ × b⁴
= a³ × a⁵ × b² × b⁴
= a^{3 + 5} × b^{2 + 4}
= a⁸ × b⁶
= a⁸b⁶
밑이 다르므로 더 이상 계산할 수 없고, 곱셈기호만 생략할 수 있어요.

지수법칙 두 번째 - 거듭제곱의 거듭제곱

지수법칙 두 번째는 거듭제곱의 거듭제곱이에요.

(2³)²를 해보죠. 2³을 통째로 하나의 문자라고 생각해보세요. (2³)²는 2³를 두 번 곱하는 거죠?

(2³)²
= (2³) × (2³)
= (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2)
= 2⁶

처음하고 끝줄만 볼까요? (2³)² = 2⁶에서 지수 2와 지수 3을 곱하면 6이 되죠?

바로 지수법칙 두 번째에요. 거듭제곱의 거듭제곱은 밑은 그대로 쓰고 지수만 서로 곱해주는 거예요.

여기는 별다른 조건이 없어요. 그냥 계산하면 돼요.

곱셈에서는 교환법칙이 성립하죠? 그래서 지수 m, n의 자리를 바꿔서 계산한 (a^m)ⁿ = a^mn = a^nm = (aⁿ)^m가 성립해요.

다음을 간단히 하여라.
(1) (x³)⁴
(2) (a²)³ × (a³)³
(3) (a²)³ × (b³)²

거듭제곱의 거듭제곱에서는 밑을 그대로 쓰고, 지수를 곱해줘요.

(1) (x³)⁴ = x^{3 × 4} = x¹²

(2)는 (거듭제곱의 거듭제곱) 두 개가 곱해져 있어요. 지수법칙 첫 번째와 두 번째가 섞여있는 거죠. 두 번째 지수법칙을 먼저 적용한 다음 첫 번째 지수법칙을 이용해서 계산해야 합니다.
(a²)³ × (a³)³
= (a^{2 × 3}) × (a^{3 × 3})
= a⁶ × a⁹
= a^{6 + 9}
= a¹⁵

(3)도 같은 건데, 밑이 a와 b로 달라요. 주의하세요.
(a²)³ × (b³)²
= (a^{2 × 3}) × (b^{3 × 2})
= a⁶ × b⁶
= a⁶b⁶

정리해볼까요

지수법칙 (m, n이 자연수일 때)

밑이 같고, 거듭제곱의 곱: 밑은 그대로, 지수는 합
a^m × aⁿ = a^{m + n}
거듭제곱의 거듭제곱: 밑은 그대로 지수는 곱
(a^m)ⁿ = a^mn

순환소수와 유리수, 순환소수의 사칙계산

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지수법칙 2

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