수학방

중학교 1학년 수학 목차입니다. 각 게시글 하단의 목차보다 여기 있는 목차를 이용해주세요.

각 목차의 순서에 맞게 따라서 공부하시면 진도 걱정없이 학습할 수 있어요. 혹시 빠진 내용이 있거나 추가하고 싶은 내용이 있으면 언제든 댓글 남겨주세요.

중2 수학 목차
중3 수학 목차

1. 자연수
   • 거듭제곱
   • 소수와 합성수
   • 에라토스테네스의 체
   • 소인수분해
   • 소인수분해를 이용하여 약수 개수구하기
   • 최대공약수의 뜻과 최대공약수 구하는 방법
   • 최소공배수의 뜻과 최소공배수 구하는 방법
   • 최대공약수와 최소공배수의 관계
2. 정수와 유리수
   • 양수와 음수, 정수
   • 절댓값과 수직선
   • 정수의 대소관계
   • 부등호의 사용
   • 정수의 덧셈, 교환법칙, 결합법칙
   • 정수의 뺄셈
   • 정수의 덧셈과 뺄셈의 혼합계산
   • 정수의 곱셈, 교환법칙, 결합법칙
   • 정수의 나눗셈과 혼합계산
   • 분배법칙
   • 유리수와 유리수의 분류
   • 유리수와 수직선, 유리수의 대소관계
   • 유리수의 덧셈과 뺄셈
   • 유리수의 곱셈과 나눗셈
3. 문자와 식, 일차방정식의 풀이
   • 문자와 식, 문자를 포함하는 식
   • 곱셈기호와 나눗셈 기호의 생략
   • 대입, 식의 값
   • 항, 계수, 차수, 단항식과 다항식, 일차식
   • 단항식의 곱셈과 나눗셈, 일차식의 곱셈과 나눗셈
   • 동류항, 일차식의 덧셈과 뺄셈
   • 방정식과 항등식
   • 등식의 성질, 등식의 성질을 이용한 일차방정식의 풀이
   • 일차방정식의 풀이
   • 복잡한 일차방정식의 풀이
   • 일차방정식의 활용 1 - 숫자, 나이
   • 일차방정식의 활용 2 - 거리, 속력, 시간, 농도
4. 그래프와 비례관계
   • 순서쌍과 좌표평면
   • 그래프의 뜻과 표현
   • 정비례와 그래프
   • 반비례와 그래프

1. 도형의 기초
   • 점, 선, 면, 직선, 반직선, 선분
   • 두 점 사이의 거리와 중점
   • 평각, 직각, 예각, 둔각
   • 맞꼭지각, 동위각, 엇각
   • 직교와 수직, 수선과 수선의 발, 점과 직선 사이의 거리
   • 점, 직선, 평면의 위치 관계
   • 평면에서 점과 직선의 위치관계, 두 직선의 위치관계
   • 공간에서 두 직선의 위치관계, 공간에서 평면과 직선의 위치관계
   • 공간에서 두 평면의 위치관계
   • 평행선의 성질, 평행선에서의 동위각과 엇각
   • 작도, 길이가 같은 선분의 작도, 크기가 같은 각의 작도
   • 삼각형의 정의, 삼각형의 대변, 대각
   • 삼각형의 작도
   • 도형의 합동, 삼각형의 합동 조건
2. 평면도형
   • 다각형, 내각, 외각, 정다각형
   • 대각선의 개수 구하기, 대각선 개수 공식
   • 삼각형 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 합
   • 다각형 내각의 크기의 합과 외각의 크기의 합
   • 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각
   • 원주율, 원의 둘레, 원의 넓이, 부채꼴의 둘레, 부채꼴의 넓이
3. 입체도형
   • 다면체, 각뿔, 각기둥, 각뿔대
   • 정다면체의 뜻, 정다면체의 종류
   • 회전체와 원뿔대, 회전체의 성질
   • 각기둥의 겉넓이와 부피, 원기둥의 겉넓이와 부피
   • 각뿔의 겉넓이와 부피, 원뿔의 겉넓이와 부피
   • 구의 겉넓이와 부피
4. 통계
   • 대푯값과 평균, 중앙값, 최빈값
   • 줄기와 잎 그림
   • 도수분포표, 변량, 계급, 도수의 뜻
   • 도수분포표 만드는 방법
   • 히스토그램
   • 도수분포다각형
   • 상대도수와 상대도수의 분포표
   • 상대도수의 그래프

지수법칙 마지막 지수가 실수일 때예요. 사실 지수법칙은 별거 없어요. 중학교 때 공부했던 지수법칙과 똑같아요. 단지 지수의 종류가 달라지는 것뿐이에요.

그렇다고 결과만 알아서는 안 되겠죠. 지수의 종류가 달라져도 어떻게 해서 지수법칙이 성립하는지도 알고 있어야 해요.

끝으로 이제까지 공부했던 지수법칙에서 지수의 종류에 따라 조건들이 어떻게 달라지는지도 비교해보죠.

지수법칙 - 실수 지수

이제 지수가 실수일 때를 알아보죠. 지수가 유리수일 때는 지수의 확장 - 유리수 지수에서 알아봤으니까 지수가 무리수일 때만 알아보면 되겠죠?

지수가 무리수인 을 구해볼까요?

 = 1.414… 예요. 에 가까워지는 유리수 1, 1.4, 1.41, 1.414, …가 3의 지수라고 해보죠.

3¹, 3^1.4, 3^1.41, 3^1.414, …처럼 될 텐데 이 값들은 일정한 값이 가까워지는데 이 일정할 값을  로 정의할 수 있어요.

이처럼 지수가 무리수일 때도 a^x을 정의할 수 있죠.

지수의 확장 - 유리수 지수, 지수법칙에서 밑이 양수고, 지수가 유리수일 때 지수법칙이 성립했어요. 여기서는 밑이 양수이고 지수가 실수일 때의 지수법칙이 성립해요.

a > 0, b > 0이고 x, y가 실수일 때
a^xa^y = a^{x + y}
a^x ÷ a^y = a^{x - y}
(a^x)^y = a^xy
(ab)^x = a^xb^x

다음을 간단히 하여라.
(1)
(2)
(3)

지수법칙을 그대로 적용하면 돼요.

지수법칙 비교

이제까지 지수법칙에서 지수가 정수일 때, 유리수일 때, 실수일 때를 공부했어요. 지수법칙 자체만 보면 계산 방식은 같아요. 밑이 같고 곱하기면 지수끼리 합, 밑이 같고 나누기면 지수끼리 차, 거듭제곱은 지수끼리 곱이죠.

하지만 지수의 종류에 따라 밑이 달라요. 그 차이를 비교해보죠. 외워야 하는 건 아닌데 그래도 알아두세요.

왜 이런 조건들이 붙는지는 지수의 확장 - 음의 지수, 정수 지수, 지수의 확장 - 유리수 지수, 지수법칙에 나와 있어요.

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중학교 2학년 때 공부했던 지수법칙은 지수가 자연수였지요? 지수의 확장 - 음의 지수, 정수 지수에서는 지수가 정수일 때의 지수법칙을 알아봤고요.

지수의 체계가 한 단계씩 확장되고 있죠? 이제는 지수가 유리수일 때를 알아볼 거예요. 지수가 유리수일 때도 지수법칙이 성립하는지 그리고 그때 지수의 조건은 무엇인지에 대해서 알아보죠.

단순히 지수법칙만 외우면 되는 게 아니라 어떤 경우에 지수법칙이 성립하는지도 알아두세요. 그리고 거듭제곱근과 어떤 관계가 있는지도 알아야 해요.

지수의 확장 - 유리수 지수

지수의 확장 - 정수 지수에서 공부했던 지수법칙 중에서 (a^m)ⁿ = a^mn가 있었어요. a ≠ 0이고, m, n은 정수죠.

이번에 유리수 p, q에 대해서도 (a^p)^q = a^pq가 성립하는지 알아볼까요?

정수 m, n에 대하여 p = , q = n을 대입해보죠.

을 n 제곱했더니 a^m이 되었어요. 반대로 말하면 은 a^m의 n 제곱근이라는 얘기죠.

모양을 보세요. a의 지수 에서 분자인 m은 제곱이 되고, 분모인 n은 제곱근이 되었어요.

실수인 거듭제곱근에서 제곱근호 안이 0보다 작고 n이 짝수일 때 실수인 거듭제곱근은 없다고 했어요. 따라서 여기서는 실수인 거듭제곱근이 나올 수 있게 a > 0인 경우만 다뤄요. a = 0이면 그냥 0이니까 굳이 다룰 필요가 없고요.

n이 제곱근의 의미를 가지려면 n ≥ 2인 정수여야 해요.

정리해보죠.

유리수인 지수
a > 0이고, m, n(≥ 0)이 정수일 때

유리수인 지수가 있다는 걸 알아봤으니 지수법칙이 성립하는지도 알아보죠. 이게 복잡하고 기니까 하나씩 주의해서 잘 보세요.

정수 m, n , p, q (n, q ≥ 2)에 대하여 라고 해보죠.

첫 줄과 마지막 줄만 보면 a^ra^s = a^{r + s}예요.

지수가 유리수라서 유도 과정이 복잡해서 그렇지 그냥 밑이 같고 곱하기이면 지수끼리 더한다는 원래의 지수법칙에 지나지 않아요.

이외에도 우리가 알고 있던 지수법칙이 모두 성립해요.

지수가 유리수일 때 지수법칙
a > 0, b > 0이고 r, s가 유리수일 때
a^ra^s = a^{r + s}
a^r ÷ a^s = a^{r - s}
(a^r)^s = a^rs
(ab)^r = a^rb^r

다음을 간단히 하여라.
(1)
(2)

지수가 유리수일 때의 지수법칙도 별반 다를 게 없어요. 그냥 지수끼리 더하고 빼고, 곱하면 되죠.

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수학에서 사용하는 가장 기초적인 부분이 바로 숫자에요. 이 글에서는 숫자의 체계에 대해서 한 번 더 정리합니다. 이미 알고 있는 거니까 간단하게 보고 넘어가죠.

연산에 대해서 닫혀있다는 용어에 대해서 공부할 거예요. 사실 아주 중요한 내용은 아닌데요, 다음에 공부할 항등원과 역원의 전제조건이 되는 내용이기 때문에 이해는 하고 있어야 해요.

복잡하지는 않으니까 가볍게 읽는다는 생각으로 공부하세요.

실수 체계, 실수의 분류

실수 체계는 [중등수학/중3 수학] - 무리수와 실수, 실수체계에서 공부한 적이 있어요. 한 번 정리해보죠.

이 두 그림이면 실수체계에 대해서는 완전히 설명할 수 있으니까 잘 익혀두세요. 앞으로 실수 범위를 넘어선 수의 체계를 공부할 건데 그것과 헷갈리면 안 되니까요.

문제에서 수에 대해서 아무런 언급이 없다면 실수 범위의 수를 사용한다고 생각하세요.

연산에 대하여 닫혀있다

공집합이 아닌 어떤 집합 S에서 임의의 원소 2개를 뽑아서 어떤 연산을 한 결과가 항상 집합 S의 원소일 때, 집합 S는 그 연산에 대해서 닫혀있다고 합니다.

예를 들면 자연수의 집합에서 임의의 두 수를 뽑아서 더하면 그 결과인 수는 다시 자연수 집합의 원소가 되잖아요. 이때, 자연수 집합은 덧셈에 대하여 닫혀있다고 하는 거지요.

임의의 원소 2개는 같을 수도 있고 다를 수도 있어요. 그리고 최소한 1개의 원소를 선택해야 하니까 원소가 하나도 없는 공집합은 제외합니다. 닫혀있다의 반대는 "열려있다"가 아니라 "닫혀있지 않다."에요.

아래 표는 수의 체계와 사칙연산에 대하여 닫혀있는지를 나타내는 표에요. 이 표를 잘 이해하세요. 객관식 문제로 자주 나옵니다. 나눗셈에서 0으로 나누는 건 제외해요.

어떤 수 집합이 닫혀있지 않다는 것을 증명하려면 명제의 참, 거짓에서 사용했던 것처럼 반례를 하나만 찾으면 돼요.

자연수에서 1 - 2 = -1로 결과가 자연수가 아니에요. 따라서 자연수는 뺄셈에 대해서 닫혀있지 않죠. 마찬가지로 1 ÷ 2 = ½로 자연수가 아니어서 나눗셈에 대해서도 닫혀있지 않아요. 덧셈과 곱셈에 대해서는 닫혀있어요.

정수는 1 ÷ 2 = ½로 정수가 아니라서 정수는 나눗셈에 대해서 닫혀있지 않아요. 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대해서는 닫혀있어요.

무리수는 사칙연산 모두에 대하여 닫혀있지 않아요.  + (-) = 0으로 유리수고요.  -  = 0으로 유리수, × = 2로 유리수, ÷ = 1로 유리수잖아요.

유리수와 실수는 어떤 수를 사용해도 사칙연산한 결과가 유리수, 실수가 나와요. 따라서 유리수와 실수는 사칙연산에 대해서 닫혀있어요.

집합 S = {-1, 0, 1}일 때, 사칙연산 중 어느 연산에 대하여 닫혀있는가? (단, 0으로 나누는 것은 제외)

연산에 대하여 닫혀있으려면 집합의 임의의 원소 두 개를 선택해서 연산한 결과가 다시 집합의 원소여야 돼요.

원소가 몇 개 안 되니까 직접 연산을 해서 결과를 찾아보죠.

덧셈과 뺄셈의 연산 결과에서는 집합 S의 원소가 아닌 -2, 2가 있어서 집합 S는 덧셈과 뺄셈에 대해서는 닫혀있지 않네요. 곱셈과 나눗셈은 연산 결과가 모두 집합 S = {-1, 0, 1}에 포함되어 있어요. 따라서 집합 S는 곱셈과 나눗셈에 대하여 닫혀있어요.

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제곱근의 나눗셈을 하다보면 필연적으로 나오는 게 분수에요. 분수에서 분모에 제곱근이 들어있을 때 제곱근을 처리하는 방법을 분모의 유리화라고 하고 이 글에서는 그 방법을 알아볼 거예요.

분모의 유리화는 분모에 제곱근이 하나만 있을 때와 두 개의 제곱근의 합/차로 되어 있을 때의 두 가지가 있어요. 두 가지에서 사용하는 방법을 다 알아야합니다.

분모의 유리화는 분수꼴의 제곱근 계산에서 필수 과정으로 유리수의 덧셈과 뺄셈에서 분모를 통분하고 약분하는 것처럼 아주 기본적인 과정이에요. 이걸 못하면 제곱근의 덧셈과 뺄셈은 못한다고 봐야죠. 꼭 이해하고 넘어가야 해요.

분모의 유리화

분모가 근호를 포함한 무리수일 때, 분모를 유리수로 바꾸는 걸 분모의 유리화라고 해요. 일반적인 분수를 더하거나 뺄 때 분모를 통분해서 계산하죠? 그런데 분모가 무리수라면 통분하기가 어려워요. 그래서 분모를 유리수로 바꾸고, 그 다음에 통분해서 계산을 하는 거죠.

분모에 근호를 포함한 분수는 무리수에요. 무리수인 분수에서 분모가 유리화됐다고 해서 분수가 유리수가 되는 건 아니에요. 분수는 그대로 무리수고, 분모만 유리수가 되는 거예요.

분모의 유리화에서 분자는 아무런 영향을 미치지 않아요. 분자가 유리수든 무리수든 1이든 아니든 상관없어요. 전혀 고려하지 마세요.

이라는 분수가 있다고 해보죠. 분모가 근호를 포함한 무리수에요. 제곱근을 유리수로 바꾸는 가장 쉬운 작업은 제곱하는 거예요. 이 때도 제곱을 합니다.  전체를 제곱해서 하면 안돼요. 이니까요.

분모를 제곱하는 거예요. 통분할 때, 분모에 어떤 수를 곱해주면 같은 수를 분자에도 곱해주죠? 분모는 제곱, 분모에 곱해지는 수를 분자에도 곱해주는 거예요.

분자, 분모에 분모인 를 똑같이 곱해주고 계산을 했더니 분모가 유리수 2가 되었어요. 이게 분모의 유리화에요.

을 한 번 볼까요? 분모가 제곱근이므로 분자, 분모에 을 곱해주면 되겠죠?

이게 끝이 아니에요. 제곱근의 곱셈과 나눗셈에서 근호안에 제곱인 수가 있으면 근호 앞으로 꺼내는 걸 했어요. 요. 이렇게 2를 꺼내놓으면 분모 8과 약분이 되죠? 약분까지 끝내야 계산이 끝나는 거에요.

분자의 근호 안에 제곱인 수가 있어서 꺼냈는데, 이걸 분모에 있을 때 미리 꺼내면 어떻게 되는 지 해보죠.

분모에 정수와 제곱근이 곱해져있을 때는 제곱근만 곱해주면 돼요. 정수는 이미 유리수니까 유리화할 필요가 없잖아요. 계산이 조금 더 간단해 졌죠? 순서를 잘 기억하세요.

제일 마지막 과정에서 약분을 했는데, 두 번째 줄에 보면 분자의 3과 분모의 6을 약분할 수 있어요. 약분은 계산 중에 아무데서나 해도 상관없어요.

분모의 유리화: 분모에 근호를 포함한 수가 들어있을 때, 분자, 분모에 같은 수를 곱해서 분모를 유리수로 만드는 것
분모가 제곱근: 분모와 같은 수를 분자, 분모에 곱
분모가 정수와 제곱근의 곱: 분모의 제곱근 부분을 분자, 분모에 곱

분모가 무리수의 합과 차로 되어있을 때

분모가 두 무리수의 합과 차로 되어 있을 때는 방법이 조금 달라져요.

을 해보죠. 위에서는 분모를 유리화하기 위해서 분모를 제곱한다고 했어요. 분모만 따로 떼서 제곱을 해보죠. 제곱이니까 곱셈공식 - 완전제곱식을 이용해야 해요.

분모의 유리화는 분모의 제곱근을 없애려고 하는 건데, 없어지지 않았죠? 그래서 이 때는 분모를 제곱해도 소용이 없다는 걸 알 수 있어요. 완전제곱식이 아니라 곱셈공식의 합차공식을 이용해볼까요?

합차공식을 이용했더니 분모가 유리수가 되었죠? 합차공식은 숫자는 같지만 둘 사이의 부호만 다른 걸 곱하는 공식이에요.

정리해보죠. 분모에서 제곱근은 그대로 두고, 부호만 반대인 수를 분자, 분모에 곱해요.

다음 분수의 분모를 유리화하여라.

(1)은 분모에 제곱근이 하나만 있네요. 분모와 같은 수를 분자, 분모에 곱해서 유리화를 하죠.

(2)도 분모에 제곱근 하나만 있으니 이걸 분자, 분모에 곱해주면 되겠네요. 

마지막에 3이 약분이 되네요. 분수니까 약분까지 하셔야 해요.

(3) 분모의 근호 안에 제곱인 수가 들어있으니까 이걸 근호 앞으로 꺼내고, 근호 안의 숫자만 분자, 분모에 곱해줘요. 

두 번째에서 세 번째로 갈 때 근호 앞의 2와 분자의 2를 약분했어요. 약분을 미리하면 계산이 편리해져요.

(4) 분모에 근호를 포함한 수가 2개 있어요. 이럴 때는 부호를 반대로 해서 분자, 분모에 곱해야 하죠. 

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실수라는 수를 알아봈으니까 두 실수중에 어떤 것이 더 큰지 알수도 있어야겠죠? 기본적으로 실수 = 유리수 + 무리수이므로 실수의 대소관계 = 유리수의 대소관계 + 무리수의 대소관계에요. 여기까지는 알고있죠?

거기에 새로운 걸 하나 추가할꺼에요. 새로운 방법이긴 하지만 그게 별로 어렵지는 않아요. 아주 간단히 뺄셈을 하면 되거든요.

어떻게 하면 뺄셈으로 실수의 대소관계를 알 수 있는 지와 뺄셈으로 안될 때는 또 어떤 방법을 이용하는지도 공부해보죠. 참고로 뺄셈으로 할 수는 있는데, 현재 단계에서는 뺄셈 자체가 안되는 경우가 있어서 다른 방법을 사용하는 거에요.

실수의 대소관계

실수의 대소관계는 유리수의 대소관계 + 제곱근의 대소관계에요.

실수의 대소관계에서 제일 먼저 해야할 일은 부호를 비교하는 거예요. 음수 < 0 < 양수의 순서죠. 숫자를 볼 필요도 없이 부호만 가지고도 대소를 알 수 있어요.

만약에 부호가 양수라면 숫자가 큰 게 커요. 무리수라면 근호안의 숫자가 큰 게 크죠. 부호가 모두 음수라면 숫자가 작은 게 크죠. 무리수는 근호안의 숫자가 작은 음수가 더 커요.

이게 우리가 알고 있는 수의 크기 비교죠.

이번에는 다른 방식으로 접근해 볼꺼에요.

a, b가 실수일 때
a - b > 0 이면 a > b
a - b = 0 이면 a = b
a - b < 0 이면 a < b

간단한 내용이에요. a - b > 0 은 부등호가 있는 부등식이잖아요. -b를 이항하면 a > b가 되죠?  반대로 a > b에서 b를 좌변으로 이항하며 a - b > 0이 되고요. 둘이 왜 같은 뜻인지 알겠죠?

두 수의 차를 이용해서 실수의 대소관계를 알아볼 수 있어요. 어떤 두 수가 있다면 한 수에서 다른 수를 빼서 결과의 부호를 보는 거죠. 결과가 양수이면 앞의 수가 크고, 0이면 둘이 같고, 음수이면 뒤의 수가 더 커요.

5와 3이 있어요. 5 - 3 > 0이므로 앞에 있는 5가 뒤에 있는 3보다 큰 걸 알 수 있지요. 5와 8에서는 5 - 8 < 0이므로 뒤에 있는 8이 더 크죠.

제곱근의 근삿값을 이용하는 방법도 있어요. 다른 근삿값은 상관없지만 가장 많이 사용하는 아래 세 가지 경우는 외워두는 게 편리해요. 

1 + 와 의 크기를 비교해볼까요? 차를 이용하면 (1 + ) - 이 되는데 이거는 0보다 큰 지 작은 지 알 수가 없어요. 이 때 근삿값을 이용하세요.
1 +  ≒ 1 + 1.414 = 2. 414
 ≒ 2.236
따라서 1 + 가 더 크네요.

한 실수에서 다른 실수를 뺏을 때, 실수의 유리수 부분이 없어지거나 무리수 부분(제곱근)이 없어질 때는 차를 이용하면 좋고, 그렇지 않은 경우에는 근삿값을 대입해서 대소관계를 알아보는 게 좋아요. 제곱근의 뺄셈은 나중에 공부할 텐데, 그 때까지 덮어두죠.

실수의 대소관계
실수의 부호를 보고 판단
두 실수의 차의 부호를 이용
제곱근의 근삿값을 대입

다음 괄호 안에 알맞는 부등호를 넣어라.
(1) 3 - (  )   - 3
(2) 2 +  (  )  + 2
(3) 5 (  ) 3 +

실수의 대소관계를 파악할 때 첫번째는 두 실수의 부호를 먼저 살펴보는 거에요. 두 번째는 한 실수에서 다른 실수를 빼서 그 결과의 부호를 보고 실수의 대소관계를 알 수 있어요. 결과가 양수이면 앞에 게 큰 거, 결과가 음수이면 뒤에 것이 큰 거에요. 세번째는 근삿값을 직접 대입해서 그 결과를 보고 알 수도 있고요.

(1)번은 두 실수를 빼도 유리수 부분이 없어지지않으니까 대신 근삿값을 대입해보죠.

3 -  ≒ 3 - 1.732 = 1.268
 - 3 ≒ 1.732 - 3 = -1.268

3 -  >  - 3

(2)번은 차를 이용해보죠.

2 + - ( + 2)
= 2 +  -  - 2
=  -
≒ 1.732 - 1.414
= 0.318 > 0

따라서 2 + >  + 2

(3)번도 빼보죠.

5 - (3 + )
= 5 - 3 -
= 2 -
≒ 2 - 1.414
= 0.586 > 0

따라서 5 > 3 +

무리수, 실수라는 새로운 수를 공부했으니 이걸 수직선 위에 나타내 볼까요?

유리수는 수직선위에 나타내기 쉬웠는데, 무리수는 그 값을 정확하게 모르니까 수직선 위에 나타내기가 좀 어려워요. 제곱근의 성질을 이용할 수 있는 정사각형을 그려서 수직선 위에 나타냅니다.

수직선과 유리수, 무리수, 실수의 관계도 알아볼 거예요. 유리수, 무리수, 실수의 성질이 비슷하니까 잘 구별해야 해요. 유리수의 성질과 무리수의 성질은 같고, 실수는 이 둘의 성질을 모두 가지고 있어요.

무리수를 수직선 위에 나타내기

유리수는 수직선을 긋고 그 위에 나타낼 수 있어요. (유리수와 수직선) 무리수도 수직선 위에 나타낼 수 있는데 그 방법을 알아보죠.

수직선 위에 한 칸의 길이가 1인 모눈종이가 있다고 생각해보세요.

그림에서 파란색 사각형은 정사각형이에요. 이 정사각형의 넓이를 구해보죠.
파란 정사각형의 넓이 = (점선으로 그려진 정사각형의 넓이) - (작은 삼각형 4개의 넓이) = 4 - 4(½ × 1 × 1) = 2

정사각형의 넓이가 2이므로 한 변의 길이는 에요.

점 O를 중심으로 하고 작은 정사각형 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려서 수직선과 만나는 점을 점 P, 점 Q라고 하죠. 원의 반지름이므로  = 에요.

점 P의 좌표는 점 O에서의 거리니까 겠죠? 점 Q의 좌표도 역시 같은 거리에 있는데 수직선 위에서 원점 O보다 왼쪽에 있으니 -에요.

수직선 위에 정사각형을 그리고, 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원과 수직선과의 교점을 이용해서 무리수를 수직선 위에 그릴 수 있어요.

다음 그림에서 점 P와 점 Q의 좌표를 구하여라. (모눈 한 칸은 길이가 1인 정사각형)

점 P와 점 Q는 점 O를 중심으로 하고 를 반지름으로 하는 원과 수직선의 교점이에요. 

분홍색 정사각형의 넓이를 구해야 의 길이를 구할 수 있죠?
분홍색 정사각형의 넓이 = (점선으로 그린 사각형의 넓이) - (작은 삼각형 4개의 넓이) = 9 - 4(½ × 2 × 1) = 5

점 P는 점 O에서 만큼 오른쪽에 있는 점이에요. 주의해야 할 건 점 O가 원점이 아니라는 거예요. 점 O가 1위의 점 이므로 점 P는 1 + 에요. 점 Q는 점 O에서 왼쪽으로 만큼 있는 점이므로 점 Q의 좌표는 1 - 에요.

실수와 수직선

모든 유리수는 수직선 위에 점으로 나타낼 수 있어요. 이 말은 유리수는 수직선 위의 한 점과 대응한다는 뜻이에요. 또 유리수 사이에는 무수히 많은 유리수가 있지요. 0과 1 사이에는 0.5, 0.55, 0,555 …… 등 무수히 많은 유리수가 있죠?

무리수도 유리수처럼 수직선 위에 점으로 나타낼 수 있어요. 무리수도 수직선 위의 한 점과 대응하는 거죠. 무리수 사이에도 무수히 많은 무리수가 있어요.

유리수와 무리수를 합치면 실수니까 실수는 유리수와 무리수의 성질을 모두 가지고 있어요. 위 두 가지를 합치면 실수는 수직선 위의 한 점과 대응하고, 두 실수 사이에는 무수히 많은 실수가 있다는 걸 알 수 있어요. 그 외에 유리수, 무리수는 없는 실수만 가지고 있는 성질이 하나 잇는데, 실수에 대응하는 무수히 많은 점으로 수직선을 완전히 메울 수 있어요. 유리수나 무리수만으로는 수직선을 완전히 메울 수 없어요.

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오늘 공부할 건 매우 중요한 내용이에요. 수학의 기본이 되는 수의 체계에 대한 내용이거든요.

이제까지 알고 있던 모든 수 자연수, 정수, 유리수, 유한소수, 무한소수, 순환소수에 더해서 무리수라는 새로운 이름의 수를 공부할 거예요. 무리수는 새로운 수가 아니라 이미 알고 있는 수에요. 다만 어떤 수를 무리수라고 하는지 몰랐을 뿐이에요.

또 실수라는 것도 공부할 건데, 이게 앞으로 수학 시간에 계속 사용할 거니까 잘 알고 있어야 해요.

이 글에서는 각 수의 뜻과 특징, 서로를 구별하는 방법, 수의 관계를 이해해야 합니다.

무리수와 실수

이제까지 공부했던 수의 체계를 정리해볼까요? 일단 1, 2, 3, …… 같은 자연수가 있어요. 자연수(양의 정수)와 0, 자연수에 (-) 부호를 붙인 음의 정수로 나눠지는 정수도 있고요. 분수 꼴로 나타낼 수 있는 유리수도 있지요. 자연수는 정수에 포함되고, 정수는 유리수에 포함돼요. 결국, 자연수는 유리수에 포함되는 거죠.

유한소수와 무한소수도 공부했어요. 무한소수는 순환하는 무한소수(순환소수)와 순환하지 않는 무한소수로 나눌 수 있었죠? 유한소수와 순환소수는 분수로 나타낼 수 있으니 유리수에요. 그러니까 유한소수와 순환소수는 유리수에 속해요.

그럼 분수 꼴로 나타낼 수 없는 순환하지 않는 무한소수는 어떤 수에 속할까요? 바로 무리수에 속해요.

무리수는 유리수가 아닌 수예요. 유리수는 분수로 나타낼 수 있는 수니까 그 반대인 무리수는 분수로 나타낼 수 없는 수예요. 순환하지 않는 무한소수 중 가장 대표적인 게 뭐죠? 바로 π죠. 그 외에도 처럼 근호가 씌워진 수를 무리수라고 할 수 있어요. 단 처럼 근호를 없앨 수 있는 수는 유리수에요. 이름만 처음 들었다 뿐이지 이미 다 알고 있는 수들이죠?

유리수와 무리수의 뜻을 잘 생각해보세요. 유리수는 분수로 나타낼 수 있는 수고, 무리수는 분수로 나타낼 수 없는 수에요. 그렇다면 유리수이면서 무리수인 수는 없겠죠? 또 유리수도 아니고 무리수도 아닌 수도 없을 거고요. 따라서 모든 수는 유리수와 무리수로 나눌 수 있는데 이 두 가지를 합쳐서 실수라고 합니다. 실수는 실제 수를 말하고 영어로는 Real Number라고 해요.

앞으로 특별한 언급 없이 그냥 수라고 한다면 모두 실수라고 생각하면 돼요.

무리수: 유리수가 아닌 수
         꼴의 분수로 나타낼 수 없는 수
          순환하지 않는 무한소수, π
          근호를 못 없애는 제곱근
실수: 유리수 + 무리수

그림에서 가장 주의깊게 봐야할 건 무한소수에요. 무한소수 중 순환소수는 유리수고, 순환하지 않는 무한소수는 무리수에요.

아래는 위 그림을 벤다이어그램으로 나타낸 건데, 꼭 기억하세요. 수의 체계를 아주 잘 나타내고 있어서 문제에서 자주 나오는 그림이거든요. 이 글에서는 이 그림하나만 기억하면 돼요.

다음 설명 중 틀린 것을 모두 고르시오.
(1) 유리수와 무리수를 합하면 실수가 된다.
(2) 정수는 무리수에 속한다.
(3) 정수는 자연수에 속한다.
(4) 유리수가 아니면 무리수이다.
(5) 유리수면서 동시에 무리수인 수는 없다.

위의 그림을 잘 보세요. 자연수는 정수에 속하고, 정수는 유리수에 속해요. 그러니까 자연수는 유리수에 속하죠. 또, 유리수와 무리수 모두 실수에 속하고요. 유리수와 무리수를 합하면 실수가 되네요.

(1) 유리수와 무리수를 합하면 실수가 되므로 맞아요.
(2) 정수는 무리수에 속하는 게 아니라 유리수에 속하니까 틀렸어요.
(3) 자연수가 정수에 속하니까 거꾸로 됐네요. 틀렸어요.
(4) 유리수가 아니면 무리수에요. 반대로 무리수가 아니면 유리수지요.
(5) 유리수이면서 무리수인 수는 없으므로 맞아요. 반대로 유리수도 아니고 무리수도 아닌 수는 없어요.

따라서 틀린 건 (2), (3)입니다.

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현재 우리가 공부했던 가장 큰 수 체계는 유리수예요. 자연수, 정수, 유리수로 그 영역을 넓혀왔죠. 그렇다면  순환소수는 자연수, 정수, 유리수 중에 어느 영역에 속할까요?

순환소수는 기본적으로 소수예요. 그러니까 순환소수가 유한소수인지 무한소수인지도 알아봐야겠죠.

순환소수도 숫자니까 대소를 비교할 수 있어야 하고, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 사칙연산도 할 수 있어야 해요. 다만, 순환소수는 그 상태 그대로 사칙연산을 하지 않고 변형을 시켜서 사칙연산을 하는데 그 방법을 알아보죠.

순환소수와 유리수

소수에는 유한소수와 무한소수가 있다고 했어요. 순환소수는 같은 부분이 끝도 없이 계속 반복되니까 무한소수예요. 순환소수를 분수로 바꿨더니 아주 잘 바뀌었어요. 분수로 나타낼 수 있는 수는 유리수이므로 순환소수는 유리수지요.

그에 반해 어떤 소수는 특정 부분이 반복되지 않으면서 끝없이 이어지는 소수도 있겠죠? 이 소수도 끝이 없이 계속되니까 무한소수인데, 순환하는 부분이 없어서 순환하지 않는 무한소수라고 합니다. 3.141592…인 원주율 π가 대표적인 순환하지 않는 무한소수예요. 순환하지 않는 무한소수는 분수 꼴로 바꿀 수 없어요. 유리수가 아니에요.

모든 유한소수는 유리수
무한소수 중에서 순환소수는 유리수
무한소수 중에서 순환하지 않는 무한소수는 유리수가 아니다.
→ 무한소수 중에는 유리수도 있고, 유리수가 아닌 것도 있다.

순환소수의 대소비교

소수의 대소비교는 자연수 부분부터 비교하는 거 알고 있죠? 자연수 부분이 같다면 소수점 이하 자릿수를 하나씩 비교하고요. 순환소수도 소수의 한 종류니까 그 방법 그대로 합니다.

순환소수는 순환마디를 그냥 쭉 풀어서 둘을 비교하면 돼요.

세 순환소수에서 소수 셋째 자리까지는 같고, 소수 넷째 자리의 숫자를 보니 순서네요.

순환마디를 풀어서 쓰지 않고 분수로 바꿔서 통분한 다음에 크기를 비교할 수도 있어요.

순환소수의 사칙계산

순환소수의 계산을 할 때는 분수로 바꿔서 계산해요. 순환마디를 쭉 풀어서 계산할 수도 있지만 받아 올림이 생기는 경우라면 계산이 틀리게 될 수 있거든요. 순환소수를 분수로 바꾼 다음에는 통상적인 분수의 계산대로 통분하고, 계산, 약분하면 돼요.

분수로 바꿔서 계산한 다음에 답은 그냥 분수로 둬도 돼요. 굳이 다시 소수로 바꿀 필요는 없어요.

1. 순환소수를 분수로
2. 통분
3. 계산
4. 약분

다음을 계산하여라.

순환소수가 포함된 계산에서는 순환소수를 분수로 바꿔서 계산합니다.

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순환소수는 분수로 나타낼 수 있어요. 분수로 나타낼 수 있다는 얘기는 유리수라는 얘기죠. 반대로 순환소수 아닌 무한소수는 분수로 나타낼 수 없어요. 따라서 순환소수 아닌 무한소수는 유리수가 아니에요……

이 글에서는 순환소수를 분수로 나타내는 방법을 공부할 거예요. 그냥 글만 보고 이해하기에는 너무 어려운 내용이라서 여러 번 반복해서 읽어봐야 이해가 될 겁니다. 어렵긴 하지만 원리를 이해하면 답을 바로 구할 수 있는 공식도 있으니까 끝까지 집중해서 잘 보세요.

글로 된 설명과 그림을 잘 비교하면서 읽어보세요.

순환소수를 분수로 나타내는 방법

순환소수를 분수로 나타낼 때 가장 중요한 건 10의 거듭제곱을 곱해주는 거예요. 10의 거듭제곱을 곱해서 소수점 이하 자리를 같게 만들어준 다음 없애주는 거지요.

순환소수 을 분수로 나타내보죠. 을 풀어서 쓴 0.33333…을 x라고 해 볼까요π

x = 0.33333… 이걸 ①식이라고 하고, ①의 양변에 10을 곱해보죠.
10x = 3.33333…이에요. 이걸 ②식이라고 할게요.

①과 ②의 소수점 이하 부분이 같아요. ②식에서 ①을 빼보죠. 식을 뺄 때는 좌변끼리 빼고, 우변끼리 빼는 거예요.

방법이 정말 복잡해서 이해하기 어려운 내용이에요. 잘 봐야 해요.

순환소수를 분수로 나타내기

1. 주어진 순환소수를 x로 놓는다. - ①식
2. 소수점이 순환마디 뒤에 오도록 10의 거듭제곱을 곱한다. - ②식
3. 소수점이 순환마디 앞에 오도록 10의 거듭제곱을 곱한다. - ③식
4. ② - ③
5. 좌변, 우변을 정리 후 x의 계수로 양변을 나눠준다.
6. 약분

을 분수로 나타내는 과정이에요. 설명을 하다 보니 숫자가 복잡한데, 실제 이렇게 복잡한 숫자는 나오지 않아요..

약분하면 이네요.

다음 순환소수를 분수로 나타낼 때, 가장 편리한 식을 <보기>에서 찾으시오..
<보기> 10x - x, 100x - x, 1000x – x
           100x - 10x, 1000x – 10x
           1000x – 100x

소수점을 옮길 때 얼마를 곱해줘야 하는지 찾는 문제입니다. 소수점이 (순환마디 뒤에 있을 때) - (순환마디 앞에 있을 때)가 되어야 해요.

(1)은 순환마디가 2이므로 2 뒤에 소수점이 오려면 10을 곱해서 10x, 2 앞에 소수점이 있으니까 그냥 그대로 x로 하면 되겠네요. 이 둘을 뺀 10x - x가 가장 편리한 식입니다.

(2)는 순환마디가 34이므로 소수점이 34 뒤에 오려면 1000을 곱해서 1000x, 소수점이 34 앞에 오려면 10을 곱해서 10x가 되므로 1000x - 10x가 되어야 하고요.

(3)은 순환마디가 3으로 소수점이 3 뒤에 오려면 1000을 곱해서 1000x, 소수점이 3 앞에 오려면 100을 곱해서 100x가 되므로 1000x - 100x가 되겠네요..

순환소수를 분수로 나타내는 공식

위의 과정으로 순환소수를 분수로 나타내다 보니 너무 복잡해요. 그래서 결과로 바로 갈 수 있는 공식이 있는데, 이걸 외워야 합니다. 그런데 위 내용을 모르면 공식을 외울 수 없어요.

공식이라고 해서 딱 줄여서 쓸 수 있는 표현법이 마땅히 없어요. 설명을 잘 보고 이해하세요.

순환소수를 분수로 나타내는 거니까 분모, 분자가 있겠죠?

분모는 순환마디의 숫자만큼 9를 써줘요. 순환마디가 두 자리면 99, 세 자리면 999를 쓰는 거죠. 그리고 소수점 이하 자리에서 순환마디가 아닌 자리의 개수만큼 9 뒤에 0을 써줘요.

위 그림의 는 순환마디가 3자리이므로 999를 먼저 쓰고 소수점 이하에서 순환마디가 아닌 숫자가 하나 있으니까 뒤에 0을 하나 붙인 9990이 분모가 되는 거예요.

분자는 소수점을 고려하지 않은 전체 수에서 순환하지 않는 부분의 수를 그냥 빼주세요.  에서 소수점을 고려하지 않은 전체 수는 10123이고 순환하지 않는 부분의 수는 10이죠. 10123 - 10 = 10113이 분자가 됩니다.

순환소수를 분수로 나타내는 공식

1. 분모는 순환마디의 숫자 개수만큼 9를 써주고, 9 뒤에 소수점 이하에서 순환마디가 아닌 숫자의 개수만큼 0을 붙여준다.
2. 분자 = (소수점을 고려하지 않은 전체 수) - (순환하지 않는 부분의 수)
3. 분자, 분모를 약분

0.2353535………를 공식을 이용해서 분수로 바꾸는 과정이에요.

다음 순환소수를 분수로 나타내어라.

(1) 순환마디는 1자리, 소수점 이하 순환하지 않는 숫자는 2개이므로 분모는 900
소수점을 고려하지 않은 전체 수는 1235, 순환하지 않는 부분의 숫자는 123이므로 분자는 1235 - 123

(2) 순환마디는 3자리, 소수점 이하 순환하지 않는 숫자가 없어서 0을 붙일 필요가 없으므로 분모는 999
소수점을 고려하지 않은 전체 수는 123, 순환하지 않는 부분은 0이므로 분자는 123 - 0

(3) 순환마디는 2자리, 소수점 이하 순환하지 않는 숫자는 1개이므로 분모는 990
소수점을 고려하지 않은 전체 수는 12345, 순환하지 않는 부분은 123이므로 분자는 12345 - 123

(4) 순환마디는 1자리, 소수점 이하 순환하지 않는 숫자는 0개이므로 분모는 9
소수점을 고려하지 않는 전체수는 9, 순환하지 않는 숫자는 0이므로 분자는 9 - 0

0.9999999999………라서 절대로 1은 안될 것 같은데, 1하고 같아요. 0.99990.9999999999……… 가 1과 같은 이유

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새로운 학년이 되었네요. 1학년 수학은 기초편이고, 이제부터 진짜 수학이 시작되는 거예요. 재밌겠죠? 조금 어렵긴 하지만 1학년 때보다는 덜 지루할 거예요.

처음으로 공부할 내용은 유리수의 확장판인데요, 유리수를 조금 더 세분화해서 나눌 거예요. 유한소수와 무한소수입니다. 우리가 알고 있던 유리수를 조금 더 자세히 공부하는 거죠.

유한소수와 무한소수의 뜻과 차이점을 알아봐요. 첫 시간인 만큼 조금만 할게요. 하지만 수의 체계와 관계있는  내용이니까 꼭 기억하고 있어야 해요.

유리수

일단 1학년 때 배웠던 유리수에 대해서 한 번 정리해볼까요?

유리수는 분수꼴로 나타낼 수 있는 수라고 했어요. 부호에 따라 양의 유리수, 0, 음의 유리수가 있지요. 유리수를 다른 방법으로 분류하면, 정수와 정수가 아닌 유리수로 나눌 수 있다고도 했어요.

유한소수와 무한소수

정수 아닌 유리수를 조금 더 자세히 나눠보죠.

유리수는 분수꼴로 나타냈었는데, 이걸 소수로 바꿔보는 거예요. 여기서 소수는 소수와 합성수에서의 소수가 아니라 0.1, 0.2처럼 소수점이 있는 숫자를 말해요.

는 소수점 아래 숫자가 어느 정도 이어지다가 멈추는 소수지만 는 0.6666…처럼 소수점 아래에서 숫자가 멈추지 않고 계속되죠? 이렇게 분수를 소수로 바꿨을 때 숫자가 계속되지 않고 멈추는 소수를 유한소수, 멈추지 않고 계속해서 이어지는 소수를 무한소수라고 해요.

0.5000…처럼 0이 계속되는 건 무한소수가 아니라 유한소수입니다. 0은 취급하지 않아요.

유한소수와 무한소수를 조금 더 정확하게 정의하면 아래와 같아요.

유한소수: 소수점 아래에 0이 아닌 숫자가 유한개인 소수
무한소수: 소수점 아래에 0이 아닌 숫자가 무한히 계속되는 소수

유한소수의 유한은 한계가 있다는 뜻으로 소수점 아래의 숫자들이 끝나는 지점이 있다는 얘기에요. 무한소수의 무한은 소수점 아래에 숫자들이 끝도 없이 계속된다는 뜻이고요.

유한소수와 무한소수 구별법

어떤 분수가 유한소수인지 무한소수인지를 구별하려면 실제로 분자를 분모로 나눠봐야 할까요? 소수점 아래 100번째 자리에서 끝날 수도 있고, 1,000번째 자리에서 끝날 수도 있는데 직접 나눠보는 건 정말 귀찮은 방법이죠. 그래서 분수를 나눠보지 않고, 유한소수인지 무한소수인지 구별하는 방법이 있는데, 이걸 알아보죠.

우선 1단계는 분수의 분자와 분모를 약분해서 기약분수로 만들어요. 그다음 분모를 소인수분해합니다. 분자는 할 필요 없어요. 분모의 소인수가 2나 5뿐이라면 이 분수는 유한소수, 2나 5 외에 다른 소인수가 있다면 이 분수는 무한소수에요.

소인수가 2나 5뿐이라는 건 거듭제곱이어도 상관없다는 거예요. 2, 2², 2³, 5, 5², 2² × 5³ 등 어떤 것도 가능하다는 얘기죠.

몇 가지 해볼까요?

기약분수로 바꾼 후 분모를 소인수분해했더니 소인수가 2만 있어요. 2나 5만 있으면 유한소수니까 2만 있는 은 유한소수로 나타낼 수 있어요. 실제 소수로 나타내면 0.25에요.

만약에 기약분수로 약분하지 않고 바로 소인수분해를 해버리면 분모가 120 = 2³ × 3 × 5가 돼요. 그러면 분모에 2, 5 말고 3이 있으니까 무한소수로 나와서 답이 틀리게 되죠. 따라서 꼭 기약분수로 약분을 먼저 해야 합니다.

기약분수로 바꾼 후 분모를 소인수분해 했더니 3과 5가 있네요. 5 외에 3이 있으므로 무한소수에요. 실제 소수로 나타내면 0.466666…이 네요.

다음 분수 중 유한소수로 나타낼 수 있는 걸 모두 고르시오.

분수가 유한소수인지 무한소수인지 구별하려면 기약분수로 약분한 다음, 분모를 소인수분해해서 소인수가 2나 5뿐인지 보는 거죠.

(1) 에서 분모의 소인수에 11이 있으니까 무한소수네요.

(2) 에서 분모의 소인수가 5뿐이므로 유한소수

(3) 에서 분모의 소인수가 2, 5뿐이므로 유한소수

(4) 에서 분모의 소인수에 3이 있으므로 무한소수

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유리수의 사칙연산에 대해서 공부해보죠. 첫 번째 유리수의 덧셈과 뺄셈이에요.

유리수, 유리수의 분류에서 얘기했지만, 유리수 단원은 거의 모든 내용이 정수와 겹쳐요. 유리수의 덧셈과 뺄셈은 정수의 덧셈과 뺄셈과 완전히 같아요. 숫자만 정수에서 유리수로 바뀐 것뿐이에요.

정수의 덧셈과 덧셈에 대한 교환법칙, 분배법칙, 정수의 뺄셈, 정수의 덧셈과 뺄셈 혼합계산

원리도 같고, 계산 방법도 같으니 간단하게 정리만 하고 넘어가죠.

유리수의 덧셈

정수의 덧셈을 두 가지 경우로 나눴어요. 첫 번째는 부호가 같을 때죠. 부호가 같을 때는 공통부호를 그대로 쓰고, 숫자는 두 수의 절댓값을 더해줬죠. 부호가 다를 때는 절댓값이 큰 수의 부호를 적고, 숫자는 두 수의 절댓값의 차를 적었어요.

유리수에서도 똑같아요. 다만 유리수는 분수가 나오는 경우가 많으므로 통분을 해야 절댓값의 크기를 비교할 수 있어요.

다음을 계산하여라.

분수가 나왔으니까 통분해야 돼요. 그리고 부호가 같으면 공통부호에 절댓값의 합, 부호가 다르면 절댓값이 큰 수의 부호에 절댓값의 차를 적는 거지요.

유리수의 덧셈에서도 덧셈에 대한 교환법칙, 결합법칙이 성립해요. 유리수의 뺄셈에서는 둘 다 성립하지 않고요.

유리수의 뺄셈

정수의 뺄셈에서는 뺄셈을 덧셈으로 바꿨죠? (-)를 (+) 바꾸고 (-) 바로 뒤에 있는 정수의 부호를 반대로 바꿔줬었어요.

유리수의 뺄셈도 마찬가지예요. 같은 방법으로 유리수의 뺄셈을 덧셈으로 바꾸어 유리수의 덧셈을 계산하는 거지요.

다음을 계산하여라.

유리수의 뺄셈에서 첫 번째는 뺄셈을 덧셈으로 바꾸는 거예요. 그다음 위에서 했던 덧셈의 방법 그대로 계산하는 겁니다.

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수직선, 절댓값 이런 용어는 정수의 절댓값과 수직선에서 공부한 것들이죠. 유리수에서의 절댓값과 수직선도 정수에서 같은 특징이 있어요. 유리수의 대소관계도 정수의 대소관계와 똑같아요.

절댓값과 수직선, 절댓값의 성질, 정수의 대소관계

이 글에서 배울 내용은 모두 정수에서 했던 내용과 완전히 같아요. 단지 숫자만 정수에서 유리수로 바뀐 것뿐이에요.

거저먹는 거라고 할 수 있는 내용이죠. 정수에서 공부했던 내용을 복습한다 생각하면 될 것 같네요.

수직선과 절댓값

수직선

수직선은 직선을 긋고 직선 위의 점들과 숫자를 대응시킨 걸 말해요. 수직선에 0을 찍고 그 오른쪽에는 양의 유리수를, 왼쪽에는 음의 유리수를 적는 거지요. 정수에서의 수직선과 다른 점은 정수뿐 아니라 정수 아닌 유리수도 있다는 것 정도예요. 이나 , 1.5, -3.2 같은 수들도 수직선 위에 나타낼 수 있는 거죠.

절댓값

절댓값은 수직선 위의 점들이 원점으로부터 거리가 얼마나 떨어져 있느냐를 말해요. 절댓값은 | |를 써서 나타내는데, 유리수에서 부호 떼고 숫자만 적으면 됩니다.

, |1.5| = 1.5 , |-3.2| = 3.2

절댓값은 거리므로 양의 유리수에요. 그런데 0의 절댓값은 0이죠. 따라서 유리수의 절댓값은 0보다 크거나 같아요. 또 원점에서 멀어질수록 거리가 멀어지니까 절댓값도 커지죠. 절댓값이 같은 수는 양의 유리수, 음의 유리수 2개가 있어요.

유리수의 크기 비교, 유리수의 대소관계

숫자는 기본적으로 수직선에서 오른쪽에 있을수록 더 커요. 이게 제일 중요합니다.

유리수는 양의 유리수, 0, 음의 유리수가 있어요. 일단 숫자의 크기를 비교할 필요없이 부호만 보면 음의 유리수 < 0 < 양의 유리수에요.

부호가 같을 때는 절댓값의 크기를 비교해야 해요. 양의 유리수는 절댓값이 크면 더 크고, 음의 유리수는 절댓값이 더 크면 작아요.

유리수의 대소관계
음의 유리수 < 0 < 양의 유리수
양의 유리수는 절댓값이 클수록 크다.
음의 유리수는 절댓값이 작을수록 크다

다만 절댓값이 분수일 때가 있어요. 분수는 크기비교를 할 때 분모를 통분해서 비교하죠? 아니면 소수로 바꿔서 비교해도 되고요. 숫자에 맞게 편한 방법을 골라서 비교하세요.

다음 유리수를 작은 것부터 순서대로 나열하여라.

음의 유리수 < 0 < 양의 유리수 순이에요.
음의 유리수는 -0.7, 이 있네요.

양의 유리수는 가 있고요.

 = -0.75이므로 -0.7보다 절댓값이 커요. 음의 유리수에서는 절댓값이 크면 작으므로  < -0.7이 되네요.

가 있는데, 이 둘은 통분해서 크기를 비교해보죠. 네요.

정리해보면,

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정수를 다 공부했어요.

이제 또 새로운 수를 배울 거예요. 유리수라는 건데, 중학교 1, 2학년 수학에서 수라고 말하면 대부분 유리수를 말하는 거예요. 그러니까 이 글을 집중해서 보세요.

이 유리수는 정수의 연장선이라고 생각하면 돼요. 따라서 유리수라는 수의 개념만 잘 이해하면 나머지는 비교적 쉬워요. 정수의 연장선인 만큼 그 성질, 사칙연산과 연산에서 성립하는 법칙 등이 정수와 같아요.

유리수를 분류하는 여러 가지 방법도 알아볼 거예요.

유리수의 뜻

유리수는 분수꼴로 나타낼 수 있는 수를 말해요. 분수에서 분자와 분모는 정수면 되고요. 꼭 자연수일 필요는 없어요. 단 분모는 0이면 안 돼요. 분모가 0인 분수는 없으니까요.

유리수는 분수꼴로 나타낼 수 있는 수에요. 수의 모양을 분수꼴로 바꿀 수 있으면 다 유리수인 거죠. 유리수와 분수를 같은 것으로 착각하는 데 절대로 그러면 안 돼요. 유리수 ≠ 분수

정수나 소수도 얼마든지 분수 모양으로 바꿀 수 있어요.

유리수는 정수, 분수, 소수 등 이제까지 우리가 봐왔던 모든 수를 통틀어 놓은 거예요. 그러니까 완전히 새로 배우는 수는 아니에요.

정수에 양의 정수, 0, 음의 정수가 있는 것처럼 유리수도 양의 유리수, 0, 음의 유리수로 되어 있어요.

양의 정수는 (+) 부호를 생략해서 쓰는 것처럼 양의 유리수도 (+) 부호를 생략해서 쓸 수 있어요. 음의 유리수의 (-) 부호는 생략할 수 없고요.

유리수의 분류

위에서는 부호에 따라서 유리수를 나눴죠? 다른 방법으로 구분하기도 하는데요.

유리수의 대표적인 수가 바로 정수잖아요. 정수와 정수가 아닌 유리수로 나누는 거예요. 정수가 아닌 유리수에는 분수, 소수 이런 것들이 포함돼요.

아래 그림을 잘 기억하세요.

는 약분을 하면 2가 되죠? 생긴 모양은 정수가 아니라 분수라서 정수가 아닌 유리수라고 생각하기 쉽지만, 약분을 하면 2가 되기 때문에 는 정수라고 해야 해요. 분수로 되어 있는 경우라도 꼭 약분을 해서 기약분수로 만든 다음에 판단해야 합니다.

다음 수를 정수와 정수 아닌 유리수로 구분하여라.

는 약분을 하면 -3이에요. 음의 정수죠. 나머지는 보면 금방 알 수 있네요.

정수: +1, 0,
정수 아닌 유리수:

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이차방정식 구하기 두 번째입니다. 이전 글 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 구하기에서는 두 근이 주어졌을 때와 두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식을 구하는 법을 알아봤어요.

이번 글에서는 두 근이 아니라 한 근만 알려줬을 때, 이차방정식을 구하는 방법을 알아볼 거예요. 근을 하나만 알려줬다고 해서 근이 하나만 있는 건 아니에요. 중근이라서 하나만 가르쳐주는 경우도 있지만 근이 두 개인데 그 중 하나만 알려주는 경우도 있거든요. 두 경우를 잘 구분하고, 어떻게 근을 구하는 지 알아보죠.

중근을 알려주었을 때

중근이라는 건 같은 근이 두 개가 있다는 뜻이죠? 따라서 한 근을 α라고 한다면 다른 근 역시 α라고 할 수 있죠.

두 근이 α, β이고 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x - α)(x - β) = 0

위 식에 대입해보면 a(x - α)(x - α) = 0이라서 좌변을 정리하면 a(x - α)² = 0라는 식이 돼요.

주어진 근이 중근이라면 기존에 사용했던 방법에 그대로 대입해서 구할 수 있다는 얘기에요. 공식의 모양이 아래처럼 바뀝니다.

중근이 α이고 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x - α)² = 0

x = 3을 중근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식을 구하여라.

공식에 바로 대입하죠.

2(x - 3)² = 0
2(x² - 6x + 9) = 0
2x² - 12x + 18 = 0

생각보다 어렵지 않죠?

계수가 유리수인 이차방정식

계수가 유리수인 이차방정식은 새로운 내용이 아니에요. 복잡한 이차방정식의 풀이에서 봤던 계수가 소수나 분수인 이차방정식을 말합니다. 물론 여기에는 계수가 정수인 이차방정식도 포함하는 거죠. 즉, 우리가 다루었던 모든 이차방정식을 그냥 이름만 거창하게 붙여놓은 거예요.

계수가 유리수인 이차방정식의 특징이 있어요. 계수가 유리수고 한 근이 무리수면 다른 한 근을 계산해보지 않아도 구할 수 있어요.

근의 공식을 한 번 생각해보세요.

ax² + bx + c = 0 (a, b, c는 상수, a ≠ 0)

근은 유리수 부분과 무리수 부분으로 나눠져 있어요. 그런데 유리수 부분은 같고, 무리수 부분은 부호만 다르죠. 한 근은이고 다른 한 근은이니까요.

그러니까 주어진 근이 무리수라면 다른 근은 무리수 부분의 부호만 반대인 것이죠. 한 근만 알려줬지만 실제는 두 근 모두를 알려준 거예요.

계수가 유리수고 한 근이 m + n이면
⇒ 다른 한 근은 m - n
(m, n은 유리수, ≠ 0)

두 근을 구한 다음에는 합과 곱을 이용해서 이차방정식을 구합니다.

두 근의 합이 m이고, 곱이 n, 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x² - mx + n) = 0
a(x² - 합x + 곱) = 0

한 근이 2 -이고 계수가 유리수인 이차방정식을 구하여라. (단 이차항의 계수는 2이다.)

일단 계수가 유리수이고, 근은 무리수에요. 다른 근은 무리수 부분의 부호만 반대라고 했죠? 한 근이 2 - 라면 다른 근은 2 + 에요.

두 근의 합은 (2 - ) + (2 + ) = 4
두 근의 곱은 (2 - )(2 + ) = 4 - 5 = -1

따라서 문제에서 구하는 답은 아래와 같아요.

2(x² - 4x - 1) = 0
2x² - 8x - 2 = 0

주의 해야할 내용 - 근이 유리수라면

여기서 주의해야할 것이 하나 있는데요. 계수가 유리수이더라도 근이 유리수면 위 관계는 성립하지 않는다는 거예요.

예를 들어 한 근이 3이라고 하죠. 3은 3 +이니까 무리수 부분의 부호만 바꿔서 다른 근을 구하면 3 - = 3이 되죠? 그렇다면 두 근 모두 3이니까 중근이라고 할 수 있을까요?

절대 안됩니다. 중근이었다면 중근이라고 분명히 얘기를 해 줬을 거예요.

(x – 1)(x – 3) = 0의 경우처럼 한 근이 3일 때 다른 근이 1이 될 수도 있거든요. 이런 경우에는 이차방정식의 해의 정의에 따라 3을 식에 대입해서 다른 계수를 구하는 방법으로 풀어야 해요

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